高中數(shù)學(xué)(人教B版)必修二同步講義第6章第六章平面向量初步章末題型大總結(jié)(學(xué)生版+解析)

第六章平面向量初步章末題型大總結(jié)題型01平面向量的基本概念解題錦囊解題錦囊1．向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量．2．表示方法：用有向線段來表示向量．有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．用字母a，b，…或用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，…表示．3．模：向量的長度叫向量的模，記作|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4．零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向是任意的．5．單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量．與a平行的單位向量e±eq\f(a,|a|).6．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，規(guī)定零向量與任一向量平行，平行向量又稱為共線向量．7．相等向量：長度相等且方向相同的向量叫相等向量．【典例1】（多選）（23-24高一上·遼寧·期末）下列命題正確的是（

）A．?dāng)?shù)軸上零向量的坐標(biāo)為0B．若a與b都是單位向量，則a+C．若A?2,1,BD．若A?2,1,B2,?1，則線段【變式1】（24-25高二上·甘肅臨夏·階段練習(xí)）判斷下列各命題的真假：①向量與平行，則與的方向相同或相反；②兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；③零向量是沒有方向的；④有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一下·福建莆田·階段練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．零向量的大小為0，沒有方向B．C．起點相同的單位向量，終點必相同D．若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等【變式3】（23-24高一下·黑龍江佳木斯·期末）下列敘述中正確的是（）A．已知向量，，且，則與的方向相同或相反B．若，則C．若，，則D．對任一非零向量，是一個單位向量【變式4】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）（多選）下列說法錯誤的是（

）A．若，則 B．長度相等的向量是相等向量C．零向量的方向是任意的 D．方向相反的向量是相反向量題型02平面向量的線性運算解題錦囊解題錦囊1．向量線性運算的三要素向量的線性運算滿足三角形法則和平行四邊形法則，向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法則要素是“始點重合，指向被減向量”；向量加法的平行四邊形法則要素是“始點重合”．2．用幾個基向量表示某個向量問題的基本技巧：(1)觀察各向量的位置；(2)尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；(2)運用法則找關(guān)系；(4)化簡結(jié)果．【典例1】（24-25高二上·山東濰坊·開學(xué)考試）化簡：．【變式1】（23-24高一下·天津南開·階段練習(xí)）化簡等于（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高二上·北京朝陽·階段練習(xí)）（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高一下·湖南岳陽·期末）在中，，則等于（

）A． B．C． D．【變式4】（23-24高一下·湖北黃岡·期中）題型02向量共線與三點共線問題解題錦囊解題錦囊運用向量平行(共線)證明常用的結(jié)論有：(1)向量a，b(a≠0)共線?存在唯一實數(shù)λ，使bλa；(2)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共線?x1y2x2y1；(3)向量a與b共線?存在不全為零的實數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b0.【典例2】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）已知向量，向量為平面內(nèi)兩個不共線的單位向量，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．A、B、C三點共線 B．A、C、D三點共線C．A、B、D三點共線 D．B、C、D三點共線【變式1】（23-24高一下·廣東佛山·期末）已知向量不共線，若則（

）A． B． C． D．2【變式2】（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）已知向量，，若，則（

）A．10 B．2 C． D．【變式3】（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知向量，，且實數(shù)，若A，B，C三點共線．則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式4】（23-24高一下·北京朝陽·期末）已知向量，不共線，，，若與同向，則實數(shù)t的值為（

）A． B． C．3 D．或3題型04平面向量基本定理解題錦囊解題錦囊平面向量基本定理表明，同一平面內(nèi)的任一向量都可表示為其他兩個不共線向量的線性組合，即選擇了兩個不共線向量e1和e2，平面內(nèi)的任何一向量a都可以用向量e1，e2表示為aλ1e1＋λ2e2，并且這種表示是唯一的，即若λ1e1＋λ2e2μ1e1＋μ2e2，則必有λ1μ1，λ2μ2.這樣，平面向量基本定理不僅把幾何問題轉(zhuǎn)化為只含有λ1，λ2的代數(shù)運算，而且為利用待定系數(shù)法解題提供了理論基礎(chǔ)．【典例4】（24-25高三上·江蘇南通·期中）在中，，，，.若，則（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高一下·黑龍江大慶·期中）若是平面內(nèi)所有向量的一個基底，則下列四組向量中能構(gòu)成平面內(nèi)所有向量的一個基底的是（

）A． B．C． D．【變式2】（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知在中，，分別為，的中點，，，則可以用含，的式子表示為（

）A． B．C． D．【變式3】（24-25高三上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形中，，，若，，則（

）A． B． C． D．【變式4】（24-25高三上·福建南平·期中）在中，點在邊上，若，則的值為（

）A． B． C． D．題型05向量的坐標(biāo)表示解題錦囊解題錦囊1．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2－x1，y2－y1)，||eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).2．設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a±b(x1±x2，y1±y2)；λa(λx1，λy1)；a∥b?aλb?x2y1x1y2.3．設(shè)a(x，y)，則|a|2x2＋y2或|a|eq\r(x2＋y2).【典例5】1．（23-24高一下·北京海淀·期中）根據(jù)畢達哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊上作出的正方形面積之和，現(xiàn)在對直角三角形CDE按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形，若，則=（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知向量，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為，且，若點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高一下·福建龍巖·期中）若平面向量與的夾角是，且，則（

）A． B． C． D．【變式4】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，則（

）A．2 B． C．4 D．8題型06向量中的最值解題錦囊解題錦囊對于特殊的平面圖形我們可以建立平面直角坐標(biāo)系，向量坐標(biāo)化后，所有的問題均可以通過計算求解，這種方法對難度較大的平面向量試題非常有用．【典例5】在直角梯形ABCD中，，點E為BC邊上一點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高二上·河南駐馬店·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點分別在x軸和y軸上運動，且，點和點P滿足，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【變式2】（22-23高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，是線段上的動點，則的最小值為.【變式3】（23-24高二上·福建廈門·階段練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點，，．(1)若，，，可以構(gòu)成平行四邊形，且點在第一象限，求點的坐標(biāo)；(2)若是線段上一動點，求的取值范圍．題型07平面向量在幾何中的應(yīng)用解題錦囊解題錦囊(1)平面幾何中的平行、全等、相似、長度等都可以由向量的線性運算表示出來．(2)用向量解決平面幾何問題的“三步曲”①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．（3）用向量解決平面幾何問題的兩種方法①向量幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算．②向量坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算．說明：對于有些平面幾何問題(如與長方形、正方形、直角三角形等有關(guān)的問題)，常用向量的坐標(biāo)法，建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示出來，通過代數(shù)運算解決平面幾何問題．【典例6】（23-24高一上·遼寧沈陽·期末）（多選）已知，D為BC邊中點，若點P滿足，則下列說法正確的是（

）A．點P一定在內(nèi)部 B．C． D．點P在直線AD上【變式1】（23-24高一下·四川自貢·期末）如圖在平面四邊形中，，點在線段上滿足，若，則．【變式2】（23-24高一·上海·課堂例題）在四邊形中，向量，，．求證：四邊形為梯形．【變式3】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期中）如圖，四邊形ABCD為箏形（有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形），滿足，AD的中點為E，．(1)若三角形ABD為等邊三角形，求四邊形ABCD的面積(2)求箏形ABCD的面積的最大值題型08平面向量在物理中的應(yīng)用解題錦囊解題錦囊向量有著豐富的物理背景．向量的物理背景是位移、力、速度等．因此利用向量可以解決一些物理問題．向量在物理中的應(yīng)用，實際上是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然后通過向量運算解決向量問題，最后再用所獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象．【典例7】（23-24高一下·河南南陽·期中）小娟，小明兩個人共提一桶水勻速前進，已知水和水桶總重力為，兩人手臂上的拉力分別為，，且，與的夾角為，下列結(jié)論中正確的是（

）A．越小越費力，越大越省力 B．始終有C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【變式1】（23-24高一下·山東棗莊·期末）（多選）如圖，一條河兩岸平行，河的寬度，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行.已知船在靜水中的速度的大小，水流方向為正東方向，其速度的大小為，這艘船到達河對岸的時間精確到0.1min，采用四舍五入法.則（

）參考數(shù)據(jù)：

A．這艘船到達河對岸的渡河時間最短時，B．這艘船到達河對岸的渡河時間最短為3minC．這艘船到達河對岸的渡河時間最短為3.1minD．這艘船到達河對岸的航程最短時，渡河時間最短【變式2】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）有兩個分別為3牛和5牛的力作用在某物體上，則合力的最大值為牛．【變式4】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）一條河的兩岸平行，河寬.一艘船從A處出發(fā)航行到河的正對岸B處.航行的速度，水流的速度，水流方向向正東方向，求行駛航程最短時，所用的時間是多少.（結(jié)果精確到0.1min）第六章平面向量初步章末題型大總結(jié)題型01平面向量的基本概念解題錦囊解題錦囊1．向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量．2．表示方法：用有向線段來表示向量．有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．用字母a，b，…或用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，…表示．3．模：向量的長度叫向量的模，記作|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4．零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向是任意的．5．單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量．與a平行的單位向量e±eq\f(a,|a|).6．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，規(guī)定零向量與任一向量平行，平行向量又稱為共線向量．7．相等向量：長度相等且方向相同的向量叫相等向量．【典例1】（多選）（23-24高一上·遼寧·期末）下列命題正確的是（

）A．?dāng)?shù)軸上零向量的坐標(biāo)為0B．若a與b都是單位向量，則a+C．若A?2,1,BD．若A?2,1,B2,?1，則線段【答案】ABD【分析】根據(jù)題意可直接判斷A正確；當(dāng)a與b方向相反時，可知B正確；利用兩點間的距離公式計算可知C錯誤；利用中點坐標(biāo)公式進行計算可知D正確.【詳解】數(shù)軸上零向量的坐標(biāo)為0,A若a與b都是單位向量，當(dāng)方向相反時，a+b的最小值為若A?2,1,B2,?1，則AB若A?2,1,B2,?1，則線段AB的中點坐標(biāo)為0,0BD.【變式1】（24-25高二上·甘肅臨夏·階段練習(xí)）判斷下列各命題的真假：①向量與平行，則與的方向相同或相反；②兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；③零向量是沒有方向的；④有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)零向量的定義及共線向量的定義判斷即可得.【詳解】對①：因為零向量的方向是任意的且零向量與任何向量共線，故當(dāng)與中有一個為零向量時，其方向是不確定的，故為假命題；對②：兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同，故為真命題；對③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故為假命題；對④：向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段，故為假命題..【變式2】（23-24高一下·福建莆田·階段練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．零向量的大小為0，沒有方向B．C．起點相同的單位向量，終點必相同D．若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等【答案】C【分析】根據(jù)零向量特點即可判斷A；根據(jù)向量模的定義即可判斷B，根據(jù)單位向量以及向量共線的性質(zhì)即可判斷CD.【詳解】對A，既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故A錯誤；對B，由于與方向相反，長度相等，故B正確；對C，起點相同的單位向量，終點不一定相同，故C錯誤；對D，若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等或相反，故D錯誤．．【變式3】（23-24高一下·黑龍江佳木斯·期末）下列敘述中正確的是（）A．已知向量，，且，則與的方向相同或相反B．若，則C．若，，則D．對任一非零向量，是一個單位向量【答案】A【分析】對A，若，有一個為零向量即可判斷；對B，向量相等定義即可判斷；對C，若即可判斷；對D，由單位向量的定義判斷.【詳解】對A，零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，若或時，與的方向不是相同或相反，故A錯誤；對B，，且，方向相同才可判斷，故B錯誤；對C，當(dāng)時，若，，與是任意向量，故C錯誤；對D，對任一非零向量，表示與方向相同且模長為1的向量，故D正確.【變式4】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）（多選）下列說法錯誤的是（

）A．若，則 B．長度相等的向量是相等向量C．零向量的方向是任意的 D．方向相反的向量是相反向量【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的相關(guān)定義逐一判斷各個選項即可求解.【詳解】對于A，若，則不一定有，比如，讓這兩個向量共起點，則它們的終點分步在以這個起點為圓心的一個圓周上，所以這兩個向量不一定共線，故A錯誤；對于B，長度相等且方向相同的向量是相等向量，故B錯誤；對于C，零向量的方向是任意的，故C正確；對于D，方向相反且長度一樣的向量是相反向量，故D錯誤.BD.題型02平面向量的線性運算解題錦囊解題錦囊1．向量線性運算的三要素向量的線性運算滿足三角形法則和平行四邊形法則，向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法則要素是“始點重合，指向被減向量”；向量加法的平行四邊形法則要素是“始點重合”．2．用幾個基向量表示某個向量問題的基本技巧：(1)觀察各向量的位置；(2)尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；(2)運用法則找關(guān)系；(4)化簡結(jié)果．【典例1】（24-25高二上·山東濰坊·開學(xué)考試）化簡：．【答案】【分析】利用向量的線性運算求解即可.【詳解】.故答案為：【變式1】（23-24高一下·天津南開·階段練習(xí)）化簡等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量線性運算計算即可．【詳解】，．【變式2】（24-25高二上·北京朝陽·階段練習(xí)）（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的加減法即可得到答案.【詳解】..【變式3】（23-24高一下·湖南岳陽·期末）在中，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的加法和減法公式，即可求解.【詳解】.【變式4】（23-24高一下·湖北黃岡·期中）【答案】【分析】根據(jù)向量加、減法法則及運算律計算可得.【詳解】.故答案為：題型02向量共線與三點共線問題解題錦囊解題錦囊運用向量平行(共線)證明常用的結(jié)論有：(1)向量a，b(a≠0)共線?存在唯一實數(shù)λ，使bλa；(2)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共線?x1y2x2y1；(3)向量a與b共線?存在不全為零的實數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b0.【典例2】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）已知向量，向量為平面內(nèi)兩個不共線的單位向量，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．A、B、C三點共線 B．A、C、D三點共線C．A、B、D三點共線 D．B、C、D三點共線【答案】D【分析】根據(jù)向量共線的判定定理結(jié)合平面向量基本定理逐項分析判斷.【詳解】因為向量，向量為平面內(nèi)兩個不共線的單位向量，且，，對于選項A：若A、B、C三點共線，則，其中，則，方程組無解，所以A、B、C三點不共線，故A錯誤；對于選項B：因為，若A、C、D三點共線，則，其中，則則，方程組無解，所以A、C、D三點不共線，故B錯誤；對于選項C：因為，所以A、B、D三點共線，故C正確；對于選項D：若B、C、D三點共線，則，其中，則，方程組無解，所以B、C、D三點不共線，故D錯誤；.【變式1】（23-24高一下·廣東佛山·期末）已知向量不共線，若則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)共線定理和平面向量基本定理求解可得.【詳解】因為，所以存在，使得，又不共線，所以，解得.【變式2】（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）已知向量，，若，則（

）A．10 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算得，再利用向量共線的坐標(biāo)表示即可方程，解出即可.【詳解】因為，且，所以，解得，所以．．【變式3】（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知向量，，且實數(shù)，若A，B，C三點共線．則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由三點共線轉(zhuǎn)化為兩個向量共線，即共線，由向量共線的坐標(biāo)表示計算．【詳解】，，因為A，B，C三點共線，所以，則，解得或，，..【變式4】（23-24高一下·北京朝陽·期末）已知向量，不共線，，，若與同向，則實數(shù)t的值為（

）A． B． C．3 D．或3【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量定理，結(jié)合平面向量基本定理求解即得.【詳解】由向量與同向，得，即，而向量不共線，則，又，解得，所以實數(shù)t的值為.題型04平面向量基本定理解題錦囊解題錦囊平面向量基本定理表明，同一平面內(nèi)的任一向量都可表示為其他兩個不共線向量的線性組合，即選擇了兩個不共線向量e1和e2，平面內(nèi)的任何一向量a都可以用向量e1，e2表示為aλ1e1＋λ2e2，并且這種表示是唯一的，即若λ1e1＋λ2e2μ1e1＋μ2e2，則必有λ1μ1，λ2μ2.這樣，平面向量基本定理不僅把幾何問題轉(zhuǎn)化為只含有λ1，λ2的代數(shù)運算，而且為利用待定系數(shù)法解題提供了理論基礎(chǔ)．【典例4】（24-25高三上·江蘇南通·期中）在中，，，，.若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為基底表示向量，因為，則，建立與的等量關(guān)系，求解即可.【詳解】因為，，所以，又，所以，則，解得：，.【變式1】（23-24高一下·黑龍江大慶·期中）若是平面內(nèi)所有向量的一個基底，則下列四組向量中能構(gòu)成平面內(nèi)所有向量的一個基底的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量共線定理以及基底的概念逐一判斷即可.【詳解】對于A選項，，所以共線，不能作為基底；對于B選項，，所以共線，不能作為基底；對于C選項，，所以共線，不能作為基底；對于D選項，易知不共線，可以作為基底..【變式2】（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知在中，，分別為，的中點，，，則可以用含，的式子表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由向量的加減法則，，分別與相應(yīng)的關(guān)系，再消元構(gòu)建三者的關(guān)系，得出結(jié)果.【詳解】由題意得，，，故，故..【變式3】（24-25高三上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形中，，，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，結(jié)合圖形，利用向量的線性運算，即可求出結(jié)果.【詳解】因為四邊形為平行四邊形，且，，所以，即①，又，即②，由①②得到，又，，所以..【變式4】（24-25高三上·福建南平·期中）在中，點在邊上，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的線性運算把用表示后可得，從而得結(jié)論．【詳解】由已知，所以，，，．題型05向量的坐標(biāo)表示解題錦囊解題錦囊1．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2－x1，y2－y1)，||eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).2．設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a±b(x1±x2，y1±y2)；λa(λx1，λy1)；a∥b?aλb?x2y1x1y2.3．設(shè)a(x，y)，則|a|2x2＋y2或|a|eq\r(x2＋y2).【典例5】1．（23-24高一下·北京海淀·期中）根據(jù)畢達哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊上作出的正方形面積之和，現(xiàn)在對直角三角形CDE按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形，若，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得的坐標(biāo)，再由列式求解即可.【詳解】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：設(shè)，則，則，，所以，即，所以，因為，所以，則，則，化簡得，.【變式1】（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知向量，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的運算可得答案.【詳解】因為，點的坐標(biāo)為，所以，解得，所以點的坐標(biāo)為..【變式2】（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為，且，若點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)可知，繼而得到，由此即可解出點坐標(biāo).【詳解】由題意知與的長度相等，方向相反，所以，又因為，設(shè)，則，所以，解得，即，【變式3】（23-24高一下·福建龍巖·期中）若平面向量與的夾角是，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得且，利用向量的模長公式即可求解．【詳解】平面向量與的夾角是，和是相反向量，存在且使，，又，，，則,．．【變式4】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，則（

）A．2 B． C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)題圖寫出向量坐標(biāo)，再進行坐標(biāo)運算即可.【詳解】根據(jù)題圖，以題圖向量起點為原點，該點橫縱方向為軸，則，，所以，則.故選：.題型06向量中的最值解題錦囊解題錦囊對于特殊的平面圖形我們可以建立平面直角坐標(biāo)系，向量坐標(biāo)化后，所有的問題均可以通過計算求解，這種方法對難度較大的平面向量試題非常有用．【典例5】在直角梯形ABCD中，，點E為BC邊上一點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量運算的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合配方法進行求解即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐角坐標(biāo)系，過作，垂足為，因為，所以有，

，設(shè)，，因此有因為，所以有，而，所以，當(dāng)時，有最大值，當(dāng)，xy有最小值，所以的取值范圍是【變式1】（23-24高二上·河南駐馬店·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點分別在x軸和y軸上運動，且，點和點P滿足，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)、、Px,y，由題意可得，又，故有，結(jié)合向量的模長計算及的范圍計算即可得其最大值.【詳解】設(shè)、、Px,y，則、、，由，則有，即，由，有，故，即，即有，且，則，由，故當(dāng)時，有最大值，且的最大值為..【變式2】（22-23高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，是線段上的動點，則的最小值為.【答案】6【分析】以點為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)a），寫出各點坐標(biāo)，結(jié)合向量加法以及模的坐標(biāo)運算，運用二次函數(shù)的知識即可求出最小值.【詳解】如圖，以點為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)a），因為，所以，所以，所以，所以，所以當(dāng)，即時，的最小值為6.故答案為：6【變式3】（23-24高二上·福建廈門·階段練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點，，．(1)若，，，可以構(gòu)成平行四邊形，且點在第一象限，求點的坐標(biāo)；(2)若是線段上一動點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)（），依題意可得，根據(jù)向量相等的坐標(biāo)表示得到方程組，解得即可；（2）設(shè)，，用的式子表示、，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)（），依題意可得，又，，，所以，，所以，解得，即.（2）設(shè)，，則，所以，則，所以，因為，所以當(dāng)時取最小值，當(dāng)時取最大值，所以的取值范圍為.題型07平面向量在幾何中的應(yīng)用解題錦囊解題錦囊(1)平面幾何中的平行、全等、相似、長度等都可以由向量的線性運算表示出來．(2)用向量解決平面幾何問題的“三步曲”①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．（3）用向量解決平面幾何問題的兩種方法①向量幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算．②向量坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算．說明：對于有些平面幾何問題(如與長方形、正方形、直角三角形等有關(guān)的問題)，常用向量的坐標(biāo)法，建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示出來，通過代數(shù)運算解決平面幾何問題．【典例6】（23-24高一上·遼寧沈陽·期末）（多選）已知，D為BC邊中點，若點P滿足，則下列說法正確的是（

）A．點P一定在內(nèi)部 B．C． D．點P在直線AD上【答案】ABC【分析】設(shè)、分別是、的中點，依題意可得，從而得到點是中位線上靠近點的三等分點，即可判斷A，D再根據(jù)面積關(guān)系判斷C，又平面向量線性運算法則判斷B.【詳解】由，所以，設(shè)、分別是、的中點，所以，于是點是中位線上靠近點的三等分點，則點一定在內(nèi)部，故A正確，D錯誤.又，所以，則，故B正確；由A可知，，且，所以，，即，故C正確；BC【變式1】（23-24高一下·四川自貢·期末）如圖在平面四邊形中，，點在線段上滿足，若，則．【答案】/【分析】以A為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)后，寫出各點坐標(biāo)，用向量的坐標(biāo)運算可得．【詳解】以A為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則有，，過D作軸于F，，，所以，，，，因為，所以，所以，，解得：，則的值為.故答案為：.【變式2】（23-24高一·上?！ふn堂例題）在四邊形中，向量，，．求證：四邊形為梯形．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運算及共線向量即可證明．【詳解】證明：因為，所以且，所以四邊形為梯形．【變式3】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期中）如圖，四邊形ABCD為箏形（有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形），滿足，AD的中點為E，．(1)若三角形ABD為等邊三角形，求四邊形ABCD的面積(2)求箏形ABCD的面積的最大值【答案】(1)；(2)8.【分析】（1）直接利用三角形的面積公式即可求得答案；（2）建立坐標(biāo)系，利用向量法結(jié)合基本不等式即可得出箏形ABCD的面積最大值.【詳解】（1）△ABD為正三角形，且中線，則，又，，.（2）以點O為坐標(biāo)原點，建立如右圖所示的直角坐標(biāo)系．設(shè)，則．因為，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號．箏形ABCD的面積為即當(dāng)時，箏形ABCD的面積最大為8.題型08平面向量在物理中的應(yīng)用解題錦囊解題錦囊向量有著豐富的物理背景．向量的物理背景是位移、力、速度等．因此利用向量可以解決一些物理問題．向量在物理中的應(yīng)用，實際上是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然后通過向量運算解決向量問題，最后再用所獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象．【典例7】（23-24高一下·河南南陽·期中）小娟