高中數(shù)學(xué)(人教B版)選擇性必修一同步講義1.4第一章：空間向量與立體幾何(單元測(cè)試)(學(xué)生版+解析)

第一章：空間向量與立體幾何（試卷滿分170分，考試用時(shí)120分鐘）姓名___________班級(jí)_________考號(hào)_______________________一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（23-24高二上·北京·月考）若，，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·廣東茂名·月考）設(shè)點(diǎn)，，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·廣東珠?！ら_(kāi)學(xué)考試）設(shè)向量不共面，則下列集合可作為空間的一個(gè)基底的是（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·河南·月考）如圖，在圓錐中，點(diǎn)A，B在底面圓周上，點(diǎn)C，D分別是母線的中點(diǎn)，，記，則（

）A． B． C． D．5．（23-24高二上·浙江金華·月考）閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離為（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·山東菏澤·月考）已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外的任一點(diǎn)O，下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．7．（23-24高二上·山東濟(jì)南·月考）如圖所示的四棱錐中，底面為正方形，且各棱長(zhǎng)均相等，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A．1 B． C． D．8．（23-24高二上·湖北襄陽(yáng)·月考）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，且滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．（23-24高二上·河北石家莊·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，以下結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為B．點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為C．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是D．點(diǎn)到平面的距離為110．（23-24高二上·重慶黔江·月考）下列命題是真命題的有（）A．A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD．平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)是平面α的法向量，則11．（23-24高二上·山東棗莊·月考）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P滿足，，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的最小值為B．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足到直線的距離與到平面的距離相等D．當(dāng)時(shí)，線段AP掃過(guò)的圖形面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（23-24高二上·浙江杭州·月考）已知空間向量，，向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為13．（23-24高二上·山東濰坊·期中）已知點(diǎn)，，，則到的距離為.14．（23-24高二上·廣東江門(mén)·月考）已知，，則最大值為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（23-24二上·山西臨汾·月考）已知，且.(1)求；(2)求向量與夾角的大小.16．（23-24高二上·四川瀘縣·月考）四棱柱的六個(gè)面都是平行四邊形，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，點(diǎn)在對(duì)角線上，且．(1)設(shè)向量，，，用、、表示向量、；(2)求證：、、三點(diǎn)共線．17．（23-24高二上·河北石家莊·月考）在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)，點(diǎn)．若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為方向方量，P是直線l上的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)，且時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．18．（23-24高二上·湖北襄陽(yáng)·月考）如圖，在四棱錐中，底面四邊形滿足，棱上的點(diǎn)滿足直線平面．(1)求；(2)若，且，求直線與平面所成角的正弦值．19．（23-24高二上·北京順義·月考）如圖，平面，，，，，.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)若點(diǎn)E到平面的距離為，求三棱錐的體積.第一章：空間向量與立體幾何（試卷滿分170分，考試用時(shí)120分鐘）姓名___________班級(jí)_________考號(hào)_______________________一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（23-24高二上·北京·月考）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可知，根據(jù)向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得，即.2．（23-24高二下·廣東茂名·月考）設(shè)點(diǎn)，，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，且，因?yàn)?，可得，解得，即點(diǎn)..3．（23-24高二下·廣東珠?！ら_(kāi)學(xué)考試）設(shè)向量不共面，則下列集合可作為空間的一個(gè)基底的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知，由向量共面定理，知共面，同時(shí)及共面，易得選項(xiàng)A、B、D錯(cuò)誤；因?yàn)椴还裁?，結(jié)合上面的結(jié)論，所以不共面，故可作為空間的一個(gè)基底.．4．（23-24高二上·河南·月考）如圖，在圓錐中，點(diǎn)A，B在底面圓周上，點(diǎn)C，D分別是母線的中點(diǎn)，，記，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知,由得,因?yàn)辄c(diǎn)C，D分別是母線的中點(diǎn)，所以，則.5．（23-24高二上·浙江金華·月考）閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于平面的方程為，所以平面的法向量，在平面上任取一點(diǎn)，則，點(diǎn)到平面距離.6．（23-24高二上·山東菏澤·月考）已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外的任一點(diǎn)O，下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】平面外的任一點(diǎn)O，點(diǎn)共面的充要條件是，且，對(duì)于A，由，得，點(diǎn)不共面，A不是；對(duì)于B，由，得，點(diǎn)不共面，B不是；對(duì)于C，由，得，點(diǎn)不共面，C不是；對(duì)于D，由，得，點(diǎn)共面，D是.7．（23-24高二上·山東濟(jì)南·月考）如圖所示的四棱錐中，底面為正方形，且各棱長(zhǎng)均相等，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】令四棱錐的各條棱長(zhǎng)均為2，則，由是的中點(diǎn)，得,顯然不共面，，又，，因此，所以則異面直線與所成角的余弦值為.8．（23-24高二上·湖北襄陽(yáng)·月考）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，且滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，由空間向量的共面定理可知，點(diǎn)四點(diǎn)共面，即點(diǎn)在平面上，所以的最小值為點(diǎn)到平面的距離，由正方體棱長(zhǎng)為，可得是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則，，由等體積法得，，所以，所以的最小值為.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．（23-24高二上·河北石家莊·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，以下結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為B．點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為C．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是D．點(diǎn)到平面的距離為1【答案】ABD【解析】對(duì)于A，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故A正確；對(duì)于B，點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故B正確；對(duì)于C，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.BD.10．（23-24高二上·重慶黔江·月考）下列命題是真命題的有（）A．A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD．平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)是平面α的法向量，則【答案】CD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故不能平移到同一個(gè)平面內(nèi)，即A，B，M，N不共面，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因，即，故l與m垂直，B項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，要使l⊥α,須使與共線，不妨設(shè)，則得：，顯然該方程組無(wú)解，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，是平面α的法向量，故解得：則有：，故D項(xiàng)正確.D.11．（23-24高二上·山東棗莊·月考）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P滿足，，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的最小值為B．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足到直線的距離與到平面的距離相等D．當(dāng)時(shí)，線段AP掃過(guò)的圖形面積為【答案】AC【解析】如圖所示，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，則，，，，則，∴.選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，將平面和平面沿展開(kāi)為同一個(gè)平面，如圖：連接，則的最小值為，故A正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，，，則，即，即滿足條件的P點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，則，，，，則在上的投影為，則點(diǎn)P到直線的距離；平面的一個(gè)法向量為，，則點(diǎn)P到平面的距離為，當(dāng)點(diǎn)P到直線的距離與到平面的距離相等時(shí)，，∵，∴方程有一個(gè)解，則，即僅存在一個(gè)點(diǎn)P滿足條件，故C正確；D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，可知點(diǎn)在以和為半徑的上，線段是以為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐的母線，所以線段掃過(guò)的圖形面積為，故D錯(cuò)誤．C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（23-24高二上·浙江杭州·月考）已知空間向量，，向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為【答案】【解析】由投影向量的定義可知，，13．（23-24高二上·山東濰坊·期中）已知點(diǎn)，，，則到的距離為.【答案】/【解析】因?yàn)?，，所以所?所以點(diǎn)到的距離.14．（23-24高二上·廣東江門(mén)·月考）已知，，則最大值為【答案】【解析】，當(dāng)時(shí)，，由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)不成立，故，當(dāng)時(shí)，，故的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（23-24二上·山西臨汾·月考）已知，且.(1)求；(2)求向量與夾角的大小.【答案】(1)；(2)【解析】（1），，；（2）由（1）可得，，向量與垂直，即向量與夾角的大小為.16．（23-24高二上·四川瀘縣·月考）四棱柱的六個(gè)面都是平行四邊形，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，點(diǎn)在對(duì)角線上，且．(1)設(shè)向量，，，用、、表示向量、；(2)求證：、、三點(diǎn)共線．【答案】(1)，；(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)?，則，所以，又因?yàn)?，則，所以；（2）因?yàn)?，且，所以，即、、三點(diǎn)共線．17．（23-24高二上·河北石家莊·月考）在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)，點(diǎn)．若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為方向方量，P是直線l上的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)，且時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】（1）由點(diǎn)，點(diǎn)，得，由向量為直線l的方向向量，得，于是，而，消去得，所以.（2）由（1）知，而，則，又，顯然，由，得，解得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是.18．（23-24高二上·湖北襄陽(yáng)·月考）如圖，在四棱錐中，底面四邊形滿足，棱上的點(diǎn)滿足直線平面．(1)求；(2)若，且，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)2；(2)【解析】（1）由題意得：連接交于點(diǎn)，過(guò)做，交于點(diǎn)，如圖所示：由于平面，平面，所以平面，又平面．平面，所以平面平面，平面平面，平面平面，所以，故，由于，所以，則，所以四邊形為正方形，所以，在中，，所以，所以，；（2）在和中，由可得：，滿足，所以，又．又有交于點(diǎn)，所以平面，滿足兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，OC，OD，OP所在的直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是有．設(shè)平面的法向量為，由，取，又，故所求角的正弦值為．19．（23-24高二上·北京順義·月考）如圖，平面，，，，，.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)若點(diǎn)E到平面的距離為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)【解析】（1）因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫矫妫?/p>