高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修三）第02講712弧度制及其與角度制的換算

7.1.2弧度制及其與角度制的換算TOC\o"13"\h\u題型1任意角與弧度制的相關(guān)概念 4題型2角度與弧度的互化 6題型3鐘表中的弧度制計算 11題型4利用弧度制表示終邊相同的角 13題型5利用弧度制表示終邊對稱的角 16題型6弧長公式的應(yīng)用 18題型7扇形面積公式的應(yīng)用 20知識點一.角度制與弧度制的概念1．角度制：(1)定義：用度作為單位來度量角的單位制．(2)1度的角：周角的eq\f(1,360).2．弧度制：(1)定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．(2)1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度，這種用弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制.3.弧度制與角度制的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別（1）單位不同，弧度制以“弧度”為度量單位，角度制以“度”為度量單位；（2）定義不同.聯(lián)系不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關(guān)的定值.知識點二.弧度數(shù)的計算知識點三.角度制與弧度制1.角度與弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)2.一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0知識點四.扇形的弧長與面積公式設(shè)扇形的半徑為，弧長為，或°為其圓心角，則弧長公式與扇形面積公式如下：類別/度量單位角度制弧度制扇形的弧長扇形的面積知識點五.度制下的結(jié)論1.終邊對稱的角的表示：（1）若與的終邊關(guān)于軸對稱，則.（2）若與的終邊關(guān)于軸對稱，則.（3）若與的終邊關(guān)于原點對稱，則.（4）若與的終邊在一條直線上，則.2.終邊相同的角的表示：，前后單位要一致.3.象限角的表示（1）第一象限角的集合：.（2）第二象限角的集合：.（1）第三象限角的集合：.（1）第四象限角的集合：.4.軸線角的表示（1）終邊在軸的非負(fù)半軸上的角的集合為：.（2）終邊在軸的非正半軸上的角的集合為：.（3）終邊在軸上的角的集合為：.（4）終邊在軸的非負(fù)半軸上的角的集合為：.（5）終邊在軸的非正半軸上的角的集合為：.（6）終邊在軸上的角的集合為：.（7）終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為：.題型1任意角與弧度制的相關(guān)概念【方法總結(jié)】對弧度制定義的三點說明(1)不管是以弧度還是度為單位的角的大小，都是一個與半徑的大小無關(guān)的定值．(2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫，如2rad可簡寫為2.(3)用弧度與度去度量同一個角時，除了零角以外，所得到的數(shù)量是不同的．.【例題1】（2022·高一課時練習(xí)）下列說法中，錯誤的是（

）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．1°的角是周角的1360,1radC．1rad的角比1°的角要大D．用弧度制度量角時，角的大小與圓的半徑有關(guān)【答案】D【分析】利用角度和弧度的定義及轉(zhuǎn)化關(guān)系分別進(jìn)行判斷即可.【詳解】根據(jù)角度和弧度的概念可知二者都是角的度量單位，1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的1rad的角是(180無論哪種角的度量方法，角的大小都與圓的半徑無關(guān)，只與角的始邊和終邊的位置有關(guān)，故D錯誤.故選：D【變式11】1.（2021秋·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列敘述中，正確的是（

）A．1弧度是1度的圓心角所對的弧B．1弧度是長度為半徑的弧C．1弧度是1度的弧與1度的角的和D．1弧度是長度等于半徑的弧所對的圓心角，它是角的一種度量單位【答案】D【解析】根據(jù)弧度的定義即可判斷.【詳解】根據(jù)弧度的定義，在單位圓中，長度為1的弧所對的圓心角稱為1弧度角.故選：D．【變式11】2.下列說法正確的是A．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角B．第一象限的角是銳角C．第二象限的角比第一象限的角大D．角是第四象限角，則【答案】D【解析】對于A，三角形的內(nèi)角可以是90°，不正確；對于B，﹣330°是第一象限的角，不是銳角，不正確；對于C，390°是第一象限的角，120°是第二象限的角，不正確；對于D，角α是第四象限角，則2kπ+π2<a<2k【變式11】3.下列說法正確的是()A．1弧度的圓心角所對的弧長等于半徑B．大圓中1弧度的圓心角比小圓中1弧度的圓心角大C．所有圓心角為1弧度的角所對的弧長都相等D．用弧度表示的角都是正角【答案】A【解析】對于A，根據(jù)弧度的定義知，“1弧度的圓心角所對的弧長等于半徑”，故A正確；對于B，大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等，故B錯誤；對于C，不在同圓或等圓中，1弧度的圓心角所對的弧長是不等的，故C錯誤；對于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D錯誤．【變式11】4.下列表示中不正確的是A．終邊在軸上角的集合是，B．終邊在軸上角的集合是C．終邊在坐標(biāo)軸上角的集合是D．終邊在直線上角的集合是【答案】D【解析】對于A，終邊在x軸上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}，故A正確；對于B，終邊在y軸上的角的集合是{α|α＝π2+kπ，k∈Z}，故B正確；對于C，終邊在x軸上的角的集合為{α|α＝kπ，k∈Z}，終邊在y軸上的角的集合為{α|α＝π2+kπ，k∈Z}，故合在一起即為{α|α＝kπ，k∈Z}∪{α|α＝π2+kπ，k∈Z}＝{α|α＝kπ2，k∈Z}，故C正確；對于D，終邊在直線y＝﹣x上的角的集合是{α|α＝3π4+【變式11】5．圓的一條弦的長等于半徑，則這條弦所對的圓周角的弧度數(shù)為()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D.eq\f(π,3)或eq\f(5π,3)【答案】C【解析】設(shè)該弦所對的圓周角為α，則其圓心角為2α或2π－2α，由于弦長等于半徑，所以可得2α＝eq\f(π,3)或2π－2α＝eq\f(π,3)，解得α＝eq\f(π,6)或α＝eq\f(5π,6).題型2角度與弧度的互化【方法總結(jié)】角度與弧度的換算角度化弧度弧度化角度360°=___2πrad______2πrad=360°180°=____πradπrad=___180°1°=1rad=度數(shù)×π弧度數(shù)×180【例題2】（2021秋·高一課時練習(xí)）將下列各弧度換算成角度：①π4=______；②π3=______；③?π=______；④5π3=______；⑤?5π【答案】

45°

60°

?180°

300°

?150°

90°

315°

?120°

115°

360°【分析】根據(jù)弧度和角度的進(jìn)率即可求解：1rad＝180π【詳解】①π4②π3③?π④5π⑤?5⑥π2⑦7π⑧?2⑨2=2×180°⑩2π故答案為：45°，60°，?180°，300°，?150°，90°，315°，?120°，115°，360°.【變式21】1.（2021·高一課時練習(xí)）將下列角度化為弧度，弧度轉(zhuǎn)化為角度(1)780°(2)?1560°(3)67.5°(4)?(5)π(6)7【答案】(1)13π(2)?26(3)3π(4)?600°(5)15°(6)315°【分析】利用π弧度=180°即可得出，即角度化弧度乘以π180，弧度化角度乘以180(1)解：780°=780180×(2)解：?1560°=?1560180×(3)解：67.5°=67.5180π(4)解：?103π(5)解：π12弧度=(6)解：7π4弧度【變式21】2.（2022·全國·高一專題練習(xí)）下列結(jié)論錯誤的是（

）A．－150°化成弧度是?7π6radC．67°30′化成弧度是3π8【答案】A【分析】利用弧度和度的互化公式對選項進(jìn)行逐一驗證即可得出答案.【詳解】對于A，?150°=?150×π對于B，?10對于C，67°30對于D，π12故選：A【變式21】3.（2023·高一課時練習(xí)）弧度制是當(dāng)今數(shù)學(xué)主要的角的單位制，它使進(jìn)位制統(tǒng)一．在古巴比倫以及古希臘時期，數(shù)學(xué)家在研究天文學(xué)問題時，普遍習(xí)慣使用60進(jìn)制對角進(jìn)行度量，為了進(jìn)位制的統(tǒng)一，也用60進(jìn)制度量弦長和弧長．此時，角度制滿足了這種需求，而隨著歷史的發(fā)展，10進(jìn)制取代了60進(jìn)制成了度量長度的主要進(jìn)位制．為了保持進(jìn)位制的統(tǒng)一，自然也將角的進(jìn)位制換成10進(jìn)制．弧度制滿足了這一需求，而且可以與角度制進(jìn)行一一位制表示的數(shù)，便于數(shù)與數(shù)之間的對比，提高解決問題的效率．比如：化弧度制π12為角度制是______，化角度制【答案】

15°

?4【分析】根據(jù)180°對應(yīng)π【詳解】π12?240【變式21】4.（2022秋·山東濟南·高一?？茧A段練習(xí)）二十四節(jié)氣是中華民族上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，是中國農(nóng)歷中表示李節(jié)變遷的24個特定節(jié)令．如圖，每個節(jié)氣對應(yīng)地球在黃道上運動15°所到達(dá)的一個位置．根據(jù)描述，從立冬到立春對應(yīng)地球在黃道上運動所對圓心角的弧度數(shù)為（

）A．?π3 B．π2 C．5π【答案】B【分析】根據(jù)條件得到運行度數(shù)為6×15°，化為弧度即可得解.【詳解】根據(jù)題意，立春是立冬后的第六個節(jié)氣，故從立冬到立春相應(yīng)于地球在黃道上逆時針運行了6×15°=90°，所以從立冬到立春對應(yīng)地球在黃道上運動所對圓心角的弧度數(shù)為π2故選：B【變式21】5.已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq\f(7π,12)，試比較α，β，γ，θ，φ的大小．【解析】α<β<γ<θ＝φ.【變式21】6．（2021·全國·高一專題練習(xí)）角為2弧度角的終邊在第______________象限．（

）A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【分析】根據(jù)題意得到2弧度≈114°36【詳解】2弧度≈114°36故選：B【變式21】7．角的度量制有角度制（1度的角等于周角的1360），弧度制（1弧度的角就是長度等于半徑長的弧所對的圓心角）.其實軍事上角的度量還常用密位制，密位制的單位是密位.1密位等于圓周的16000所對的圓心角的大小，所以360°=6000密位.密位的寫法是在百位上的數(shù)與十位上的數(shù)之間畫一條短線，例如6密位寫成006，478密位寫成478.那么A．350 B．350C．500 D．500【答案】C【分析】利用密位定義把30°【詳解】由已知得30°×6000500密位寫成5?00，故選：C.【變式21】8.（2022秋·甘肅天水·高一天水市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若兩個角的差為1弧度，和為1°，則這兩個角的弧度數(shù)分別為______．【答案】π360+【分析】設(shè)這兩個角的弧度數(shù)分別為α，β，先將1°化為弧度，然后由條件可得方程α?【詳解】設(shè)這兩個角的弧度數(shù)分別為α，β，α>β，因為所以α?β=1α+β=故答案為：π360+題型3鐘表中的弧度制計算【方法總結(jié)】時針一小時轉(zhuǎn)2π/12弧度，所以一分鐘轉(zhuǎn)π/360弧度分針一小時轉(zhuǎn)2π弧度所以一分鐘轉(zhuǎn)2π除以60=π/30弧度【例題3】（2022秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示的時鐘顯示的時刻為4：30，設(shè)半個小時后時針與分針的夾角為α(0<α≤A．11π12 B．5π6 C．【答案】B【分析】由題意，根據(jù)時鐘的特性，結(jié)合弧度制的寫法，可得答案.【詳解】半小時后是5：00整，時針指向5，分針指向12，α=故選：B．【變式31】1.將時鐘的分針撥快，則時針轉(zhuǎn)過的弧度為．【答案】﹣π12【解析】分針撥快30min，是按照順時針方向，得到的角是一負(fù)角，把鐘表撥快30min，時針走過30度的3060，∴時針走過的弧度數(shù)是﹣3060×π6【變式31】2.在1時15分時，時針與分針?biāo)傻淖钚≌鞘腔《龋敬鸢浮?π24【解析】每一小時時針旋轉(zhuǎn)的弧度是2π12＝π6，從12點開始，在1時15分時，時針對應(yīng)的弧度為π6+π6×14＝5π24，分針是在15分，也就是90°，π2【變式31】3．時鐘的分針在1點到3點20分這段時間里轉(zhuǎn)過的弧度為()A.eq\f(14,3)πB．－eq\f(14,3)πC.eq\f(7,18)πD．－eq\f(7,18)π【答案】B【解析】顯然分針在1點到3點20分這段時間里，順時針轉(zhuǎn)過了eq\f(7,3)周，轉(zhuǎn)過的弧度為－eq\f(7,3)×2π＝－eq\f(14,3)π.題型4利用弧度制表示終邊相同的角【例題4】(多選)（2021·全國·高一專題練習(xí)）(多選)下列與9πA．2kπ+45°(k∈Z) B．kC．k·360°?315°(k∈Z) D．2kπ+【答案】CD【解析】根據(jù)角度制與弧度制不可混用，可判定AB錯誤，利用終邊相同角的關(guān)系可以判定CD正確.【詳解】A，B中弧度與角度混用，不正確；9π4=2π+?315°=?360°+45°，所以?315°也與45°終邊相同，即與9π故選：CD.【點睛】本題考查終邊相同的角，難度較易，注意角度制與弧度制不可混用.【變式41】1.（2022秋·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）寫出一個與角?1280°終邊相同的正角：α=【答案】8π9（答案不唯一，符合8π9+2【分析】終邊相同的角之間相差360°k,【詳解】與角?1280°終邊相同的角：α又題目要求正角，∴k≥4,k∈Z,∴α故答案為：8π9（答案不唯一，符合8π9+2【變式41】2.（2022秋·湖南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）將?1665°化成A．?5π4C．5π4?10【答案】D【分析】根據(jù)弧度制和角度制的轉(zhuǎn)化關(guān)系轉(zhuǎn)化即可.【詳解】?1665故選：D.【變式41】3.（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知α1=?570°，α2=750°，(1)將α1，α(2)將β1，β2用角度制表示出來，并在【答案】(1)α1=?4π(2)β1=108°，?612°和?252°；β【分析】（1）直接將角度轉(zhuǎn)化成弧度表示即可；通過周期公式化簡，可求出終邊對應(yīng)象限；（2）將弧度轉(zhuǎn)化成角度即可；通過任意角概念給k賦值，求出在?720°,?180°內(nèi)對應(yīng)角即可.（1）由題意，根據(jù)角度制與弧度制的互化公式，可得α1α2又由α1=?19π6=?4πα2=25π6=4π（2）根據(jù)角度制與弧度制的互化公式，可得β1=3根據(jù)終邊相同角的表示，可得與β1終邊相同的角為θ1=k×360°+108°，k∈Z，當(dāng)k與β2終邊相同的角為θ2=當(dāng)k=?1時，θ因此，在?720°,?180°內(nèi)，與β1終邊相同的角是?612°和?252°，與β2終邊相同的角是【變式41】4．已知α=(1)把α表示成2kπ+β的形式，其中k(2)求θ，使θ與α的終邊相同，且θ∈【答案】(1)α(2)θ【分析】（1）將α直接表示為2kπ+β的形式，其中k（2）設(shè)θ=2518π+2（1）解：α=（2）解：∵α=8π由θ∈?4π,?2π∵n∈Z，則n=?2【變式41】5.（2022春·廣西欽州·高一?？茧A段練習(xí)）已知角α＝﹣920°．(1)把角α寫成2kπ+β（0≤β＜2π，k∈Z）的形式，并確定角α所在的象限；(2)若角γ與α的終邊相同，且γ∈（﹣4π，﹣3π），求角γ．【答案】(1)α＝（﹣3）×2π(2)γ=?【分析】（1）化角度制為弧度制，可得α＝﹣920°＝（﹣3）×2π+8（2）由角γ與α的終邊相同，得γ=2【詳解】（1）∵α＝﹣920°＝﹣3×360°+160°，160°=8∴α＝﹣920°＝（﹣3）×2π∵角α與8π（2）∵角γ與α的終邊相同，∴設(shè)γ=2∵γ∈（﹣4π，﹣3π），由?4π＜2kπ又∵k∈Z，∴k＝﹣2．∴γ=?4【變式41】6．設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(kπ,2)－\f(π,3)，k∈Z))))，N＝{α|－π<α<π}，則M∩N＝____________.【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，－\f(π,3)，\f(π,6)，\f(2π,3)))【解析】由－π<eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)<π，得－eq\f(4,3)<k<eq\f(8,3).因為k∈Z，所以k＝－1,0,1,2，所以M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，－\f(π,3)，\f(π,6)，\f(2π,3))).題型5利用弧度制表示終邊對稱的角【例題5】已知角，，且與終邊關(guān)于軸對稱，則角的取值集合為．【答案】{α|α=kπ2+π4【解析】∵3α與α角的終邊關(guān)于y軸對稱，∴3α+α2=π2+kπ（k∈Z），即4α＝π+2kπ，（k∈z），解得α=【變式51】1.角，的終邊關(guān)于對稱，且，．【答案】2kπ?π6【解析】因為角α，β的終邊關(guān)于x+y＝0對稱，且，所以β的最大負(fù)角為?π6，所以β＝2kπ?π【變式51】2.若角的終邊與角的終邊關(guān)于直線對稱，且，則．【答案】?11π3【解析】∵角α的終邊與π6的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，∴角α的終邊在π∴α＝π3+2kπ，k∈Z．又∵α∈（﹣4π，﹣2π），∴α＝?11π3【變式51】3.已知、，且與關(guān)于軸對稱，則．【答案】2π．【解析】∵α、β∈（0，2π），且α與β關(guān)于x軸對稱，∴若α＝π2，則β＝3π若α＝π，則β＝π，則α+β＝2π，若α＝3π2，則β＝π2，則α+β＝2π，若0＜α＜π2，則β＝﹣α+2π，即α+β＝2π，若π2＜α＜π，則β＝﹣α+2π，即α+β＝2π，若π＜α＜【變式51】4．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中角所表示的范圍(陰影部分)是()【答案】C【解析】k為偶數(shù)時，集合對應(yīng)的區(qū)域為第一象限內(nèi)直線y＝x左上部分(包含邊界)，k為奇數(shù)時集合對應(yīng)的區(qū)域為第三象限內(nèi)直線y＝x的右下部分(包含邊界)．故選C.題型6弧長公式的應(yīng)用【方法總結(jié)】扇形的弧長和面積的求解策略(1)記公式：弧度制下扇形的面積公式是S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2(其中l(wèi)是扇形的弧長，R是扇形的半徑，α是扇形圓心角的弧度數(shù)，0<α<2π)．(2)找關(guān)鍵：涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計算問題，關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量，然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解．【例題6】（2022秋·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)校考期末）已知扇形的弧長為5π3【答案】5π【分析】由弧長的計算公式代入即可得出答案.【詳解】此扇形的圓心角的弧度數(shù)是5π3故答案為：5π6【變式61】1.已知半徑為的扇形，它的周長等于弧所在半圓的弧長，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為．【答案】π﹣2．【解析】設(shè)扇形的圓心角是θrad，因為扇形的弧長是rθ，所以扇形的周長是2r+rθ．依題意得2r+rθ＝πr，解得θ＝π﹣2．【變式61】2.已知的圓心角所對的弧長等于，則該圓的半徑為．【答案】45π【解析】圓心角200°＝200×π180＝10π9，∵弧長為50＝10π9r，∴r＝45π（cm【變式61】3.已知圓中一段弧的長正好等于該圓的外切正三角形的邊長，那么這段弧所對的圓心角的弧度數(shù)為．【答案】23【解析】如圖所示，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與邊BC相切于點D，其圓心為O點，半徑r＝1．連接OB，則OB平分∠ABC，∴∠OBD＝30°．在△BOD中，BC2＝BD＝OD解得BC＝23．∵圓中一段弧長正好等于該圓的外切正三角形的邊長，∴這段弧所對的圓心角的弧度數(shù)為2【變式61】4.（2022秋·廣東廣州·高一廣東實驗中學(xué)?？计谀┕糯娜四团c丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環(huán)、已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長為48cm，內(nèi)弧線的長為16cm，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段均為20cm，則該扇形的中心角的弧度數(shù)為____________.【答案】8【分析】根據(jù)扇形弧長與扇形的中心角的弧度數(shù)α的關(guān)系，求得OC=8cm【詳解】依題意，如圖，弧AB的長為l1=48cm，弧CD的長為l2設(shè)扇形的中心角的弧度數(shù)為α，則l1所以O(shè)AOC=α因為AC=20cm，又AC=OA所以該扇形的中心角的弧度數(shù)α=故答案為：85.題型7扇形面積公式的應(yīng)用【方法總結(jié)】扇形的弧長和面積的求解策略(1)記公式：弧度制下扇形的面積公式是S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2(其中l(wèi)是扇形的弧長，R是扇形的半徑，α是扇形圓心角的弧度數(shù)，0<α<2π)．(2)找關(guān)鍵：涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計算問題，關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量，然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解．【例題7】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知扇形的周長為6，圓心角為1rad，則該扇形的面積為__________．【答案】2【分析】設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，然后根據(jù)已知建立方程求出l，r，進(jìn)而可以求解．【詳解】解：設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，則l+2r=6，且lr=1所以扇形面積為S=故答案為：2．【變式71】1.弧長為，圓心角為2弧度的扇形，其面積為，則．【答案】2【解析】扇形的半徑R＝1α＝12，則扇形的面積S＝12lR＝12×1×1【變式71】2.（2022秋·浙江紹興·高一浙江省新昌中學(xué)?？计谀┪覈糯鷶?shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中《方田》章有弧田面積計算問題，計算術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是，弧田面積計算公式為：弧田面積=12×（弦×矢+矢2）.如圖所示的弧田由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”指圓弧頂?shù)较业木嚯x（等于半徑長與圓心到弦的距離之差），現(xiàn)有一圓弧所對圓心角為2π【答案】4【分析】由條件根據(jù)弧長公式求半徑，解直角三角形可得弦、矢的值，求出弧田面積.【詳解】如圖：由題意可得∠AOB=2π3，弧所以O(shè)A?2π3在Rt△AOD中，可得∠AOD=π3，∠由AD=AOsin所以弧田面積=12（弦×矢+矢故答案為：43【變式71】3.（2022秋·江蘇常州·高一華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在東方設(shè)計中，存在著一個名為“白銀比例”的理念，這個比例為2：1，它在東方文化中的重要程度不亞于西方文化中的“黃金分割比例”，傳達(dá)出一種獨特的東方審美觀.折扇紙面可看作是從一個扇形紙面中剪下小扇形紙面制作而成（如圖）.設(shè)制作折扇時剪下小扇形紙面面積為S1，折扇紙面面積為S2A．4?2 B．C．4?2 D．【答案】B【分析】設(shè)原扇形半徑為x，剪下小扇形半徑為y，∠AOB【詳解】由題意，如圖所示，設(shè)原扇形半徑為x，剪下小扇形半徑為y，∠AOB則小扇形紙面面積S1=1由于S1所以2×即得x2解得xy=2故選：B．【變式71】4．（2022秋·重慶云陽·高一重慶市云陽高級中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖是杭州2022年第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”，形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發(fā)展.如圖是會徽的幾何圖形.設(shè)弧AD的長度是l1，弧BC的長度是l2，幾何圖形ABCD面積為S1，扇形BOC面積為S2，若【答案】8【分析】由弧長比可得|OA【詳解】解：.因為l1所以|OA又因為S扇形所以S扇形所以S扇形故答案為：8【變式71】5．（重慶市20222023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知某扇形材料的面積為3π2，圓心角為π【答案】2π【分析】根據(jù)條件求出扇形半徑r，設(shè)割出的圓半徑為a，圓心為C，由r=CO+【詳解】設(shè)扇形所在圓半徑為r，∴1如圖：設(shè)割出的圓半徑為a，圓心為C，∴CO=r=3=CO+所以最大的圓周長為2π.故答案為：2π【變式71】6.（2023·高一課時練習(xí)）若扇形的周長是一定值C厘米（C>0）．求證：該扇形面積有最大值，并求出面積最大時圓心角α【答案】證明見解析，α【分析】先設(shè)出扇形得弧長和半徑，利用扇形的弧長、半徑與周長的關(guān)系以及弧長、半徑與面積的關(guān)系建立等式求解即可.【詳解】設(shè)該扇形的弧長為l，半徑為r，則有C=l+2所以扇形面積S=