人教A版高中數(shù)學必修第二冊第六章平面向量及其應(yīng)用章末質(zhì)量評估檢測（六）含答案

章末質(zhì)量評估(六)(時間:120分鐘分值:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.在?ABCD中,若AD=(2,8),AB=(-3,4),則AC=()A.(-1,-12) B.(-1,12)C.(1,-12) D.(1,12)解析:因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以AC=AB+AD=(-1,12).答案:B2.在△ABC中,若A=π3,BC=3,AB=6,則C=()A.π4或B.3πC.π4D.π解析:由BCsinA=ABsinC因為BC=3,AB=6,所以A>C,所以C為銳角,所以C=π4答案:C3.若四邊形ABCD滿足AB+CD=0,(AB-AD)·AC=0,則該四邊形一定是()A.正方形 B.矩形C.菱形 D.直角梯形解析:因為AB+CD=0,即AB=DC,所以四邊形ABCD為平行四邊形.因為(AB-AD)·AC=0,即DB·AC=0,所以DB⊥AC,所以該四邊形一定是菱形.答案:C4.已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點,則AP·AB的取值范圍是()A.(-2,6) B.(-6,2)C.(-2,4) D.(-4,6)答案:A5.(2024·廣東陽江模擬)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),滿足(8a-b)·c=30,則x=()A.6 B.2C.4 D.3解析:根據(jù)題意,向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),則8a-b=(6,3),若(8a-b)·c=30,則(8a-b)·c=18+3x=30,解得x=4.答案:C6.在△ABC中,若AB=BC=3,∠ABC=60°,AD是邊BC上的高,則AD·AC的值等于()A.-94B.9C.274D.9解析:分別以BC,AD所在直線為x軸,y軸建立平面直角坐標系如圖所示.根據(jù)已知條件可求得A,C,D三點坐標:A(0,332),D(0,0),C(32所以AD=(0,-332,AC=(32,-所以AD·AC=274答案:C7.在△ABC中,a,b,c分別為A,B,C的對邊,如果2b=a+c,B=30°,△ABC的面積為32,那么b等于()A.1+3B.1+32+2D.23解析:因為S△ABC=12acsinB=32,所以ac=因為b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accos30°=4b2-12-63,所以b2=4+23,所以b=1+3.答案:B8.如圖,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°,與O相距15nmile的C處.若甲船以35nmile/h的速度沿直線CB去營救位于中心O正東方向25nmile的B處的乙船,則甲船到達B處需要的時間為()12h1h32h2h解析:在△OBC中,由余弦定理,得CB2=CO2+OB2-2CO·OBcos∠BOC=152+252+15×25=352,因此CB=35nmile,3535=1(h),因此甲船到達B處需要的時間為1h答案:B二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.若O是平行四邊形ABCD對角線的交點,則()A.AB=DCB.DA+DC=DBC.AB-AD=BDD.OB=12(DA+BA答案:AB10.在△ABC中,若a=52,c=10,A=30°,則B可能是()A.135° B.105°C.45° D.15°答案:BD11.已知向量e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=λ1e1+λ2e2,則使λ1λ2<0成立的a可能是()A.(1,0) B.(0,1)C.(-1,0) D.(0,-1)答案:AC三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.在△ABC中,若3a2-2ab+3b2-3c2=0,則cosC的值為13解析:由3a2-2ab+3b2-3c2=0,得c2=a2+b2-23根據(jù)余弦定理,得cosC=a2+b2-所以cosC=1313.若向量OA=(1,-3),|OA|=|OB|,OA·OB=0,則|AB|=25.解析:因為OA=(1,-3),所以|OA|=10=|OB|.因為OA·OB=0,所以∠AOB=90°,所以△AOB為等腰直角三角形,所以|AB|=2|OA|=25.14.(本題第一空2分,第二空3分)(2024·廣東廣州模擬)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=4,BC=2,∠ABC=60°,動點E和F分別在線段BC和DC上,且BE=λBC,DF=19λDC,當λ=23時,則AE·解析:在等腰梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=4,BC=2,∠ABC=60°,易得DC=2,則AB·AD=4×2×12=4,又BE=λBC,DF=19λDC,則AE=AB+BE=AB+λBC=AB+λ(AC-AB)=AB+λAD+12AB-AB=1-λ2AB+λAD,AF=AD+DF=118λAB+AD,則AE·AF=1-λ2×118λ×16+4λ+4118+1-λ2=2λ+89λ+349,又2λ+89λ+349≥22λ×89λ+34四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)(2024·新高考全國Ⅱ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+3cosA=2.(1)求A;(2)若a=2,2bsinC=csin2B,求△ABC的周長.解:(1)因為sinA+3cosA=2,所以2sinA+π3=2,即sinA+π3=1,由A為三角形內(nèi)角,得A+π3=π2,即A=π6(2)因為2bsinC=csin2B,所以2bsinC=2csinB·cosB,由正弦定理可得2bc=2bccosB,可得cosB=22,又B∈(0,π),所以B=π4,C=π-A-B=712π,在△ABC中,由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=212=4,所以b=4sinB=22,c=4sinC=4sin7π12=4sinπ4+π3=6+216.(15分)如圖,在平面直角坐標系中,|OA|=2|AB|=2,∠OAB=2π3,BC=(-1,3)(1)求點B,C的坐標;(2)求證:四邊形OABC為等腰梯形.(1)解:設(shè)點B的坐標為(xB,yB),則xB=|OA|+|AB|·cos(π-∠OAB)=52,yB=|AB|·sin(π-∠OAB)=3所以O(shè)C=OB+BC=52,32+(-1,3)=32,332所以點B的坐標為52,32,點C的坐標為32,332(2)證明:因為OC=32,332,AB=12,32所以O(shè)C=3AB,所以O(shè)C∥AB.因為BC=(-1,3),所以|BC|=2.因為|OC|≠|(zhì)AB|,|OA|=|BC|=2,所以四邊形OABC為等腰梯形.17.(15分)在四邊形ABCD中,已知AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3),BC∥DA.(1)求x與y的解析式;(2)若AC⊥BD,求x,y的值以及四邊形ABCD的面積.解:如圖所示.(1)因為AD=AB+BC+CD=(x+4,y-2),所以DA=-AD=(-x-4,2-y).因為BC∥DA,BC=(x,y),所以x(2-y)-(-x-4)y=0,即x+2y=0.(2)由題意,得AC=AB+BC=(x+6,y+1),BD=BC+CD=(x-2,y-3).因為AC⊥BD,所以AC·BD=0,即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.由(1)可知x=-2y,所以y2-2y-3=0,所以y=3或y=-1.當y=3時,x=-6,此時,BC=(-6,3),AC=(0,4),BD=(-8,0),所以|AC|=4,|BD|=8,所以S四邊形ABCD=12|AC||BD|=16當y=-1時,x=2,此時,BC=(2,-1),AC=(8,0),BD=(0,-4).所以|AC|=8,|BD|=4,S四邊形ABCD=16.綜上可知x=-S四邊形ABCD=16.18.(17分)在邊長為1的菱形ABCD中,A=60°,E是線段CD上一點,滿足|CE|=2|DE|,如圖所示,設(shè)AB=a,AD=b.(1)用a,b表示BE.(2)在線段BC上是否存在一點F,滿足AF⊥BE?若存在,確定點F的位置,并求|AF|;若不存在,請說明理由.解:(1)根據(jù)題意,得BC=AD=b,CE=23CD=23BA=-2所以BE=BC+CE=b-23(2)結(jié)論:在線段BC上存在使得4|BF|=|BC|的一點F,滿足AF⊥BE,此時|AF|=214求解如下:設(shè)BF=tBC=tb,則FC=(1-t)b(0≤t≤1),所以AF=AB+BF=a+tb.因為在邊長為1的菱形ABCD中,A=60°,所以|a|=|b|=1,a·b=|a||b|cos60°=12因為AF⊥BE,所以AF·BE=(a+tb)·（b-23a）=（1-23t）a·b-23a2+tb2=（1-23t）×1解得t=14,所以AF=a+14所以|AF|=AF2=a1+12×19.(17分)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,且滿足sinA+3cosA=2.(1)求角A的大小.(2)現(xiàn)給出三個條件:①a=2;②B=π4;③c=3b.試從中選出兩個可以確定△A