湖北省武漢市2024屆高三下學(xué)期5月模擬訓(xùn)練數(shù)學(xué)試卷 含解析

第1頁/共1頁武漢市2024屆高三年級五月模擬訓(xùn)練試題數(shù)學(xué)試卷武漢市教育科學(xué)研究院命制2024.5.21本試題卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马棧?.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)交集為空集，即可求解.【詳解】由于，所以，故選：A2.已知向量，，則在上的投影向量的模為（）A. B.1 C.0 D.【答案】C【解析】【分析】求出，根據(jù)投影向量的概念求出向量在向量方向上的投影向量，根據(jù)模的計算公式，即可求得答案.【詳解】由題意知向量，，則，故向量在上的投影向量為，故向量在向量方向上的投影向量的模為.故選：C3.設(shè)拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線相交于，兩點，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】聯(lián)立方程得韋達定理，即可根據(jù)焦點弦公式求解.【詳解】由得，，由題意可知直線的斜率存在，故設(shè)其方程為，聯(lián)立與可得，設(shè)，則，故，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選：C4.已知一組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)上四分位數(shù)的定義將條件轉(zhuǎn)化為中第二大的數(shù)是，再求解.【詳解】在五個數(shù)中，上四分位數(shù)為第二大的數(shù)，故中第二大的數(shù)是，所以.故選：C.5.若，則（）A.180 B. C. D.90【答案】A【解析】【分析】由寫出其通項公式，依題意對賦值即可求得.【詳解】因，其二項展開式的通項為：，而是的系數(shù)，故只需取，得，即.故選：A.6.已知菱形，，將沿對角線折起，使以四點為頂點的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】當(dāng)三棱錐的體積最大時，平面平面，以E為原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示可解.【詳解】記的中點分別為，因為，所以，同理，，記，因為，所以，所以，，易知，當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積最大，此時，以E為原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C7.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，記事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列說法不正確的是（）A.當(dāng)時， B.當(dāng)時，事件與事件不獨立C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，事件與事件不獨立【答案】D【解析】【分析】分和的情況分別考慮四個選項.【詳解】當(dāng)時，表示一正一反，故，故A正確；此時，，，故B正確；當(dāng)時，表示并非每次都是正面朝上，故，故C正確；此時，，，所以，故D錯誤.故選：D.8.在三角形中，角，，的對邊分別為，，且滿足，，則面積取最大值時，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)條件，結(jié)合正、余弦定理，得到角的關(guān)系，再用角的三角函數(shù)表示的面積，換元，利用導(dǎo)數(shù)的分析面積最大值，對應(yīng)的角的三角函數(shù)值，再利用角的關(guān)系，求.【詳解】因為，又由余弦定理：，所以，所以.由正弦定理得：，所以或（舍去），故.因為，所以.由正弦定理：.所以.因為，所以.設(shè)，.則，由，由，所以在上單調(diào)遞增，在上遞減，所以當(dāng)時，有最大值.即當(dāng)時，的面積最大.此時故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題用到了三倍角公式，因為有些教材不講這個公式，所以該公式的記憶或推導(dǎo)在該題中就格外重要.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.已知（，，）的部分圖象如圖所示，則（）A. B.最小正周期為C.在內(nèi)有3個極值點 D.在區(qū)間上的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的部分圖象求得，，值，可得函數(shù)解析式，進而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可逐一判斷得解.【詳解】對于AB，根據(jù)函數(shù)的部分圖象知，，，，故AB正確，對于C，由五點法畫圖知，，解得，由于，所以，.令，則，時，，時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在內(nèi)有2個極值點，分別為，，故C錯誤，對于D，，可得：，故當(dāng)此時取最大值，故D正確.故選：ABD.10.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓，圓，為圓上任意一點，為橢圓上任意一點.過作橢圓的兩條切線，，當(dāng)，與坐標(biāo)軸不垂直時，記兩切線斜率分別為，，則（）A.橢圓的離心率為 B.的最小值為1C.的最大值為 D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷選項A，再由兩點間距離，判斷BC，利用切線方程的斜率和韋達定理求解判斷選項D.【詳解】對于A，根據(jù)題意，，則，故，故A正確；對于BC，設(shè)，則，而圓的圓心，半徑為，則，因為，所以，則，所以，即，所以的最小值為，最大值為，故B錯誤，C正確；對于D，設(shè)，過點的直線方程為：，聯(lián)立，，根據(jù)直線與橢圓的相切，則，化簡可得，，可知是方程的兩個根，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故D錯誤.故選：AC11.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為B.C.若方程有6個不等實數(shù)根，則D對任意正實數(shù)，且，若，則【答案】BCD【解析】【分析】對于A，分析導(dǎo)函數(shù)即得遞減區(qū)間，不能用“并”連接；對于B，由推理得，利用函數(shù)單調(diào)性比較即得；對于C，分析函數(shù)的奇偶性，分段討論函數(shù)的單調(diào)性和圖象趨勢，得圖象簡圖，結(jié)合圖象判斷兩函數(shù)交點個數(shù)即得；對于D，設(shè)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性得出即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，，對于A，由可得或，由可得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，故A錯誤；對于B，由A得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因，，故，即B正確；對于C，易知偶函數(shù)，當(dāng)時，，由A項知，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，增區(qū)間為.又當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，，故函數(shù)的圖象如圖所示.由圖可得，直線與函數(shù)有6個不同交點，等價于，故C正確；對于D，由圖，不妨設(shè)，由可得，即，不妨取，設(shè)，則，則當(dāng)時，，故，在上單調(diào)遞增，又，又，，即.因，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，因，故得，即，故D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查函數(shù)的零點和單調(diào)性應(yīng)用,屬于難題.解決該題的關(guān)鍵，在于對函數(shù)的圖象性質(zhì)的探求，通過奇偶性單調(diào)性判斷，作出簡圖，利用函數(shù)零點與方程的根、兩函數(shù)的圖象交點的關(guān)系轉(zhuǎn)化解決；同時要根據(jù)待證不等式特征，設(shè)法構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù)，利用該函數(shù)的單調(diào)性實現(xiàn)相關(guān)量的比較即得.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由條件得，所求式消元后化成，結(jié)合點的軌跡圖形特征，求得的范圍，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即得的最小值.【詳解】設(shè)，由兩邊平方整理得：，即而，作出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡的圖形如圖.易得，因在定義域內(nèi)為增函數(shù)，故，即當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值.故答案為:.13.已知，則______.【答案】##0.875【解析】【分析】根據(jù)弦切互化可得，平方得，即可根據(jù)完全平方求解.【詳解】由得，平方可得，故，，故答案為：14.已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為，其內(nèi)切球的半徑為1，則該正四棱臺的體積為______.【答案】##【解析】【分析】依題意作出棱臺的軸截面，利用切線長定理和射影定理求出上下底面邊長，代入棱臺的體積公式計算即得.【詳解】如圖，作出正四棱臺的軸截面,設(shè)上底面邊長為，則下底面邊長為，則，,故,在中，,則由射影定理，得，解得，于是棱臺的上底面面積為，下底面面積為，高為2，故該正四棱臺的體積為：.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知.（1）求并寫出的表達式；（2）證明：.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）直接求導(dǎo)并令可得，再代入原表達式即可；（2）構(gòu)造函數(shù)并用導(dǎo)數(shù)證明，然后利用即可.【小問1詳解】由有，取得到，解得.將代入可得.【小問2詳解】設(shè)，則，故當(dāng)時，當(dāng)時.所以在上遞減，在上遞增，故.從而.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于使用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，屬于常規(guī)題.16.如圖，已知四棱錐中，平面，四邊形中，，，，，，點在平面內(nèi)的投影恰好是△的重心．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過線線垂直先證明平面，即可由線面垂直證明面面垂直；（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，即可由向量法求得線面角的正弦值.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，因為，所以，因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面，所以平面平面．【小問2詳解】取中點，連接，因為，，，，所以四邊形是矩形，所以，因為平面，所以，，所以、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，，，，，設(shè)，則，，，，因為點在平面內(nèi)的投影恰好是△的重心，所以，所以，所以，，又，，令，因為，，所以是平面的法向量，的方向向量是，所以直線與平面所成角的正弦值為.故直線與平面所成角的正弦值為.17.已知雙曲線，直線與雙曲線交于，兩點，直線與雙曲線交于，兩點.（1）若直線經(jīng)過坐標(biāo)原點，且直線，的斜率，均存在，求；（2）設(shè)直線與直線的交點為，且，證明：直線與直線的斜率之和為0.【答案】（1）1（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點斜率公式，結(jié)合點差法即可求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達定理，即可根據(jù)向量的坐標(biāo)運算得數(shù)量積,,進而根據(jù)等量關(guān)系化簡即可求解.【小問1詳解】當(dāng)直線經(jīng)過坐標(biāo)原點時，，兩點關(guān)于原點對稱.設(shè)，，，于是，.因，，三點都在雙曲線，所以，兩式作差，，所以.【小問2詳解】已知，由題意可知均有斜率，可設(shè)直線，直線，，，，.，.聯(lián)立直線方程與雙曲線的方程：.整理得，，當(dāng)時，.，.于是，同理可得，.因為，所以整理得，，而，所以.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的范圍或最值或定值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用．另外在解析幾何中還要注意向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運算.18.某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件，其質(zhì)量指標(biāo)介于的為優(yōu)品.技術(shù)改造前，該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布；技術(shù)改造后，該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布.附：若，取，.（1）求該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差；（2）若該零件生產(chǎn)的控制系統(tǒng)中每個元件正常工作的概率都是，各個元件能否正常工作相互獨立，如果系統(tǒng)中有超過一半的元件正常工作，系統(tǒng)就能正常工作.系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性.①若控制系統(tǒng)原有個元件，計算該系統(tǒng)的可靠性，并判斷若給該系統(tǒng)增加一個元件，可靠性是否提高？②假設(shè)該系統(tǒng)配置有個元件，若再增加一個元件，是否一定會提高系統(tǒng)的可靠性？請給出你的結(jié)論并證明.【答案】（1）（2）①可靠性為，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高；②當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.【解析】【分析】（1）直接根據(jù)題目條件及給定的正態(tài)分布數(shù)據(jù)求解；（2）利用二項分布的概率性質(zhì)求解可靠性，并比較不同的取值下可靠性的大小關(guān)系即可，當(dāng)然也可以采取其它的思路求解.【小問1詳解】技術(shù)改造前，易知，，則其優(yōu)品率為；技術(shù)改造后，，，則其優(yōu)品率為.所以優(yōu)品率之差為.【小問2詳解】①記為原系統(tǒng)中正常工作元件個數(shù)，為增加一個元件后正常工作元件個數(shù).由條件知，，.，.因為，所以可靠性提高.②方法一：根據(jù)上一問的假設(shè)，易知，.當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，.所以，，這說明可靠性降低.當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，.所以，，這說明可靠性提高.綜上，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.方法二：當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，于是，，這說明可靠性降低.當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，于是，.這說明可靠性提高.綜上，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.方法三：設(shè)兩兩獨立且均服從二項分布，記，則該系統(tǒng)配置有個元件時，系統(tǒng)的可靠性為.則，且.這就得到，.這表明，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.注意到服從二項分布，故.進行完以上準(zhǔn)備工作后，我們回到原題.①若控制系統(tǒng)原有個元件，則系統(tǒng)的可靠性為.而是偶數(shù)，所以增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高；②根據(jù)上面的結(jié)論，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第2小問②的結(jié)果本質(zhì)上是因為：當(dāng)是偶數(shù)時，若添加一個元件，那么要求的正常工作的元件的最小數(shù)量不變，還是，但是元件多了一個，所以正常工作的元件數(shù)目必然有更大的機會達到要求的值，所以可靠性一定更大了；而當(dāng)是奇數(shù)時，若添加一個元件，那么要求的未能正常工作的元件的最大數(shù)量不變，還是，但是元件多了一個，所以未能正常工作的元件數(shù)目必然有更大的機會突破允許的最大值，所以可靠性一定更小了.第2小問的方法三的關(guān)鍵在于：構(gòu)造一列獨立同分布隨機變量來比較不同的概率，相比構(gòu)造單個二項分布隨機變量，構(gòu)造一列獨立同分布隨機變量會更加便于比較不同的