江蘇省蘇州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

蘇州市2023~2024學(xué)年第二學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研卷高一數(shù)學(xué)2024.6注意事項(xiàng)學(xué)生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：1.本卷共4頁，包含單項(xiàng)選擇題（第1題~第8題）?多項(xiàng)選擇題（第9題~第11題）?填空題（第12題~第14題）?解答題（第15題~第19題）.本卷滿分150分，答題時間為120分鐘.答題結(jié)束后，請將答題卡交回.2.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名?調(diào)研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置.3.請?jiān)诖痤}卡上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效.作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆.請注意字體工整，筆跡清楚.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.22.（）A. B. C. D.3.某射擊運(yùn)動員射擊6次，命中的環(huán)數(shù)如下：7，9，6，9，10，7，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說法正確的是（）A.極差為10 B.中位數(shù)為7.5 C.平均數(shù)為8.5 D.標(biāo)準(zhǔn)差為4.某科研單位對ChatGPT的使用情況進(jìn)行滿意度調(diào)查，在一批用戶的有效問卷（用戶打分在50分到100分之間的問卷）中隨機(jī)抽取了100份，按分?jǐn)?shù)進(jìn)行分組（每組為左閉右開的區(qū)間），得到如圖所示的頻率分布直方圖，估計(jì)這批用戶問卷的得分的第百分位數(shù)為（）A.78.5 B.82.5 C.85 D.87.55.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B. C. D.6.已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則7.在中，已知，則的形狀一定為（）A等腰三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.鈍角三角形8.長篇評彈《玉蜻蜓》在江南可謂家喻戶曉，是蘇州評彈一顆明珠.為了讓更多年輕人走近評彈?愛上經(jīng)典，蘇州市評彈團(tuán)在保留原本精髓的基礎(chǔ)上，打造了《玉蜻蜓》精簡版，將長篇壓縮至三場，分別是《子歸》篇?《認(rèn)母》篇?《歸宗》篇.某班級開展對《玉蜻蜓》的研究，現(xiàn)有三位學(xué)生隨機(jī)從三篇中任意選一篇研究，記“三人都沒選擇《子歸》篇”為事件M，“至少有兩人選擇的篇目一樣”為事件N，則下列說法正確的是（）A.M與N互斥 B. C.M與N相互獨(dú)立 D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增10.已知復(fù)數(shù)，，，則下列說法正確有（）A. B.若，則C.若，則 D.若且，則11.如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，，，的中點(diǎn)，則（）A.平面 B.平面C.點(diǎn)，到平面距離相等 D.平面截該正方體所得截面的面積為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)向量，，，若，則實(shí)數(shù)λ的值為___________.13.在直角三角形ABC中，已知CH為斜邊AB上的高，，，現(xiàn)將沿著CH折起，使得點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)，且平面平面ACH，則三棱錐的外接球的表面積為___________.14.在中，已知，則的最大值為___________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，已知底面ABCD為矩形，底面ABCD，，E，F(xiàn)，G分別為線段AD，BC，PB的中點(diǎn).（1）求證：平面PBC；（2）求證：平面AFG.16.一個袋子中有大小和質(zhì)地均相同的四個球，其中有兩個紅球（標(biāo)號為1和2），一個黑球（標(biāo)號為3），一個白球（標(biāo)號為4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出兩個球.設(shè)事件“第一次摸到紅球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的兩個球恰為一個紅球和一個白球”.（1）用數(shù)組表示可能的結(jié)果，是第一次摸到的球的標(biāo)號，是第二次摸到的球的標(biāo)號，試用集合的形式寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）分別求事件A，B，C發(fā)生的概率；（3）求事件A，B，C中至少有一個發(fā)生的概率.17.如圖，在平面四邊形ABCD中，已知AC與BD交于點(diǎn)E，且E是線段BD的中點(diǎn)，是邊長為1的等邊三角形.（1）若，求線段AE的長；（2）若且，求.18.如圖，在平行四邊形中，已知，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.記.（1）若，求線段EF的長；（2）若，設(shè)，求實(shí)數(shù)和值；（3）若與交于點(diǎn)，，求向量與的夾角的余弦值.19.如圖，在四棱柱中，已知側(cè)面為矩形，，，，，，，.（1）求證：平面平面；（2）求證：平面平面；（3）若三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角的余弦值.蘇州市2023~2024學(xué)年第二學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研卷高一數(shù)學(xué)2024.6注意事項(xiàng)學(xué)生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：1.本卷共4頁，包含單項(xiàng)選擇題（第1題~第8題）?多項(xiàng)選擇題（第9題~第11題）?填空題（第12題~第14題）?解答題（第15題~第19題）.本卷滿分150分，答題時間為120分鐘.答題結(jié)束后，請將答題卡交回.2.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名?調(diào)研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置.3.請?jiān)诖痤}卡上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效.作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆.請注意字體工整，筆跡清楚.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的商的運(yùn)算法則求得，進(jìn)而可求.【詳解】，則.故選：B.2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式與兩角差的正弦公式化簡求值.【詳解】.故選：A.3.某射擊運(yùn)動員射擊6次，命中的環(huán)數(shù)如下：7，9，6，9，10，7，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說法正確的是（）A.極差為10 B.中位數(shù)為7.5 C.平均數(shù)為8.5 D.標(biāo)準(zhǔn)差為【答案】D【解析】【分析】利用極差、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的定義，根據(jù)條件逐一對各個選項(xiàng)分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】某射擊運(yùn)動員射擊6次，命中的環(huán)數(shù)從小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，對A，極差為，故A錯誤；對B，中位數(shù)為，故B錯誤；對C，平均數(shù)為，故C錯誤；對D，標(biāo)準(zhǔn)差，故D正確.故選：D4.某科研單位對ChatGPT的使用情況進(jìn)行滿意度調(diào)查，在一批用戶的有效問卷（用戶打分在50分到100分之間的問卷）中隨機(jī)抽取了100份，按分?jǐn)?shù)進(jìn)行分組（每組為左閉右開的區(qū)間），得到如圖所示的頻率分布直方圖，估計(jì)這批用戶問卷的得分的第百分位數(shù)為（）A.78.5 B.82.5 C.85 D.87.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以第百分位?shù)位于，設(shè)為，則，解得.故選：B5.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理求出，即可求出.【詳解】由正弦定理，則，又，所以，所以，所以.故選：C6.已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.【詳解】對于A：若，，則或，又，則或與相交，故A錯誤；對于B：若，，則或，又，則或與相交，故B錯誤；對于C：若，，則，又，則與平行或異面，故C錯誤；對于D：若，，則或，若，則在平面內(nèi)存在直線，使得，又，則，又，所以；若，又，所以；綜上可得，由，，，可得，故D正確.故選：D7.在中，已知，則的形狀一定為（）A.等腰三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.鈍角三角形【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式及正弦定理將角化邊，即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?，所以，由正弦定理可得，所以為直角三角?故選：C8.長篇評彈《玉蜻蜓》在江南可謂家喻戶曉，是蘇州評彈的一顆明珠.為了讓更多年輕人走近評彈?愛上經(jīng)典，蘇州市評彈團(tuán)在保留原本精髓的基礎(chǔ)上，打造了《玉蜻蜓》精簡版，將長篇壓縮至三場，分別是《子歸》篇?《認(rèn)母》篇?《歸宗》篇.某班級開展對《玉蜻蜓》的研究，現(xiàn)有三位學(xué)生隨機(jī)從三篇中任意選一篇研究，記“三人都沒選擇《子歸》篇”為事件M，“至少有兩人選擇的篇目一樣”為事件N，則下列說法正確的是（）A.M與N互斥 B. C.M與N相互獨(dú)立 D.【答案】B【解析】【分析】計(jì)算事件M和事件N的概率，由互斥事件的性質(zhì)和相互獨(dú)立事件的定義，對選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】三個人隨機(jī)選三篇文章研究，樣本空間共種，事件M：“三人都沒選擇《子歸》篇”共有：，所以，事件N：“至少有兩人選擇的篇目一樣”共有種，所以，，所以M與N不互斥，A錯誤，D錯誤；事件MN共有種，所以，B正確；因?yàn)?，所以C錯誤.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BD【解析】【分析】利用二倍角公式及兩角和的正弦公式化簡，在根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以的最小正周期，故A錯誤；因?yàn)?，所以，故B正確；因?yàn)椋缘膱D象不關(guān)于直線對稱，故C錯誤；當(dāng)，則，又在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BD10.已知復(fù)數(shù)，，，則下列說法正確的有（）A B.若，則C.若，則 D.若且，則【答案】ACD【解析】【分析】A項(xiàng)，表達(dá)出和，即可得出相等；B項(xiàng)，作出示意圖即可得出結(jié)論；C項(xiàng)，寫出和的表達(dá)式，利用得出兩復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的關(guān)系，即可得出結(jié)論；D項(xiàng)，對進(jìn)行化簡即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)A項(xiàng)，，，∴,A正確；B項(xiàng)，當(dāng)時，若兩復(fù)數(shù)是虛數(shù)，不能比較大小，B錯誤；C項(xiàng)，，，，當(dāng)時，，，∴，任取，或，任取，即至少有一個為0∴（其中至少有兩項(xiàng)為0），C正確；D項(xiàng)，∵，∴，∵，∴，即，D正確；故選：ACD.11.如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，，，的中點(diǎn)，則（）A.平面 B.平面C.點(diǎn)，到平面的距離相等 D.平面截該正方體所得截面的面積為【答案】ACD【解析】【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，即可得到正六邊形為平面截該正方體所得截面，求出截面面積，即可判斷D；根據(jù)線面垂直的判定定理說明A，證明平面，即可說明B，根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷D.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、、、、、、、，則，，，所以，所以、、、四點(diǎn)共面，又，所以、、、四點(diǎn)共面，同理可證，所以、、、四點(diǎn)共面，正六邊形為平面截該正方體所得截面，又，所以，故D正確；因?yàn)槠矫?，平面，所以，則同理可證，又，平面，所以平面，即平面，故A正確；因?yàn)?，平面，平面，所以平面，即平面，又，平面，平面平面，所以不平行平面，故B錯誤；設(shè)為正方體的中心，即為的中點(diǎn)，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，即交平面于點(diǎn)，所以點(diǎn)，到平面的距離相等，即點(diǎn)，到平面的距離相等，故D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)向量，，，若，則實(shí)數(shù)λ的值為___________.【答案】##【解析】【分析】求出，利用，即可求出實(shí)數(shù)λ的值.【詳解】由題意，，，，∴∵，∴，解得：，故答案為：.13.在直角三角形ABC中，已知CH為斜邊AB上的高，，，現(xiàn)將沿著CH折起，使得點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)，且平面平面ACH，則三棱錐的外接球的表面積為___________.【答案】【解析】【分析】證明兩兩垂直，由的邊長，求出外接球半徑，求表面積即可.【詳解】直角三角形ABC中，，，則斜邊，，CH為斜邊AB上的高，則，，，平面平面，平面平面，，平面，則平面，又，所以兩兩垂直，，，，則三棱錐的外接球半徑，所以三棱錐的外接球表面積為.故答案為：.14.在中，已知，則的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式化簡，即可求出，從而得到，從而將轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)，再利用輔助角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，所以，又，所以，則，所以，取為銳角，其中，，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時取得最大值，且最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出的值，從而將轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)，結(jié)合輔助角公式求出最大值.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，已知底面ABCD為矩形，底面ABCD，，E，F(xiàn)，G分別為線段AD，BC，PB的中點(diǎn).（1）求證：平面PBC；（2）求證：平面AFG.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先證平面，有，再由，可證平面PBC；（2）連接交于點(diǎn)，由，得為中點(diǎn)，可得，線面平行的判定定理得平面.【小問1詳解】底面為矩形，所以，底面，底面，則，，平面，則平面，平面，所以，又，為中點(diǎn)，則，平面，，所以平面.【小問2詳解】連接交于點(diǎn)，連接，由四邊形為矩形，分別為中點(diǎn)，所以，則，即中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，有，平面，平面，所以平面.16.一個袋子中有大小和質(zhì)地均相同的四個球，其中有兩個紅球（標(biāo)號為1和2），一個黑球（標(biāo)號為3），一個白球（標(biāo)號為4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出兩個球.設(shè)事件“第一次摸到紅球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的兩個球恰為一個紅球和一個白球”.（1）用數(shù)組表示可能的結(jié)果，是第一次摸到的球的標(biāo)號，是第二次摸到的球的標(biāo)號，試用集合的形式寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）分別求事件A，B，C發(fā)生的概率；（3）求事件A，B，C中至少有一個發(fā)生的概率.【答案】（1）（2），，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)事件的定義列出樣本空間即可；（2）根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【小問1詳解】樣本空間，共有12個基本事件；小問2詳解】事件A的基本事件為：共6個基本事件，所以，事件B的基本事件為：共3個基本事件，所以，事件C的基本事件為：共4個基本事件，所以，【小問3詳解】事件A，B，C中至少有一個發(fā)生的基本事件為：共9個基本事件，所以.17.如圖，在平面四邊形ABCD中，已知AC與BD交于點(diǎn)E，且E是線段BD的中點(diǎn)，是邊長為1的等邊三角形.（1）若，求線段AE的長；（2）若且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，有，又，中，，求值后由正弦定理求線段AE的長；（2）在和中，余弦定理得，又，解得，在中，由余弦定理求，再得.小問1詳解】因?yàn)闉榈冗吶切危?，又，所以，在中，，所以，由正弦定理得?【小問2詳解】，，在中，由余弦定理，，在中，由余弦定理，兩式相加得，因?yàn)椋栽O(shè)，，則，在中，，由余弦定理得，，得，化簡得，由，解得或，當(dāng)時，，不合題意，舍去；當(dāng)時，，符合題意，所以，，，在中，，，可得，在中，由余弦定理，，所以.18.如圖，在平行四邊形中，已知，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.記.（1）若，求線段EF的長；（2）若，設(shè)，求實(shí)數(shù)和的值；（3）若與交于點(diǎn)，，求向量與的夾角的余弦值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算可得，兩邊平方可求解；（2）由已知可得，，可得結(jié)論；（3）利用向量的線性關(guān)系可得，，計(jì)算可得結(jié)論.【小問1詳解】若，則，，所以，兩邊平方可得，所以；【小問2詳解】若，則，所