上海市曹楊第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

PAGE3PAGE上海市曹楊二中2021學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷命題人： 審核人：試卷共4頁1張考生注意：1、答卷前，考生務(wù)必將姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)等在指定位置填寫清楚。2、本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。請(qǐng)考生用水筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷（或答題卷）上。一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）1．已知，設(shè)集合，．若，則____________．2．計(jì)算：____________．3．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則____________．4．函數(shù)的反函數(shù)為____________．5．若圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為的半圓，則該圓錐的體積為____________．6．若雙曲線的漸近線與圓相切，則____________．7．在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)為____________．8．已知、均為單位向量，且，則____________．9．某電子設(shè)備有兩套相互獨(dú)立的供電系統(tǒng)A和B，在時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)A和系統(tǒng)B發(fā)生故障的概率分別為和．若在時(shí)間內(nèi)至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，則____________．10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為____________．11．已知函數(shù)．若實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為____________．12．設(shè)．若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是____________．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）13．拋物線的準(zhǔn)線方程是（）．A． B． C． D．14．已知、為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件15．如圖，已知正方體的棱長為，、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若直線與平面無公共點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡的長度是（）．A． B．C． D．16．已知、、、均為銳角，在、、、四個(gè)值中，大于的個(gè)數(shù)的最大值為，小于的個(gè)數(shù)的最大值為，則（）．A． B． C． D．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是邊長為正方形．（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的大小．

18．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與右焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求的取值范圍．19．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)．根據(jù)規(guī)劃，2021年投入資金萬元，以后每年投入比上年減少．預(yù)測(cè)顯示，2021年當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入為萬元，以后每年旅游業(yè)收入比上年增加萬元．根據(jù)預(yù)測(cè)，解答以下問題：（1）從2021年至2030年，該地十年的旅游業(yè)收入共計(jì)多少萬元？（2）從哪一年起該地的旅游業(yè)總收入將首次超過總投入？20．（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）設(shè)方程在上的兩個(gè)解為和（），求的值；（3）在△中，角、、的對(duì)邊分別為、、．若，，且，求△的面積．

21．（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知函數(shù)．若對(duì)于給定的非零常數(shù)，存在非零常數(shù)，使得對(duì)于恒成立，則稱函數(shù)是上的“級(jí)類周期函數(shù)”，周期為．（1）已知函數(shù)是上周期為的“級(jí)類周期函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，，求的值；（2）已知函數(shù)是上周期為的“級(jí)類周期函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在非零實(shí)數(shù)，使得函數(shù)是上周期為的“級(jí)類周期函數(shù)”？若存在，求出實(shí)數(shù)和的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案：1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．C14．D15．B16．B17．（1）由于是正方形，故．…………2分由于平面，且平面，故．…………4分由于，且平面，平面，故平面．…………6分（2）（綜合幾何法：設(shè)，轉(zhuǎn)化為得4分，指出得2分，結(jié)果對(duì)再得2分，共8分；向量法：建立正確空間坐標(biāo)系，算出平面的法向量得4分，算出夾角的正弦值得3分，結(jié)果對(duì)再得1分，共8分）18．（1）由題意知，………………2分將上式及的坐標(biāo)代入橢圓方程，得，由于，解得，進(jìn)而，……………………4分因此橢圓的方程為；………6分（2）當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得．……8分設(shè)，，則，，且，，故．………10分注意，由于，故．…………12分當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，此時(shí)．綜上可知，的取值范圍是．……………14分19．（1）以2021年為第1年，設(shè)第年旅游業(yè)收入萬元，則，，故．……2分，…………5分因此從2021年至2030年，該地十年的旅游業(yè)收入共計(jì)萬元．…6分（2）以2021年為第1年，設(shè)第年投入資金萬元，則，，故．…………7分設(shè)數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，則，，題目即求最小的正整數(shù)，使得．………………9分設(shè)，則，令，則關(guān)于遞增，且，，故，，……………………12分又，，，因此該地在2039年的旅游業(yè)總收入將首次超過總投入．………………14分（注：若枚舉需完整列出前19年的數(shù)據(jù)，否則扣5分）20．（1）由題意知，…………………2分故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值．……4分（注：缺少值扣1分）（2）令，化簡得，解得或．由于，故，．……………7分于是．令，則，因此．………………………10分（3）由題意知，由于，解得．……………11分在△中，由正弦定理知，故，，代入題目條件得………………13分在△中，由余弦定理知，將上式代入得，解得，…………………15分因此△的面積．…………………16分21．（1）由題意知對(duì)恒成立，…………………2分故．……4分（2）由題意知對(duì)恒成立．對(duì)于任意自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，．…………6分由于在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，因此對(duì)于任意自然數(shù)均有，解得．………7分進(jìn)一步，對(duì)于任意自然數(shù)均有，化簡得，注意，解得，綜