九年級(jí)數(shù)學(xué)滬科版上冊(cè) 第21章 教案

22.1.4二次函數(shù)y=a(x—hT的圖象和性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能

使學(xué)生能利用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=a(x—h)?的圖象。

2.過程與方法

讓學(xué)生經(jīng)歷二次函數(shù)y=a(x—hT性質(zhì)探究的過程，理解函數(shù)y=a(x

—h)2的性質(zhì)，理解二次函數(shù)y=a(x—h”的圖象與二次函數(shù)y=ax2

的圖象的關(guān)系。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

重點(diǎn)：會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=a(x—h)2的圖象，理解二次函數(shù)y=a(x

一hF的性質(zhì)，理解二次函數(shù)y=a(x—h尸的圖象與二次函數(shù)y=ax，的圖象的關(guān)

系是教學(xué)的重點(diǎn)。

難點(diǎn)：理解二次函數(shù)y=a(x—h)2的性質(zhì)，理解二次函數(shù)y=a(x—h)?的圖

象與二次函數(shù)y=ax?的圖象的相互關(guān)系是教學(xué)的難點(diǎn)。

教學(xué)過程：

一、提出問題

1.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出二次函數(shù)y=-52,y=一；x2—l的圖象，并回答:

(1)兩條拋物線的位置關(guān)系。

(2)分別說出它們的對(duì)稱軸、開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)。

(3)說出它們所具有的公共性質(zhì)。

2.二次函數(shù)y=2(x—l)2的圖象與二次函數(shù)y=2x2的圖象的開口方向、對(duì)稱

軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo)相同嗎?這兩個(gè)函數(shù)的圖象之間有什么關(guān)系？

二、分析問題，解決問題

問題1：你將用什么方法來(lái)研究上面提出的問題？

(畫出二次函數(shù)y=2(x-l)2和二次函數(shù)y=2x?的圖象，并加以觀察)

問題2：你能在同一直角坐標(biāo)系中，畫出二次函數(shù)y=2x2與y=2(x—l)?的圖象

嗎？

教學(xué)要點(diǎn)

1.讓學(xué)生完成下表填空。

X???-3-2-10123???

y=2xz

y=2(x—I)2

2.讓學(xué)生在直角坐標(biāo)系中畫出圖來(lái):

3.教師巡視、指導(dǎo)。

問題3：現(xiàn)在你能回答前面提出的問題嗎？

教學(xué)要點(diǎn)

1.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察畫出的兩個(gè)函數(shù)圖象.根據(jù)所畫出的圖象，完成以下填空:

開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

y=2x2

y=2(x—I)2

2.讓學(xué)生分組討論，交流合作，各組選派代表發(fā)表意見，達(dá)成共識(shí)：函數(shù)

y=2(x—I)?與y=2x’的圖象、開口方向相同、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)不同；函數(shù)y

=2(x一1尸的圖象可以看作是函數(shù)y=2x?的圖象向右平移1個(gè)單位得到的，它

的對(duì)稱軸是直線x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)。

問題4：你可以由函數(shù)y=2x?的性質(zhì)，得到函數(shù)y=2(x—D?的性質(zhì)嗎？

教學(xué)要點(diǎn)

1.教師引導(dǎo)學(xué)生回顧二次函數(shù)y=2x?的性質(zhì)，并觀察二次函數(shù)y=2(x—l)2

的圖象；

2.讓學(xué)生完成以下填空：

當(dāng)x時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)值y隨x的增

大而增大；當(dāng)乂=時(shí)，函數(shù)取得最_____值丫=O

二—、做/1J.一做/I/,

問題5：你能在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2(x+l)2與函數(shù)y=2x?的圖象，

并比較它們的聯(lián)系和區(qū)別嗎？

教學(xué)要點(diǎn)

1.在學(xué)生畫函數(shù)圖象的同時(shí)，教師巡視、指導(dǎo)；

2.請(qǐng)兩位同學(xué)上臺(tái)板演，教師講評(píng)；

3.讓學(xué)生發(fā)表不同的意見，歸結(jié)為：函數(shù)y=2(x+l)2與函數(shù)

y=2x?的圖象開口方向相同，但頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸不同；函數(shù)

y=2(x+l)2的圖象可以看作是將函數(shù)y=2x?的圖象向左平移1個(gè)單位得到

的。它的對(duì)稱軸是直線x=-l,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一1,0)。

問題6；你能由函數(shù)y=2x，的性質(zhì)，得到函數(shù)y=2(x+lT的性質(zhì)嗎？

教學(xué)要點(diǎn)

讓學(xué)生討論、交流，舉手發(fā)言，達(dá)成共識(shí)：當(dāng)x<—1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大

而減??；當(dāng)x>-l時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得

最小值，最小值y=0o

問題7：在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=-；(x+2)z圖象與函數(shù)丫=一《2的圖象

O0

有何關(guān)系？

(函數(shù)y=-J(x+2)2的圖象可以看作是將函數(shù)y=一〈x2的圖象向左平移2

個(gè)單位得到的。)

問題8：你能說出函數(shù)y=—；(x+2)z圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？

(函數(shù)y=一；(x十2)2的圖象開口向下，對(duì)稱軸是直線x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

(—2,0))o

問題9：你能得到函數(shù)y=；(x+2)2的性質(zhì)嗎？

教學(xué)要點(diǎn)

讓學(xué)生討論、交流，發(fā)表意見，歸結(jié)為：當(dāng)xV—2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而

增大；

當(dāng)x＞一2時(shí)，函數(shù)值y隨工的增大而減?。划?dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取得最大值，最

大值y=0o

四、課堂練習(xí)：P37練習(xí)。

五、小結(jié)：

1.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=a(x—h),的圖象與函數(shù)y=ax?的圖象有什么

聯(lián)系和區(qū)別？

2.你能說出函數(shù)y=a(x—hl圖象的性質(zhì)嗎？

3.談?wù)劚竟?jié)課的收獲和體會(huì)。

六、作業(yè)

1.P19習(xí)題22.15題。

2.選用課時(shí)作業(yè)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

教學(xué)時(shí)間課題22.1二次函數(shù)(第6課時(shí))課型新授課

知識(shí)1.使學(xué)生掌握用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象。

教和2.使學(xué)生掌握用圖象或通過配方確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐

學(xué)能力標(biāo)。

目過程讓學(xué)生經(jīng)歷探索二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)

標(biāo)和坐標(biāo)以及性質(zhì)的過程，理解二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)。

方法

情感

態(tài)度

價(jià)值觀

用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和通過配方確定拋物線的對(duì)稱

教學(xué)重點(diǎn)

軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)

理解二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的性質(zhì)以及它的對(duì)稱軸(頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是x

教學(xué)難點(diǎn)bb4ac—b2

—_2a、(—2a,4a)

教學(xué)準(zhǔn)備教師多媒體課件學(xué)生“五個(gè)一”

課堂教學(xué)程序設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖

一、提出問題

1.你能說出函數(shù)y=—4(x—2尸+1圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)

坐標(biāo)嗎？

(函數(shù)y=—4(x—2產(chǎn)+1圖象的開口向下，對(duì)稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)

坐標(biāo)是(2,1)。

2.函數(shù)丫=一4僅一2產(chǎn)+1圖象與函數(shù)y=-4x?的圖象有什么關(guān)系？

(函數(shù)y=-4(x—2產(chǎn)+1的圖象可以看成是將函數(shù)y=-4x2的圖象向

右平移2個(gè)單位再向上平移1個(gè)單位得到的)

3.函數(shù)y=-4(x—2產(chǎn)+1具有哪些性質(zhì)？

(當(dāng)x<2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大，當(dāng)x>2時(shí)，函數(shù)值y隨x

的增大而減?。划?dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值y=l)

15

4.不畫出圖象，你能直接說出函數(shù)y=—32+x—5的圖象的開口方

向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？

151

[因?yàn)閥=-5X2+X—/=—5(x—1)2—2,所以這個(gè)函數(shù)的圖象開口向

下，對(duì)稱軸為直線x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)]

15

5.你能畫出函數(shù)y=—/2+x—5的圖象，并說明這個(gè)函數(shù)具有哪些

性質(zhì)嗎？

二、解決問題

1s

由以上第4個(gè)問題的解決，我們已經(jīng)知道函數(shù)y=-/2+x—5的圖象

的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。根據(jù)這些特點(diǎn)，可以采用描點(diǎn)法作圖的

15

方法作出函數(shù)y=—?2+x—5的圖象，進(jìn)而觀察得到這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。

說明：（1）列表時(shí)，應(yīng)根據(jù)對(duì)稱軸是x=l,以1為中心，對(duì)稱地選取自變

量的值，求出相應(yīng)的函數(shù)值。相應(yīng)的函數(shù)值是相等的。

（2）直角坐標(biāo)系中x軸、y軸的長(zhǎng)度單位可以任意定，且允許x軸、y

軸選取的長(zhǎng)度單位不同。所以要根據(jù)具體問題，選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度單位，使

畫出的圖象美觀。

讓學(xué)生觀察函數(shù)圖象，發(fā)表意見，互相補(bǔ)充，得到這個(gè)函數(shù)韻性質(zhì)；

當(dāng)xVl時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；當(dāng)x>l時(shí)，函數(shù)值y隨x

的增大而減?。?/p>

當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值y=-2

--*njLt\l,

二、做一做

1.請(qǐng)你按照上面的方法，畫出函數(shù)y=$2—4x+10的圖象，由圖象

你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)具有哪些性質(zhì)嗎？

教學(xué)要點(diǎn)

⑴在學(xué)生畫函數(shù)圖象的同時(shí)，教師巡視、指導(dǎo)；

⑵叫一位或兩位同學(xué)板演，學(xué)生自糾，教師點(diǎn)評(píng)。

2.通過配方變形，說出函數(shù)y=-2x2+8x—8的圖象的開口方向、對(duì)

稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，這個(gè)函數(shù)有最大值還是最小值?這個(gè)值是多少？

教學(xué)要點(diǎn)

⑴在學(xué)生做題時(shí)，教師巡視、指導(dǎo)；（2）讓學(xué)生總結(jié)配方的方法；⑶

讓學(xué)生思考函數(shù)的最大值或最小值與函數(shù)圖象的開口方向有什么關(guān)系?這

個(gè)值與函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)有什么關(guān)系？

以上講的，都是給出一個(gè)具體的二次函數(shù)，來(lái)研究它的圖象與性質(zhì)。

那么，對(duì)于任意一個(gè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aW0）,如何確定它的圖象的

開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)?你能把結(jié)果寫出來(lái)嗎？

教師組織學(xué)生分組討論，各組選派代表發(fā)言，全班交流，達(dá)成共識(shí)；

Ccbbrbrrb

y=ax2+bx+c=a（x2+p（）+c=a[x2+p（+（^）2—（^）2]+c=a[x2+~

22

b9bb74ac—b

x+（W）]+c-石『（x+公）+F-

當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，當(dāng)aVO時(shí)，開口向下。對(duì)稱軸是x=-b/2a,

b4ac—b2

頂點(diǎn)坐標(biāo)是（一前，—^―）

四、課堂練習(xí)：P12練習(xí)。

五、小結(jié)：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么知識(shí)？有何體會(huì)?

作業(yè)必做教科書P14：6

設(shè)計(jì)選做教科書P15：12

教學(xué)

反思

21.1二次函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

以實(shí)際問題為例理解二次函數(shù)的概念,并掌握二次函數(shù)關(guān)系式的特點(diǎn).

【過程與方法】

能夠根據(jù)實(shí)際問題熟練地列出二次函數(shù)的關(guān)系式,并求出函數(shù)的自變量的取

值范圍.

【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

聯(lián)系學(xué)生已有知識(shí),讓學(xué)生積極參與函數(shù)的學(xué)習(xí)過程,使學(xué)生體會(huì)函數(shù)的思

想.

重點(diǎn)難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

二次函數(shù)的概念.

【難點(diǎn)】

能夠根據(jù)實(shí)際問題熟練地列出二次函數(shù)的關(guān)系式,并求出函數(shù)的自變量的取

值范圍.

教學(xué)過程

一、問題引入

1.一次函數(shù)和反比例函數(shù)是如何表示變量之間的關(guān)系的？

[一次函數(shù)的表達(dá)式是y=kx+b(kWO),反比例函數(shù)的表達(dá)式是y=(kWO)]

2.如果改變正方體的棱長(zhǎng)x,那么正方體的表面積y會(huì)隨之改變,y和x之間

有什么關(guān)系？

(正方體的表面積y與棱長(zhǎng)x之間的關(guān)系式是y=6x2.)

3.物體自由下落的距離s隨時(shí)間t的變化而變化,s與t之間有什么關(guān)系？

(下落的距離s隨時(shí)間t變化的關(guān)系式是s=gt2.)

上面問題2、3中變量之間的關(guān)系可以用哪一種函數(shù)來(lái)表示?這種函數(shù)有哪些

性質(zhì)？它的圖象是什么？它與以前學(xué)過的函數(shù)、方程等有哪些關(guān)系？

這就是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的二次函數(shù).(教師板書課題)

二、新課教授

師:我們?cè)賮?lái)看幾個(gè)問題.

問題1某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶用長(zhǎng)40m的圍網(wǎng),在水庫(kù)中圍一塊矩形的水面,投放魚

苗.要使圍成的水面面積最大,則它的邊長(zhǎng)應(yīng)是多少米？

這個(gè)問題首先要找出圍成的矩形水面面積與其邊長(zhǎng)之間的關(guān)系.設(shè)圍成的矩

形水面的一邊長(zhǎng)為xm,那么，矩形水面的另一邊長(zhǎng)應(yīng)為(20-x)m.若它的面積為S

m2,則有S=x(20-X)=-X2+20X.

問題2有一玩具廠,如果安排裝配工15人,那么每人每天可裝配玩具190個(gè);

如果增加人數(shù),那么每增加1人,可使每人每天少裝配玩具10個(gè).問增加多少人才

能使每天裝配玩具總數(shù)最多?玩具總數(shù)最多是多少？

設(shè)增加x人,這時(shí),共有(15+x)個(gè)裝配工,每人每天可少裝配10x個(gè)玩具，因此,

每人每天只裝配(190-lOx)個(gè)玩具.所以,增加人數(shù)后,每天裝配玩具總數(shù)y可表

示為

y=(190-1Ox)(15+x)=10X2+40X+2850.

這兩個(gè)問題中，函數(shù)關(guān)系式都是用自變量的二次式表示的.

二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax4bx+c(a、b、c是常數(shù),aWO)的函數(shù)叫

做二次函數(shù).其中,x是自變量,a叫做二次項(xiàng)的系數(shù),b叫做一次項(xiàng)的系數(shù),c叫做

常數(shù)項(xiàng).

二次函數(shù)的自變量的取值范圍一般都是全體實(shí)數(shù)，但是在實(shí)際問題中，自變

量的取值范圍應(yīng)使實(shí)際問題有意義.如問題1中，0<x<20,因?yàn)榫匦蔚膬蛇呏褪?/p>

20m.

三、典型例題

【例1】判斷下列函數(shù)是否為二次函數(shù)?如果是，指出其中常數(shù)a、b、c的

值.

(l)y=l-3x2;(2)y=x(x-5);

(3)y=x-x+l;(4)y=3x(2-x)+3x)

(5)y=;(6)y=;

(7)y=x'+2x-l.

解:(1)、(2)是二次函數(shù).(1)中,a=-3,b=0,c=l;(2)中，a=l,b=-5,c=0.

【例2】當(dāng)k為何值時(shí)，函數(shù)y=(k-l)+l為二次函數(shù)？

2

解:令k+k=2,得ki=-2,k2=l.

當(dāng)ki=-2時(shí),k_]=_2-]=_3W0;

當(dāng)k2=l時(shí),k-l=l-l=O.

所以當(dāng)k=-2時(shí)，函數(shù)y=-3x2+l為二次函數(shù).

[例3]寫出下列各題的函數(shù)關(guān)系式,并判斷它們是什么類型的函數(shù).

(1)正方體的表面積SSm?)與棱長(zhǎng)a(cm)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)圓的面積y(cm?)與它的周長(zhǎng)x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)的和為26cm,求菱形的面積S(cm2)與一條對(duì)角線長(zhǎng)

x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系式.

解：(l)S=6a；是二次函數(shù)；(2)y=,是二次函數(shù);(3)S=x(26~x),是二次函數(shù).

四、鞏固練習(xí)

1.(口答)下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

(l)y=3x-l;(2)y=5x-2x;(3)y=-2x2+x-l;(4)y=4-x3;(5)y=;(6)y=3x2+;(7)y=x2.

【答案】(1)(2)(3)(7)是二次函數(shù)

2.y=(m+l)-3x+l是二次函數(shù)，則m的值為.

【答案】2

3.一個(gè)圓柱的高等于底面半徑,寫出它的表面積S與底面半徑r之間的關(guān)系

式.

【答案】S=4nr2

五、課堂小結(jié)

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.二次函數(shù)的概念:形如y=ax?+bx+c(a、b、c是常數(shù),a#0)的函數(shù)叫做二次

函數(shù).

2.能夠根據(jù)實(shí)際問題熟練地列出二次函數(shù)的關(guān)系式,并求出函數(shù)的自變量的

取值范圍.

教學(xué)反思

本節(jié)課從實(shí)際問題入手,結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),觀察、歸納出二次函數(shù)的

概念以及二次函數(shù)的一般表達(dá)式y(tǒng)=ax、bx+c(a、b、c是常數(shù),aWO),并使學(xué)生從

中體會(huì)函數(shù)的思想.在本節(jié)課的教學(xué)過程中，學(xué)生經(jīng)常列不出二次函數(shù)關(guān)系式,對(duì)

于實(shí)際問題會(huì)忘記給出自變量的取值范圍,這些問題要通過加強(qiáng)訓(xùn)練來(lái)解決.

21.2.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)---

y=a(x+h)2+k型

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

使學(xué)生理解并掌握函數(shù)y=a(x+h)，k的圖象與函數(shù)y=ax?的圖象之間的關(guān)系；

會(huì)確定函數(shù)y=a(x+h”+k的圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

【過程與方法】

讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)y=a(x+h)2+k性質(zhì)的探索過程,理解并掌握函數(shù)y=a(x+h)2+k

的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、猜測(cè)、歸納并解決問題的能力.

【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

重點(diǎn)難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

確定函數(shù)y=a(x+h)2+k的圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo),理解函數(shù)

y=a(x+h)2+k的圖象與函數(shù)y=ax2的圖象之間的關(guān)系，理解函數(shù)y=a(x+h)2+k的性

質(zhì).

【難點(diǎn)】

正確理解函數(shù)y=a(x+h￥+k的圖象與函數(shù)y=ax2的圖象之間的關(guān)系以及函數(shù)

y=a(x+h)2+k的性質(zhì).

教學(xué)過程

一、問題引入

1.函數(shù)y=x'l的圖象與函數(shù)y=x?的圖象有什么關(guān)系？

(函數(shù)y=x2+l的圖象可以看成是將函數(shù)y=x?的圖象向上平移一個(gè)單位得到

的.)

2.函數(shù)y=-(x+l)2的圖象與函數(shù)y=-x?的圖象有什么關(guān)系？

(函數(shù)y=-(x+l)2的圖象可以看成是將函數(shù)y=-x?的圖象向左平移一個(gè)單位得

到的.)

3.函數(shù)y=-(x+l)2-l的圖象與函數(shù)y=-x?的圖象有什么關(guān)系？函數(shù)

y=-(x+l)2-l有哪些性質(zhì)？

(函數(shù)y=-(x+D?T的圖象可以看作是將函數(shù)y=-x?的圖象向左平移一個(gè)單位,

再向下平移一個(gè)單位得到的，開口向下,對(duì)稱軸為直線x=-l,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

(-1,-1).)

二、新課教授

問題1:你能畫出函數(shù)y=-x；y=-(x+1)2,y=-(x+l)2-l的圖象嗎?

師生活動(dòng)：

教師引導(dǎo)學(xué)生作圖，巡視，指導(dǎo).

學(xué)生在直角坐標(biāo)系中畫出圖形.

教師對(duì)學(xué)生的作圖情況作出評(píng)價(jià),指正其錯(cuò)誤，出示正確圖形.

解：(1)歹表：

Xy=-x2y=-(x+l)2y=-(x+l)2-l

????????????

-3--2-3

-2-2--

-1一0-1

00-一

1--2-3

2-2--

3--8-9

????????????

(2)描點(diǎn):用表格中各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)；

(3)連線:用光滑曲線順次連接各點(diǎn),得到函數(shù)y=-x2,y=-(x+l)*y=-(x+l)2-l

的圖象.

問題2:觀察圖象，回答下列問題.

函數(shù)開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

y=-x2向下x=0(0,0)

y=-(x+l)2向下X=-l(-1,0)

y=-(x+l)2-l向下X=-l(-1,-1)

問題3:從上表中，你能分別找到函數(shù)丫=-?+1)2-1,丫=-&+1)2與函數(shù)丫=--的圖

象之間的關(guān)系嗎？

師生活動(dòng)：

教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察上述圖象.

學(xué)生分組討論,互相交流,讓各組代表發(fā)言,達(dá)成共識(shí).

教師對(duì)學(xué)生回答錯(cuò)誤的地方進(jìn)行糾正,補(bǔ)充.

函數(shù)y=-(x+l)2-l的圖象可以看成是將函數(shù)y=-(x+l)2的圖象向下平移1個(gè)

單位得到的.

函數(shù)y=-(x+l尸的圖象可以看成是將函數(shù)y=-x2的圖象向左平移1個(gè)單位得

到的.

故拋物線y=-(x+l)2-l是由拋物線y-x?沿x軸向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到

拋物線y=-(x+l)；再將拋物線y=-(x+l)2向下平移1個(gè)單位得到的.

除了上述平移方法外，你還有其他的平移方法嗎？

師生活動(dòng)：

教師引導(dǎo)學(xué)生積極思考,并適當(dāng)提示.

學(xué)生分組討論,互相交流,讓各組代表發(fā)言,達(dá)成共識(shí).

教師對(duì)學(xué)生回答錯(cuò)誤的地方進(jìn)行糾正,補(bǔ)充.

拋物線y=-(x+l)2-l是由拋物線片-(向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線

y=-x2-l,再將拋物線y=-x2-l向左平移1個(gè)單位得到的.

問題4:你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=-(x+l)2-l有哪些性質(zhì)嗎？

師生活動(dòng)：

教師組織學(xué)生討論,互相交流.

學(xué)生分組討論,互相交流,讓各組代表發(fā)言,達(dá)成共識(shí).

教師對(duì)學(xué)生回答錯(cuò)誤的地方進(jìn)行糾正,補(bǔ)充.

當(dāng)x<-l時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大;當(dāng)x>-l時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而

減??；當(dāng)x=-l時(shí)，函數(shù)取得最大值,最大值y=-l.

三、典型例題

【例】要修建一個(gè)圓形噴水池,在水池中心豎直安裝一根水管,在水管的頂

端安裝一個(gè)噴水頭,使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到

最高,高度為3m,水柱落地處離池中心3m,水管應(yīng)多長(zhǎng)？

圖(1)圖⑵

師生活動(dòng)：

教師組織學(xué)生討論、交流,如何將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言.

學(xué)生積極思考、解答.

指名板演,教師講評(píng).

解:如圖(2)建立的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(1,3)是圖中這段拋物線的頂點(diǎn)，因此可

設(shè)這段拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=a(x-l)2+3(0WxW3).

由這段拋物線經(jīng)過點(diǎn)⑶0)可得0=a(3-1)?+3,

解得a=-,

因此y=-(x-l)2+3(0WxW3),

當(dāng)x=0時(shí),y=2.25,也就是說,水管的長(zhǎng)應(yīng)為2.25m.

四、鞏固練習(xí)

1.畫出函數(shù)y=2(x-l)2-2的圖象并將它與函數(shù)y=2(x-D?的圖象作比較.

【答案】函數(shù)y=2(x-l『的圖象可以看成是將函數(shù)y=2x?的圖象向右平移一

個(gè)單位得到的,再將y=2(x-l)2的圖象向下平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度即得函數(shù)

y=2(x-l)?-2的圖象.

2.說出函數(shù)y=-(x-l)，2的圖象與函數(shù)y=-x2的圖象的關(guān)系，由此進(jìn)一步說出

這個(gè)函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】函數(shù)y=-(x-l)2+2的圖象可以看成是將函數(shù)y=-x2的圖象向右平移

一個(gè)單位,再向上平移兩個(gè)單位得到的,其開口向下,對(duì)稱軸為直線x=l,頂點(diǎn)坐

標(biāo)是(1,2).

五、課堂小結(jié)

本節(jié)知識(shí)點(diǎn)如下：

一般地,拋物線y=a(x+h)2+k與y=ax，的形狀相同,位置不同,把拋物線y=ax2

向上(或下)向左(或右)平移,可以得到拋物線y=a(x+h)2+k.平移的方向和距離要

根據(jù)h、k的值來(lái)確定.

拋物線y=a(x-h)2+k有如下特點(diǎn)：

⑴當(dāng)a〉0時(shí)，開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，開口向下；

(2)對(duì)稱軸是乂小；

(3)頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k).

教學(xué)反思

本節(jié)內(nèi)容主要研究二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象及其性質(zhì).在前兩節(jié)課的基

礎(chǔ)上我們清楚地認(rèn)識(shí)到y(tǒng)=a(x-h)2+k與y=ax2有密切的聯(lián)系,我們只需對(duì)y=ax?的

圖象做適當(dāng)?shù)钠揭凭涂梢缘玫統(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象由y=ax?得到y(tǒng)=a(x-h)2+k有

兩種平移方法：

方法一：

2向左(或右)平移Ihl個(gè)單位/口\2向上(或下)平移屋I個(gè)單位

y=ax---------------------------------->y=a(x-h)----------------------------------*-

y=a(x-h)2+k

方法二：

2向上(或下)平移履I個(gè)單位向左(或右)平移Ml個(gè)單位

y=ax----------------------------------*y=ax+k----------------------------------?

y=a(x-h)'+k

在課堂上演示平移的過程,讓學(xué)生切身體會(huì)到兩種平移方法的區(qū)別和聯(lián)系,

這里利用幾何畫板軟件效果會(huì)更好.

21.2.3二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)

y=a(x+h)?型

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

使學(xué)生能利用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=a(x+h)2的圖象.

【過程與方法】

讓學(xué)生經(jīng)歷探究二次函數(shù)y=a(x+h)2性質(zhì)的過程,理解函數(shù)y=a(x+h尸的性質(zhì),

理解二次函數(shù)y=a(x+h)2的圖象與二次函數(shù)y=ax?的圖象的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生觀察、

分析、猜測(cè)、歸納解決問題的能力.

【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

培養(yǎng)學(xué)生敢于實(shí)踐、勇于發(fā)現(xiàn)、大膽探索、合作創(chuàng)新的精神.

重點(diǎn)難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=a(x+h)2的圖象，理解二次函數(shù)y=a(x+h)2的性質(zhì),

理解二次函數(shù)y=a(x+h)2的圖象與二次函數(shù)y=ax2的圖象的關(guān)系.

【難點(diǎn)】

理解二次函數(shù)y=a(x+h尸的性質(zhì)，理解二次函數(shù)y=a(x+h尸的圖象與二次函數(shù)

y=ax?的圖象的相互關(guān)系.

教學(xué)過程

一、問題引入

1.拋物線y=2x?+l、y=2xLl的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)各是什么？

2.二次函數(shù)y=-(x+l)2的圖象與二次函數(shù)y=-x2的圖象的開口方向、對(duì)稱軸

以及頂點(diǎn)坐標(biāo)相同嗎?這兩個(gè)函數(shù)的圖象之間有什么關(guān)系？

二、新課教授

問題1：你將用什么方法來(lái)研究問題引入2提出的問題？

(畫出二次函數(shù)y=-(x+l)2和二次函數(shù)y=-Y的圖象,并加以觀察.)

問題2:你能在同一直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=-x?與y=-(x+l)2的圖象嗎?

師生活動(dòng)：

教師引導(dǎo)學(xué)生作凰巡視、指導(dǎo).

學(xué)生在直角坐標(biāo)系中畫出圖形.

教師對(duì)學(xué)生的作圖情況作出評(píng)價(jià),指正錯(cuò)誤，出示正確的圖形.

解：⑴列表：

X???-3-2-10123???

y=-x2???--2-0--2-???

y=-(x+l)2???-2-0--2--8???

(2)描點(diǎn):用表格中的各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)；

(3)連線:用光滑的曲線順次連接各點(diǎn)，得到函數(shù)y=-(和y=-(x+l)z的圖象.

問題3:當(dāng)函數(shù)值y取同一數(shù)值時(shí),這兩個(gè)函數(shù)的自變量之間有什么關(guān)系?反

映在圖象上,相應(yīng)的兩點(diǎn)之間的位置又有什么關(guān)系？

師生活動(dòng)：

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察上表，當(dāng)y依次取0、［-2、-時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的自變量之間

有什么關(guān)系？

學(xué)生歸納得到，當(dāng)函數(shù)值取同一數(shù)值時(shí)，函數(shù)y=-(x+l)2的自變量比函數(shù)

y=-x,的自變量小1.

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)y=-(x+l)2和函數(shù)y=-Y的圖象,先研究點(diǎn)(T,-)和點(diǎn)

(0,-)、點(diǎn)(-1,0)和點(diǎn)(0,0)、點(diǎn)(1,-2)和點(diǎn)(2,-2)的位置關(guān)系.

學(xué)生歸納得到:反映在圖象上,函數(shù)y=-(x+l)2的圖象上的點(diǎn)都是由函數(shù)

y=-x2的圖象上的相應(yīng)點(diǎn)向左移動(dòng)了一個(gè)單位.

問題4:函數(shù)y=-(x+l)2和y=-x2的圖象有什么聯(lián)系？

學(xué)生由問題3的探索,可以得到結(jié)論：函數(shù)y=-(x+l)2的圖象可以看成是將函

數(shù)y=-x?的圖象向左平移一個(gè)單位得到的.

問題5:現(xiàn)在你能回答前面提出的第2個(gè)問題了嗎？

學(xué)生觀察兩個(gè)函數(shù)的圖象得：函數(shù)y=Yx+l)2的圖象開口方向向下，對(duì)稱軸是

直線x=-l,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(T,0);函數(shù)y=-x?的圖象開口方向向下,對(duì)稱軸是直線

x=0,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0).

問題6:你能由函數(shù)y=-(x+D,的圖象得到函數(shù)y=-(x+l)2的一些性質(zhì)嗎？

生:當(dāng)x>-l時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減?。划?dāng)x<-l時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大

而增大；當(dāng)x=T時(shí)，函數(shù)取得最大值,最大值y=0.

問題7:先在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=-(xT)2與函數(shù)y=-六的圖象,再作

比較，說說它們有什么聯(lián)系和區(qū)別.

師生活動(dòng)：

教師在學(xué)生畫函數(shù)圖象的同時(shí),巡視指導(dǎo).

學(xué)生畫圖并仔細(xì)觀察,細(xì)心研究.

教師讓學(xué)生發(fā)表意見，歸納為：函數(shù)y=-(xT)2與函數(shù)y=-(的圖象的開口方

向相同,對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)不同.函數(shù)y=Yx-l)2的圖象可以看成是將函數(shù)y=-x2

的圖象向右平移一個(gè)單位得到的.

問題8：你能說出函數(shù)y=-(x-l)2的圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)以及

這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)嗎？

師生活動(dòng)：

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察y=-(x-l)2的圖象，并引導(dǎo)學(xué)生思考其性質(zhì).

學(xué)生分組討論這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，各組選派一名代表發(fā)言,達(dá)成共識(shí)：函數(shù)

y=-(x-l)2的圖象的開口向下,對(duì)稱軸為直線x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0).當(dāng)x<l時(shí)，函

數(shù)值y隨x的增大而增大;當(dāng)x>l時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小；當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)

取得最大值,最大值y=0.

三、鞏固練習(xí)

1.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=x2,y=(x+1)2,y=(xT尸的圖象.

(1)填表：

2

Xy=xy=(x+l)2y=(x-1)2

....?????????

....?????????

⑵描點(diǎn)，連線:

【答案】略

2.觀察第1題中所畫的圖象,并填空：

(1)拋物線y=(x+1)2的開口方向是—,對(duì)稱軸是—,頂點(diǎn)坐標(biāo)是—;拋

物線yXx+l)?是由拋物線y=x?向—平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到的；

⑵對(duì)于y=(x-l)2,當(dāng)x>l時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而—;當(dāng)x<l時(shí)，函數(shù)值

y隨x的增大而—；

(3)對(duì)于函數(shù)y=x2,當(dāng)x=—時(shí)，函數(shù)取得最—值,為—;

對(duì)于函數(shù)y=(x+l)\當(dāng)x=—時(shí)，函數(shù)取得最—值,為—；

對(duì)于函數(shù)y=(x-l)2,當(dāng)x=—時(shí)，函數(shù)取得最—值,為—.

【答案】⑴向上x=-l(-1,0)左1(2)增大減小(3)0小0-1zb01小

0

四、課堂小結(jié)

結(jié)論如下：

1.函數(shù)y=ax2(a#0)和函數(shù)y=a(x-h)"a#0)的圖象形狀相同，只是位置不同,

把y=a(的圖象沿x軸向左(當(dāng)h<0時(shí))或向右(當(dāng)h>0時(shí))平移|h|個(gè)單位就得到

y=a(x-h)2的圖象.

2.拋物線y=a(x-h)2(aW0)的性質(zhì).

(1)拋物線y=a(x-h)2(aW0)的對(duì)稱軸是x=h,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,0).

(2)當(dāng)a>0時(shí),拋物線開口向上,并向上無(wú)限伸展；

當(dāng)a<0時(shí),拋物線開口向下,并向下無(wú)限伸展.

(3)當(dāng)a>0時(shí),在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨x的增大而減小;在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x

的增大而增大;當(dāng)x=h時(shí),y有最小值.

當(dāng)a<0時(shí),在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨x的增大而增大;在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的

增大而減??；當(dāng)x=h時(shí),y有最大值.

教學(xué)反思

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求大家理解并掌握函數(shù)y=axTaWO)和函數(shù)

y=a(x-h)2(aW0)的圖象形狀相同，只是位置不同，把y=ax?的圖象沿x軸向左(當(dāng)

h<0時(shí))或向右(當(dāng)h>0時(shí))平移|h|個(gè)單位就得到y(tǒng)=a(x-h或的圖象；能夠理解a、

h對(duì)函數(shù)圖象的影響,初步體會(huì)二次函數(shù)關(guān)系式與圖象之間的聯(lián)系,滲透數(shù)形結(jié)

合的思想,為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).本節(jié)課的處理是在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生

進(jìn)行觀察、歸納、總結(jié)，充分體現(xiàn)以學(xué)生為主、教師為輔的教學(xué)思想.這樣有助于

提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

21.2.1二次函數(shù)丫=2*2的圖象和性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

使學(xué)生會(huì)用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y=ax2的圖象，理解并掌握拋物線的有關(guān)概念及

其性質(zhì).

【過程與方法】

使學(xué)生經(jīng)歷探索二次函數(shù)y=a(的圖象及性質(zhì)的過程,獲得利用圖象研究函

數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力.

【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

使學(xué)生經(jīng)歷探索二次函數(shù)y=a(的圖象和性質(zhì)的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、

歸納的良好思維品質(zhì).

重點(diǎn)難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

使學(xué)生理解拋物線的有關(guān)概念及性質(zhì)，會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ax?的圖

象.

【難點(diǎn)】

用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=a(的圖象以及探索二次函數(shù)的性質(zhì).

教學(xué)過程

一、問題引入

1.一次函數(shù)的圖象是什么？反比例函數(shù)的圖象是什么？

(一次函數(shù)的圖象是一條直線,反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.)

2.畫函數(shù)圖象的一般步驟是什么？

一般步驟：(1)列表(取幾組X,y的對(duì)應(yīng)值)；⑵描點(diǎn)(根據(jù)表中X,y的數(shù)值在

坐標(biāo)平面中描點(diǎn)(x,y));(3)連線(用平滑曲線).

3.二次函數(shù)的圖象是什么形狀?二次函數(shù)有哪些性質(zhì)？

(運(yùn)用描點(diǎn)法作二次函數(shù)的圖象,然后觀察、分析并歸納得到二次函數(shù)的性

質(zhì).)

二、新課教授

【例1】畫出二次函數(shù)y=x'的圖象.

解：(1)列表中自變量x可以是任意實(shí)數(shù),列表表示幾組對(duì)應(yīng)值.

X???-3-2-10123???

y???9410149???

⑵描點(diǎn):根據(jù)上表中x,y的數(shù)值在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)(x,y).

(3)連線:用平滑的曲線順次連接各點(diǎn),得到函數(shù)y=x?的圖象,如圖所示.

思考:觀察二次函數(shù)y=x?的圖象，思考下列問題：

(1)二次函數(shù)y=x'2的圖象是什么形狀？

(2)圖象是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是，它的對(duì)稱軸是什么？

(3)圖象有最低點(diǎn)嗎?如果有,最低點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？

師生活動(dòng)：

教師引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=x2的圖象,通過數(shù)形結(jié)合

解決上面的3個(gè)問題.

學(xué)生動(dòng)手畫圖,觀察、討論并歸納,積極展示探究結(jié)果,教師評(píng)價(jià).

函數(shù)y=x?的圖象是一條關(guān)于y軸(x=0)對(duì)稱的曲線,這條曲線叫做拋物線.實(shí)

際上二次函數(shù)的圖象都是拋物線.二次函數(shù)y=x?的圖象可以簡(jiǎn)稱為拋物線y=x2.

由圖象可以看出，拋物線y=x2開口向上;y軸是拋物線y=x?的對(duì)稱軸:拋物線

y=x?與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)(0,0)叫做拋物線的頂點(diǎn),它是拋物線丫=(的最低點(diǎn).實(shí)

際上每條拋物線都有對(duì)稱軸,拋物線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn),頂點(diǎn)是

拋物線的最低點(diǎn)或最高點(diǎn).

【例2】在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=x?及y=2x?的圖象.

解:分別填表，再畫出它們的圖象.

X???-4-3-2-101234???

y=x2???84.520.500.52-1.58???

X???-2-1.5-1-0.500.511.52???

y=2x2???84.520.500.524.58???

思考：函數(shù)y=x2、y=2x?的圖象與函數(shù)y=x?的圖象有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

師生活動(dòng)：

教師引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=x>丫=2(的圖象.

學(xué)生動(dòng)手畫凰觀察、討論并歸納，回答探究的思路和結(jié)果,教師評(píng)價(jià).

拋物線y=x?、y=2x?與拋物線y=x2的開口均向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)都是(0,0),函數(shù)

y=2x?的圖象的開口較窄,y=x2的圖象的開口較大.

探究1：畫出函數(shù)y=-x\y=-x\產(chǎn)-2x?的圖象，并考慮這些圖象有什么共同

點(diǎn)和不同點(diǎn)。

師生活動(dòng)：

學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=-x2、y=-x\y=-2x?的圖象，觀察、討

論并歸納.

教師巡視學(xué)生的探究情況,若發(fā)現(xiàn)問題,及時(shí)點(diǎn)撥.

學(xué)生匯報(bào)探究的思路和結(jié)果,教師評(píng)價(jià),給出圖形.

拋物線y=-x2、y=-x\y=-2x,開口均向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)都是(0,0),函數(shù)y=-2x’'

的圖象開口最窄,y=-x，的圖象開口最大.

探究2:對(duì)比拋物線y=x2和y=-x2,它們關(guān)于x軸對(duì)稱嗎?拋物線y=ax?和y=-ax2

呢？

師生活動(dòng)：

學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x?和y=-x?的圖象,觀察、討論并歸納.

教師巡視學(xué)生的探究情況,發(fā)現(xiàn)問題,及時(shí)點(diǎn)撥.

學(xué)生匯報(bào)探究思路和結(jié)果,教師評(píng)價(jià),給出圖形.

拋物線y=x\y=-x?的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.一般地,拋物線y=ax?和丫=-&/的

圖象也關(guān)于x軸對(duì)稱.

教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)(知識(shí)點(diǎn)、規(guī)律和方法).

一般地,拋物線y=ax?的對(duì)稱軸是y軸,頂點(diǎn)是原點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí),拋物線y=ax2

的開口向上,頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，當(dāng)a越大時(shí),拋物線的開口越??；當(dāng)a<0時(shí)，

拋物線y=ax2的開口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)，當(dāng)a越大時(shí)，拋物線的開口越

大.

從二次函數(shù)y=ax?的圖象可以看出：如果a>0,當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減小，

當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大；如果a<0,當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而增大，當(dāng)x>0

時(shí),y隨x的增大而減小.

三、鞏固練習(xí)

1.拋物線y=-4x2-4的開口向,頂點(diǎn)坐標(biāo)是,對(duì)稱軸是,當(dāng)x=—

時(shí),y有最____值,是.

【答案】下(0,-4)x=00大-4

2.當(dāng)m#時(shí),y=(m-l)x2-3m是關(guān)于x的二次函數(shù).

【答案】1

3.已知拋物線y=-3x?上兩點(diǎn)A(x,-27),B(2,y),則x=,y=.

【答案】-3或3-12

4.拋物線y=3x?與直線y=kx+3的交點(diǎn)坐標(biāo)為⑵b),則k=,b=.

【答案】12

5.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為y軸,且經(jīng)過點(diǎn)(T,-2),則拋物線的

表達(dá)式為—.

【答案】y=-2x2

6.在同一坐標(biāo)系中，圖象與y=2x?的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的是()

A.y=x2B.y=x2

C.y=-2x2D.y=-x2

【答案】C

7.拋物線y=4x?、y=-2x\y=x?的圖象，開口最大的是()

A.y=x2B.y=4x2

C.y=-2x2D.無(wú)法確定

【答案】A

8.對(duì)于拋物線y=x?和y=-Y在同一坐標(biāo)系中的位置,下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.兩條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱

B.兩條拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.兩條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱

D.兩條拋物線的交點(diǎn)為原點(diǎn)

【答案】C

四、課堂小結(jié)

1.二次函數(shù)y=ax2的圖象過原點(diǎn)且關(guān)于y軸對(duì)稱，自變量x的取值范圍是一

切實(shí)數(shù).

2.二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)：拋物線y=ax?的對(duì)稱軸是y軸,頂點(diǎn)是原點(diǎn).當(dāng)a>0

時(shí),拋物線y=x2開口向上,頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，當(dāng)a越大時(shí),拋物線的開口越

?。划?dāng)a<0時(shí),拋物線y=ax?開口向下,頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)，當(dāng)a越大時(shí),拋物

線的開口越大.

3.二次函數(shù)y=a（的圖象可以通過列表、描點(diǎn)、連線三個(gè)步驟畫出來(lái).

教學(xué)反思

本節(jié)課的內(nèi)容主要研究二次函數(shù)y=ax2在a取不同值時(shí)的圖象,并引出拋物

線的有關(guān)概念,再根據(jù)圖象總結(jié)拋物線的有關(guān)性質(zhì).整個(gè)內(nèi)容分成：（1）例1是基

礎(chǔ)；（2）在例1的基礎(chǔ)之上引入例2,讓學(xué)生體會(huì)a的大小對(duì)拋物線開口寬闊程度

的影響；（3）例2及后面的練習(xí)探究讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)a的正負(fù)對(duì)拋物線開口方向的影

響；（4）最后讓學(xué)生比較例1和例2,練習(xí)歸納總結(jié).

21.2.6二次函數(shù)表達(dá)式的確定

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

使學(xué)生掌握用待定系數(shù)法由已知圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求二次函數(shù)的關(guān)系式

的方法;使學(xué)生掌握已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸等條件求出函數(shù)的關(guān)系式的

方法.

【過程與方法】

體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的作用，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力.

【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

讓學(xué)生體驗(yàn)二次函數(shù)的關(guān)系式的應(yīng)用，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)重要性的意識(shí).

重點(diǎn)難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

已知二次函數(shù)圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)或三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求二次函數(shù)

y=ax2+bx+c的關(guān)系式.

【難點(diǎn)】

已知圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求二次函數(shù)的關(guān)系式.根據(jù)不同條件選擇不同的方

法求二次函數(shù)的關(guān)系式.

教學(xué)過程

一、問題引入

1.一次函數(shù)的表達(dá)式是什么？如何求出它的表達(dá)式？

(一次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=kx+b,只需知道一次函數(shù)圖象上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),利用

待定系數(shù)法求出系數(shù)k、b.)

2.已知二次函數(shù)圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可以求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式？

本節(jié)課我們來(lái)研究用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式.(板書)

二、新課教授

問題1.如果一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(T,10),(1,4),(2,7)三點(diǎn)，能求出這

個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式嗎？如果能,求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

解:設(shè)所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax?+bx+c.由已知函數(shù)圖象經(jīng)過

(-1,10),(1,4),(2,7)三點(diǎn)，得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組

解這個(gè)方程組，得：

a=2,b=-3,c=5.

所求二次函數(shù)的表達(dá)式是y=2x-3x+5.

歸納1:求二次函數(shù)y=ax'+bx+c的表達(dá)式，關(guān)鍵是求出a、b、c的值.由已知

條件(如二次函數(shù)圖象上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo))可以列出關(guān)于a、b、c的三元一次方程

組，求出三個(gè)待定系數(shù)a、b、c就可以寫出二次函數(shù)的表達(dá)式.

問題2.已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0,1),它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(8,9),求這個(gè)

二次函數(shù)的關(guān)系式.

分析:二次函數(shù)y=ax2+bx+c通過配方可得y=a(x-h)2+k的形式稱為頂點(diǎn)

式，(h,k)為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)是(8,9),因此,

可以設(shè)函數(shù)關(guān)系式為:y=a(x-8)?+9,由于二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0,1),將(0,1)代

入所設(shè)函數(shù)關(guān)系式,即可求出a的值.

歸納2:如果知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k),可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-h)2+k,

只需要再找一個(gè)條件求出a的值即可.

三、典型例題

【例1】有一個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)x=0時(shí),y=-l;當(dāng)x=-2時(shí)，y=0;當(dāng)x=時(shí)，y=0.求

這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

解:設(shè)所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c,根據(jù)題意,得

解方程組，得

答:所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x+x-l.

【例2】已知拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2,且經(jīng)過⑶1)和(0,-5)兩點(diǎn),求二

次函數(shù)的關(guān)系式.

解法一:設(shè)所求二次函數(shù)的表達(dá)式是y=ax2+bx+c,因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象過點(diǎn)

(0,-5),可求得c=-5.又由于二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(3,1),且對(duì)稱軸是直線x=2,可

以得解這個(gè)方程組,得

所以所求的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-2x2+8x-5.

解法二:設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a(x-h)2+k,由于二次函數(shù)的圖象經(jīng)過

⑶1)和(0,-5)兩點(diǎn)，可以得到：

解這個(gè)方程組,得

所以,所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-2(x-2)2+3,即y=-2x2+8x-5.

【例3】拋物線y=x2-4x+8與直線y=x+l交于B、C兩點(diǎn).

(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出直線與拋物線；

(2)記拋物線的頂點(diǎn)為A,求4ABC的面積.

解：⑴如圖，畫出直線y=x+l與拋物線y=x-4x+8.

(2)由y=x2-4x+8=(x-4)2,得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0).

解方程組

得B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B(2,2)、C(7,4.5).

過B、C兩點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為氏、G,則

S△ABC=

=(BBI+CG)B￡-ABI?BB-AC,?CC,

=(2+4.5)X5-X2X2-X3X4.5

=7.5.

小結(jié):讓學(xué)生討論、交流、歸納得到：已知二次函數(shù)的最大值或最小值，就是

已知該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo),應(yīng)用頂點(diǎn)式求解方便,用一般式求解計(jì)算量較大.

四、鞏固練習(xí)

1.已知二次函數(shù)當(dāng)x=-3時(shí)，有最大值T,且當(dāng)x=0時(shí)，y=3,求二次函數(shù)的關(guān)系

式.

【答案】解法一:設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=ax2+bx+c,因?yàn)閳D象過點(diǎn)

(0,3),所以c=3.又由于二次函數(shù)當(dāng)x=-3時(shí),有最大值T,可以得到:解這個(gè)方程

組，得

所以,所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=x2+x+3.

解法二:設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a(x-h)2+k,依題意,得y=a(x+3)2-l.

因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象過點(diǎn)(0,3),所以有3=a(0+3)2-l,解得a=,所以,所求二

次函數(shù)的關(guān)系式為y=(X+3)2-1,即y=x+x+3.

2.已知二次函數(shù)y=x?+px+q的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是⑸-2),求二次函數(shù)的關(guān)系

式.

【答案】依題意，得

解得:p=T0,q=23,

所以,所求二次函數(shù)的關(guān)系式是y=x-10x+23.

五、課堂小結(jié)

1.求二次函數(shù)的關(guān)系式,常見的有幾種類型？

兩種類型：

(1)一般式:y=ax'+bx+c;

(2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k,其頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k).

2.如何確定二次函數(shù)的關(guān)系式？

讓學(xué)生回顧、思考、交流，得出：關(guān)鍵是確定上述兩個(gè)式子中的待定系數(shù)，通

常需要三個(gè)已知條件.在具體解題時(shí),應(yīng)根據(jù)具體的已知條件靈活選用合適的形

式，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.

教學(xué)反思

本節(jié)課研究了二次函數(shù)y=ax2+bx+c表達(dá)式的求法：

歸納1:求二次函數(shù)y=ax?+bx+c的表達(dá)式，關(guān)鍵是求出a、b、c的值.由已知

條件(如二次函數(shù)圖象上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo))可以列出關(guān)于a、b、c的三元一次方程

組，求出三個(gè)待定系數(shù)a、b、c就可以寫出二次函數(shù)的表達(dá)式.

歸納2:如果知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k),可設(shè)方程為y=a(x-h)2+k,只需要

再找一個(gè)條件求出a的值即可.

要根據(jù)不同條件選擇不同的方法求二次函數(shù)的關(guān)系式,體會(huì)一題多解的樂趣,

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望.本節(jié)課的處理仍然是在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生探索、歸納，

得到新知.

21.3.1二次函數(shù)與一元二次方程間的關(guān)系

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

掌握二次函數(shù)y=ax，bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與一元二次方程

ax2+bx+c=0的解的情況之間的關(guān)系,會(huì)用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似

解.

【過程與方法】

經(jīng)歷探究二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的過程,體會(huì)函數(shù)、方程之間的聯(lián)系.

【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的綜合解題能力，掌握解決問題的方法，培養(yǎng)探究精神.

重點(diǎn)難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

用函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解.

【難點(diǎn)】

用數(shù)形結(jié)合的思想解方程.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知

師:任意一次函數(shù)的圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？

生甲：一個(gè).

生乙:不對(duì)，當(dāng)直線與X軸平行時(shí),沒有交點(diǎn).

生丙:還有一種情況,當(dāng)直線與X軸重合時(shí),有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn).

師：同學(xué)們考慮得很周到！當(dāng)一次函數(shù)的圖象與X