高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 均值不等式及不等式綜合（解析版）

專均值不等式及不等式綜合目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：公式直接用 1題型二：公式成立條件 3題型三：對勾型湊配 6題型四：“1”的代換：基礎(chǔ)代換型 7題型五：“1”的代換：有和有積無常數(shù)型 9題型六：“1”的代換：有和有積有常數(shù)型 10題型七：分母構(gòu)造型：分母和定無條件型 12題型八：分母構(gòu)造型：分離型型 14題型九：分母構(gòu)造型：一個分母構(gòu)造型 16題型十：分母構(gòu)造型：兩個分母構(gòu)造型 17題型十一：分離常數(shù)構(gòu)造型 19題型十二：換元構(gòu)造型 21題型十三：分母拆解湊配型 23題型十四：萬能“K”型 26題型十五：均值不等式應(yīng)用比大小 27題型十六：利用均值不等式求恒成立參數(shù)型 30題型十七：因式分解型 32題型十八：三元型不等式 34題型一：公式直接用基本不等式基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)；基本不等式成立的條件：a>0，b>0； (2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b.基本不等式的變形：①a＋b≥2eq\r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，常用于求積的最大值；1．（22-23高三·北京·階段練習(xí)）若，且，則在下列四個選項中，最大的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】（1）先判斷，可得，所以，排除A、D，再用作差法比較B、C的大小，可得答案.（2）也可以令，取特殊值進(jìn)行驗(yàn)證排除.【詳解】方法一：∵且，∴，可排除A；又，排除D；∵，即，排除B.故選：C.方法二：因?yàn)榍?，可取?則：，，因?yàn)?故選：C.2．（22-23高三·全國·課后作業(yè)）若，則下列不等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)及基本不等式化簡判斷即可.【詳解】因?yàn)?，顯然有，故A正確；而，所以，故B正確；又，所以，故C正確；不妨令則，故D錯誤.故選：D.3．（22-23高一下·黑龍江佳木斯·開學(xué)考試）設(shè)，，且，則的最小值為（

）A．18 B．9 C．6 D．3【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式，即可求解.【詳解】∵∴，（當(dāng)且僅當(dāng)，取“=”）故選：C.4．（23-24高一下·河南·開學(xué)考試）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知條件和不等式的性質(zhì)，分別判斷各選項中的結(jié)論是否正確．【詳解】因?yàn)?，所以，則，則A選項錯誤；因?yàn)椋?，?，則，即，所以，即，則B選項正確；當(dāng)時，，則C選項錯誤；因?yàn)椋葿選項可知，所以，則D選項錯誤.故選：B5．（2024·重慶·模擬預(yù)測）設(shè)且，則的最大值為【答案】【分析】根據(jù)題意，利用題設(shè)條件，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)榍遥瑒t，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以的最大值為，則，即的最大值為故答案為：題型二：公式成立條件利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.1．（23-24高三·遼寧本溪·開學(xué)考試）下列函數(shù)中，最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】舉反例可判斷A錯誤；由基本不等式可得B正確；由基本不等式和正弦函數(shù)的值域可判斷C錯誤；由基本不等式和完全平方可判斷D錯誤.【詳解】A：當(dāng)時，，故A錯誤；B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故B正確；C：當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因?yàn)椋蔆錯誤；D：，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，又，故D錯誤；故選：B.2．（23-24高三·安徽六安·開學(xué)考試）設(shè)，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式以及必要不充分條件的定義求解.【詳解】∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，若時，，則，即“”是“”的必要不充分條件，而無法推出，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：.3．（23-24高三·西藏林芝·期中）下列命題中正確的是（

）A．若，且，則B．若，則C．若，則D．對任意，均成立.【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，A選項正確.B選項，當(dāng)時，，所以B選項錯誤.C選項，當(dāng)時，，所以C選項錯誤.D選項，當(dāng)時，，不成立，所以D選項錯誤.故選：A4．（多選）（23-24高三·四川眉山·期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若，則【答案】ABC【分析】利用基本不等式可判斷ABC選項，利用特殊值法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，A對；對于B選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，B對；對于C選項，若且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，C對；對于D選項，若，取，則，D錯.故選：ABC.5．（多選）（23-24高三·重慶南岸·期中）下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最大值是 B．函數(shù)的最小值是2C．函數(shù)的最小值是6 D．若，則的最小值是8【答案】ACD【分析】根據(jù)基本不等式的知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，對于函數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以A選項正確.B選項，，當(dāng)無實(shí)數(shù)解，所以等號不成立，所以B選項錯誤.C選項，對于函數(shù)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以C選項正確.D選項，由基本不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以D選項正確.故選：ACD6．（多選）（23-24高三·貴州貴陽·階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．當(dāng)時，B．若，則函數(shù)的最小值等于C．若，則的取值范圍是D．的最大值是【答案】ACD【分析】利用基本不等式知識即可判斷，需注意“一正二定三相等”.【詳解】當(dāng)時，重要不等式成立，故A正確；選項中對于均值不等式的運(yùn)用出錯，不滿足“一正二定三相等”中的“積為定值”條件，故B錯誤；由于，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.因此，即的取值范圍是，故正確；由于，根據(jù)均值不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即有最大值為，故D正確.故選：ACD.題型三：對勾型湊配1.對勾型結(jié)構(gòu)：1.對勾型結(jié)構(gòu)：容易出問題的地方，在于能否“取等”,如，2.對勾添加常數(shù)型對于形如，則把轉(zhuǎn)化為分母的線性關(guān)系：可消去。不必記憶，直接根據(jù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化1．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則當(dāng)時，有（

）A．最大值 B．最小值C．最大值 D．最小值【答案】B【分析】由基本不等式即可求解.【詳解】由題意當(dāng)時，，等號成立當(dāng)且僅當(dāng).故選：B.2．（23-24高三·陜西西安·階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】由基本不等式即可求解.【詳解】由可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選:D3．（21-22高二上·陜西咸陽·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的最大值為（

）A．5 B． C．1 D．【答案】C【分析】令之后用基本不等式求函數(shù)的最值.【詳解】令當(dāng)且僅當(dāng)即時取得.故選：C4．（23-24高三·吉林·階段練習(xí)）已知，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值條件.【詳解】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故最小值為.故選：C5．（23-24高三·廣東佛山·模擬）函數(shù)，的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】利用配湊法結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以函數(shù)，的最小值為.故選：C.題型四：“1”的代換：基礎(chǔ)代換型“1”的代換“1”的代換.利用常數(shù)代換法。多稱之為“1”的代換1．（2022高三上·全國·專題練習(xí)）若，，且，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】將展開利用基本不等式求得最小值可得答案.【分析】因?yàn)榍?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為2.故選：A.2．（23-24高三·貴州黔南·階段練習(xí)）已知且，則的最小值為（）A． B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為9.故選：C3．（23-24高三·河南南陽·階段練習(xí)）若，，則的最小值是（

）A．2 B．4 C．3 D．8【答案】B【分析】利用常數(shù)代換的思想和基本不等式即可求得.【詳解】因，，故由，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.由解得：即當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值為4.故選：B.4．（22-23高一下·湖南邵陽·階段練習(xí)）設(shè)，，若，則的最小值為（

）A． B．4 C．9 D．【答案】D【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：D5．（22-23高三·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）已知x，y為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】結(jié)合基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：B題型五：“1”的代換：有和有積無常數(shù)型有和有積無常數(shù)有和有積無常數(shù)形如，可以通過同除ab，化為構(gòu)造“1”的代換求解1．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）若，，且，則的最小值為（

）A． B． C．6 D．【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】，，由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為.故選：A2．（23-24高二上·陜西西安·期中）已知且，則的最小值為（

）A． B．10 C．9 D．【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【詳解】由可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，所以的最小值為9，故選:C.3．（2022·四川樂山·一模）已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得，，再根據(jù)基本不等式乘“”法即可得最小值.【詳解】由題可知，乘“”得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，則的最小值為.故選：A4．（21-22高三·山西太原·階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立，∴的最小值為，故選：D．5．（23-24高一下·廣西·開學(xué)考試）已知，，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題干等式變形得出，可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)榍?，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)，時，等號成立.因此，的最小值是.故選：C.題型六：“1”的代換：有和有積有常數(shù)型有和有積有常數(shù)有和有積有常數(shù)形如求型，可以對“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對應(yīng)的“和”的系數(shù)系數(shù)，如下：1．（23-24高三·廣西·模擬）已知，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．8 D．【答案】B【分析】利用基本不等式可得關(guān)于的一元二次不等式，解不等式即可.【詳解】，則有，可得，即4，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以的最大值為4.故選：B2．（23-24高三·甘肅·模擬）若正數(shù)a，b滿足，則ab的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式將等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式即可求解.【詳解】，，即.，又因?yàn)閍，b為正數(shù)，所以.，即，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，故的取值范圍?故選：C.3．（23-24高三·江蘇·模擬）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】注意到不等式，所以可將條件等式轉(zhuǎn)換為關(guān)于的一元二次不等式，從而即可得解.【詳解】注意到，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，從而，因?yàn)椋钦龑?shí)數(shù)，所以解得或（舍去），即的最小值是4，等號成立當(dāng)且僅當(dāng).故選：C.4．（23-24高三·安徽阜陽·模擬）已知正實(shí)數(shù)滿足，記的最小值為；若且滿足，記的最小值為.則的值為（

）A．30 B．32 C．34 D．36【答案】C【分析】由條件，利用基本不等式可求得，可得的值，又由“1”的代換可求得的最小值，可得的值，進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)題意，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，令，有，解得，即，；，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，；故選：C.5．（23-24高三·福建莆田·模擬）已知，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求和的最小值.【詳解】由，得，又，，即，，則，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，所以，故選：C.題型七：分母構(gòu)造型：分母和定無條件型無條件分母和定型無條件分母和定型型，滿足（定值），則可以構(gòu)造1．（2020高三·全國·專題練習(xí)）的最小值為（

）A．2 B．16 C．8 D．12【答案】B【分析】先構(gòu)造，再利用均值不等式求最值即可.【詳解】解：∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時“=”成立，故的最小值為16.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式的應(yīng)用，重點(diǎn)考查了構(gòu)造均值不等式求最值，屬基礎(chǔ)題.2．（21-22高三·福建莆田·期末）當(dāng)時，的最小值為（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】利用，借助基本不等式計算即可.【詳解】因?yàn)椋?,因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時，即時，取得最小值.故選：B.3．（2024·山西臨汾·三模）若，則的最小值是（

）A．1 B．4 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式及“1”的妙用計算即可．【詳解】因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，取得最小值，故選：D．4．（22-23高三·江蘇南通·模擬）函數(shù)（）的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由展開后，運(yùn)用基本不等式可得所求最小值，注意取值條件.【詳解】由，可得，，僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為.故選：B5．（23-24高三·四川成都·期中）若，則的最小值為（

）A．12 B． C． D．【答案】D【分析】由題意確定，且，將變形為，展開后利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋?，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即的最小值為，故選：D題型八：分母構(gòu)造型：分離型型對勾分離常數(shù)型（換元型）對勾分離常數(shù)型（換元型）型，可以通過換元分離降冪，轉(zhuǎn)化為對勾型1．（21-22高三·遼寧沈陽·模擬）若不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用換元法，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的最值進(jìn)行求解即可.【詳解】令，所以，設(shè)，，函數(shù)在時，函數(shù)單調(diào)遞減，在時，函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以函?shù)在時，最大值為，要想不等式在區(qū)間上有解，只需，故選：C2．（23-24高三·海南?？凇るA段練習(xí)）若函數(shù)在是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】變形換元得到，，考慮，和三種情況，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)得到不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，令，故，，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，滿足要求，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，滿足要求，當(dāng)，即時，由對勾函數(shù)性質(zhì)得到在上單調(diào)遞增，故，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A3．（2020高三·河北石家莊·階段練習(xí)）已知，則的最大值是（

）A． B． C．2 D．7【答案】A【分析】化簡

為，利用均值不等式求解即可.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以

的最大值為故選：A4．（20-21高三·遼寧大連·模擬）“”是“關(guān)于的不等式（）有解”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用基本不等式求得當(dāng)時，的最小值為，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意知，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以當(dāng)時，的最小值為，當(dāng)時，可得關(guān)于的不等式有解成立，即充分性成立，反之：關(guān)于的不等式有解時，不一定成立，即必要性不成立，所以“”是“關(guān)于的不等式有解”的充分不必要條件.故選：A.5．（20-21高三·浙江紹興·期中）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【分析】將給定函數(shù)化簡變形，再利用均值不等式求解即得.【詳解】因，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以當(dāng)時，有最大值.故選：A題型九：分母構(gòu)造型：一個分母構(gòu)造型單分母單分母形如，求型，則可以湊配，再利用“1”的代換來求解。其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來進(jìn)行變換湊配。1．（23-24高三·浙江溫州·模擬）已知非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】依題意可得且，利用乘“1”法及基本不等式計算可得.【詳解】因?yàn)榉秦?fù)實(shí)數(shù)滿足，顯然，則，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的最小值為.故選：B2．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】由題意可得，根據(jù)“1”的靈活應(yīng)用結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋傻茫?，，可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為1.故選：B.3．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【詳解】實(shí)數(shù)，，由，得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故選：B4．（23-24高三·浙江·模擬）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】根據(jù)題意，以與為基本量加以整理，化簡后利用基本不等式算出答案.【詳解】由得，其中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，則，時，等號成立，故的最小值為9.故選：D5．（23-24高三·廣東肇慶·模擬）已知，，，則的最小值為（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【分析】通過配湊，借助基本不等式計算即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即，時，有最小值.故選：C.題型十：分母構(gòu)造型：兩個分母構(gòu)造型雙分母雙分母形如，求型，則可以湊配，再利用“1”的代換來求解。其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來進(jìn)行變換湊配。1．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，根據(jù)“1”的代換化簡得出.進(jìn)而根據(jù)基本不等式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為．故選：C．2．（23-24高三·浙江·期中）已知，且，則的最小值為（

）A．1 B． C．9 D．【答案】C【分析】根據(jù)已知等式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．【詳解】因?yàn)?，所以，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故選：C．3．（23-24高三·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得當(dāng)時，，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【詳解】易知，所以可得；當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；依題意需滿足，所以.故選：D4．（23-24高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，利用基本不等式“1”的代換求其最小值，注意取值條件.【詳解】非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以當(dāng)時，的最小值為.故選：D5．（23-24高三·湖北·階段練習(xí)）若，且，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】利用乘“1”法即可求解.【詳解】可變形為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時取等號，故選：C題型十一：分離常數(shù)構(gòu)造型對于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過常數(shù)代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉(zhuǎn)化為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來求解對于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過常數(shù)代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉(zhuǎn)化為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來求解分離常數(shù)技巧：1．（23-24高三·廣東佛山·階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式求最值即可.【詳解】因?yàn)椋?，則．因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，故的最小值是．故選：A.2．（23-24高三上·廣東東莞·期中）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【詳解】正實(shí)數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值.故選：D3．（23-24高三·全國·期末）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．5【答案】C【分析】根據(jù)題意整理可得，再利用基本不等式求解即可得.【詳解】由于，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為.故選：C.4．（23-24高三·湖北武漢·模擬）已知且，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】將已知化為，，再利用基本不等式即可求解.【詳解】，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時等號成立，的最小值為.故選：A5．（22-23高一下·云南·階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】整理得出，由已知變形可得，展開后利用基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.【詳解】因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故選：B.題型十二：換元構(gòu)造型若已知若已知（定值），型，則可通過線性換元，令，反解出代入條件等式中，換元為簡單的條件不等式1．（23-24高三上·四川巴中·開學(xué)考試）已知且，則的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】令，結(jié)合可得，由此即得，展開后利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意得，，令，則，由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時取等號，也即，即時，等號成立，故的最小值為9，故選：B2．（23-24高三上·山東·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先得出，再根據(jù)基本不等式“1”的妙用求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則且，解得.所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時取等號，即且，解得.故選：B.3．（21-22高三·河南洛陽·階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用雙換元法化簡后，根據(jù)基本不等式計算【詳解】，令，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，故有最小值．故選：B4．（22-23高三上·江西南昌·階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式“1”的妙用及換元法即可求得結(jié)果.【詳解】，令，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時，等號成立，所以，故有最小值.故選：D.5．（2022·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用換元法和基本不等式即可求解.【詳解】令，，則，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，故選：A.題型十三：分母拆解湊配型湊配拆解型湊配拆解型形如，求型，則可以湊配，再利用“1”的代換來求解。其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來進(jìn)行變換湊配1．（22-23高三上·河北保定·階段練習(xí)）不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，則有，所以，化簡后利用基本不等式可求得其最小值.【詳解】方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根，，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為.故選：C2．（22-23高三·河北承德·期末）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．12 D．10【答案】B【分析】利用得出，結(jié)合基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：B3．（19-20高三上·陜西榆林·階段練習(xí)）已知的值域?yàn)?，?dāng)正數(shù)滿足時，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)值域計算，變換，利用均值不等式得到答案.【詳解】，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，故；即，，當(dāng)，即，時等號成立.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值域，均值不等式，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為.故選：A5．（23-24高三下·河北·開學(xué)考試）已知，均為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】先將化為，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得.【詳解】因?yàn)椋鶠檎龑?shí)數(shù)，且，得，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以.故選：B.題型十四：萬能“K”型一般情況下的“萬能K法”一般情況下的“萬能K法”設(shè)K法的三個步驟：⑴、問誰設(shè)誰：求誰，誰就是K；⑵、代入整理：整理成某個變量的一元二次方程（或不等式）；⑶、確認(rèn)最值：方程有解（或不等式用均值放縮），≥0確定最值。求誰設(shè)誰，構(gòu)造方程用均值1．（22-23高三上·江蘇南京·模擬）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B．1 C．2 D．9【答案】D【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.【詳解】因?yàn)?，所?所以，即所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，解得或時等號成立，所以當(dāng)時有最大值為9.故選:D.2.（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，可得，則有，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，取到最小值.故選：B.3.（2022秋·四川成都·高一成都外國語學(xué)校?？计谥校┮阎龜?shù)滿足，則的最大值是.【答案】【分析】令，則，，利用基本不等式，并結(jié)合一元二次不等式的求法可得的范圍，進(jìn)而得到答案.【詳解】令，因?yàn)椋?，所?則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.所以，即，解得，所以的最大值為.故答案為：.4.（21-22高三上·湖北襄陽·期中）若正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由題意可得，化簡利用基本不等式可得，從而可求出的最小值.【詳解】解：，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，解得，的最小值為故選：C題型十五：均值不等式應(yīng)用比大小幾個重要不等式幾個重要不等式（1）_（）；（2）（）；（3）2（）；（4）__或（）；（5）1．（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以得到，得到，作差比較的大小，利用基本不等式比較大小即可.【詳解】設(shè)，則在上單調(diào)遞減，所以，所以，，，，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以得到，利用基本不等式比較大小即可.2．（2023·河南洛陽·一模）下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】運(yùn)用作差法、對數(shù)運(yùn)算公式及基本不等式可比較與，再運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性可比較與.【詳解】∵，，∴，所以.∵∴比較與的大小，即比較與的大小.令，則.令，則.所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞減.又因?yàn)椋?，?所以，即.綜上所述，.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.3．（22-23高三·江蘇常州·模擬）若且，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先將與常數(shù)進(jìn)行比較，然后通過與比較大小，再通過基本不等式進(jìn)行放縮，最后通過放縮【詳解】，可得：，，可得：且由基本不等式，可得：又，可得：，且，可得：，即故選：A4．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對已知等式兩邊分別取對數(shù)求出a，b，c，然后通過換底公式并結(jié)合基本不等式比較a，b的大小，從而得到a，b，c的大小關(guān)系．【詳解】分別對，，兩邊取對數(shù)，得，，．．由基本不等式，得:，所以，即，所以．又，所以.故選：D．5．（23-24高三·浙江溫州·模擬）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷出，，然后根據(jù)作差法結(jié)合基本不等式比較.【詳解】由題意，，，，由換底公式，，，由于，根據(jù)基本不等式，，故，即，于是.故選：A題型十六：利用均值不等式求恒成立參數(shù)型恒成立：恒成立：①若在上恒成立，則；②若在上恒成立，則；③若在上有解，則；④若在上有解，則；函數(shù)最值，符合均值不等式條件的，可以構(gòu)造均值不等式放縮求最值1．（22-23高三·福建廈門·階段練習(xí)）已知不等式對滿足的所有正實(shí)數(shù)a，b都成立，則正數(shù)x的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先利用基本不等式證得（此公式也可背誦下來），從而由題設(shè)條件證得，結(jié)合題意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以由得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時，等號成立，所以，即，因?yàn)閷M足的所有正實(shí)數(shù)a，b都成立，所以，即，整理得，解得或，由為正數(shù)得，所以正數(shù)的最小值為.故選：B.2．（23-24高三·甘肅蘭州·期末）對任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】首先不等式變形為恒成立，再利用兩次基本不等式求的最小值，即可求解的取值.【詳解】不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為恒成立，其中，令，，，第二次使用基本不等式，等號成立的條件是且，得且，此時第一次使用基本不等式，說明兩次基本不等式能同時取得，所以的最小值為，即，則，所以實(shí)數(shù)的最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是再求的最值時，需變形為，再通過兩次基本不等式求最值.3．（23-24高三上·河北邢臺·階段練習(xí)）不等式對所有的正實(shí)數(shù),恒成立，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】由題意可得，令，則有，，結(jié)合基本不等式求得，于是有，從而得答案.【詳解】解：因?yàn)?為正數(shù)，所以，所以，則有，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，，又，所以，即，所以的最小值為1，所以，即的最大值為1.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于恒成立問題，常采用參變分離法，只需求出分離后的函數(shù)(代數(shù)式)的最值即可得解.4．（22-23高三上·河南鄭州·模擬）已知正數(shù)a，b滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先參變分離得，再利用，與相乘，然后連續(xù)運(yùn)用兩次基本不等式即可.【詳解】依題意，．又，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，前后兩個不等號中的等號同時成立，所以的取值范圍為故選：題型十七：因式分解型如果條件（或者結(jié)論）可以因式分解，則可以通過對分解后因式雙換元來轉(zhuǎn)化求解如果條件（或者結(jié)論）可以因式分解，則可以通過對分解后因式雙換元來轉(zhuǎn)化求解1.特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理2.最常見的因式分解：1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是．【答案】10【解析】將已知等式化為，所求式子化為，利用基本不等式即可