二、從數(shù)學(xué)思想與觀點(diǎn)看數(shù)學(xué)的魅力

從數(shù)學(xué)思想與觀點(diǎn)看數(shù)學(xué)的魅力河北電大胡晶1抽象數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)研究歸回?cái)?shù)學(xué)的魅力之一--數(shù)學(xué)的生命力--“變中有不變”

抽象，能夠揭露那些被表面現(xiàn)象所掩蓋的實(shí)質(zhì)，能夠弄清初看上去完全不同的事物間的內(nèi)在聯(lián)系?！俺橄蟆钡挠^點(diǎn)

抽象是把同類事件中最關(guān)鍵、最根本的本性東西拿出來(lái)加以歸納綜合，使其具有更大的推廣性和普適性。2哥尼斯堡是歐洲一個(gè)美麗的城市，有一條河流經(jīng)該市，河中有兩個(gè)小島，島與兩岸間，島與島間有七座橋相連。人們晚飯后沿河散步時(shí)，常常走過(guò)小橋來(lái)到島上，或到對(duì)岸。一天，有人想出一種游戲來(lái)，他提議不重復(fù)地走過(guò)這七座橋，看看誰(shuí)能先找到一條路線。這引起許多人的興趣，但嘗試的結(jié)果，沒(méi)有一個(gè)人能夠做到。不是少走了一座橋，就是重復(fù)走了一座橋。多次嘗試失敗后，有人寫信求教于當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉。

哥尼斯堡七橋問(wèn)題3歐拉思考后，首先把島和岸都抽象成“點(diǎn)”，把橋抽象成線。然后歐拉把哥尼斯堡七橋問(wèn)題抽象成“一筆畫(huà)問(wèn)題”：筆尖不離開(kāi)紙面，一筆畫(huà)出給定圖形，不允許重復(fù)任何一條線，這簡(jiǎn)稱為“一筆畫(huà)”。需要解決的問(wèn)題是：找到“一個(gè)圖形可以一筆畫(huà)”的充分必要條件，并且對(duì)可以一筆畫(huà)的圖形，給出一筆畫(huà)的方法。于是聰明的歐拉將居民的問(wèn)題抽象為一筆畫(huà)問(wèn)題，在他的圖紙上，線條的交點(diǎn)被分為奇界點(diǎn)和偶界點(diǎn)，并得出了一筆畫(huà)問(wèn)題能成功的充要條件：奇界點(diǎn)≦2個(gè)。4一筆畫(huà)問(wèn)題能成功的充要條件：奇界點(diǎn)≦2個(gè)。哥尼斯堡七橋問(wèn)題----抽象為一筆畫(huà)問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象、方法抽象、結(jié)論也抽象。

BACD一次走完（一筆畫(huà)）一次走不完（一筆畫(huà)不出）2421331Euler偶數(shù)個(gè)界點(diǎn)奇數(shù)個(gè)界點(diǎn)333數(shù)學(xué)的魅力之二----透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì).5把未知的、待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的、已解決的問(wèn)題從而解決問(wèn)題的過(guò)程。

數(shù)學(xué)家波利亞用一個(gè)“燒水”的淺顯例子，體現(xiàn)了“化歸”的數(shù)學(xué)思想。①給你一個(gè)煤氣灶，一個(gè)水龍頭，一盒火柴，一個(gè)空水壺，讓你燒一滿壺開(kāi)水，你應(yīng)該怎么做？②給你一個(gè)煤氣灶，一個(gè)水龍頭，一盒火柴，一個(gè)已裝了半壺水的水壺，讓你燒一滿壺開(kāi)水，你又應(yīng)該怎么做？數(shù)學(xué)的魅力之三-----化繁為簡(jiǎn)“化歸”的思想煤氣灶水龍頭火柴空水壺6

在我們多年的數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)課的教學(xué)安排一直在遵循著這一數(shù)學(xué)的思想，如果我們?cè)趯W(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中會(huì)運(yùn)用化歸的思想，循序漸進(jìn)，就不會(huì)感到數(shù)學(xué)的枯燥，學(xué)習(xí)的枯燥了。比如說(shuō)，學(xué)習(xí)拋物線-二次函數(shù)，先學(xué)頂點(diǎn)在原點(diǎn)、開(kāi)口向上的標(biāo)準(zhǔn)方程，再學(xué)其他的，等等。你能夠再舉出一些例子嗎？想一想：我們?cè)谑裁吹胤接眠^(guò)“化歸”的思想？在實(shí)際生活中，無(wú)論在處理日常工作還是科學(xué)研究中，如果能夠把遇到的新問(wèn)題、新的事物注意轉(zhuǎn)化成已知或部分已知，我們的工作量有時(shí)會(huì)大大降低。7

有一輛火車以每小時(shí)15公里的速度離開(kāi)北京直奔廣州，同時(shí)另一輛火車每小時(shí)20公里的速度從廣州開(kāi)往北京。如果有一只鳥(niǎo)，以35公里每小時(shí)的速度和兩輛火車同時(shí)啟動(dòng)，從北京出發(fā)，碰到另一輛車后就向相反的方向返回去飛，就這樣依次在兩輛火車之間來(lái)回地飛，直到兩輛火車相遇。請(qǐng)問(wèn)，這只鳥(niǎo)共飛行了多長(zhǎng)的距離？微軟公司招聘員工的面試題北京廣州

如何思考這一小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題？能否用化歸的思想方法？怎樣分析？8

數(shù)學(xué)中的審美思想

數(shù)學(xué)家蒲豐用隨機(jī)投針的方法求圓周率。數(shù)學(xué)的魅力之四-------數(shù)學(xué)的“統(tǒng)一美”

研究偶然性內(nèi)容的概率論，與研究確定性內(nèi)容的平面幾何，本來(lái)是兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)分支。

1777年的某一天，蒲豐把一些朋友請(qǐng)到家里。他事先在一張大白紙上畫(huà)好了一條條等距離的平行線，又拿出許多質(zhì)量均勻、長(zhǎng)度為平行線距離一半的小針，請(qǐng)客人把針一根根隨意扔到白紙上。蒲豐則在旁邊計(jì)數(shù)，結(jié)果共投了2212次，其中與平行線相交的有704次。蒲豐隨即用2212除以704，然后說(shuō)，這就是圓周率的近似值。這一試驗(yàn)讓客人震驚，然而它卻有數(shù)學(xué)依據(jù)。計(jì)算的值是確定性問(wèn)題，投針卻是隨機(jī)性的方法。9“形數(shù)統(tǒng)一”的思想

2002年在北京舉行的“國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)”，大會(huì)的會(huì)徽就選擇了周髀算經(jīng)中勾股定理證明的圖形。

趙爽(三國(guó)時(shí)期東吳數(shù)學(xué)家)用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系。這個(gè)證明極富創(chuàng)新意識(shí)，既嚴(yán)密又直觀，為中國(guó)古代“形數(shù)統(tǒng)一”、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。

10事實(shí)上，“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法正是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)極其重要的條件。為此，在我國(guó)舉行的2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)選用了趙爽的“勾股圓方圖”為會(huì)徽。趙爽之后不久的公元三世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽巧妙地設(shè)計(jì)了一種“弦圖”——“青朱出入圖”用以證明勾股定理。至今勾股定理的證明已經(jīng)多達(dá)380種了，而很多人，仍在探尋新的方法。我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為，如果要與“外星人”交流信息，不妨把“青朱出入圖”也送去。美國(guó)宇航局的一次尋找外星人的行動(dòng)中，也帶去了一個(gè)證明勾股圖形的黃金制品，可見(jiàn)勾股定理的證明是世界的驕傲。數(shù)學(xué)的魅力五-----和諧美11微積分的思想

微積分是一種數(shù)學(xué)思想，“無(wú)限細(xì)分”就是微分，“無(wú)限求和”就是積分。無(wú)限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)。如何計(jì)算曲邊梯形的面積?什么是“無(wú)限細(xì)分”？“無(wú)限求和”？12播放觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：13觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：

3個(gè)分點(diǎn)的圖示14觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：

13個(gè)分點(diǎn)的圖示15觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：

23個(gè)分點(diǎn)的圖示16觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：

33個(gè)分點(diǎn)的圖示17觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：

43個(gè)分點(diǎn)的圖示18觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：

53個(gè)分點(diǎn)的圖示19觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：

63個(gè)分點(diǎn)的圖示20觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：

73個(gè)分點(diǎn)的圖示21觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：

83個(gè)分點(diǎn)的圖示22觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：

93個(gè)分點(diǎn)的圖示23觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：103個(gè)分點(diǎn)的圖示24觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：113個(gè)分點(diǎn)的圖示25觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：123個(gè)分點(diǎn)的圖示26觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：133個(gè)分點(diǎn)的圖示27觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：143個(gè)分點(diǎn)的圖示28ab曲邊梯形的面積的計(jì)算y=f(x)分割近似代替求和取極限Ax0y

當(dāng)分割無(wú)限加密，區(qū)間[a，b]分得越細(xì)，精確度就越高?！靶闻c數(shù)”的統(tǒng)一的典范29求定積分過(guò)程中的辯證思維

恩格斯指出：變量數(shù)學(xué),最主要的部分是微積分—本質(zhì)上是辯證法在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用。求曲邊梯形的面積的前三步即“分割”，“近似代替”和“求和”是初等數(shù)學(xué)方法的體現(xiàn)，而且也是初等數(shù)學(xué)方法中形式邏輯思維的體現(xiàn)。只有第四步“取極限”這種思維蘊(yùn)含于變量數(shù)學(xué)中的豐富的辯證邏輯思維，才使得微