第一章(1)復(fù)變函數(shù)市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)一.復(fù)數(shù)定義,代數(shù)運(yùn)算,幾何表示二.復(fù)變函數(shù)定義，簡(jiǎn)單性質(zhì)第1頁(yè)第一節(jié)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算本節(jié)給出復(fù)數(shù)概念，它幾何表示，以及對(duì)應(yīng)運(yùn)算。第2頁(yè)1.復(fù)數(shù)概念例:錯(cuò)誤!兩個(gè)復(fù)數(shù)相等它們實(shí)部和虛部對(duì)應(yīng)相等(imaginarypart)(realpart)第3頁(yè)為何討論復(fù)數(shù)？第4頁(yè)求解二次方程解表示式這正是卡丹諾所考慮負(fù)數(shù)平方根。但卡丹諾當(dāng)初摒棄了這種解，說(shuō)它是“沒(méi)有用處”。并不是卡丹諾缺乏繼續(xù)追究這件事所需想象力，而是他很有理由不去這么做。第5頁(yè)能夠看成是求拋物線與直線交點(diǎn)。在情況下，問(wèn)題確實(shí)有解；從代數(shù)上說(shuō)，在情況下，問(wèn)題顯然沒(méi)有解；從代數(shù)上說(shuō)，解式中出現(xiàn)了“不可能”數(shù)正確地宣示了解不存在。二次方程第6頁(yè)并不是二次方程迫使我們嚴(yán)厲地考慮復(fù)數(shù)。而是三次方程迫使人們這么做?？ǖぶZ在《大術(shù)》一書中，給出了解表示式這個(gè)方程代表求一個(gè)三次曲線與直線交點(diǎn)。第7頁(yè)在這個(gè)公式出現(xiàn)大約30年后，龐貝利發(fā)覺(jué)它有一些奇怪悖論式地方。所以，我們就有必要去考慮復(fù)數(shù)（或者復(fù)數(shù)相關(guān)運(yùn)算）!例：解為但此時(shí)，三次曲線與直線是相交！交點(diǎn)：第8頁(yè)（1）點(diǎn)表示一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)2.復(fù)數(shù)在平面上幾何表示第9頁(yè)第10頁(yè)復(fù)數(shù)模:性質(zhì):第11頁(yè)第12頁(yè)復(fù)數(shù)輻角:(argument:輻角,變?cè)?第13頁(yè)輻角主值:注:第14頁(yè)第15頁(yè)2-2例:O第16頁(yè)-11O第17頁(yè)第18頁(yè)例:解:三角表示式:指數(shù)表示式:第19頁(yè)3.復(fù)數(shù)運(yùn)算設(shè),定義運(yùn)算以下:加法:減法:乘法:除法:第20頁(yè)共軛運(yùn)算:性質(zhì):(2)(3)第21頁(yè)設(shè)求解:第22頁(yè)預(yù)備知識(shí)：復(fù)數(shù)乘冪第23頁(yè)兩個(gè)復(fù)數(shù)乘法:結(jié)論：

注:等式(2)了解－－所表示輻角全體或輻角集合相同，即左端集合中一個(gè)元素總可在右端集合中找到，反之亦成立。第24頁(yè)復(fù)數(shù)乘積指數(shù)形式：運(yùn)算規(guī)則與實(shí)數(shù)完全一致！第25頁(yè)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度--向量旋轉(zhuǎn)，伸縮第26頁(yè)例1:已知正三角形兩個(gè)頂點(diǎn)為求它另一個(gè)頂點(diǎn).解:可經(jīng)過(guò)將向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度，伸長(zhǎng)到1倍得到。第27頁(yè)類似地，第28頁(yè)類似地,可分析兩個(gè)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算:結(jié)論：第29頁(yè)注:兩個(gè)復(fù)數(shù)乘法特殊情況：棣莫弗公式應(yīng)用？第30頁(yè)解:第31頁(yè)復(fù)數(shù)方根(乘冪逆運(yùn)算)第32頁(yè)第33頁(yè)注:結(jié)論：第34頁(yè)解:因?yàn)樗缘?5頁(yè)即四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn),半徑為21/8圓正方形四個(gè)頂點(diǎn).第36頁(yè)解:移項(xiàng),得因?yàn)樗?第37頁(yè)4.復(fù)球面及無(wú)窮大

對(duì)復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z,用直線將z與N相連,與球面相交于P點(diǎn),則球面上除N點(diǎn)外全部點(diǎn)和復(fù)平面上全部點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

N點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)可代表無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),記作

.這么球面稱作復(fù)球面.第38頁(yè)擴(kuò)充復(fù)平面---復(fù)平面引進(jìn)一個(gè)“理想點(diǎn)”:無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)

∞.約定:無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)∞:無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)全部點(diǎn)注：區(qū)分于實(shí)數(shù)域中正無(wú)窮，負(fù)無(wú)窮。第39頁(yè)小結(jié)2.熟練掌握:復(fù)數(shù)幾個(gè)代數(shù)表示形式間相互轉(zhuǎn)化.3.熟練掌握:計(jì)算復(fù)數(shù)模,輻角,輻角主值.4.了解：無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(