重難點(diǎn)專(zhuān)題 1-1 函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與周期性問(wèn)題【18類(lèi)題型】（解析版）-2025屆高考數(shù)學(xué)題型歸納與重難點(diǎn)突（新高考專(zhuān)用）

重難點(diǎn)專(zhuān)題1-1函數(shù)對(duì)稱(chēng)性周期性問(wèn)題近4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新高考2卷，第6題對(duì)稱(chēng)性與函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的識(shí)別2022年新高考1卷，第12題函數(shù)對(duì)稱(chēng)性與周期性導(dǎo)函與原函數(shù)數(shù)對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題的轉(zhuǎn)換，由平移關(guān)系得出對(duì)稱(chēng)性2022年全國(guó)乙卷，第12題函數(shù)對(duì)稱(chēng)性與周期性函數(shù)軸對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)的抽象表示式，由對(duì)稱(chēng)性得出周期2021年新高考2卷，第8題函數(shù)對(duì)稱(chēng)性與周期性由平移關(guān)系得出對(duì)稱(chēng)性，再由對(duì)稱(chēng)性得出周期2021年甲卷（理），第12題函數(shù)對(duì)稱(chēng)性與周期性由平移關(guān)系得出對(duì)稱(chēng)性，由對(duì)稱(chēng)性得出周期2021年甲卷（文），第12題函數(shù)對(duì)稱(chēng)性與周期性函數(shù)軸對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)的抽象表示式，由對(duì)稱(chēng)性得出周期模塊一模塊一總覽熱點(diǎn)題型解讀（目錄）【題型1】識(shí)別對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心 2【題型2】由對(duì)稱(chēng)求解析式 4【題型3】由平移前后關(guān)系得出原函數(shù)對(duì)稱(chēng)性 5【題型4】與對(duì)稱(chēng)性有關(guān)的材料題 6【題型5】通過(guò)周期性求值或解析式 8【題型6】由對(duì)稱(chēng)性進(jìn)而得出周期 11【題型7】類(lèi)周期函數(shù)與倍增函數(shù) 21【題型8】由中心對(duì)稱(chēng)求出函數(shù)中間值 26【題型9】由對(duì)稱(chēng)性求交點(diǎn)坐標(biāo)的和 30【題型10】由解析式看出對(duì)稱(chēng)性 36【題型11】由對(duì)稱(chēng)性解函數(shù)不等式 42【題型12】由解析式看出對(duì)稱(chēng)中心再解函數(shù)不等式 44【題型13】由解析式看出對(duì)稱(chēng)軸再解函數(shù)不等式 47【題型14】配湊后得出新函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性 49【題型15】已知一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸（中心）和周期 50【題型16】涉及導(dǎo)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題 56【題型17】?jī)蓚€(gè)函數(shù)混合型 69【題型18】?jī)蓚€(gè)函數(shù)混合且涉及導(dǎo)數(shù) 73模塊二模塊二核心題型·舉一反三(講與練)【題型1】識(shí)別對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心若，且關(guān)于對(duì)稱(chēng)若，且關(guān)于對(duì)稱(chēng)設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得：，而，故.【鞏固練習(xí)1】（多選題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，且對(duì)于任意，都有，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】BCD【解析】由，得．由是奇函數(shù)，得，即，所以，即，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由，得，由，得，所以，故選項(xiàng)B正確；由，，得，即為偶函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；由，，得，則，即為奇函數(shù)，故選項(xiàng)D正確．【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，代入化簡(jiǎn)解方程即可求得.【詳解】由對(duì)稱(chēng)中心性質(zhì)可知函數(shù)滿(mǎn)足，即，整理可得，即，解得.【題型2】由對(duì)稱(chēng)求解析式一、把的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)后的函數(shù)為，則證明：設(shè)對(duì)稱(chēng)后的點(diǎn)為，則點(diǎn)在上，故，即二、把的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)后的函數(shù)為，則證明：設(shè)對(duì)稱(chēng)后的點(diǎn)為，則點(diǎn)在上，代入可得，則有，即（2024·四川成都·三模）函數(shù)與的圖象（

）A．關(guān)于對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于對(duì)稱(chēng)【答案】D【分析】首先得到曲線(xiàn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)為，再對(duì)比系數(shù)得到方程求出，即可得解.【詳解】因?yàn)榍€(xiàn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)為，即，與對(duì)比系數(shù)可知，解得，所以函數(shù)與的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)．故選：D【鞏固練習(xí)1】若函數(shù)y＝g（x）的圖象與y＝lnx的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)，則g（x）＝．【答案】ln（4－x）【分析】利用對(duì)稱(chēng)的定義求解即可.【詳解】在函數(shù)y＝g（x）的圖象上任取一點(diǎn)（x，y），則點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為（4－x，y），且點(diǎn)（4－x，y）在函數(shù)y＝lnx的圖象上，所以y＝ln（4－x）,即,故答案為：【題型3】由平移前后關(guān)系得出原函數(shù)對(duì)稱(chēng)性若已知是奇（偶）函數(shù)求對(duì)稱(chēng)性是偶函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，是奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)舉個(gè)例子：若是奇函數(shù)證：設(shè)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，通過(guò)函數(shù)圖像的平移和伸縮變換求出a，b的值對(duì)稱(chēng)中心2024·江蘇高郵·統(tǒng)考定義在上的函數(shù)和的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求解即可.【詳解】由題意得函數(shù)是奇函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)，另知函數(shù)和的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故關(guān)于對(duì)稱(chēng)【鞏固練習(xí)】已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，由是偶函數(shù)，得，即，由為奇函數(shù)，得，即，顯然，因此，即，有，，，而的值都不確定，ABC錯(cuò)誤，D正確【題型4】與對(duì)稱(chēng)性有關(guān)的材料題結(jié)合材料得出結(jié)論，再解決問(wèn)題（多選）在學(xué)習(xí)了函數(shù)的奇偶性后，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)：函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，可以引申為：函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).已知函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng),可得所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，令，可求得，故錯(cuò)誤,正確；又，故正確，令此式中，可求得,判斷出選項(xiàng)【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)，且由函數(shù)可得定義域?yàn)椋缘膱D象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，所以，故錯(cuò)誤,正確；所以對(duì)任意，都有，故正確；在中令得，且，所以，故正確【鞏固練習(xí)1】（多選）已知函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是是奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是是偶函數(shù).則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的對(duì)稱(chēng)中心為B．關(guān)于對(duì)稱(chēng)C．的對(duì)稱(chēng)中心為D．的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)【答案】AB【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，設(shè)，為奇函數(shù)，所以的對(duì)稱(chēng)中心為，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，設(shè)，為偶函數(shù)，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，設(shè)，，所以不是奇函數(shù)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，設(shè)，，所以不是奇函數(shù)，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤【鞏固練習(xí)2】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙一中?？迹┪覀冎?，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．（1）請(qǐng)你利用這個(gè)結(jié)論求得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為．（2）已知函數(shù)與一次函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，，則．【答案】【分析】（1）將函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心設(shè)出來(lái)，利用條件列方程組，解方程組可以得到對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo).（2）利用結(jié)論進(jìn)行分析，得到的對(duì)稱(chēng)中心為，再根據(jù)恒過(guò)點(diǎn)，得到點(diǎn)為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算推出的值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)為函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心，令，則為奇函數(shù)，所以，即，可得，，所以，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為.故答案為：（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形則函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件可轉(zhuǎn)化為，因?yàn)?，，所以，即?duì)稱(chēng)中心為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像是恒過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，所以交點(diǎn)，的中點(diǎn)為，所以，，即【題型5】通過(guò)周期性求值或解析式(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)周期定義，從而求出函數(shù)的周期．(2)利用函數(shù)的周期性，可以解決區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題．周期函數(shù)的常見(jiàn)條件一、若（c為常數(shù)），則周期為2a.證明：令，兩式相減得即，故二、若，則（相對(duì)少見(jiàn)）證明：由，得三、其它周期條件設(shè)函數(shù)，，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a；（5）若，則函數(shù)的周期為；（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的周期為；（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的周期為；（8）若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的周期為；（9）若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的周期為2a；（10）若函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的周期為4a．三、周期與對(duì)稱(chēng)性的區(qū)分1.若fx+a=±fx+b2.若fx+a=±f(b?x),則口訣：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對(duì)稱(chēng)性”（2024·陜西西安·二模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則.【答案】【解析】由已知可得，所以，所以，即是函數(shù)的一個(gè)周期，所以.【鞏固練習(xí)1】（多選）已知fx是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有fx+2=?fx．當(dāng)A．fxB．fx在x∈2,4C．fx的值域?yàn)镈．f【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，分析可得區(qū)間?2,0上，f(x)的解析式，再分析函數(shù)f(x)的周期性，可得f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由此分析選項(xiàng)是否正確，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，x∈?2,0時(shí)，x+2∈0,2，因?yàn)閤∈0,2所以f(x+2)=?(x+2)又由f(x+2)=?f(x)，則f(x)=?f(x+2)=x即f(x)=x2+2x若x∈?2,0，則?x∈0,2，若x∈0,2，則?x∈?2,0，故在區(qū)間?2,2上f?x=?fx又由f(x+2)=?f(x)，則f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，故f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由此分析選項(xiàng)：對(duì)于A，f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f(x)為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)x∈2,4時(shí)，則x?4∈?2,0，則函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，則f(x)=f(x?4)=x對(duì)于C，在區(qū)間?2,0上，f(x)=x2+2x=x+12所以?1≤f(x)≤0，故f(x)的值域一定不是0,1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閤∈0,2時(shí)，fx=?x2又f(x+2)=?f(x)，則f(x+2)+f(x)=0，則有f1+f3=0，所以f==f=f1【鞏固練習(xí)2】設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，已知x∈[2,3]時(shí)，f(x)=x，則x∈?2,0時(shí)，f(x)的解析式為f(x)=A．x+4 B．2?xC．3?|x+1| D．2?【答案】C【分析】根據(jù)已知函數(shù)的奇偶性和周期性，結(jié)合x(chóng)∈[2,3]時(shí)，f(x)=x，分別討論x∈?2,?1和x∈【詳解】∵f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，x∈[2,3]時(shí)，f(x)=x，∴x∈?2,?1時(shí)，2+x∈0,1此時(shí)fx當(dāng)x∈?1,0時(shí)，?x∈0,1此時(shí)fx所以fx綜上可得：x∈?2,0時(shí)，【題型6】由對(duì)稱(chēng)性進(jìn)而得出周期一、若關(guān)于和對(duì)稱(chēng)，則（類(lèi)比三角函數(shù)）證明：由對(duì)稱(chēng)軸可得，由對(duì)稱(chēng)中心可得則有，令，則有，故三、若關(guān)于和對(duì)稱(chēng)，則（類(lèi)比三角函數(shù)）證明：由對(duì)稱(chēng)性可得，則，故四、若關(guān)于和對(duì)稱(chēng)，則證明：由對(duì)稱(chēng)性可得，故2021全國(guó)甲卷（文）12題——由對(duì)稱(chēng)性得出周期性求值設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得的值.【詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.2021新高考2卷第8題——由對(duì)稱(chēng)性得出周期性求值已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.2024·廣東省一模（多選）已知偶函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)，首先推出函數(shù)為周期函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的符號(hào)，可得有關(guān)的結(jié)論.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以；因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，且的圖象是由的圖象向左平移個(gè)單位得到的，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，進(jìn)一步得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，即.所以，所以.所以函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為；又在上單調(diào)遞增，所以在上，有.所以函數(shù)的草圖如下：由圖可知：，故A錯(cuò)；，故B對(duì)；，故C錯(cuò)；，故D對(duì).2024·安徽蕪湖·二模已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，，則=（

）A．4036 B．4040 C．4044 D．4048【答案】D【分析】根據(jù)題中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，從而可得出為周期為4的函數(shù)，從而可求解.【詳解】由題意得為奇函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，由為偶函數(shù)，所以可得為偶函數(shù)，則，所以函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，從而得，所以函數(shù)為周期為4的函數(shù)，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)殛P(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，又因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，又因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，所以，故D正確.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，計(jì)算出、、、的值，結(jié)合函數(shù)的周期性可求得的值.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，將換為，得①(即對(duì)稱(chēng)軸x=-2)，又因?yàn)?，所以，將換為得②(即對(duì)稱(chēng)中心（-1,0））.由①②得，令,則,所以,將換得③,將換為為得④.由③④得，將換為得⑤所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)（由對(duì)稱(chēng)中心和對(duì)稱(chēng)軸也可直接得到周期為4），當(dāng)時(shí)，，則，，由③得，由④得，根據(jù)周期性⑤得：，，，，所以，又因?yàn)?，?2024·山東濟(jì)寧·一模設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】由為奇函數(shù)得到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，由為偶函數(shù)得到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，進(jìn)一步求得函數(shù)的周期，然后將與轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，為奇函?shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，且，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)軸對(duì)稱(chēng)，又因?yàn)?，所以函?shù)的周期為，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，，所以.(多選)已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，且為偶函?shù)，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】首先根據(jù)函數(shù)既是中心對(duì)稱(chēng)又是軸對(duì)稱(chēng)，求得函數(shù)的周期，判斷A，再根據(jù)函數(shù)周期和對(duì)稱(chēng)性求值，并求函數(shù)值，判斷BCD.【詳解】∵，∴關(guān)于對(duì)稱(chēng)∵為偶函數(shù)，∴關(guān)于對(duì)稱(chēng)∴的周期，故A錯(cuò)；（∵的周期為12）（∵關(guān)于對(duì)稱(chēng)）（∵關(guān)于對(duì)稱(chēng)），故B正確；（∵的周期為12）（∵關(guān)于對(duì)稱(chēng)）（∵關(guān)于對(duì)稱(chēng)），即，故C正確；∵的周期為12∴，，又，所以，同理，，，，又，所以，即，由，令，得，，，所以，所以，，，故D正確.故選：BCD2024·浙江·Z20第二次聯(lián)考函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足，以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】首先由抽象函數(shù)的形狀判斷函數(shù)的周期，并求的值，即可求解.【詳解】由條件，可知，所以，所以函數(shù)是周期為4的函數(shù)，，故A錯(cuò)誤；，故B正確；由條件，可知，所以，故C正確；由函數(shù)的周期為4，且，，所以，故D錯(cuò)誤.2024·河北張家口·一模已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：，且．若，則（

）A．506 B．1012 C．2024 D．4048【答案】C【分析】根據(jù)條件得到函數(shù)是周期為的函數(shù)，再根據(jù)條件得出，即可求出結(jié)果.【詳解】，①，即，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，令，則，所以，令，，又，所以，又，，②即函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且由①和②，得，所以，則函數(shù)的一個(gè)周期為4，則，所以.【鞏固練習(xí)1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）已知定義在R上的函數(shù)fx是奇函數(shù)，對(duì)任意x∈R都有fx+1=f1?x，當(dāng)f?3A．2 B．?2 C．0 D．?4【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性推得函數(shù)fx的周期為4，利用周期性和奇函數(shù)特征即可求得f【解答過(guò)程】定義在R上的函數(shù)fx是奇函數(shù)，且對(duì)任意x∈R故函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，∴fx∴fx=?f2+則f2023【鞏固練習(xí)2】（2024·高三·遼寧營(yíng)口·期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】為奇函數(shù)，，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以①，且，又為偶函數(shù)，，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以②，由①②可得，即，所以，于是可得，所以的周期，則，所以為偶函數(shù)則，所以，所以所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，所以.【鞏固練習(xí)3】2021全國(guó)甲卷（理）12題設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過(guò)是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進(jìn)而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案．【詳解】[方法一]：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因?yàn)椋裕?，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因?yàn)椋?，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個(gè)對(duì)稱(chēng)性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．【鞏固練習(xí)4】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知定義在R上的函數(shù)fx滿(mǎn)足f2+x?f2?x=4x．若f2x?3的圖象關(guān)于點(diǎn)2,1對(duì)稱(chēng)，且A．0 B．50 C．2509 D．2499【解題思路】由f2x?3圖象的對(duì)稱(chēng)中心得fx圖象的對(duì)稱(chēng)中心，由f2+x?【解答過(guò)程】因?yàn)閒2x?3的圖象關(guān)于點(diǎn)2即f2x?3則fx的圖象關(guān)于點(diǎn)1,1由f2+x?令gx=fx?2x，得g1+x+則gx的圖象關(guān)于點(diǎn)1,?1對(duì)稱(chēng)，則有g(shù)所以g2+x+兩式相減得gx+4=因?yàn)間0=f0?2×0=0，g所以f1+f故選：D.【鞏固練習(xí)5】（2024·全國(guó)·三模）(多選)已知函數(shù)定義域?yàn)榍也缓銥榱?，若函?shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則（

）A．B．C．是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸D．是圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心【答案】BCD【分析】由條件證明直線(xiàn)為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，結(jié)合函數(shù)的周期定義證明為周期函數(shù)，由此判斷A，再證明，結(jié)合周期性判斷B，證明為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合周期性判斷C，證明原點(diǎn)為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，結(jié)合周期性判斷D.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，即，所以，所以的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).所以.令，得.由，可得，故即，所以，所以函數(shù)的周期，所以，又不恒為零，所以錯(cuò)誤，A錯(cuò)誤，，B正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，所以為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合周期性可得，，為函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸，所以是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，C正確；因?yàn)?，，所以，所以原點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，結(jié)合函數(shù)周期性可得點(diǎn)，，為函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心，所以點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，D正確.【題型7】類(lèi)周期函數(shù)與倍增函數(shù)類(lèi)周期函數(shù)的定義：若y＝f(x)滿(mǎn)足：f(x＋m)＝kf(x)或f(x)＝kf(xm)，則y＝f(x)橫坐標(biāo)每增加m個(gè)單位，則函數(shù)值擴(kuò)大k倍．此函數(shù)稱(chēng)為周期為m的類(lèi)周期函數(shù)．1、類(lèi)周期函數(shù)若滿(mǎn)足：或，則橫坐標(biāo)每增加個(gè)單位，則函數(shù)值擴(kuò)大倍．此函數(shù)稱(chēng)為周期為的類(lèi)周期函數(shù)．2、倍增函數(shù)若函數(shù)滿(mǎn)足或，則橫坐標(biāo)每擴(kuò)大倍，則函數(shù)值擴(kuò)大倍．此函數(shù)稱(chēng)為倍增函數(shù)．2024·遼寧·二模已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)已知條件分別求出，，…,，相加可得答案．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，滿(mǎn)足，且當(dāng),時(shí)，，，，，，，．定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，求得在區(qū)間上，可得，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，所以在區(qū)間上，可得，作函數(shù)的圖象，如圖所示，所以當(dāng)時(shí)，，故選：B.

已知定義在上的函數(shù)，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，若方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【思路點(diǎn)撥】分別求出，，的解析式，畫(huà)出的圖象，由圖象即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，所以，即，當(dāng)時(shí)，則，所以，即，則，當(dāng)時(shí)，則，所以，即，畫(huà)出的圖象如下：

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為【鞏固練習(xí)1】設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，且fx+4=2fx，當(dāng)x∈0,4時(shí)，fx=2x2A．?∞,?7 B．?∞,?5 C．【解題思路】由fx+4=2fx和當(dāng)x∈0,4時(shí)fx=2x2?8x可以逐次推出?4,0【解答過(guò)程】當(dāng)x∈0,4時(shí)，fx=2x當(dāng)x∈?4,0時(shí)，x+4∈(0,4]，故fx+4當(dāng)x∈?8,?4時(shí)，x+4∈(?4,0]，故fx+4當(dāng)x∈?12,?8時(shí)，x+4∈(?8,?4]，故fx+4如圖，依題意令12(x+6)2?2=?32，解得x=?7或x故選：A.【鞏固練習(xí)2】（2024·云南昆明·二模）定義“函數(shù)y=fx是D上的a級(jí)類(lèi)周期函數(shù)”如下:函數(shù)y=fx,x∈D，對(duì)于給定的非零常數(shù)a，總存在非零常數(shù)T，使得定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x都有afx=fx+T恒成立，此時(shí)T為fx的周期.若y=fx是1,+∞上的a級(jí)類(lèi)周期函數(shù)，且T=1，當(dāng)x∈1,2A．56,+∞ B．2,+∞ C．【解題思路】由題可得fx=a【解答過(guò)程】∵x∈1,2時(shí),∴當(dāng)x∈2,3時(shí),當(dāng)x∈n,即x∈n,∵f(x)在1,+∞∴a>0且a解得a≥53，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：C.【鞏固練習(xí)3】設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，滿(mǎn)足fx=2fx?2，且當(dāng)x∈0,2時(shí)，fx=x2?x．若對(duì)任意A．?∞,52 B．?∞【解題思路】根據(jù)給定條件分段求解析式及對(duì)應(yīng)函數(shù)值集合，再利用數(shù)形結(jié)合即得.【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)fx的定義域?yàn)镽，滿(mǎn)足f且當(dāng)x∈0,2時(shí)，當(dāng)x∈(2,4]，時(shí)，x則f(當(dāng)x∈(4,6]，時(shí)，x則f(當(dāng)x∈(?2,0]，時(shí)，x則f(作出函數(shù)fx對(duì)任意x∈?∞,m，都有fx≤3則ft=3，所以?4t?52結(jié)合圖象知m的最大值為92，即m的取值范圍是?【題型8】由中心對(duì)稱(chēng)求出函數(shù)中間值已知奇函數(shù)，，則（1）（2）是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A．－1 B． C． D．1【答案】A【解析】是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則.∴.設(shè)為奇函數(shù)，若在的最大值為3，則在的最小值為.【答案】【詳解】的定義域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)，所以，，所以，，設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，依題意可知，在的最大值為，所以在的最小值為，所以在的最小值為函數(shù)在上的最大值和最小值分別為，則______.答案2解析，顯然關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以已知函數(shù)，且，則．【答案】【解析】由，得，構(gòu)建函數(shù)，定義域?yàn)椋瑒t，即是奇函數(shù)，于是，所以，可得，又，因此．故答案為：【鞏固練習(xí)1】設(shè)為奇函數(shù)，若在的最大值為3，則在的最小值為.【答案】【解析】的定義域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)，所以，，所以，，設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，依題意可知，在的最大值為，所以在的最小值為，所以在的最小值為.【鞏固練習(xí)2】（2024·高三·安徽·期中）函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則．【答案】1【解析】，設(shè)，則，記，因?yàn)?，所以是在上的奇函?shù)，最大值為，最小值為，所以，又因?yàn)?，所以【鞏固練?xí)3】已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，若函數(shù)的最大值和最小值分別為，則．【答案】4048【解析】令，得，令，則，所以，令，所以，為奇函數(shù)，．令，則，即為奇函數(shù)，所以．而，所以．【鞏固練習(xí)4】已知函數(shù)在[0，2]上的最大值為M，最小值為m，則M+m=．【答案】【解析】將函數(shù)配成關(guān)于的形式設(shè)則故為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)又，所以其圖象關(guān)于點(diǎn)（1，－1）對(duì)稱(chēng)所以在[0，2]上的最大值為M，最小值為m的和M+m=【鞏固練習(xí)5】已知函數(shù)，，若的最大值為，最小值為，則.【答案】【分析】先對(duì)變形得，再構(gòu)造函數(shù)，判斷為奇函數(shù)，從而由奇函數(shù)的性質(zhì)可得答案【詳解】由題意可得，令，則，因?yàn)樗詾槠婧瘮?shù)，所以在最大值與最小值之和為0，所以.【題型9】由對(duì)稱(chēng)性求交點(diǎn)坐標(biāo)的和一、若與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且它們有m個(gè)交點(diǎn)，則所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和二、若與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且它們有m個(gè)交點(diǎn)，則所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，縱坐標(biāo)之和為定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足為偶函數(shù)，，函數(shù)滿(mǎn)足，若與恰有2023個(gè)交點(diǎn)，從左至右依次為，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．2為的一個(gè)周期C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，推得，得到，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，又由，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，可得.對(duì)于A中，由，可得，所以，所以為奇函數(shù)，所以A正確；對(duì)于B中，由，所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，可得，顯然，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，因此函數(shù)與的交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，所以C正確；對(duì)于D中，由函數(shù)與的交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱(chēng)，可得，故D正確.2024·湖北七市州·3月統(tǒng)考（多選）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形C．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)D．若函數(shù)滿(mǎn)足為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)，記為，則【答案】BCD【分析】借助指數(shù)函數(shù)的值域求解判斷A；利用給定定義計(jì)算判斷B；利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則結(jié)合對(duì)稱(chēng)性判斷C；利用中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，顯然的定義域?yàn)镽，，則，即函數(shù)的值域?yàn)椋珹錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，即函數(shù)是奇函數(shù)，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，，即，兩邊求導(dǎo)得，即，因此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，C正確；對(duì)于D，由函數(shù)滿(mǎn)足為奇函數(shù)，得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，由選項(xiàng)B知，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).2024·重慶一中·2月月考已知定義在上的函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當(dāng)，，，，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．D．函數(shù)有8個(gè)不同零點(diǎn)【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性、零點(diǎn)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】是奇函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)；是偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為原點(diǎn)，則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以是奇函數(shù)，直線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)為，所以關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則B選項(xiàng)錯(cuò)誤.所以，所以是周期為的周期函數(shù)，A選項(xiàng)正確.，C選項(xiàng)正確.當(dāng)，，，，，解得，所以，，令得，，畫(huà)出和的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有個(gè)交點(diǎn)，所以有個(gè)零點(diǎn)，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD

【鞏固練習(xí)1】已知是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，為偶函數(shù)，若在上恰好有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則___________.【答案】24【解析】由為偶函數(shù)，則，故，又是定義在上的奇函數(shù)，則，所以，故，即有，綜上，的周期為8，且關(guān)于對(duì)稱(chēng)的奇函數(shù)，由在上單調(diào)遞減，結(jié)合上述思路點(diǎn)撥知：在上遞增，上遞減，上遞增，所以在的大致草圖如下：要使在上恰好有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即與有4個(gè)交點(diǎn)，所以，必有兩對(duì)交點(diǎn)分別關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則.【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)滿(mǎn)足：是偶函數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)為，，，，則橫坐標(biāo)之和（

）A．0 B．m C． D．【答案】B【解析】由是偶函數(shù)，知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)，其圖象也關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，其和為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，其和為.【鞏固練習(xí)3】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，若為奇函數(shù)，且直線(xiàn)與的圖象恰有5個(gè)公共點(diǎn)，，，，，則.【答案】【解析】為奇函數(shù)，則有，即，可得，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).直線(xiàn)，即，由，解得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，即直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).直線(xiàn)與的圖象恰有5個(gè)公共點(diǎn)，，，，，則有，，.【鞏固練習(xí)4】定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，；且當(dāng)時(shí)，．則方程所有的根之和為（

）A．6 B．12 C．14 D．10【答案】D【分析】根據(jù)題意可得為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)且一個(gè)周期為4，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)分析單調(diào)性，從而畫(huà)出簡(jiǎn)圖，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解零點(diǎn)和即可.【詳解】∵，∴為奇函數(shù)，又∵，∴的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．由，即有，所以，即函數(shù)的一個(gè)周期為4，由可得，，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)．函數(shù)的簡(jiǎn)圖如下：其中，由，∴所有實(shí)根之和為【鞏固練習(xí)5】已知定義在R上的偶函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)，則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】首先根據(jù)題干條件確定抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和周期性，然后根據(jù)的性質(zhì)及的解析式畫(huà)出與在的圖像，觀(guān)察圖像，結(jié)合函數(shù)對(duì)稱(chēng)性求解所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和.【詳解】由，可知函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，又為偶函數(shù)，，故函數(shù)是周期函數(shù)，且周期，，的圖像也關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，即函數(shù)在為減函數(shù)，又，即，即函數(shù)，的圖像在無(wú)交點(diǎn)，則函數(shù)，在上的圖像如圖所示，可知兩個(gè)圖像有3個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)在直線(xiàn)上，另外兩個(gè)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為3【鞏固練習(xí)6】定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足；且當(dāng)時(shí)，．則方程所有的根之和為（）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題中所給的函數(shù)性質(zhì)可得的周期為4且關(guān)于，再畫(huà)圖思路點(diǎn)撥與的交點(diǎn)對(duì)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得根之和即可.【詳解】由可得為奇函數(shù)，且關(guān)于對(duì)稱(chēng).又由題意，故，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且，故的周期為4.又當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故在為增函數(shù).綜上可畫(huà)出的函數(shù)部分圖像.又方程的根即與的交點(diǎn)，易得在區(qū)間上均有3個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于對(duì)稱(chēng)，加上共7個(gè)交點(diǎn)，其根之和為【題型10】由解析式看出對(duì)稱(chēng)性2024·湖南師大附中月考(四)一、具有中心對(duì)稱(chēng)的函數(shù)往往需要先移項(xiàng)，再脫掉“f”二、具有軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)脫掉“f”后注意加絕對(duì)值符號(hào)函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)的和等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)在的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為的圖象和函數(shù)的圖象在交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫(huà)出函數(shù)圖象，可得到兩圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且在上有8個(gè)交點(diǎn)，即可求出.【詳解】因?yàn)椋?，則，則函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象在交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得和的函數(shù)圖象都關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則交點(diǎn)也關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示.觀(guān)察圖象可知，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象在上有8個(gè)交點(diǎn)，即有8個(gè)零點(diǎn)，且關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故所有零點(diǎn)的和為.2024·福建泉州·質(zhì)量監(jiān)測(cè)（三）已知函數(shù)，滿(mǎn)足，，若恰有個(gè)零點(diǎn)，則這個(gè)零點(diǎn)之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由解析式可知為奇函數(shù)，進(jìn)而可得的對(duì)稱(chēng)中心，根據(jù)滿(mǎn)足的關(guān)系式，可得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，由兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心相同，即可判斷出其零點(diǎn)的特征，進(jìn)而求得個(gè)零點(diǎn)的和.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，而函數(shù)是函數(shù)向右平移兩個(gè)單位得到的函數(shù)，因而關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，函數(shù)滿(mǎn)足，所以，即，所以函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，且，且，所以由函數(shù)零點(diǎn)定義可知，即，由于函數(shù)和函數(shù)都關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，又因?yàn)榍∮袀€(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)和函數(shù)的交點(diǎn)恰有個(gè)，且其中一個(gè)為，其余的個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)分布，所以個(gè)零點(diǎn)的和滿(mǎn)足2024·四川瀘州·二模定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，設(shè)函數(shù)，則方程的所有實(shí)數(shù)根之和為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】首先得到是以為周期的周期函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出與的圖象，數(shù)形結(jié)合判斷函數(shù)的交點(diǎn)，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，即，所以是以為周期的周期函數(shù)，又，則，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又，又，又當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以，則，令，即，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出與的圖象如下所示：由圖可得與有個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，且與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，，所以方程的所有實(shí)數(shù)根之和為.故選：D

2024·廣州市鐵一中·一模已知函數(shù)，則直線(xiàn)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得，令，，分析可知，函數(shù)、的圖象都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.【詳解】由可得，令，，則函數(shù)的定義域?yàn)?，其最小正周期為，，所以，函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的，，所以，函數(shù)的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，則函數(shù)在上也為增函數(shù)，如下圖所示：由圖可知，函數(shù)、的圖象共有六個(gè)交點(diǎn)，其中這六個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足三對(duì)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此，直線(xiàn)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)，若，則．【答案】【分析】根據(jù)得到，然后求即可.【詳解】因?yàn)椋?，則，.【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則A． B． C． D．1【答案】C【詳解】因?yàn)椋O(shè)，則，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則函數(shù)有唯一零點(diǎn)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，只有當(dāng)時(shí)，才滿(mǎn)足題意，即是函數(shù)的唯一零點(diǎn)，所以，解得.故選：C.【鞏固練習(xí)3】（2024·安徽阜陽(yáng)·期末）若函數(shù)（m，n為常數(shù)）在上有最大值7，則函數(shù)在上（

）A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值【答案】A【分析】先分析函數(shù)的奇偶性，然后結(jié)合奇偶性和已知條件判斷出在上的最小值，由此可知結(jié)果.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以恒成立，所以的定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又，所以是奇函數(shù)，因?yàn)樵谏嫌凶畲笾担栽谏嫌凶畲笾禐椋栽谏嫌凶钚≈?，所以在上有最小值．【鞏固練?xí)4】己知函數(shù)，則__________.【答案】8082【詳解】到2020關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，顯然部分的和剛好為0令，則∴【鞏固練習(xí)5】若函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)稱(chēng)性，然后結(jié)合對(duì)稱(chēng)性及單調(diào)性即可比較函數(shù)值的大小．【詳解】因?yàn)?，所以所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞增，且恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故在上單調(diào)遞增，且，因?yàn)椋?，且，，所以，?故選：A.【題型11】由對(duì)稱(chēng)性解函數(shù)不等式一、具有中心對(duì)稱(chēng)的函數(shù)往往需要先移項(xiàng)，再脫掉“f”具有軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)脫掉“f”后注意加絕對(duì)值符號(hào)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x)－1為奇函數(shù)，則f(3x＋4)＋f(1－x)＜2的解集為_(kāi)________.【答案】【解析】函數(shù)為奇函數(shù)函數(shù)關(guān)于(0,1)中心對(duì)稱(chēng)f(1－x)+f(－1+x)=2又在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，，∴3x＋4＜x－1，∴.已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且對(duì)，，當(dāng)時(shí)，成立，若對(duì)任意的恒成立，則a的可取值為()A． B．-1 C．1 D.【答案】BC【解析】∵，∴的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，是偶函數(shù)，易證在上遞減，則在上遞增，則，即，對(duì)恒成立，由，得由，得綜上，，故BC成立.【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，若，則x的范圍是．【答案】或【分析】結(jié)合的奇偶性與增減性，可得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與單調(diào)性，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性與單調(diào)性的性質(zhì)計(jì)算即可得解.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，故，即，則的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由在上為增函數(shù)，則，即在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)，則對(duì)可得，即，則，化簡(jiǎn)得，即或.故答案為：或.【鞏固練習(xí)2】（2023·重慶八中）已知為偶函數(shù)，若對(duì)任意，，總有成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由可得，即，也即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以在單調(diào)遞減，且，所以由得解得【題型12】由解析式看出對(duì)稱(chēng)中心再解函數(shù)不等式具有中心對(duì)稱(chēng)的函數(shù)往往需要先移項(xiàng)，再脫掉“f”已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則滿(mǎn)足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】先求出的表達(dá)式，得出，進(jìn)而推得.將不等式轉(zhuǎn)化為.求導(dǎo)得出，結(jié)合基本不等式得出恒成立，得出函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，.所以，，即，所以.則由不等式可得，.又在R上單調(diào)遞增.則由可得，，解得.所以，滿(mǎn)足的的取值范圍是.已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【詳解】令，，所以為奇函數(shù)，不等式，等價(jià)于，即，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)榫鶠闇p函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)可知，為減函數(shù)，則，解得：已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意均成立，則的取值范圍為.【答案】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)且為增函數(shù)得，則有，求出右邊最小值即可.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，所以函?shù)是奇函數(shù)，由函數(shù)為上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以不等式對(duì)任意均成立等價(jià)于，即，即對(duì)任意均成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的取值范圍為.【鞏固練習(xí)1】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為.【答案】【分析】要先證明函數(shù)的中心對(duì)稱(chēng)性，即，這樣原不等式就可以化為，再用求導(dǎo)來(lái)證明單調(diào)遞增，從而就可以解出結(jié)果.【詳解】由已知得：，所以，即則不等式等價(jià)于，再由，可得在上單調(diào)遞增，所以，解得，故答案為：.【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【思路點(diǎn)撥】觀(guān)察可發(fā)現(xiàn)為奇函數(shù)，所以將變形為，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性解不等式即可【詳解】令，，所以為奇函數(shù)，不等式，等價(jià)于，即，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)榫鶠闇p函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)可知，為減函數(shù)，則，解得：【題型13】由解析式看出對(duì)稱(chēng)軸再解函數(shù)不等式具有軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)脫掉“f”后注意加絕對(duì)值符號(hào)已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解答】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，即是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造，，令，則在上單調(diào)遞增，又也是增函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，又是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，不等式等價(jià)于，即，平方得：，解得且，則不等式的解集為.（2024·山東青島·三模）已知函數(shù)，則滿(mǎn)足不等式的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先推導(dǎo)出關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)，令，，對(duì)，求導(dǎo)，可得的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以，所以關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，令，，則，，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)或時(shí)，，所以，且，所以要使得成立，則，解得，故不等式的取值范圍為．故選：B．【鞏固練習(xí)1】已知定義在R上的函數(shù)fx在?∞,2上單調(diào)遞增，若函數(shù)fx+2為偶函數(shù)，且f3A．0,3 B．?∞,0C．?∞,0∪3,+∞ 【答案】B【分析】由已知，函數(shù)f(x)關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)，結(jié)合題意作出函數(shù)的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由函數(shù)fx+2為偶函數(shù)，可知函數(shù)f(x)關(guān)于x=2又函數(shù)f(x)在?∞,2上單調(diào)遞增，知函數(shù)f(x)在2,+∞上單調(diào)遞減，由f3=0，知f1由圖可知，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，則xf(x)>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0，則xf(x)<0；當(dāng)1<x<3時(shí)，f(x)>0，則xf(x)>0；當(dāng)x>3時(shí)，f(x)<0，則xf(x)<0；所以不等式xf(x)>0的解集為?∞,0【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【解析】易證為偶函數(shù)，且在上遞增，則所以任意恒成立，由，得由，得綜上，【鞏固練習(xí)3】設(shè)函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】當(dāng)x≥0時(shí)，在上遞減，則有，當(dāng)x≠0時(shí)，有恒成立，則當(dāng)x=0時(shí)，滿(mǎn)足條件綜上，【題型14】配湊后得出新函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題（多選）定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則（

）A．8是的一個(gè)周期 B．C．的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng) D．【答案】CD【詳解】對(duì)A：由題設(shè)條件得，令，有，則的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)?，有，即，則的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)．所以，又，所以，所以，所以，所以，所以8為的一個(gè)周期，即，則，A不正確；對(duì)B：由上知圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)，則令符合題意，而．B不正確；對(duì)C：因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱(chēng)，有，則的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)．C符合題意；對(duì)D：因?yàn)閳D象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，故，有．D符合題意．【題型15】已知一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸（中心）和周期已知一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸軸（中心）和周期的問(wèn)題不能直接套用sin，cos的函數(shù)來(lái)得出另一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（軸）2024·重慶·康德卷模擬調(diào)研卷（四）已知是周期為的函數(shù)，且都有，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知，即，令，可知，即，又函數(shù)的周期為，則2024·廣東·百日沖刺聯(lián)（一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿(mǎn)足是偶函數(shù)，，若，則（

）A．202 B．204 C．206 D．208【答案】C【分析】根據(jù)條件得到函數(shù)是周期為的偶函數(shù)，再根據(jù)條件得出，，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以①，即有②，由①②得到，所以函?shù)的周期為，又是偶函數(shù)，所以，得到，即函數(shù)為偶函數(shù)，又由，得到，，，又，所以，故2024·江蘇徐州·一模若定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，是奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的周期，及和，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷得解.【詳解】由，得，則，即函數(shù)的周期為4，由是R上的奇函數(shù)，得，即，于是，，即，因此，AB錯(cuò)誤；由，取，得，則，因此，取，得，于是，則，C錯(cuò)誤，D正確.2024·長(zhǎng)沙市第一中·適應(yīng)性演練(一）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且是奇函數(shù).則（

）A． B．C．是與的等差中項(xiàng) D．【答案】ACD【分析】由，可推出的周期為4，由是奇函數(shù)可推出，通過(guò)賦值及函數(shù)的周期性可逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，兩式相減得，所以的周期為4.因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，即，令，得.因?yàn)?，令，得，所以，?因?yàn)椋?，得，所以，所以，所以，故A正確.因?yàn)椋?，即，所?因?yàn)椋?，所以B錯(cuò)誤.因?yàn)?，，所以，所以是與的等差中項(xiàng)，故C正確.因?yàn)?，所以，故D正確.【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，，則.【答案】2【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的周期，再結(jié)合求出即可求解作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，因此函?shù)是以3為周期的周期函數(shù)，且，即，由，得，又，，從而，所以【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿(mǎn)足，，，則.【答案】2024【分析】由可推出關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，可得，再由可推出的最小正周期為8，結(jié)合周期函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】由可知的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，從而，又因?yàn)椋?，得，所以，由，得，兩式相減可得，故的最小正周期為8，則，，因?yàn)椋浴眷柟叹毩?xí)3】定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，，若，則，.【答案】0-100【分析】根據(jù)得到，，從而得到，即的一個(gè)正周期為4，故，用賦值法得到，求出，再求出關(guān)于對(duì)稱(chēng)，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，結(jié)合，求出，，結(jié)合函數(shù)的正周期，求出的值.【詳解】由可得：，即，將替換為得：，兩式相減得：，即的一個(gè)正周期為4，因?yàn)椋?，又中令得：，所以，中令得：，故，故；由知：關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，故，即關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因?yàn)?，所以，，由知：，所以，則，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以.故答案為：0，-100【鞏固練習(xí)4】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，為奇函數(shù)，，則（

）A． B． C．0 D．【答案】B【分析】根據(jù)即可得出周期為4，賦值可求出.進(jìn)而由為奇函數(shù)，可推得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由已知可求出，，，然后即可求得，.進(jìn)而即可根據(jù)周期性得出函數(shù)值，求出，即可得出，代入數(shù)值，即可得出答案.【詳解】由，則，所以，，周期為4，所以.由，令，則有，所以，.因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，.令，則.令可得，，所以，所以，所以，有，即有.令，則有；令，則.綜上，，，，.所以，，所以，.【鞏固練習(xí)5】定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，，若，則，．【答案】【分析】依題意可得，即可得到是以為周期的周期函數(shù)，再由，可得，即可求出，從而得到且，再根據(jù)，即可求出，，，最后利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，則，所以是以為周期的周期函數(shù)，所以，又，所以，又，所以，即且，由，所以，，，所以【題型16】涉及導(dǎo)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題已知定義在D上的函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)1、若關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)【簡(jiǎn)證】因關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，同時(shí)求導(dǎo)得，故關(guān)于對(duì)稱(chēng)2、若關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)（證明同上）3、若關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)【簡(jiǎn)證】因?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則．即：設(shè)：，則所以，(c為常數(shù))，所以即?所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．4、若關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)【簡(jiǎn)證】因?yàn)?，?dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則．設(shè)：，則所以，(c為常數(shù))，又所以，的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)．注意：若而為奇函數(shù)，那么為偶函數(shù)，而為偶函數(shù)，那么不一定為奇函數(shù)2024·山東淄博·一模已知定義在上的函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，定義域也是R，`滿(mǎn)足，則.【答案】【分析】求導(dǎo)得到，賦值累加即可.【詳解】對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，即，則，，則.2024·長(zhǎng)沙一中高三月考試卷（七）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M(mǎn)足，的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則（）A．3 B． C．1 D．【答案】A【解析】因?yàn)椋瑒t函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，且．由，，得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，．根據(jù)圖象變換的規(guī)律，由的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，，則的周期為，，故．故選A．2022新高考1卷第12題（多選）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對(duì)稱(chēng)性和周期性的關(guān)系研究對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，故C正確；對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽，所以，結(jié)合關(guān)于對(duì)稱(chēng)，從而周期，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿(mǎn)足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿(mǎn)足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故可設(shè)，則，顯然A，D錯(cuò)誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因?yàn)?，均為偶函?shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿(mǎn)足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿(mǎn)足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.2024·福建福州2月質(zhì)檢已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可知函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合可得是周期函數(shù)，再由選項(xiàng)去逐一分析.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)為奇函數(shù)，則，又，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以3是的一個(gè)周期.因?yàn)?，故C正確；取符合題意的函數(shù)，則所以，又，故2不是的一個(gè)周期，所以，故B不正確；因?yàn)椴皇呛瘮?shù)的最值，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，故A不正確；因?yàn)?，故D不正確2024·福建漳州·一模已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，若為奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由為奇函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可得，由為奇函數(shù)，可得，整理可得，進(jìn)而分析可得，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，即，兩邊求導(dǎo)得，則，可知關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，即，可知關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，令，可得，即，由可得，由，可得，即，可得，即，令，可得；令，可得；且，可知8為的周期，可知，所以.2024·湖南邵陽(yáng)·1月聯(lián)考已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且和都是奇函數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．關(guān)于對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于對(duì)稱(chēng)C．是周期函數(shù) D．【答案】ACD【分析】對(duì)于A,根據(jù)為奇函數(shù)，得到關(guān)系式，兩邊求導(dǎo)即可判斷；對(duì)于B，利用的圖象可以由向左平移1個(gè)單位即可判斷；對(duì)于C,根據(jù)是奇函數(shù)及關(guān)于對(duì)稱(chēng)得到關(guān)系式，綜合分析即可求得周期；對(duì)于D,結(jié)合已知條件可求得的值，進(jìn)一步計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，即，所以的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).故A正確；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則其圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，向左平移一個(gè)單位后得到的圖象，則的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，則有，所以①,又，則②,由①②，則，則，，則，所以8是函數(shù)的一個(gè)周期.，是周期函數(shù)，故C正確；因?yàn)?，，所以，，所以，故D正確2024·湖南邵陽(yáng)·一模已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且與均為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法一定正確的有（

）A．關(guān)于對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)已知得出關(guān)于對(duì)稱(chēng).假設(shè)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，求導(dǎo)即可得出矛盾；根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，得出，兩邊同時(shí)除以，即可判斷B；根據(jù)已知，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)得出關(guān)于對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即可得出，，進(jìn)而推得，即可得出C項(xiàng)；根據(jù)已知，無(wú)法確定.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng).若關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則導(dǎo)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，這與關(guān)于對(duì)稱(chēng)矛盾，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以，所以B正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以為奇函數(shù)，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以.又關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以.所以，，所以，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，由A知，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，.但無(wú)法確定.故D錯(cuò)誤.2024·湖南邵陽(yáng)·二模已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且的導(dǎo)函數(shù)為.若為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件可得的周期，由為奇函數(shù)可得的對(duì)稱(chēng)性，利用導(dǎo)數(shù)公式及函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性可判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于D，由，所以，即，所以的周期為4，且，所以，故D正確；對(duì)于A，由為奇函數(shù)知關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，由得0，即，故的周期為4且，可得，故A正確；對(duì)于BC，由上知的周期為4且關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則有，即，所以，令，得，故，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又，所以，故B錯(cuò)誤；又，所以，故C正確.2024·山東濰坊·一模已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，且，，則（

）A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C． D．（）【答案】ABD【分析】對(duì)于A，對(duì)條件，求導(dǎo)可得；對(duì)于B，對(duì)條件，兩邊同時(shí)除以可得；對(duì)于C，反證法，假設(shè)C正確，求導(dǎo)，結(jié)合條件，可得與矛盾，可判斷C；對(duì)于D，求出，，所以有，，，得出數(shù)列是以0為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式即可判斷．【詳解】因?yàn)椋?，即，令，得，故A正確；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C，假設(shè)成立，求導(dǎo)得，即，又，所以，所以與矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，，，，所以有，所以?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，又，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故D正確．【鞏固練習(xí)1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的定義域?yàn)椋?，且都為奇函?shù)．若，則（

）A．0 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)的性質(zhì)結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算分析可知的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，結(jié)合奇函數(shù)分析可知的周期為4，根據(jù)周期性運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，即，可知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得，即，可知的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，可得，可知的周期為4，所以.【鞏固練習(xí)2】（多選題）（2024·江西贛州·二模）函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，和都是奇函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．是周期函數(shù) D．【答案】BC【解析】對(duì)于A，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，則有，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，向右平移1個(gè)單位后可得，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，所以，所以，所以①，因?yàn)?，所以②，由①②可得：，所以，所以，，所以是函?shù)的一個(gè)周期函數(shù)，所以是周期函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，，，，所以，而，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【鞏固練習(xí)3】（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．若對(duì)任意，有，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．不為周期函數(shù) B．的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)成中心對(duì)稱(chēng)的恒等式來(lái)證明新函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，再利用雙對(duì)稱(chēng)來(lái)證明函數(shù)的周期性，從而就可以來(lái)判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，即，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤．由，得．令，則，由，得的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．又的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，所以，即，則可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故為周期函數(shù)，且周期為8，，所以，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．又，則，所以，由得：，故為周期函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤．由，兩邊求導(dǎo)得：，由得：，令得：，利用的周期為8，則，C選項(xiàng)正確．【鞏固練習(xí)5】（2024·河北·三模）(多選)已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．C． D．【答案】BD【分析】對(duì)于A，直接得到即可判斷；對(duì)于B，由為偶函數(shù)，所以，求導(dǎo)可得即可判斷；對(duì)于D，求出的周期為，再根據(jù)即可判斷；對(duì)于C，由題意舉出反例即可淘汰.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由為偶函數(shù)，所以，所以，即，即，則，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于D，由，，知，又，，所以，所以，即，所以為周期是的函數(shù)，即，故D正確.對(duì)于C，由題意及上述分析知是以為周期的函數(shù)，且，不妨設(shè)，所以，周期均為且，所以，所以C錯(cuò)誤；故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于選項(xiàng)C，通過(guò)舉反例的形式淘汰答案，不妨設(shè)，所以，所以周期為，且，所以.2024·山東聊城·一?！眷柟叹毩?xí)4】（多選）設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，若是奇函數(shù)，且對(duì)于任意的，，則對(duì)于任意的，下列說(shuō)法正確的是（

）A．都是的周期 B．曲線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D．都是偶函數(shù)【答案】BC【分析】結(jié)合題意，借助導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可判斷函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，借助賦值法，可得函數(shù)的周期性，利用所得函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合選項(xiàng)逐項(xiàng)分析判斷即可得.【詳解】由是奇函數(shù)，故有，即有，故，則，即，故關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由，則，即，故關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，由，則，又，故，即有，則，故，即，故，故周期為.對(duì)A：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由周期為，故，又，故，故，故曲線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)C：由周期為，故，又，故，故曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故C正確；對(duì)D：由B得，故，又周期為，故有，故，又，即都是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.【題型17】?jī)蓚€(gè)函數(shù)混合型兩個(gè)函數(shù)混合型的對(duì)稱(chēng)性和周期性問(wèn)題一般先通過(guò)等式的加減運(yùn)算消掉其中一個(gè)函數(shù)，得到只含有另外一個(gè)函數(shù)的等式，再分析對(duì)稱(chēng)性和周期雙函數(shù)性質(zhì)：1.雙函數(shù)各自對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)中心和對(duì)稱(chēng)軸等性質(zhì)2.雙函數(shù)之間存在著互相轉(zhuǎn)化或者互相表示的函數(shù)等量關(guān)系2024·湖南衡陽(yáng)·二模已知函數(shù)的定義域均為是奇函數(shù)，且，，則（

）A． B．為奇函數(shù)C．為偶函數(shù) D．【答案】AC【分析】利用是奇函數(shù)，，，逐項(xiàng)判斷選項(xiàng).【詳解】由是奇函數(shù)，則，即，令，則，故A正確；由，，令，則，故不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；由，令，則，故，所以，而，則，故，所以是偶函數(shù)，故C正確；由，得，則，故，得到，由，可得，推出，又，所以，故，即，故D錯(cuò)誤.2024·福建漳州第三次質(zhì)檢已知函數(shù)的定義域均為是奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，則（

）A．4 B．8 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題中條件可得的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，結(jié)合是奇函數(shù)，可得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，繼而可得是以4為周期的周期函數(shù)，通過(guò)賦值，進(jìn)一步計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以．因?yàn)棰伲瑒t，即②，①-②得，，所以的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)．令，則是奇函數(shù)，所以，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，所以，所以，所以是以4為周期的周期函數(shù)．因?yàn)?，所以．因?yàn)槭且?為周期的周期函數(shù)，所以也是以4為周期的周期函數(shù)，取，，所以．因?yàn)?，所以，所以．取，所以，所以，所以【鞏固練?xí)1】2022全國(guó)乙卷第12題已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和已知條件得到，從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，代入得，即，所以?因?yàn)椋?，即，所?因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以因?yàn)?，所?所以.【鞏固練習(xí)2】（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)fx、gx的定義域均為R，函數(shù)f(2x?1)+1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)g(xA．?4 B．?3 C．3 D．4【解題思路】利用題設(shè)得到fx+f?2?x=?2①和g?x+1=gx+1②，又由f【解答過(guò)程】由函數(shù)f(2x?1)+1即f(?x?1)=?2?f由函數(shù)g(x+1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可得由fx+2+gx兩式相加，fx+f?2?x則得gx?5+g?x+1于是gx+12=?又f(?4)=0，由①可得f2+又由fx+2+gx因f2030+g于是，f故選：B.【鞏固練習(xí)3】（2024·湖南衡陽(yáng)·三模）(多選)已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，若函?shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，，且.則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)B．函數(shù)為偶函數(shù)C．4是函數(shù)的一個(gè)周期D．【答案】BCD【分析】通過(guò)函數(shù)的奇偶性可判斷B；通過(guò)聯(lián)立函數(shù)與的方程組以及對(duì)函數(shù)進(jìn)行賦值可推出函數(shù)的周期從而判斷C；計(jì)算出從而排除A；先通過(guò)賦值求出，再通過(guò)周期性計(jì)算出D。【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，代入，得，所以.由，得，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù).故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，由，得，所以，得，所以，所?是函數(shù)的周期.故選項(xiàng)C正確；由，得，所以，所以，由，得，，所以，，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由，得即，所以，故選項(xiàng)D正確.故選:BCD【題型18】?jī)蓚€(gè)函數(shù)混合且涉及導(dǎo)數(shù)找出一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性或周期之后，可以從圖像平移變換的角度來(lái)得出另一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性或周期2024·廣東韶關(guān)·二模已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為，且，，則（

）A．關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) B．C．的周期為4 D．【答案】ACD【分析】由題意，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，合理賦值即可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)可得、，通過(guò)合理賦值即可判斷BCD.【詳解】由，得①，②，得③，由①②③，得，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故A正確；由，得，令，得；由，得，令，得，∴④，又⑤，令，得，故B錯(cuò)誤；④⑤兩式相加，得，得，所以，即函數(shù)的周期為4，故C正確；由，令，得，所以，所以，故D正確.2024·廣州市鐵一中·月考（多選）已知函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且滿(mǎn)足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是周期函數(shù) B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)C． D．是偶函數(shù)【答案】AD【分析】先根據(jù)函數(shù)，的奇偶性及，結(jié)合賦值法得到函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，即可得到是周期函數(shù)，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A；由即可得到的圖象的對(duì)稱(chēng)中心，進(jìn)而判斷選項(xiàng)B；利用倒序相加法及即可判斷選項(xiàng)C；對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)即可判斷選項(xiàng)D．【詳解】選項(xiàng)A：在中取為，得，所以，取為