指向?qū)W生思維發(fā)展的小學(xué)數(shù)學(xué)“1與多”辯證認(rèn)知策略

摘要：學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識經(jīng)歷了基于具體物體的單個量的認(rèn)知到借助計數(shù)單位和理解數(shù)量關(guān)系的抽象認(rèn)知階段，實現(xiàn)了對從“1”到“多”的辯證理解。教師應(yīng)提煉基于量化表述、定性描述和模型刻畫的認(rèn)知策略，以促進學(xué)生的認(rèn)知從“1”走向“多”、從“量”走向“計數(shù)單位”，最終達成從“量”到“率”的轉(zhuǎn)變，進而發(fā)展數(shù)學(xué)思維。關(guān)鍵詞：1與多；辯證；認(rèn)知策略；思維發(fā)展小學(xué)階段“數(shù)的認(rèn)識”領(lǐng)域是在不斷經(jīng)歷“1與多”的辯證認(rèn)知過程中行進的，可分為“數(shù)量的累加”“位值的拓展”“關(guān)系的增減”三個階段，本文將結(jié)合具體案例闡述這三個階段的認(rèn)知策略。一、量化表述：實現(xiàn)“單個量”到“多個量”的疊加建立正確的數(shù)概念是認(rèn)數(shù)教學(xué)的任務(wù)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點。理解數(shù)的意義一般有兩個角度：一是立足數(shù)的組成，指基于元素和集合的角度，運用組成理解數(shù)的大小和多少，加強對數(shù)的感知；二是聯(lián)系生活實際，指出通過具體的現(xiàn)實情境理解數(shù)在生活中的意義，使抽象的數(shù)和具體的量有機結(jié)合，從而進一步理解數(shù)的意義。實際教學(xué)中，教師應(yīng)將這兩種方式有機融合。一年級是學(xué)生系統(tǒng)認(rèn)數(shù)的開始，學(xué)生眼中所見的每一個物體都可“數(shù)”，根據(jù)這一年齡段學(xué)生的認(rèn)知特點，對于數(shù)概念的建構(gòu)應(yīng)以具體直觀為主，引導(dǎo)學(xué)生在操作中推動思考，在思考中感悟數(shù)的疊加性。例如，在教學(xué)“6，7的認(rèn)識”時，教師可創(chuàng)設(shè)“數(shù)一數(shù)鉛筆盒里的鉛筆”的真實情境（如圖1），讓學(xué)生經(jīng)歷從具體實物到半抽象的點子圖，再到抽象的數(shù)。學(xué)生經(jīng)歷以下思考：一是5支鉛筆添上1支是幾支鉛筆？繼續(xù)添，有什么發(fā)現(xiàn)？二是□>6>□，□里可以填幾？三是如果把6支鉛筆分成兩份，可以怎樣分？其中的一份有可能是7支嗎？學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識從具體走向抽象，體會量一個一個的疊加，理解數(shù)的意義，初步感知每一個數(shù)即為1個元素；掌握數(shù)的大小和順序，體會每一個元素都能找到一個后繼的元素，由此可得：一個又一個元素可以組成一個無窮的集合。二、定性描述：實現(xiàn)“1個數(shù)”到“1個計數(shù)單位”的遞進（一）感官體驗，借實物感知“1到多”的辯證關(guān)系在“1到多”的累加過程中，當(dāng)數(shù)量達到10時，實現(xiàn)了數(shù)到計數(shù)單位的飛躍。教師要把握“10的認(rèn)識”教學(xué)關(guān)鍵點，提供豐富的素材，如散放的10顆糖、一盒雞蛋（10個）、一包口罩（10只）、一對娃娃、8個蘋果，引導(dǎo)學(xué)生尋找能用10表示的物品。學(xué)生通過數(shù)一數(shù)確定“10”；運用數(shù)的組成確定一盒雞蛋里有兩個5正好是10個；借助文字信息確定一包口罩的數(shù)量是10只。一方面，學(xué)生通過觀察，將顏色、形狀、大小等非本質(zhì)元素剝離，經(jīng)歷了從物抽象到數(shù)的過程：10顆糖一顆顆地數(shù)，一盒雞蛋5個5個地數(shù)，體驗加“1”組成“多”的累加過程。另一方面，學(xué)生理解10個物體可以分為多個個體，感悟“多”可以分解為若干個“1”，明確“多”包含“1”。感悟“1到多”的辯證關(guān)系，能幫助學(xué)生全面、正確地理解相對抽象的數(shù)字“10”，并再次強化“1到多”的數(shù)學(xué)概念。（二）具身操作，借學(xué)具感悟“1與多”的辯證關(guān)系在數(shù)的認(rèn)識過程中，教師要運用多種模型幫助學(xué)生理解數(shù)的意義，如計數(shù)器、方格圖、數(shù)位順序表等；要借助直觀素材進行具象化的表示，提供多元化的學(xué)習(xí)材料作為學(xué)習(xí)支架，促進學(xué)生多感官協(xié)同參與，從而逐漸建立起抽象的數(shù)和現(xiàn)實中的數(shù)量之間的關(guān)系，促進辯證關(guān)系的滲透。在“創(chuàng)造10”的環(huán)節(jié)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助學(xué)具表示10，并根據(jù)學(xué)生呈現(xiàn)的不同表征方式，了解學(xué)生的思維水平。教師可讓學(xué)生對四種不同的表示方法（10根小棒擺一行，表示10個一；10根小棒扎成一捆，表示1個十；計數(shù)器個位擺10顆珠子，表示10個一；計數(shù)器十位擺1顆珠子，表示1個十）進行深入辨析，探尋異同點，感受“1”包含于“多”、聚“1”為“多”的辯證關(guān)系，對后續(xù)數(shù)的認(rèn)識起到正向遷移作用。一是辨析1根與1捆。學(xué)生經(jīng)歷1根小棒記作1個一，一捆小棒記作1個十，辨析“1個一”與“1個十”中的“1”，第一次感受對立統(tǒng)一現(xiàn)象（即同一個數(shù)字“1”表示的具體意義不同）：第一個“1”表示1根，第二個“1”表示1捆（10根）。在相同數(shù)字“1”中，學(xué)生能感受到計數(shù)單位的必要性。二是辨析10根與1捆。學(xué)生經(jīng)歷10根小棒扎成1捆，從10個一到1個十的轉(zhuǎn)變，體會雖然表示的具體數(shù)量相同，但是從形態(tài)上看，10個一根是分散的，而1個十是捆在一起看作一個整體的，區(qū)分多個“個體”和1個“整體”，初步感知計數(shù)單位的重要性。學(xué)生借助“捆一捆”的操作體會1個十中包含著10個一，感受“多”包含于“1”的辯證關(guān)系。三是辨析計數(shù)器上的1顆與10顆。同樣是用小棒表示10，不管是10根還是1捆，都包含了10根，都可以用計數(shù)器表示。教師引導(dǎo)學(xué)生思辨：計數(shù)器個位上擺10顆珠子勾聯(lián)10根小棒的表示方法，一顆珠子和一根小棒對應(yīng)，理解計數(shù)器個位上10顆珠子表示10個一；而計數(shù)器十位上擺1顆珠子則對應(yīng)1捆小棒表示1個十。學(xué)生感受1顆珠子在不同數(shù)位上的意義，加深對10個一是1個十的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)計數(shù)單位及數(shù)的組成作鋪墊。（三）辨析對比，借計數(shù)器明晰“1與多”的辯證關(guān)系教師引導(dǎo)學(xué)生借助小棒、小正方體、點子圖、計數(shù)器等表示100，辨析100個一、10個十、1個百，感悟多元表征下的相同本質(zhì)。學(xué)生再次感悟“1與多”的辯證關(guān)系，為學(xué)習(xí)更大的數(shù)做好辯證方法的儲備（如下頁圖2）。一是體驗表征方式，剖析形態(tài)下的本質(zhì)。教師引導(dǎo)學(xué)生借助小方塊、小棒、計數(shù)器等學(xué)具表示100，通過對比揭示“1與多”辯證關(guān)系的三個層次。層次一，相同學(xué)具、數(shù)量，不同形態(tài)表征100，體會形態(tài)不同而數(shù)量相同。層次二，不同學(xué)具、相同數(shù)量表征100，感知表征方法不同而數(shù)量相同。層次三，不同學(xué)具、不同數(shù)量表征100，再次感悟表征方法不同而數(shù)量相同。學(xué)生深入理解“1”大捆與計數(shù)器上百位的“1”顆珠子都能表征100，進一步發(fā)展“1與多”的辯證思維。二是聚焦計數(shù)單位，感悟位置制的價值。教師引導(dǎo)學(xué)生連接舊知，回憶1個一的含義及10個一就是1個十，并在100的認(rèn)識過程中經(jīng)歷1個十到10個十的累加，理解10個十就是1個百。學(xué)生聚焦計數(shù)單位，辨析1個一、1個十和1個百中的“1”，發(fā)現(xiàn)同樣都是數(shù)字“1”，所在的數(shù)位不同，所表示意義不同，數(shù)量也就不同，感悟“1”既可以表示“單”個數(shù)量，也可以表示“多”個數(shù)量，體會位置制的應(yīng)用價值。三是豐富表象特征，探尋相同數(shù)的意義。學(xué)生借助學(xué)具表征并經(jīng)歷從直觀到抽象的過程，提煉100個一、10個十和1個百，感受同樣都表示100但表示的意義不同。教師引導(dǎo)學(xué)生想象：在計數(shù)器上，100個一就要在個位撥100顆珠子，10個十就要在十位撥10顆珠子，而1個百則只要在百位撥1顆珠子，學(xué)生在進一步辨析中體會計數(shù)器表示數(shù)的簡明性，感悟計數(shù)單位的重要性，體會“1”能表示10還能表示100甚至更多，進而理解“1”中蘊含著“多”，強化“1與多”的辯證關(guān)系。（四）遷移統(tǒng)整，借數(shù)位順序表明晰“1與多”的辯證關(guān)系學(xué)習(xí)“小數(shù)的意義”之前，學(xué)生對于數(shù)位順序表的認(rèn)知主要停留在從右往左的順序中，即計數(shù)單位間基于“10”的不斷遞進，而小數(shù)實際上是十進制計數(shù)法向反方向延伸的結(jié)果，即基于“1”的不斷細(xì)分。在學(xué)生的經(jīng)驗處逆向發(fā)問，能夠幫助學(xué)生跳出常規(guī)思維，走向知識的遷移與重整。一是計數(shù)體系的遷移。第一次遷移是從整數(shù)到小數(shù)的遷移。教師通過提出“如果從數(shù)位順序表的左方往右看，還能繼續(xù)分嗎？怎么分？”的大問題來驅(qū)動學(xué)生思考，使學(xué)生明確1與[110]的關(guān)系，進而將十進制計數(shù)法從整數(shù)推到小數(shù)。第二次遷移，是從[110]類推遷移。教師賦予學(xué)生[110]計數(shù)單位的概念，要求明確[110]在數(shù)位數(shù)值表中的位置以及相應(yīng)的數(shù)位，學(xué)生根據(jù)已有的細(xì)分經(jīng)驗以及數(shù)位順序表的規(guī)律，依次往后推出計數(shù)單位以及相應(yīng)的數(shù)位。二是計數(shù)單位的統(tǒng)整。教師以半抽象化的數(shù)軸為學(xué)習(xí)素材，通過三次變式，讓學(xué)生在不斷重組、打破、調(diào)整和應(yīng)用的過程中，明確一格表示幾是推理A的關(guān)鍵（如圖3）。同時，通過一格表示0.02的呈現(xiàn)，教師能夠幫助學(xué)生打破思維定勢，統(tǒng)整“單位”的概念：這里的一份實際上是基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需求和交流的需要而規(guī)定的“單位”，但不論怎么變，單位的連加與細(xì)分其實都是一致的。三、模型刻畫：實現(xiàn)“數(shù)量”到“關(guān)系”的飛躍【第一次飛躍】“倍的認(rèn)識”幫助學(xué)生實現(xiàn)了對于數(shù)的認(rèn)知從關(guān)注“具體的量”走向關(guān)注“抽象的關(guān)系”，勾聯(lián)了量的認(rèn)識和率的感知，為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)做好了認(rèn)知鋪墊，是一次質(zhì)的飛躍。教學(xué)不能僅僅停留于通過具體實物的對比來感知兩個量之間的具體倍數(shù)關(guān)系，教師還要力圖打破實物圖所帶來的固化模式。例如，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀的方法，將3個籃球抽象為一條線段，引導(dǎo)學(xué)生大膽思考：“是否可以將籃球的數(shù)量表示為任何數(shù)？”學(xué)生體會到足球的數(shù)量會隨著籃球數(shù)量的變化而變化，但這兩種球之間的關(guān)系卻是不變的，以此來把握倍的基本概念。同時，教師可引導(dǎo)學(xué)生在思考與辨析中初步感悟：無論籃球的數(shù)量是多少，都可以用一條線段來表示。這就打破了“數(shù)的認(rèn)識”中十進制計數(shù)法只能將“10個”看作一個整體的思維局限，使學(xué)生辨析一條線段或者一份中可以是單個量，也可以有多個量，凸顯理解標(biāo)準(zhǔn)量的重要性及“1與多”的相對性（如圖4）。【第二次飛躍】“分?jǐn)?shù)的意義”一課是在學(xué)生直觀認(rèn)識分?jǐn)?shù)基礎(chǔ)上對概念進行二次學(xué)習(xí)，側(cè)重對分?jǐn)?shù)“比率”維度的意義理解與深化：分?jǐn)?shù)既是對部分與整體的關(guān)系表達，又是對兩個獨立量比較關(guān)系的呈現(xiàn)?；谇靶蚪?jīng)驗，學(xué)生能夠利用手中的素材表征[13]，但對于同一分?jǐn)?shù)不同表示形式下的異同沒有很深的感悟。學(xué)生通過聚焦、對比與發(fā)散，提煉分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，進入意義理解的另一水平（如圖5）。一是在不變中提煉部分與整體的關(guān)系。學(xué)生聚焦作品1和作品2，這是他們最為熟悉的分?jǐn)?shù)表征方式之一。通過“還可以用幾個圓表示出[13]”“為何都能表示[13]”的問題引領(lǐng)，學(xué)生在變化的部分量和整體量中發(fā)現(xiàn)不變的關(guān)系，從而實現(xiàn)分?jǐn)?shù)模型的建立。學(xué)生再由“這個整體還可以是什么？”發(fā)散思維，在不斷體驗聚多個物體為一個整體的過程中強化“多”包含于“1”的辯證關(guān)系，豐富單位“1”的內(nèi)涵。二是在經(jīng)驗處勾勒兩個獨立量的關(guān)系。聚焦作品3，學(xué)生在“為何兩行圓也能表示[13]”的思維沖擊下，將“分?jǐn)?shù)”與“倍”進行關(guān)聯(lián)，感知兩者都是基于“1與多”的比較得到的，不同之處在于標(biāo)準(zhǔn)量的選擇。將陰影圓看作一份，并作為標(biāo)準(zhǔn)時，兩者的關(guān)系可以用倍數(shù)呈現(xiàn)；而將空白圓看作單位“1”時，兩者的關(guān)系則是用分?jǐn)?shù)表示的。學(xué)生由此體會“一倍數(shù)”與單位“1”的一致性，實現(xiàn)對分?jǐn)?shù)意義的進一步理解，即向表示兩個量之間的關(guān)系遞進。三是在發(fā)散中展露分?jǐn)?shù)率視角的全貌。學(xué)生再次聚焦作品2，借同一素材的多