中考數(shù)學二輪復習二次函數(shù)重難點練習專題23 二次函數(shù)公共點及取值范圍問題（解析版）

專題23二次函數(shù)公共點及取值范圍問題思路點撥公共點問題（也是交點問題）是中考的?？碱}型，基本解題思路：要結合圖象性質(zhì)分析出交點情況，利用特殊點（特殊位置）分類討論求值，或通過解析式的聯(lián)立建立方程確定交點情況。直擊中考1．（2020·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形四個頂點的坐標依次為（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若拋物線y=ax2的圖象與正方形有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出拋物線經(jīng)過兩個特殊點時的a的值即可解決問題．【詳解】解：當拋物線經(jīng)過（1，3）時，a=3，當拋物線經(jīng)過（3，1）時，a=，觀察圖象可知≤a≤3，故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．2．（2021·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）已知函數(shù)y的圖象如圖所示，若直線y＝kx﹣3與該圖象有公共點，則k的最大值與最小值的和為_____．【答案】17【分析】根據(jù)題意可知，當直線經(jīng)過點（1，12）時，直線y=kx-3與該圖象有公共點；當直線與拋物線只有一個交點時，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它們的和為17．【詳解】解：當直線經(jīng)過點（1，12）時，12=k-3，解得k=15；當直線與拋物線只有一個交點時，（x-5）2+8=kx-3，整理得x2-（10+k）x+36=0，∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去），∴k的最大值是15，最小值是2，∴k的最大值與最小值的和為15+2=17．故答案為：17．【點睛】本題考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，結合圖象求出k的最大值和最小值是解題的關鍵．3．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線的圖像與軸交于，兩點，與軸交于點，點為拋物線的頂點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式及點的坐標；(2)若四邊形為矩形，．點以每秒1個單位的速度從點沿向點運動，同時點以每秒2個單位的速度從點沿向點運動，一點到達終點，另一點隨之停止．當以、、為頂點的三角形與相似時，求運動時間的值；(3)拋物線的對稱軸與軸交于點，點是點關于點的對稱點，點是軸下方拋物線圖像上的動點．若過點的直線與拋物線只有一個公共點，且分別與線段、相交于點、，求證：為定值．【答案】(1)；頂點為(2)或(3)見解析【分析】（1）設二次函數(shù)表達式為：，將、代入，進行計算即可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得；（2）依題意，秒后點的運動距離為，則，點的運動距離為，分情況討論：①當時，②當時，進行解答即可得；（3）根據(jù)對稱的性質(zhì)得，根據(jù)直線與拋物線圖像只有一個公共點，即可得，利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為：，直線的解析式為：，聯(lián)立，結合已知，解得：，同理可得：，運用三角函數(shù)求出GH，GK即可得．【詳解】（1）解：設二次函數(shù)表達式為：，將、代入得：，解得，，拋物線的函數(shù)表達式為：，又，，頂點為；（2）解：依題意，秒后點的運動距離為，則，點的運動距離為．①當時，，解得；②當時，，解得；綜上得，當或時，以、、為頂點的三角形與相似；（3）解：點關于點的對稱點為點，，直線與拋物線圖像只有一個公共點，只有一個實數(shù)解，△，即：，解得：，利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為：，直線的解析式為：，聯(lián)立，結合已知，解得：，同理可得：，則：，，，的值為．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)與方程的關系，一元二次方程根的判別式等知識，聯(lián)立兩函數(shù)關系求出點和的橫坐標是解題的關鍵．4．（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線．將二次函數(shù)圖像中y軸左側部分沿x軸翻折，保留其他部分得到新的圖像C．(1)求b的值；(2)①當時，圖像C與x軸交于點M，N（M在N的左側），與y軸交于點P．當為直角三角形時，求m的值；②在①的條件下，當圖像C中時，結合圖像求x的取值范圍；(3)已知兩點，當線段與圖像C恰有兩個公共點時，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)(2)①，②或或(3)或【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸為直線，求出值即可；（2）①由（1）知，二次函數(shù)的解析式為，令，則，可得，令，則，求出，，則，，，證明，則，即，整理得，，求出滿足要求的的值即可；②由①可知，二次函數(shù)解析式為，軸左側圖像的解析式為，可畫圖像C如圖所示，令，則，求出滿足要求的值，令，則，求出滿足要求的值，然后結合圖求x的取值范圍即可；（3）由題意知，二次函數(shù)的解析式為，為平行于軸的線段，由題意知，分兩種情況求解：①當線段與圖像在軸左側有一個交點時，線段與圖像在軸右側有一個交點，即令，，當時，根據(jù)的取值范圍求的取值范圍，當時，根據(jù)的取值范圍求的取值范圍，然后取公共部分即可；②當線段與圖像在軸左側沒有交點，線段與圖像在軸右側有兩個交點，即令，，當時，根據(jù)的取值范圍求的取值范圍，當時，根據(jù)的取值范圍求的取值范圍，然后取公共部分即可．（1）解：由題意知，二次函數(shù)的對稱軸為直線，解得，∴的值為．（2）①解：由（1）知，二次函數(shù)的解析式為，令，則，∴，令，則，解得，或，∴，，∴，，，∵為直角三角形，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，即，整理得，，解得，或（不合題意，舍去），∴的值為．②解：由①可知，二次函數(shù)解析式為，

∴軸左側圖像的解析式為，與軸的交點坐標為，∴圖像C如下所示，∴令，則，解得，或（不合題意，舍去），令，則，解得，或，∴由圖像可知求x的取值范圍為或或．（3）解：由題意知，二次函數(shù)的解析式為，為平行于軸的線段，∴由線段與圖像恰有兩個公共點可知，①當線段與圖像在軸左側有一個交點時，線段與圖像在軸右側有一個交點，即令，，∴當時，，有，當時，，有，∴；②當線段與圖像在軸左側沒有交點，線段與圖像在軸右側有兩個交點，即令，，∴當時，，有或，當時，，有，∴；綜上所述，的取值范圍為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)的翻折，二次函數(shù)綜合，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．5．（2021·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點、（點在右側），與軸交于點，點的橫坐標恰好為．動點、同時從原點出發(fā)，沿射線分別以每秒和個單位長度運動，經(jīng)過秒后，以為對角線作矩形，且矩形四邊與坐標軸平行．（1）求的值及秒時點的坐標；（2）當矩形與拋物線有公共點時，求時間的取值范圍；（3）在位于軸上方的拋物線圖象上任取一點，作關于原點的對稱點為，當點恰在拋物線上時，求長度的最小值，并求此時點的坐標．【答案】（1），；（2）；（3），【分析】（1）將，代入，求出a，即可得到拋物線解析式，當秒時，，設的坐標為，建立方程求解即可；（2）經(jīng)過秒后，，，由（1）方法知，的坐標為，的坐標為進而得出的坐標為，的坐標為將代入，將代入，解方程即可得到答案；（3）設，則關于原點的對稱點為，當點恰好在拋物線上時，坐標為．過和作坐標軸平行線相交于點S，如圖③則．又得，消去得，即可求解．【詳解】解：（1）由題意知，交點A坐標為，代入，解得，∴拋物線解析式為．當秒時，，設的坐標為，則，解得或（舍），所以的坐標為．（2）經(jīng)過秒后，，，由（1）方法知，的坐標為，的坐標為，由矩形的鄰邊與坐標軸平行可知，的坐標為，的坐標為．矩形在沿著射線移動的過程中，點與拋物線最先相交，如圖①，然后公共點變?yōu)?個，點與拋物線最后相離，然后漸行漸遠．如圖②，將代入，得，解得，或（舍），將代入，得，解得，或（舍）．所以，當矩形與拋物線有公共點時，時間的取值范圍是．（3）設，則關于原點的對稱點為，當點恰好在拋物線上時，坐標為．過和作坐標軸平行線相交于點S，如圖③則．又得，消去得，當時，長度的最小值為．此時，，解得，所以，點的坐標是．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值，勾股定理，矩形的性質(zhì)，中心對稱等等，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．6．（2021·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與直線交于點A(2，0)和點．（1）求和的值；（2）求點的坐標，并結合圖象寫出不等式的解集；（3）點是直線上的一個動點，將點向左平移個單位長度得到點，若線段與拋物線只有一個公共點，直接寫出點的橫坐標的取值范圍．【答案】（1），；（2）不等式>的解集為或；（3）點M的橫坐標的取值范圍是：或．【分析】（1）把A(2，0)分別代入兩個解析式，即可求得和的值；（2）解方程求得點B的坐標為(-1，3)，數(shù)形結合即可求解；（3）畫出圖形，利用數(shù)形結合思想求解即可．【詳解】解：（1）∵點A(2，0)同時在與上，∴，，解得：，；（2）由（1）得拋物線的解析式為，直線的解析式為，解方程，得：．∴點B的橫坐標為，縱坐標為，∴點B的坐標為(-1，3)，觀察圖形知，當或時，拋物線在直線的上方，∴不等式>的解集為或；（3）如圖，設A、B向左移3個單位得到A1、B1，∵點A(2，0)，點B(-1，3)，∴點A1(-1，0)，點B1(-4，3)，∴AA1BB13，且AA1∥BB1，即MN為AA1、BB1相互平行的線段，對于拋物線，∴頂點為(1，-1)，如圖，當點M在線段AB上時，線段MN與拋物線只有一個公共點，此時，當線段MN經(jīng)過拋物線的頂點(1，-1)時，線段MN與拋物線也只有一個公共點，此時點M1的縱坐標為-1，則，解得，綜上，點M的橫坐標的取值范圍是：或．．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；能夠畫出圖形，結合函數(shù)圖象，運用二次函數(shù)的性質(zhì)求解是關鍵．7．（2021·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，頂點坐標記為．拋物線的頂點坐標記為．（1）寫出點坐標；（2）求，的值（用含的代數(shù)式表示）；（3）當時，探究與的大小關系；（4）經(jīng)過點和點的直線與拋物線，的公共點恰好為3個不同點時，求的值．【答案】（1）；（2），；（3）當時，，當時，，當時，，當或時，；（4），，，【分析】（1）令，解出x即可，（2）把函數(shù)頂點式，即可得出結論，（3）令，結合函數(shù)圖像分類討論即可，（4）由題意可得：直線的解析式為：，再根據(jù)已知條件畫出函數(shù)圖像分三類情況討論，進而得出n的值；【詳解】（1）∵，令，，∴，，∴．（2），∴，∵，∴．（3）∵，，當時，，此時或，．由如圖1圖象可知：當時，，當時，，當時，，當或時，．（4）設直線的解析式為：，則，由（1）-（2）得，，∴，直線的解析式為：．第一種情況：如圖3，當直線經(jīng)過拋物線，的交點時，聯(lián)立拋物線與的解析式可得：①聯(lián)立直線與拋物線的解析式可得：，則，②當時，把代入得：，把，代入直線的解析式得：，∴，∴．此時直線與拋物線，的公共點恰好為三個不同點．當時，把代入①得：，該方程判別式，所以該方程沒有實數(shù)根．第二種情況：如圖4，當直線與拋物線或者與拋物線只有一個公共點時．當直線與拋物線只有一個公共點時，聯(lián)立直線與拋物線可得，∴，此時，即，∴，∴．由第一種情況而知直線與拋物線公共點的橫坐標為，，當時，，∴．所以此時直線與拋物線，的公共點恰好為三個不同點．如圖5，當直線與拋物線只有一個公共點，∵，，∴，聯(lián)立直線與拋物線，，，當時，，此時直線與拋物線，的公共點只有一個，∴．綜上所述：∴，，，．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到二次函數(shù)的頂點式、一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合、數(shù)形結合思想等等，其中（4），要正確畫圖，并注意分類求解，避免遺漏．8．平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過、兩點，點A、C在這條拋物線上，它們的橫坐標分別為m和．(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式．(2)當時，y的取值范圍是，求t的值．(3)拋物線上A、C兩點和它們之間的部分記作圖象G，設G的最高點縱坐標與最低點縱坐標之差為h．當點C在對稱軸右側時，求h與m之間的函數(shù)關系式．(4)以線段為對角線作矩形，軸．當矩形與拋物線有且只有三個公共點時，設第三個公共點為F，若與矩形的面積之比為，請直接寫出m的值．【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）將二次函數(shù)化為頂點式，確定最小值及對稱軸，結合題意得出在對稱軸的左側，y隨x值的增大而減小，然后建立方程求解即可；（3）先求出當A、C兩點恰好關于對稱時，，然后分三種情況分析當時，點A離對稱軸較點C離對稱軸遠，當時，點C離對稱軸較點A離對稱軸遠，當時，點C離對稱軸較點A離對稱軸遠，依次求解即可確定函數(shù)解析式；（4）結合（3）分三種情況討論：當及時，矩形與拋物線有且只有兩個公共點，不符題意，當，當，分別作出相應圖象，結合面積比及二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：將點、代入，得，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：，∴拋物線的最低點頂點為，最小的函數(shù)值為，對稱軸為，∵當時，y的取值范圍是，∴，即在對稱軸的左側，y隨x值的增大而減小，∴當時，，當時，，解得：或（舍去），∴；（3）解：當A、C兩點恰好關于對稱時，，解得：，∵點C在對稱軸右側時，∴，即，∴當時，點A離對稱軸較點C離對稱軸遠，∴，，∴；當時，點C離對稱軸較點A離對稱軸遠，∴，，∴；當時，點C離對稱軸較點A離對稱軸遠，∴，，∴；綜上可得：；（4）解：結合（3）分類討論為：當及時，矩形與拋物線有且只有兩個公共點，不符題意，如圖所示（作出了的情況，其他兩種情況與此類似）：不符合題意，當，如圖所示：∵矩形，軸，∴，∵與矩形的面積之比為，∴，∴點F為CD的中點，∵，∴，∵點C的橫坐標為，∴點F的橫坐標為，縱坐標與點C的縱坐標相等，∴點C，F(xiàn)關于對稱，∴，解得：；當，如圖所示：∵矩形，軸，∴，∵與矩形的面積之比為，∴，∴點F為AB的中點，∵，∴，∵點A的橫坐標為，∴點F的橫坐標為，縱坐標與點A的縱坐標相等，∴點A，F(xiàn)關于對稱，∴，解得：；綜上可得或．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合問題，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，動點問題確定相應函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)等，理解題意，進行分類討論，作出相應圖象是解題關鍵及難點．9．（2022秋·河南安陽·九年級?？茧A段練習）如圖，拋物線與坐標軸交于，兩點，直線與拋物線交于，兩點，已知點坐標為．(1)求二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式；(2)求出點坐標，并結合圖象直接寫出不等式的解集；(3)點是直線上的一個動點，將點向上平移2個單位長度得到點，若線段與拋物線有公共點，請直接寫出點的橫坐標的取值范圍．【答案】(1)，(2)，(3)或【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）觀察函數(shù)圖象即可求解；（3）求出時的值，再觀察函數(shù)圖象即可求解．【詳解】（1）解：將點B的坐標分別代入兩個函數(shù)表達式得：，解得：，故二次函數(shù)和一次函數(shù)的表達式分別為：，；（2）聯(lián)立一次函數(shù)和二次函數(shù)表達式得：，解得：或，即點，觀察函數(shù)圖象知，不等式的解集為：；（3）如圖，當點恰好在拋物線上時，由點向上平移2個單位長度得到點，可知，即，解得：或1，由圖象可知，線段與拋物線有公共點，點的橫坐標為：或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)形結合解題是關鍵．10．（2023春·河北張家口·九年級張家口市第五中學校考期末）在平面直角坐標系中，拋物線（c為常數(shù)），(1)當時，求拋物線的對稱軸和頂點坐標；(2)若拋物線與x軸有兩個交點，自左向右分別為點A．B，且，求拋物線的解析式；(3)當時，拋物線與x軸有且只有一個公共點，直接寫出c的取值范圍．【答案】(1)對稱軸為，頂點坐標為(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出對稱軸和頂點坐標即可解決問題；（2）分兩種情形①當點A、B都在原點的右側時，如解圖1，②當點A在原點的左側，點B在原點的右側時，如解圖2，分別求解即可；（3）把問題轉化為不等式即可解決問題；【詳解】（1）解：當時，拋物線為，∴對稱軸為，頂點坐標為；（2）解：拋物線與x軸有兩個交點，①當點A、B都在原點的右側時，如解圖1，設，∵，∴，∵二次函數(shù)的對稱軸為，由拋物線的對稱性得，解得，∴，∵點A在拋物線上，∴，解得，此時拋物線的解析式為；②當點A在原點的左側，點B在原點的右側時，如解圖2，設，∵，且點A、B在原點的兩側，∴，由拋物線的對稱性得，解得，∴，∵點A在拋物線上，∴，解得，此時拋物線的解析式為，綜上，拋物線的解析式為或；（3）∵拋物線與x軸有公共點，∴對于方程，判別式，∴．當時，；當時，，∵拋物線的對稱軸為，且當時，拋物線與x軸有且只有一個公共點，∴且，解得，綜上，當時，拋物線與x軸有且只有一個公共點．【點睛】本題考查二次函數(shù)與x軸交點、待定系數(shù)法、不等式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．11．（2023秋·北京通州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線的圖象與x軸交點為A和B，與y軸交點為，與直線交點為A和C．(1)求拋物線的解析式；(2)在直線上是否存在一點M，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出點M的坐標，如果不存在請說明理由．(3)若點E是x軸上一個動點，把點E向下平移4個單位長度得到點F，點F向右平移4個單位長度得到點G，點G向上平移4個單位長度得到點H，若四邊形與拋物線有公共點，請直接寫出點E的橫坐標的取值范圍．【答案】(1)(2)存在，(3)【分析】（1）先求得，然后將，代入，即可求函數(shù)的解析式；（2）設，根據(jù)是等腰三角形，分類討論，根據(jù)勾股定理即可求解；（3）設點E的橫坐標，分別求出，，，，當F點在拋物線上時，或，當G點在拋物線上時，或，結合圖象可得時，四邊形與拋物線有公共點．【詳解】（1）解：由得，時，，∴．∵拋物線經(jīng)過、D兩點，∴，解得∴拋物線的解析式為．（2）解：由，令，，解得：，∴；∵，∴，∵是直線上的點，設，當為斜邊時，,∴，解得：，∴當為直角時，,∴解得：（根據(jù)圖形，不合題意舍去）∴綜上所述，存在（3）解：∵點E的橫坐標，∴，由題可知，，，，當F點在拋物線上時，，解得或，當G點在拋物線上時，，解得或，∴時，四邊形與拋物線有公共點．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，數(shù)形結合解題是關鍵．12．（2022秋·廣東廣州·九年級?？计谀┮阎魏瘮?shù)的最大值為4，且該拋物線與y軸的交點為C，頂點為D．(1)求該二次函數(shù)的解析式．(2)點是x軸上的動點，①求最大值時點P的坐標；②設是y軸上的動點，若線段PQ與函數(shù)的圖象只有一個公共點，求t的取值范圍．【答案】(1)(2)①

②或或【分析】（1）可用對稱軸公式直接求出的對稱軸，然后寫出頂點的坐標，將頂點坐標代入即可求出點的坐標．（2）①求出直線的解析式，再求出與軸的交點，即可求出點的坐標，的長度即為的最大值．②根據(jù)題意去掉解析式中的絕對值和畫出圖象，分別表示出關鍵點即拋物線與軸交點與點重合時的圖象，由圖象即可得出的取值范圍．【詳解】（1）解：在二次函數(shù)中，，的對稱軸為直線，的最大值為，拋物線的頂點，將代入中，得，該二次函數(shù)的解析式為；（2）解：①，當三點在一條直線上時，取得最大值，如圖1，連接并延長交軸于點，將點，代入，得，解得，，當時，，，又，的最大值為，；②可化為，將，代入，得：，解得：，，情況一：如圖，當線段過點，即點與點重合時，線段與函數(shù)的圖象只有一個公共點，此時；綜合圖，圖，所以當時，線段與函數(shù)的圖象只有一個公共點；情況二，如圖，當線段過點，即點與點重合時，線段與函數(shù)的圖象只有一個公共點，此時；如圖，當線段過點，即點與點重合時，，此時線段與函數(shù)的圖像有兩個公共點，綜合圖象，所以當時，線段與函數(shù)的圖象只有一個公共點；情況三：如圖，將帶入，整理，得，，令，解得，當時，線段與函數(shù)的圖象只有一個公共點，綜上所述，的取值范圍為或或【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形三邊關系，拋物線與直線公共點的個數(shù)等，熟練掌握以上知識點并根據(jù)題意畫出圖象是解題的關鍵．13．（2022秋·河南信陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線（m、b均為常數(shù)）交于點和點B．(1)求m和b的值；(2)求點B的坐標，并結合圖象寫出不等式的解集；(3)點M是直線AB上的一個動點，點N在點M正下方（即軸），且，若線段MN與拋物線只有一個公共點，請直接寫出點M的橫坐標的取值范圍．【答案】(1)，(2)或(3)點M的橫坐標的取值范圍為或【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）求出點的坐標為，再觀察函數(shù)圖象即可求解；（3）根據(jù)題意確定出且，根據(jù)二次函數(shù)與不等式的關系求出的取值范圍即可．【詳解】（1）解：將點A的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，將點A的坐標代入直線表達式得：，解得；故，；（2）解：由（1）得，直線和拋物線的表達式為：，，聯(lián)立上述兩個函數(shù)表達式并解得，或（不符合題意，舍去），即點B的坐標為，從圖象看，不等式的解集為或；（3）解：由題意設點M的坐標為，則點，∵線段MN與拋物線只有一個公共點，∴，解得：或，∴點M的橫坐標的取值范圍為或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、根據(jù)圖像的交點坐標解不等式，其中（3），求不等式組的解集是解題的關鍵．14．（2022秋·北京通州·九年級?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為A，點B，C為直線上的兩個動點（點B在點C的左側），且．(1)求點A的坐標（用含a的代數(shù)式表示）；(2)若是以為直角邊的等腰直角三角形，求拋物線的解析式；(3)過點A作x軸的垂線，交直線于點D，點D恰好是線段BC三等分點且滿足，若拋物線與線段只有一個公共點，結合函數(shù)的圖象，直接寫出a的取值范圍．【答案】(1)頂點A的坐標為；(2)拋物線的解析式為：或；(3)或．【分析】（1）把解析式化成頂點式，即可求解；（2）分當點C的坐標為時、點B的坐標為時，兩種情況分別求解；（3）分、兩種情況，分別求解即可．【詳解】（1）解：，故頂點A的坐標為；（2）解：點A所在的直線為：，聯(lián)立與并解得：，故兩個直線的交點為；①當點C的坐標為：時，則點B，點A，，故拋物線的解析式為：；②當點B的坐標為：時，則點A，則，故拋物線的解析式為：；綜上，拋物線的解析式為：或；（3）解：點A，則點D，由于，則點B、C的坐標分別為：、，將拋物線與直線聯(lián)立并解得：，故點E、F的坐標分別為：、，①當時，點E、B、C、F的坐標分別為：、、、，而點A，此時，拋物線于只有一個公共點；②當時，當點C、F重合時，則，解得：；當點B、E重合時，，解得：，故；綜上，或．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等，其中（2）、（3），都要注意分類求解，避免遺漏．15．（湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線和（1）如何將拋物線平移得到拋物線？（2）如圖1，拋物線與軸正半軸交于點，直線經(jīng)過點，交拋物線于另一點.請你在線段上取點，過點作直線軸交拋物線于點，連接①若，求點的橫坐標②若，直接寫出點的橫坐標（3）如圖2，的頂點、在拋物線上，點在點右邊，兩條直線、與拋物線均有唯一公共點，、均與軸不平行．若的面積為2，設、兩點的橫坐標分別為、，求與的數(shù)量關系【答案】（1）見解析；（2）①點的橫坐標為.②.（3）.【分析】(1)根據(jù)兩個拋物線的頂點坐標即可確定平移方式；(2)①如圖1，設拋物線與軸交于點，直線與軸交于點，確定出點A、C、D的坐標，進而由，軸，可得，兩點關于軸對稱，設關于軸的對稱點為，從而可得直線的解析式為，繼而解方程組即可求得答案；②如圖2，，設P，Q，分別表示出PQ長，AP2，再根據(jù)AP=PQ，得到關于m的方程，解方程即可求得答案；(3)如圖3，分別求出直線NE、NE、MN的解析式，作軸交于點，表示出EF的長，繼而根據(jù)三角形面積公式進行求解即可.【詳解】(1)拋物線的頂點坐標是(1，-4)，拋物線的頂點坐標是(0，0)，所以將先向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度得到或?qū)⑾认蛏掀揭?個單位長度，再向左平移1個單位長度得到；(2)①如圖1，設拋物線與軸交于點，直線與軸交于點，，當x=0時，y=-3，當y=0時，x=-1或x=3，∴，，∵直線經(jīng)過，∴，，∵，軸，∴，兩點關于軸對稱，設關于軸的對稱點為，則，∴直線的解析式為，由，得，，，∴，∴，∴點的橫坐標為；②如圖2，，設P，Q，則有PQ=-=-m2+m+7，又∵A(3，0)，∴AP2=(3-m)2+()2=，∵AP=PQ，∴(-m2+m+7)2=，∴[(m-3)(3m+7)]2=，∴(m-3)2(3m+7)2=25(m-3)2，∵m≠3，∴(3m+7)2=25，∴m1=-，m2=-4(舍去)，∴m=-；(3)如圖3，∵，∴，，設直線的解析式為，∵，∴，由得，，依題意有，，∴，∴直線的解析式為，同理，直線的解析式為，由得，，∵，，∴直線的解析式為，作軸交于點，則，∴，∴，∴.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了拋物線的平移、拋物線與直線的交點、待定系數(shù)法、勾股定理、三角形的面積等，綜合性較強，有一定的難度，正確把握相關知識，準確畫出符合題意的圖形，利用數(shù)形結合思想進行解答是解題的關鍵.16．（2020·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于（p，0），（q，0），則該拋物線的解析式可以表示為：y＝a（x﹣p）（x﹣q）＝ax2﹣a（p+q）x+apq．（1）若a＝1，拋物線與x軸交于（1，0），（5，0），直接寫出該拋物線的解析式和頂點坐標；（2）若a＝﹣1，如圖（1），A（﹣1，0），B（3，0），點M（m，0）在線段AB上，拋物線C1與x軸交于A，M，頂點為C；拋物線C2與x軸交于B，M，頂點為D．當A，C，D三點在同一條直線上時，求m的值；（3）已知拋物線C3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），線段EF的端點E（0，3），F(xiàn)（4，3）．若拋物線C3與線段EF有公共點，結合圖象，在圖（2）中探究a的取值范圍．【答案】（1）y＝x2﹣6x+5；（3，﹣4）；（2）；（3）a≥或a≤﹣【分析】（1）結合題意，利用配方法解決問題即可．（2）求出兩個拋物線的頂點坐標，根據(jù)A，C，D三點在同一條直線上，構建方程求解即可．（3）求出兩種特殊情形a的值，結合圖象判斷即可解決問題．【詳解】解：（1）由題意拋物線的解析式為y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴y＝x2﹣6x+5，拋物線的頂點坐標為（3，﹣4）．（2）如圖1中，過點C作CE⊥AB于E，過點D作DF⊥AB于F．由題意拋物線C1為y＝﹣（x+1）（x﹣m）＝﹣（x﹣）2+，∴C（，），拋物線C2為y＝﹣（x﹣m）（x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，∴D（，），∵A，C，D共線，CE∥DF，∴＝，∴＝，解得m＝，經(jīng)檢驗，m＝是分式方程的解，∴m＝．（3）如圖2﹣1，當a＞0時，設拋物線的解析式為y＝a（（x+1）（x﹣3），當拋物線經(jīng)過F（4，3）時，3＝a×5×1，∴a＝，觀察圖象可知當a≥時，滿足條件．如圖2﹣2中，當a＜0時，頂點在線段EF上時，頂點為（1，3），把（1，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），可得a＝﹣，觀察圖象可知當a≤﹣時，滿足條件，綜上所述，滿足條件的a的范圍為：a≥或a≤﹣．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考常壓軸題．17．（2021·貴州黔西·中考真題）如圖，直線l：y＝2x＋1與拋物線C：y＝2x2＋bx＋c相交于點A（0，m），B（n，7）．(1)填空：m＝，n＝，拋物線的解析式為．(2)將直線l向下移a（a＞0）個單位長度后，直線l與拋物線C仍有公共點，求a的取值范圍．(3)Q是拋物線上的一個動點，是否存在以AQ為直徑的圓與x軸相切于點P？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)1，3，y＝2x2﹣4x＋1(2)0＜a(3)存在，P（1，0）或P（，0）【分析】（1）將A（0，m），B（n，7）代入y=2x+1，可求m、n的值，再將A（0，1），B（3，7）代入y=2x2+bx+c，可求函數(shù)解析式；（2）由題意可得y=2x+1-a，聯(lián)立，得到2x2-6x+a=0，再由判別式Δ≥0即可求a是取值范圍；（3）設Q（t，s），則，半徑，再由AQ2=t2+（s-1）2=（s+1）2，即可求t的值．【詳解】（1）將A（0，m），B（n，7）代入y＝2x＋1，可得m＝1，n＝3，∴A（0，1），B（3，7），再將A（0，1），B（3，7）代入y＝2x2＋bx＋c得，，可得，∴y＝2x2﹣4x＋1，故答案為：1，3，y＝2x2﹣4x＋1；（2）由題意可得y＝2x＋1﹣a，聯(lián)立，∴2x2﹣6x＋a＝0，∵直線l與拋物線C仍有公共點∴Δ＝36﹣8a≥0，∴a，∴0<a；（3）存在以AQ為直徑的圓與x軸相切，理由如下：設Q（t，s），∴M（，），P（，0），∴半徑r，∵AQ2＝t2＋（s﹣1）2＝（s＋1）2，∴t2＝4s，∵s＝2t2﹣4t＋1，∴t2＝4（2t2﹣4t＋1），∴t＝2或t，∴P（1，0）或P（，0），∴以AQ為直徑的圓與x軸相切時，P點坐標為P（1，0）或P（，0）．,【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．18．（2023秋·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，拋物線：經(jīng)過，兩點；(1)若拋物線：經(jīng)過，求拋物線解析式；(2)拋物線：直線有，兩個交點，為坐標原點，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出的值；(3)直線分別與拋物線：，拋物線：恰好有三個公共點，若其中一個公共點是另外兩個公共點連接線段的中點，求的值．【答案】(1)(2)或或(3)或【分析】（1）把，，分別代入拋物線解析式，解方程組，即可求解；（2）把，，分別代入拋物線解析式，可得，即可求得，，再分兩種情況：和，分別計算，即可分別求得；（3）首先可求得：，：，分別聯(lián)立成方程，即可求得三個公共分別點為，，，再分①當為中點時；②當為中點時；③當為中點時，根據(jù)求中點坐標公式，即可分別求得．【詳解】（1）解：把，，分別代入拋物線解析式，得：，解得，；（2）解：把，分別代入拋物線解析式，得：，解得，解得，，，，設，，當時，，解得或；當時，，解得，綜上，a的值為或或；（3）解：∵經(jīng)過，，∴，解得，∴：，：，∴，，解得：，，，，，，解得：，，，，∴三個公共點為，，①當為中點時，，解得不合題意，舍去；②當為中點時，，解得；③當為中點時，，解得；綜上，或．【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題，等腰三角形的性質(zhì)，求線段中點坐標公式，采用分類討論的思想是解決本題的關鍵．19．（2023·全國·九年級專題練習）已知拋物線的對稱軸是直線，將拋物線在y軸左側的部分沿x軸翻折，翻折后的部分和拋物線在y軸右側的部分組成圖形G．(1)填空：；(2)如圖1，在圖形G中，①當x取何值時，圖形G中的函數(shù)值隨x的增大而減少？②當時，求圖形G的最大值與最小值；(3)如圖2，若，直線與圖形G恰有3個公共點，求n的取值范圍；(4)若，直線與圖形G恰有2個公共點，請直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)4(2)①或；②最大值是32，最小值是0(3)(4)或或【分析】（1）利用拋物線的對稱軸即可求得；（2）①觀察圖象即可得出結論；②根據(jù)圖象上點的坐標特征，即可得出當時，圖形G的最大值與最小值；（3）求得拋物線的最高點，然后根據(jù)圖象即可求得．（4）求得直線分別過點時的m的值，然后根據(jù)圖象即可求得．【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸是直線，∴，∴，故答案為：4；（2）解：①由圖象可知，當或時，圖形G中的函數(shù)值隨x的增大而減少；②∵，∴函數(shù)的最大值為4，當時，，當時，，當時，，∵將拋物線在y軸左側的部分沿x軸翻折，翻折后的部分和拋物線在y軸右側的部分組成圖象G．∴當時，圖形G的最大值是32，最小值是0；（3）解：若，則，∴直線與圖形G恰有3個公共點，則，即，∴n的取值范圍是．（4）解：∵，∴，當時，把點代入得，，令，整理得，則，解得，∴此時，或；當時，令，整理得，則，解得，∴此時，或；∴若，直線與圖形G恰有2個公共點，m的取值范圍是或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的最值，數(shù)形結合是解題的關鍵．20．（2022·河北滄州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點，與直線交于點．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)當時，函數(shù)有最小值，求m的值；(3)過點作軸