2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步6.1.1向量的概念應(yīng)用案鞏固提升新人教B版必修第二冊

PAGE1-6.1.1向量的概念[A基礎(chǔ)達標(biāo)]1．下面幾個命題：(1)若a＝b，則|a|＝|b|；(2)若|a|＝0，則a＝0；(3)若|a|＝|b|，則a＝b；(4)若向量a，b滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|，,a∥b，))則a＝b.其中正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選B.(1)正確．(2)錯誤．|a|＝0，則a＝0.(3)錯誤．a(chǎn)與b的方向不肯定相同．(4)錯誤．a(chǎn)與b的方向有可能相反．2．在同一平面內(nèi)，把全部長度為1的向量的始點固定在同一點，這些向量的終點形成的軌跡是()A．單位圓 B．一段弧C．線段 D．直線解析：選A.平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的軌跡是圓．3.如圖，在⊙O中，向量eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))是()A．有相同起點的向量B．共線向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：選C.由圓的性質(zhì)可知|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AO,\s\up6(→))|.4．以下命題：①|(zhì)a|與|b|是否相等與a，b的方向無關(guān)；②兩個具有公共終點的向量，肯定是共線向量；③兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。渲?，正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C.①正確；②錯誤；終點相同方向不肯定相同或相反；③正確．5.如圖所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分別是AB、BC、AC的中點，則與向量eq\o(PQ,\s\up6(→))相等的向量是()A.eq\o(PR,\s\up6(→))與eq\o(QR,\s\up6(→))B.eq\o(AR,\s\up6(→))與eq\o(RC,\s\up6(→))C.eq\o(RA,\s\up6(→))與eq\o(CR,\s\up6(→))D.eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(QR,\s\up6(→))解析：選B.向量相等要求模相等，方向相同，因此eq\o(AR,\s\up6(→))與eq\o(RC,\s\up6(→))都是和eq\o(PQ,\s\up6(→))相等的向量．6．下列命題正確的是()A．共線向量肯定在同一條直線上B．全部零向量都相等C．向量a與b共線，b與c共線，則a與c共線D．平行四邊形兩對邊所表示的向量肯定是相等向量解析：選B.A錯誤，兩個向量的方向相同或相反都是共線向量，而兩個向量所在直線平行時也稱它們?yōu)楣簿€向量，即共線向量不肯定在同一條直線上，也可能在兩條平行直線上．B明顯正確．C錯誤，留意到零向量與隨意向量共線，若b＝0，此結(jié)論不成立；若b≠0，此結(jié)論成立．D錯誤，平行四邊形兩對邊所表示的向量可能方向相反．7．若a為任一非零向量，b為模為1的向量，下列各式：①|(zhì)a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正確的是________(填序號)．解析：①錯誤．|a|＝eq\f(1,2)時，|a|＜|b|；②錯誤．a(chǎn)與b的方向關(guān)系無法確定；③正確，④錯誤．|b|＝1.答案：③8．在?ABCD中，O是兩對角線AC，BD的交點，設(shè)點集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{eq\o(MN,\s\up6(→))|M，N∈S}，且M，N不重合，則集合T中元素的個數(shù)為________．解析：S＝{A，B，C，D，O}，S中隨意兩點連成的有向線段有：eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))；eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))；eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))；eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))；eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→)).由平行四邊形的性質(zhì)可知(如圖所示)，共有8對向量相等，即eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))，又集合中元素具有互異性，所以集合T中的元素共有12個．答案：129.O是正方形ABCD對角線的交點，四邊形OAED，OCFB都是正方形，在如圖所示的向量中：(1)分別找出與eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))相等的向量；(2)找出與eq\o(AO,\s\up6(→))共線的向量；(3)找出與eq\o(AO,\s\up6(→))模相等的向量；(4)向量eq\o(AO,\s\up6(→))與eq\o(CO,\s\up6(→))是否相等？解：(1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→)).(2)與eq\o(AO,\s\up6(→))共線的向量有：eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→)).(3)與eq\o(AO,\s\up6(→))模相等的向量有：eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→)).(4)向量eq\o(AO,\s\up6(→))與eq\o(CO,\s\up6(→))不相等，因為它們的方向不相同．10.如圖的方格紙由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成，方格紙中有兩個定點A，B.點C為小正方形的頂點，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(5).(1)畫出全部的向量eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值與最小值．解：(1)畫出全部的向量eq\o(AC,\s\up6(→))，如圖所示．(2)由(1)所畫的圖知，①當(dāng)點C位于點C1或C2時，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最小值eq\r(12＋22)＝eq\r(5)；②當(dāng)點C位于點C5或C6時，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最大值eq\r(42＋52)＝eq\r(41).所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值為eq\r(41)，最小值為eq\r(5).[B實力提升]11.四邊形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE與CG相交于點M，則下列關(guān)系不肯定成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|B.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(FH,\s\up6(→))共線C.eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(EH,\s\up6(→))共線D.eq\o(DC,\s\up6(→))與eq\o(EC,\s\up6(→))共線解析：選C.因為三個四邊形都是全等的菱形，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|，AB∥CD∥FH，故eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(FH,\s\up6(→))共線．又三點D，C，E共線，所以eq\o(DC,\s\up6(→))與eq\o(EC,\s\up6(→))共線，故A，B，D都正確．故選C.12．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|且eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形態(tài)為()A．平行四邊形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形解析：選C.因為eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，所以BA∥CD且BA＝CD，所以四邊形ABCD為平行四邊形．又因為|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，所以四邊形ABCD為菱形．13.如圖，△ABC和△A′B′C′是在各邊的eq\f(1,3)處相交的兩個全等的等邊三角形，設(shè)△ABC的邊長為a，圖中列出了長度均為eq\f(a,3)的若干個向量，則(1)與向量eq\o(GH,\s\up6(→))相等的向量有________；(2)與向量eq\o(GH,\s\up6(→))共線，且模相等的向量有________；(3)與向量eq\o(EA,\s\up6(→))共線，且模相等的向量有________．解析：向量相等?向量方向相同且模相等．向量共線?表示有向線段所在的直線平行或重合．答案：(1)eq\o(LB′,\s\up6(→))，eq\o(HC,\s\up6(→))(2)eq\o(EC′,\s\up6(→))，eq\o(LE,\s\up6(→))，eq\o(LB′,\s\up6(→))，eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(HC,\s\up6(→))(3)eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(HA′,\s\up6(→))，eq\o(HK,\s\up6(→))，eq\o(KB′,\s\up6(→))14．已知飛機從A地按北偏東30°方向飛行2000km到達B地，再從B地按南偏東30°方向飛行2000km到達C地，再從C地按西南方向飛行1000eq\r(2)km到達D地．畫圖表示向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，并指出向量eq\o(AD,\s\up6(→))的模和方向．解：以A為原點，正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸正方向建立直角坐標(biāo)系．據(jù)題設(shè)，B點在第一象限，C點在x軸正半軸上，D點在第四象限，向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))如圖所示，由已知可得，△ABC為正三角形，所以AC＝2000km.又∠ACD＝45°，CD＝1000eq\r(2)km，所以△