2025高考數(shù)學一輪復習-數(shù)列中的子數(shù)列、新情境問題【課件】

第六章數(shù)列補上一課數(shù)列中的子數(shù)列、新情境問題1.在一個數(shù)列中通過插項、提項或提取兩個數(shù)列的公共項重構一個新的數(shù)列叫做子數(shù)列問題.2.數(shù)列的創(chuàng)新問題是指新定義數(shù)列，利用圖表表示數(shù)列等.題型一子數(shù)列問題角度1公共項例1

(2024·嘉興模擬)已知{an}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，bn＋1＝3bn－2n＋1. (1)證明{bn－n}是等比數(shù)列，并求{an}，{bn}的通項公式；解由題意可得an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，而b1＝4，bn＋1＝3bn－2n＋1，變形可得bn＋1－(n＋1)＝3bn－3n＝3(bn－n)，b1－1＝3，故{bn－n}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，從而bn－n＝3n，即bn＝3n＋n(n∈N*).(2)若數(shù)列{an}與{bn}中有公共項，即存在k，m∈N*，使得ak＝bm成立.按照從小到大的順序將這些公共項排列，得到一個新的數(shù)列，記作{cn}，求c1＋c2＋…＋cn.解由題意可得3k－1＝3m＋m(k，m∈N*)，因為3k，3m是3的倍數(shù)，所以m＋1也為3的倍數(shù)，令m＋1＝3n，則m＝3n－1(n∈N*)，則3k－1＝33n－1＋3n－1＝3(33n－2＋n)－1，此時滿足條件，即當m＝2，5，8，…，3n－1時為公共項，所以c1＋c2＋…＋cn＝b2＋b5＋…＋b3n－1＝32＋35＋…＋33n－1＋(2＋5＋…＋3n－1)角度2插項、提項例2

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n＋1.(1)求{an}的通項公式；解由數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n＋1，當n≥2時，Sn－1＝2n－1＋1，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，n≥2，當n＝1時，a1＝S1＝21＋1＝3，不符合上式，(2)保持{an}中各項先后順序不變，在ak與ak＋1之間插入k個1，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列{bn}，記{bn}的前n項和為Tn，求T100的值(用數(shù)字作答).解保持數(shù)列{an}中各項先后順序不變，在ak與ak＋1(k＝1，2，…)之間插入k個1，則新數(shù)列{bn}的前100項為3，1，21，1，1，22，1，1，1，23，1，1，1，1，24，…，212，1，1，1，1，1，1，1，1，1，則T100＝[3＋(21＋22＋…＋212)]＋[(1＋2＋3＋…＋12)＋9]＝90＋213－2＝88＋213＝8192＋88＝8280.感悟提升1.兩個等差(比)數(shù)列的公共項是等差(比)數(shù)列，且公差(比)是兩等差(比)數(shù)列公差(比)的最小公倍數(shù)，一個等差與一個等比數(shù)列的公共項，則要通過其項數(shù)之間的關系來確定.2.數(shù)列的插項、提項問題可通過研究前n次的變化探究出一般性規(guī)律，從而確定新數(shù)列的首項、項數(shù)、公差(或公比)、末項等信息.訓練1(2024·濟南模擬)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝4，b1＝2，a2＝2b2－1，a3＝b3＋2.(1)求{an}和{bn}的通項公式；解設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，∴q＝2，d＝3，∴an＝3n＋1，bn＝2n.(2)數(shù)列{an}和{bn}中的所有項分別構成集合A，B，將A∪B的所有元素按從小到大依次排列構成一個新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的前60項和S60.解當{cn}的前60項中含有{bn}的前6項時，此時至多有41＋6＝47項，不符合題意.當{cn}的前60項中含有{bn}的前7項時，令3n＋1<28＝256，∴n<85，且22，24，26是{an}和{bn}的公共項，則{cn}的前60項中含有{bn}的前7項且含有{an}的前56項，再減去公共的三項.題型二新情境、新定義問題解設上表中從第三行起，每行的公比都為q，且q>0，表中到12行尾共含數(shù)列{an}的前78項，a81是表中第13行第三列，感悟提升新情境下的數(shù)列問題的求解策略(1)深入理解新情境，建立數(shù)列模型；(2)利用新定義，求解數(shù)列模型，將新定義和原有知識相聯(lián)系，利用數(shù)列的通項、求和求解.解數(shù)列{an}為“緊密數(shù)列”，理由如下：(3)設數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列.若數(shù)列{an}與{Sn}都是“緊密數(shù)列”，求q的取值范圍.解因為數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，前n項和為Sn，當q＝1時，有an＝a1，Sn＝na1，課時分層精練KESHIFENCENGJINGLIAN1.已知{an}為等比數(shù)列，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)都不在同一列，{bn}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且a1＝

b3－2b1，S7＝7a3.

第一列第二列第三列第一行152第二行4310第三行9820(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；解由題意知a1＝2，a2＝4，a3＝8，所以等比數(shù)列{an}的公比q＝2，an＝a1qn－1＝2n.設等差數(shù)列{bn}的公差為d，則2＝b3－2b1＝2d－b1，所以b4＝8＝b1＋3d，所以b1＝2，d＝2，bn＝2n.(2)若cn＝[lgbn]，其中[x]是高斯函數(shù)，表示不超過x的最大整數(shù)，如[lg2]＝0，[lg98]＝1，求數(shù)列{cn}的前100項的和T100.解因為bn＝2n，所以cn＝[lg(2n)].所以T100＝c1＋c2＋…＋c100＝[lg2]＋[lg4]＋…＋[lg8]＋[lg10]＋…＋[lg98]＋[lg100]＋…＋[lg200]＝4×0＋45×1＋51×2＝147.當n＝1時，a1＝S1＝2，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，當n＝1時，上式也成立，所以an＝3n－1，當n＝1時，上式也成立，所以bn＝2n.(2)把數(shù)列{an}和{bn}的公共項由小到大排成的數(shù)列稱為{cn}，求c1＋c2＋…＋c20的值.解設3n－1＝2m＝(3－1)m＝3M＋(－1)m，m∈N*，M為3的正整數(shù)倍，故當m為奇數(shù)時，n＝M，故公共項為m＝1，3，5，7，…，∴21，23，25，27，…，構成首項為2，公比為4的等比數(shù)列，cn＝2·4n－1，3.定義：若數(shù)列{an}對任意的正整數(shù)n，都有|an＋1|＋|an|＝d(d為常數(shù))，則稱{an}為“絕對和數(shù)列”，d叫做“絕對公和”.已知“絕對和數(shù)列”{an}中，a1＝2，絕對公和為3，求數(shù)列{an}前2025項和S2025的最小值.解依題意，要使S2025的值最小，只需每一項的值都取最小值即可.因為a1＝2，絕對公和d＝3，所以a2＝－1或a2＝1(舍去)，所以a3＝－2或a3＝2(舍去)，所以a4＝－1或a4＝1(舍去)，…，4.(2024·西安調研)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－2Sn＝n＋1(n∈N*)，其中Sn是數(shù)列{an}的前n項和. (1)求數(shù)列{an}的通項公式；解當n＝1時，a2＝2，因為數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，所以an＋1－an＝1，又∵a2－a1＝1，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，故an＝a1＋n－1＝n.(2)在ak和ak＋1(k∈N*)中插入k個相同的數(shù)(－1)k＋1·k，構成一個新數(shù)列{bn}：

a1，1，a2，－2，－2，a3，3，3，3，a4，…，求{bn}