2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-微專題9-數(shù)列求和的常用方法【課件】

板塊二數(shù)列微專題9數(shù)列求和的常用方法近幾年高考，數(shù)列求和常出現(xiàn)在解答題第(2)問，主要考查通過分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消等方法求數(shù)列的和，難度中檔.1真題演練

感悟高考52熱點聚焦

分類突破核心歸納熱點一分組求和與并項求和例1(2024·濟寧一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a5＝9，S7＝49. (1)求數(shù)列{an}的通項公式；分組求和的基本思路是把各項中結(jié)構(gòu)相同的部分歸為同一組，然后再求和.規(guī)律方法(2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和.解由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，

熱點二裂項相消法求和核心歸納例2已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)2n＋1＋2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解由題意可知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)2n＋1＋2，①當(dāng)n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)2n＋2，②①－②得nan＝(n－1)2n＋1－(n－2)2n，即an＝2n，當(dāng)n＝1時，a1＝2滿足上式，所以an＝2n(n∈N*).裂項相消法就是把數(shù)列的每一項分解，使得相加后項與項之間能夠相互抵消，但在抵消的過程中，有的是依次項抵消，有的是間隔項抵消.規(guī)律方法訓(xùn)練2(2024·武漢模擬)已知正項等差數(shù)列{an}滿足：a3n＝3an(n∈N*)，且2a1，a3＋1，a8成等比數(shù)列. (1)求{an}的通項公式；

解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a3n＝3an得a1＋(3n－1)d＝3[a1＋(n－1)d].則a1＝d，所以an＝a1＋(n－1)d＝nd.又2a1，a3＋1，a8成等比數(shù)列，所以(a3＋1)2＝2a1·a8，即(3d＋1)2＝2d·8d.所以7d2－6d－1＝0，熱點三錯位相減法求和核心歸納如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，那么求數(shù)列{an·bn}的前n項和Sn時，可采用錯位相減法.用其法求和時，應(yīng)注意：(1)等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫“Sn”和“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.解若選條件①.因為Sn，2Sn＋1，3Sn＋2成等差數(shù)列，所以4Sn＋1＝Sn＋3Sn＋2，即Sn＋1－Sn＝3(Sn＋2－Sn＋1)，所以an＋1＝3an＋2，

一要先“錯項”再“相減”；二要注意最后一項的符號.易錯提醒訓(xùn)練3(2024·濰坊模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，S3＝a3＋6.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a1＝2，S3＝a3＋6，得a1(1＋q＋q2)＝6＋a1q2，解得q＝2，所以an＝2n(n∈N*).(2)設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.解由(1)可得bn＝log2an＝n，所以anbn＝n·2n，Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，3高分訓(xùn)練

對接高考C一、基本技能練1.已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2(n∈N*)，a1＝－5，則|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(

)A.9 B.15 C.18 D.30解析∵an＋1－an＝2，a1＝－5，∴數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，∴an＝－5＋2(n－1)＝2n－7，B2.(2024·深圳模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝3，am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，則k等于(

) A.10 B.9 C.8

D.7

解析令m＝1，由am＋n＝am＋an可得an＋1＝a1＋an，

所以an＋1－an＝3，

所以{an}是首項為a1＝3，公差為3的等差數(shù)列，an＝3＋3(n－1)＝3n，D3.數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項和為(

)A.3690 B.3660 C.1845 D.1830解析因為an＋1＋(－1)nan＝2n－1，故有a2－a1＝1，a3＋a2＝3，a4－a3＝5，a5＋a4＝7，a6－a5＝9，a7＋a6＝11，…，a50－a49＝97.從而可得a3＋a1＝2，a4＋a2＝8，a5＋a7＝2，a8＋a6＝24，a9＋a11＝2，a12＋a10＝40，a13＋a15＝2，a16＋a14＝56，…從第一項開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項的和都等于2，從第二項開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項的和構(gòu)成以8為首項，以16為公差的等差數(shù)列.C4.在等差數(shù)列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，則數(shù)列{ancosnπ}(n∈N*)的前

2023項和為(

) A.1011 B.1010 C.－2023 D.－2022

解析由題意得a3＋a5＝2a4＝a4＋7，解得a4＝7，則a1＝a4－3d＝7－3×2＝1，所以an＝2n－1，設(shè)bn＝ancosnπ，則b1＋b2＝a1cosπ＋a2cos2π＝－a1＋a2＝2，b3＋b4＝a3cos3π＋a4cos4π＝－a3＋a4＝2，……，∴數(shù)列{ancosnπ}(n∈N*)的前2023項和S2023＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2021＋b2022)＋b2023＝2×1011－4045＝－2023.BAC6.(多選)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差d＝1.若a1＋3a5＝S7，則下列結(jié)論一定正確的是(

) A.a5＝1 B.Sn最小時n＝3 C.S1＝S6

D.Sn存在最大值對于選項C，S6－S1＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4，又因為a4＝0，所以S6－S1＝0，即S1＝S6，故C正確.XC(2n－3)2n＋1＋6(n∈N*)解析由題意4Sn＝(an＋1)2，①4Sn＋1＝(an＋1＋1)2，②兩式相減得4an＋1＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2，即(an＋1－an－2)(an＋1＋an)＝0，∵an＞0，∴an＋1＋an≠0，an＋1－an＝2，∴{an}是公差為2的等差數(shù)列，∵a1＝1，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝2nan＝(2n－1)2n.由錯位相減法可求得Tn＝(2n－3)2n＋1＋6(n∈N*).10.斐波那契數(shù)列因意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在實際生活中，很多花朵(如梅花、飛燕草、萬壽菊等)的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，則1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2023是斐波那契數(shù)列{an}中的第________項.

解析依題意，得1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2023＝a2＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋

a2023＝a4＋a5＋a7＋a9＋…＋a2023＝a6＋a7＋a9＋…＋a2023＝…＝a2022＋a2023＝a2024.202411.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝S5＝－20.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S4＝S5＝－20，得4a1＋6d＝5a1＋10d＝－20，解得a1＝－8，d＝2，則an＝－8＋2(n－1)＝2n－10(n∈N*).(2)已知數(shù)列{bn}是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，若數(shù)列{an}與{bn}的公共項為am，記m由小到大構(gòu)成數(shù)列{cn}，求{cn}的前n項和Tn.解數(shù)列{bn}是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，∴bn＝4·4n－1＝4n(n∈N*).又依題意2m－10＝4n，二、創(chuàng)新拓展練BC解析對于A，若Sn＝n2－1，則有a1＝S1＝0，a2＝S2－S1＝22－12＝3，a3＝S3－S2＝32－22＝5，2a2≠a1＋a3，此時數(shù)列{an}不是等差數(shù)列，故A錯誤；

15.函數(shù)y＝[x]稱為高斯函數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.已知數(shù)列{an}滿足a3＝3，且an＝n(an＋1－an)，若bn＝[lgan]，則數(shù)列{bn}的前

2023項和為________.

解析因為an＝n(an＋1－an)，所以(1＋n)an＝nan＋1，

4962當(dāng)100≤n≤999時，2≤lgan<3，bn＝2；當(dāng)1000≤n≤2023時，3≤lgan<4，bn＝3；所以T2023＝[lga1]＋[lga2]＋…＋[lga2023]＝9×0＋90×1＋900×2＋1024×3＝4962.16.對于任意一個有窮數(shù)列，可以通過在該數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，構(gòu)造一個新的數(shù)列.現(xiàn)對數(shù)列1，5進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，6，5，第2次得到數(shù)列1，7，6，11，5，依次類推，第n次得到數(shù)列1，x1，x2，x3