（第1課時）分類加法計數原理與分步乘法計數原理

6.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理第一課時隨著人們生活水平的提高,家庭汽車擁有量迅速增長,汽車號牌序號需要擴容．那么,交通管理部門應如何確定序號的組成方法,才能滿足民眾的需求呢?思考1：通過一個一個地數是計數的基本方法，但當問題中的數量很大時，列舉的方法效率不高，能否設計巧妙的“計數”，以提高效率呢？計數問題新課引入情境1：春節(jié)放假，小蘭計劃回家過年和家人團聚，從北京回長沙當天有7趟航班和9列火車。問題1：小蘭從北京回長沙的方案有幾類？問題2：這幾類方案中各有幾種方法？問題3：小蘭從北京到長沙共有多少種不同的方法兩類，即飛機和火車第1類方案：乘飛機，有7種方法，第2類方案：坐火車，有9種方法。共有7+9=16（種）不同方法情景引入情境2：用一個大寫的的英文字母或一個0～9阿拉伯數字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？問題1：給座位編號的方案有幾類？問題2：這幾類方案中各有幾種方法？問題3：給座位編號共有多少種不同的方法給座位編號有兩類方法，即字母和數字第1類方法：用英文字母編號，有26種方法；第2類方法：用阿拉伯數字編號，有10種方法?？偣材軌蚓幊?6＋10＝36種不同的號碼.情景引入探究1：你能說說以上兩個問題的共同特征嗎？你能舉一些生活中類似的例子嗎？如果完成一件事有2類不同方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？N=m1+m2都是完成這件事有幾類不同的辦法的問題，每類辦法都能獨立完成事情,并且每種方法也相互獨立.如果完成一件事有3類不同方案呢？那么完成這件事共有多少種不同的方法？新知探究這里不同方案中的方法互不相同一、分類加法計數原理（加法原理）

完成一件事，有兩類方案，在第1類方案中有m種不同的方法，

在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有

注意：（1）首先要根據具體的問題，確定一個分類標準，分類要求做

到

“不重不漏”。N=m＋n種不同的方法.（3）計算方法種數,只需將各類方法數相加,

因此分類計數原理又稱加法原理。（2）用其中各類中任何一種方法都能獨立的完成這件事。新知生成例1：在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A、B兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，如下表.如果這名同學只能只能選一專業(yè)，那么他共有多少種選擇？A大學B大學生物學數學化學會計學醫(yī)學信息技術學物理學法學工程學新知應用分析：要完成的事情是“選一個專業(yè)”．因為這名同學在A，B兩所大學中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又因為這兩所大學沒有共同的強項專業(yè)，所以符合分類加法計數原理的條件．解析該同學選一個專業(yè)，有兩類方案：第1類，在A大學中選，有5種專業(yè)選擇方法；所以根據分類加法計數原理，共有不同選法種數為:

N=5+4=9第2類，在B大學中選，有4種專業(yè)選擇方法．，新知應用變式訓練1：

在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B,C三所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，如右表.A大學B大學C大學生物學數學金融學化學會計學自動化醫(yī)學信息技術學經濟學物理學法學工程學

如果這名同學只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？新知應用解析該同學選一個專業(yè)，有三類方案：第1類，在A大學中選，有5種專業(yè)選擇方法；所以根據分類加法計數原理，共有不同選法種數為:

N=5+4+3=12第2類，在B大學中選，有4種專業(yè)選擇方法．，第3類，在C大學中選，有3種專業(yè)選擇方法．，新知應用N＝m1＋m2＋…＋mn第1類辦法中有

m1種不同的方法第2類辦法中有m2種不同的方法第n類辦法中有mn種不同的方法……共有多少種不同的方法完成一件事一、分類加法計數原理（加法原理）有n

類辦法步驟：新知生成跟蹤訓練2.某學生去書店，發(fā)現A、B、C，3本好書，決定至少買其中1本，則購買方式共有（

）A.3種

B.6種C.7種D.9種解析該同學至少買一本書，有三類方案：第1類，只買一本，有3種選擇；第2類，買兩本，有3種選擇；（AB、AC、BC）第3類，買三本，有1種選擇ABC；所以根據分類加法計數原理，共有不同選法種數為:

N=3+3+1=7新知應用情境3：小明先從北京到成都，飛機有4班，一天后再從成都到重慶，火車有3班。小明乘坐這些交通工具從北京經成都再到重慶共有多少種不同的走法？共有4×3=12（種）不同走法問題1：小明要完成一件什么事？問題2：怎么完成這件事？問題3：完成這件事有多少種方法？從北京經過成都再到重慶第一步：先從北京到成都有4種走法第二步：再從成都到重慶有3種走法情景引入情境4：用前6個大寫英文字母和1～9九個阿拉伯數字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式給教室里的一個座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？問題1：要完成一件什么事？問題2：怎么完成這件事？用一個英文字母和一個阿拉伯數字給座位編號第一步：先從前6個大寫英文字母中選，有6種選擇第二步：從9個阿拉伯數字中選，有9種選擇問題3：完成這件事有多少種不同的號碼？共有6×9=54（種）不同的號碼情景引入法一：列舉法：將編號一個一個列舉出來，注意順序，注意不要遺漏法二：樹狀圖A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9與字母A對應的編號有9種能用樹狀圖列出所有可能的號碼嗎？B123456789B1B2B3B4B5B6B7B8B99種......情境4：用前6個大寫英文字母和1～9九個阿拉伯數字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式給教室里的一個座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？情景引入探究2：你能說說這兩個問題的共同特征嗎？上述計數過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）先確定要完成的是一件什么事，需要幾步；（2）再分別計算完成各步的有多少種方法；（3）將各步方法數相乘，得出所有完成這件事總共有多少種方法.都是完成這件事有兩步，缺少那一步都無法完成事情情景引入二、分步乘法計數原理（乘法原理）一般地，完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.注意：無論第1步采用哪種方法，與之對應的第2步都有相同的方法數.注意：各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成,將各個步驟的方法數相乘得到完成這件事的方法總數,又稱乘法原理.新知生成例2：某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法?分析：要完成的一件事是“選男生和女生各1名”，可分兩步：第一步,選男生；第二步,選女生.解析第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選法；第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選法.根據分步乘法計數原理，共有不同選法的種數為

N＝30×24=720.從班上選一男一女代表參加比賽，分為兩步：新知應用變式訓練1：

某班有男生30名，女生24名.有10名任課老師，從中選出男、女生各1名代表班級參加比賽，及1名老師作為領隊，共有多少種不同的選法？解析第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選法；第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選法.根據分步乘法計數原理，共有不同選法的種數為

N＝30×24×10=7200.從班上選一男一女及一位老師代表參加比賽，分為三步：第3步，從10名老師中選出1人，有10種不同選法.新知應用N＝m1×m2×…×mn第1步有m1

種不同的方法第2步有m2種不同的方法第n步有mn種不同的方法……共有多少種不同的方法完成一件事一、分步乘法計數原理（乘法原理）有n

步步驟：新知生成變式訓練2：從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩數a，b組成復數a＋bi，其中虛數有（

）A.30個 B.42個C.36個 D.35個解析第1步：確定b(b≠0)，有6種方法，第2步：確定a，有7種方法根據分步乘法計數原理，共有不同選法的種數為

N＝6×7=42.完成這件事，分為兩步：新知應用例3：書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，

第3層放有2本不同的體育書．(1)從書架上任取1本書，有多少種不同取法?(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法?分析：(1)要完成的一件事是“從書架上取1本書”，可以分從第1層、第2層和第3層中取三類方案；新知應用解：(1)從書架上任取1本書，有三類方案：第1類方案是從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2類方案是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方案是從第3層取1本體育書，有3種方法.根據分類加法計數原理，不同取法的種數為：

N＝4＋3＋2＝9.

例3：書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，

第3層放有2本不同的體育書．(1)從書架上任取1本書，有多少種不同取法?(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法?分析：要完成的一件事是“從書架的第1層、第2層和第3層各取1本書”，可以分為三個步驟完成.新知應用解：

從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，可以分三個步驟完成：第1步，從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2步，從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3步，從第3層取1本體育書，有3種方法.根據分步乘法計數原理，不同的取法種數為：N＝4×3×2=24.

1.填空題(1)一項工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4人只會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項工作，不同選法的種數是________；9解：

從中選出1人來完成這項工作，有兩類方案：第1類方案是從只會用第1種方法的5人中選出1人，有5種方法；第2類方案是從只會用第2種方法的4人中選出1人，有4種方法.根據分類加法計數原理，不同取法的種數為

N＝5＋4＝9.

課后練習課本練習P51.填空題

(2)從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經B村去C村，不同路線的條數是_________.6A村B村C村北南中北南解:從A村經B村去C村有2步：第一步：從A村到B村有3種方法；第二步：從B村到C村有2種方法；所以，從A村到C村有3×2=6種方法.課后練習課本練習P52.在例1中，如果數學也是A大學的強項專業(yè)，那么A大學共有6個專業(yè)可以選擇，B大學共有4個專業(yè)可以選擇，應用分類加法計數原理，得到這名同學可能的專業(yè)選擇種數為6+4=10.這種算法有什么問題？A大學B大學生物學數學化學會計學醫(yī)學信息技術學物理學法學工程學數學

解：這種算法有問題，因為問題強調的是這名同學的專業(yè)選擇，故并不需要考慮學校的差異，所以這名同學可能的專業(yè)選擇種數應當為課后練習課本練習P53.書架上層放有6本不同的數學書，下層放有5本不同的語文書.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法?

(2)從書架上任取數學書和語文書各1本，有多少種不同的取法?解（1）：從書架上任取1本書，有兩類方案：第1類方案是從第上層取1本數學書，有6種方法；第2類方案是從第下層取1本語文書，有5種方法.根據分類加法計數原理，不同取法的種數為

N＝6＋5＝11.

課后練習課本練習P53.書架上層放有6本不同的數學書，下層放有5本不同的語文書.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法?

(2)從書架上任取數學書和語文書各1本，有多少種不同的取法?解（2）：

從書架的上層、下層各取1本書，可以分兩個步驟完成：第1步，從上層取1本數學書，有6種方法；第2步，從下層取1本語文書，有5種方法.根據分步乘法計數原理，不同的取法種數為

N＝6×5=30.

課后練習課本練習P54.現有高一年級的學生3名，高二年級的學生5名，高三年級的學生4名.

(1)從三個年級的學生中任選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法?

(2)從三個年級的學生中各選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法?解：(1)從三個年級的學生中任選1人參加接待外賓的活動，有三類方案：第1類方案是從高一年級的學生中選1人，有3種方法；第2類方案是從高二年級的學生中選1人，有5種方法；第3類方案是從高三年級的學生中選1人，有4種方法.根據分類加法計數原理，不同選法的種數為

N＝6＋5＝11.

課后練習課本練習P54.現有高一年級的學生3名，高二年級的學生5名，高三年級的學生4名.

(1)從三個年級的學生中任選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法?

(2)從三個年級的學生中各選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法?解:

(2)從三個年級的學生中各選1人參加接待外賓的活動，可以分三個步驟完成：第1步，從高一年級的學生中選1人，有3種方法；第2步，從高二年級的學生中選1人，有5種方法；第3步，從高三年級的學生中選1人，有4種方法.根據分步乘法計數原理，不同選法的種數為

N＝3×5×4=60.

課后練習課本練習P51、某班有男生30名，女生24名，現要從中選一名，代表班級參加比賽，共有_______種不同的選法.鞏固練習解：可以從男生或女生種選一名．第一類：從男生中有30種不同選法，第二類：從女生中有24種不同選法．根據分類加法計數原理，該班選一名做代表的選法種數為N=30+24=542、7名學生中，3名會下象棋但不會下圍棋，2名會下圍棋但不會下象棋，2名既會下象棋又會下圍棋，現從這7人中選出2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有____種