2024-2025學年黑龍江省大慶市高三上學期10月月考數(shù)學教學質量檢測試卷

2024-2025學年黑龍江省大慶市高三上學期10月月考數(shù)學教學質量檢測試卷注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8個小題，每題5分，共40分）1．若復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的模（

）A． B．1 C． D．52．已知命題，命題，則（

）A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題C．p和都是真命題 D．和都是真命題3．已知．若，則（

）A． B． C． D．4．心率是指正常人安靜狀態(tài)下每分鐘心跳的次數(shù)，也叫安靜心率，一般為60～100次/分.某生統(tǒng)計了自己的八組心率，如下為：80，76，，80，83，81，85，平均數(shù)為80分且，是兩個相鄰的自然數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的第75分位數(shù)是多少（

）A．79 B．80 C．81 D．825．已知圓：和：，若動圓P與這兩圓一個內切一個外切，記該動圓圓心的軌跡為M，則M的方程為（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，若函數(shù)圖象上關于原點對稱的點恰有3對，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．沙漏是古代的一種計時儀器，根據(jù)沙子從一個容器漏到另一容器的時間來計時．如圖，沙漏可視為上下兩個相同的圓錐構成的組合體，下方的容器中裝有沙子，沙子堆積成一個圓臺，若該沙漏高為6，沙子體積占該沙漏容積的，則沙子堆積成的圓臺的高（

）A．1 B． C． D．8．設函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則的最小值為（

）A．0 B．e C． D．1二、多選題（本題共3個小題，每題6分，共18分）9．已知函數(shù)，，以下四種變換方式能得到函數(shù)的圖象的是（

）A．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再將所得圖象向左平移個單位長度B．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再將所得圖象向左平移個單位長度C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的D．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的10．已知拋物線C：，圓．若C與交于M，N兩點，圓與x軸的負半軸交于點P，則（

）A．若為直角三角形，則圓的面積為B．C．直線PM與拋物線C相切D．直線PN與拋物線C有兩個交點11．已知函數(shù)，則（

）A．在單調遞減，則 B．若，則函數(shù)存在2個極值點C．若，則有三個零點 D．若在恒成立，則第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3個小題，每題5分，共15分）12．記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則．13．已知角，為銳角，，，則的值為．14．已知為中不同數(shù)字的種類，如與視為不同的排列，則的不同排列有個（用數(shù)字作答）；所有的排列所得的平均值為.四、解答題（本題共5個大題，共77分）15．已知為銳角三角形，角的對邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若，求的取值范圍.16．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．17．在梯形中，，，，為的中點，線段與交于點（如圖1）.將△沿折起到△位置，使得（如圖2）.(1)求證：平面平面；(2)線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.18．甲、乙、丙參加某競技比賽，甲輪流與乙和丙共競技場，每場比賽均能分出勝負，各場比賽互不影響.(1)假設乙的技術比丙高，如果甲輪流與乙和丙競技3場，甲只要連勝兩局即可獲勝，甲認為：先選擇與實力弱的丙比賽有優(yōu)勢，判斷甲猜測的正確性；(2)假設乙與丙的技術相當，且甲與乙，甲與丙競技甲獲勝的概率都是，設為甲未獲得連續(xù)3次勝利的概率.①求，；②證明.19．已知雙曲線的實軸長為4，漸近線方程為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)雙曲線的左?右頂點分別為，過點作與軸不重合的直線與交于兩點，直線與交于點S，直線與交于點.（i）設直線的斜率為，直線的斜率為，若，求的值；（ii）求的面積的取值范圍.1．B【分析】利用復數(shù)的運算法則、模的計算公式求解即可.【詳解】由，得，所以.故選：B.2．B【分析】對于命題，分別取、即可判斷.【詳解】對于命題，當時，，故為假命題，為真命題；對于命題，當時，，故為真命題，為假命題.所以和q都是真命題.故選：B.3．B【分析】根據(jù)向量垂直可得，代入向量夾角公式即可得結果.【詳解】因為，且，則，可得，所以.故選：B.4．D【分析】首先求出，的值，然后將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排序，再求第75分位即可.【詳解】由題知，則，因為，是兩個相鄰的自然數(shù)，所以，，將這八個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：76，77，78，80，80，81，83，85，又，所以這組數(shù)據(jù)的第75分位數(shù)是.故選：D.5．C【分析】根據(jù)圓的位置關系及橢圓的定義可判斷P點軌跡為橢圓，即可得出軌跡方程.【詳解】圓：和：的圓心、半徑分別為，由可知圓內含于圓內，設動圓半徑為,由題意，，,兩式相加可得,故P點的軌跡為以為焦點的橢圓，其中，所以，所以橢圓方程為.故選：C6．C【分析】根據(jù)題意，由時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于原點對稱，轉化為與的圖象至少有3個交點，作出函數(shù)的圖象，列出不等式組，即可求解.【詳解】當時，函數(shù)，則時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于原點對稱，又因為時，，畫出與的圖象，如圖所示，要使得與的圖象至少有3個交點，則滿足且，即，可得，解得，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C.7．B【分析】根據(jù)題意轉化為圓錐的體積公式，以及高的關系，即可求解.【詳解】設沙漏下半部分的圓錐的容積為，沙子堆成的圓臺體積為，該圓錐內沙子上方的剩余空間體積為．由題意可知，即，則，則下半部分圓錐剩余空間的高為圓錐高的一半，即沙子堆成的圓臺的高為圓錐高的一半，即圓臺的高為．故選：B8．A【分析】設零點為，則在直線上，根據(jù)的幾何意義將問題轉化為點到直線的距離問題，利用導數(shù)求解可得.【詳解】設零點為，則，在直線上，的幾何意義為點到原點距離的平方，其最小值為原點到直線的距離的平方，，設且，，所以在單調遞減，所以．故選：A．關鍵點點睛：關鍵在于利用幾何意義將問題轉化為點到直線的距離，然后利用導數(shù)求解即可.9．BC【分析】先利用誘導公式將函數(shù)變?yōu)檎倚腿呛瘮?shù)；再利用三角函數(shù)圖象間的變換規(guī)律即可得出答案.【詳解】由三角函數(shù)圖象間的變換規(guī)律知：將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象；將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．故選：BC．10．ABC【分析】對于A：分析可知直線MN過焦點F且與x軸垂直，可得，進而可得結果；對于B：分析可知，即可得結果；對于CD：，求直線AM的方程，與拋物線聯(lián)立，結合以及對稱性分析判斷.【詳解】記拋物線C的焦點為，坐標原點為O，則圓的圓心為F，半徑．對于選項A：由拋物線與圓的對稱性可知，點M，N關于x軸對稱，若為直角三角形，則，則直線MN過焦點F且與x軸垂直，則，圓的面積為，故A正確；對于選項B：，故B正確；對于選項C，D：設，由拋物線定義可知，，又因為，則，所以直線PM的方程為，與拋物線C：聯(lián)立可得，，則，故，所以直線PM與拋物線C相切，由拋物線與圓的對稱性可知直線PN也與拋物線C相切，故C正確，D錯誤．故選：ABC．

11．BCD【分析】利用導函數(shù)判斷函數(shù)單調區(qū)間，從而得到極值點，然后就可以得到函數(shù)大致圖像就可以判斷函數(shù)零點問題。函數(shù)在某個區(qū)間內恒成立問題可以通過分離參數(shù)的方法得到對應函數(shù)，利用導函數(shù)求函數(shù)最值，從而判斷參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題可知，對于選項A：由題意可知：是解集的子集，當時，顯然恒成立，當時，，∵，∴，即，∴，故選項A錯誤；對于選項B：若，，則有兩個解，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以函數(shù)存在2個極值點，故選項B正確；對于選項C：若，則時，，，單調遞增，x∈?1,1，單調遞減，x∈1,+∞，單調遞增，所以有極大值，有極小值，∴三次函數(shù)有三個零點，故選項C正確；對于選項D：當時，恒成立，當，令，則，令，，∴當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；∴，則；當，令，則，令，∴當時，?′x>0，∴，則；綜上所述：若在恒成立，則，故選項D正確.故選：BCD12．【分析】設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，列出方程組，求得，結合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，則，所以.故答案為.13．【分析】先由同角三角函數(shù)的基本關系求得，再由兩角和的正切公式結合即可得解.【詳解】因為角、為銳角，所以，又，所以，所以，又，所以.故答案為.14．256【分析】利用分步計數(shù)原理求解第一空即可，求解出每一個排列的均值再求平均值即可.【詳解】由題意可知，的不同排列有個；當時，，當時，，當時，，當時，，綜上所述，所有的256個的排列所得的的平均值為.故256，.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理化簡原式得到，結合即可得到答案；（2）根據(jù)正弦定理和輔助角公式化簡，結合與三角函數(shù)值域相關知識求解答案即可.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，，所以，所以，又因為為銳角三角形，所以，所以.（2）在中，由正弦定理得，，所以，因為為銳角三角形，所以，解得，所以，則，所以的取值范圍為.16．(1)極小值為，無極大值(2)【分析】（1）直接根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調性、極值的關系即可求解；（2）結合函數(shù)單調性對分類討論即可求解.【詳解】（1），由，得；由，得．在上單調遞增，在上單調遞減．的極小值為，無極大值．（2）由（1）知在上單調遞增，在上單調遞減．，．①當時，在上單調遞減，在上單調遞增，②當時，在上單調遞增，．.17．(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）先證明四邊形是菱形，從而證明平面ABC，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）證明：∵在梯形中，，，，為的中點，∴，，，∴是正三角形，四邊形為菱形，∴，，∵，又∵平面ABC，∴平面ABC，∵平面，∴平面⊥平面ABC.（2）存在，，理由如下：∵平面，OP⊥AC，∴，，兩兩互相垂直，如圖，以點為坐標原點，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系.則，，，，∴，，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，，，設，∵，，∴，設與平面所成角為，則，即，，解得，∴線段上存在點，且，使得與平面所成角的正弦值為.18．(1)甲猜測錯誤.(2)①，；②證明見解析【分析】（1）設甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，由獨立事件的乘法公式分別求出若甲與丙比賽，則甲獲勝的概率和甲先與乙比賽，則甲獲勝的概率再比較大小即可；（2）①為1減去甲獲得連續(xù)3次勝利的概率，為1減去甲獲得連續(xù)3次和4次勝利的概率；②考察，分為情形一、二、三，結合獨立事件的乘法公式和全概率公式計算即可；【詳解】（1）設甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙的技術比丙高，若甲與丙比賽，則甲獲勝的概率為：若甲先與乙比賽，則甲獲勝的概率為：顯然，故甲應先與乙比賽有優(yōu)勢，故甲猜測錯誤.（2）①，②考察，分為情形一：第局甲輸；情形二：第局甲贏，局甲輸情形三：第局甲贏，局甲贏，局甲輸由題意分為三種情形，如下：情形一

第場輸了，則前場甲未獲得連續(xù)3次勝利，此時概率為.情形二

第場贏了，第場輸了，則前場甲未獲得連續(xù)3次勝利，此時概率為.情形三

第場贏了，第場贏了，第場輸了，則前場甲未獲得連續(xù)3次勝利，此時概率為.由全概率公式得.①因此.②①②得，又因為，所以當，時，.關鍵點點睛：本題第二問的第二小問關鍵是考察時能夠把情況分為三種，再結合全概率計算比較大小.19．(1)