廣東省湛江市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

高三年級(jí)期末考試試卷數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3考試結(jié)束后將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡集合，然后利用交集運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得，則.故選：C.2.復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由乘法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)概念即可求解；【詳解】由題意可得，則．故選：B3.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】由空間線、面的位置關(guān)系結(jié)合充分條件與必要條件的定義即可判斷；【詳解】當(dāng)直線相交且垂直時(shí)，平面可以相互平行，當(dāng)時(shí)，直線可以平行，則“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D4.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且，則雙曲線的離心率是（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合二倍角公式求出雙曲線漸近線的斜率，進(jìn)而求出離心率.【詳解】依題意，，由，得，因此，而雙曲線漸近線方程為，則，所以雙曲線的離心率是.故選：B5.在中，角的對(duì)邊分別是，若，且，則的最小值是（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式可得，再由余弦定理結(jié)合基本不等式即可得的最小值.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理，得．因?yàn)?，所以，所以，所?因?yàn)?，所以，則．由余弦定理，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為.故選：B.6.已知函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，若，則（）A.-6 B.-3 C.3 D.6【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)得出，再結(jié)合已知條件得出周期，最后計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以，即是周期?的周期函數(shù)，則．故選：C.7.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著之一，其中記載了關(guān)于粟米分配的問題．現(xiàn)將14斗粟米分給4個(gè)人，每人分到的粟米斗數(shù)均為整數(shù)，每人至少分到1斗粟米，則不同的分配方法有（）A.715種 B.572種 C.312種 D.286種【答案】D【解析】【分析】本題以《九章算術(shù)》中的粟米為背景，考查排列組合的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和應(yīng)用意識(shí)．【詳解】本題可轉(zhuǎn)化為將14個(gè)大小相同，質(zhì)地均勻的小球分給甲，乙，丙，丁4個(gè)人，每人至少分1個(gè)，利用隔板法在中間13個(gè)空隙（兩端除外）當(dāng)中插入3個(gè)隔板，可得分配的方案數(shù)為，所以不同的分配方法有286種．故選：D.8.在三棱錐中，，其他棱長都是，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖，利用線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而，結(jié)合勾股定理和球的表面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】如圖，取棱的中點(diǎn)，連接，則，且，設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，連接，作，垂足．由題意得．因?yàn)?，所以，所以．又，平面，所以平面，則．設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，即，解得，故三棱錐外接球的表面積是．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)甲，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.某教育行政部門為了解某校教師“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的得分情況，隨機(jī)調(diào)查了該校的50位教師，這50位教師12月份的日均得分單位：分統(tǒng)計(jì)情況如下表：得分頻數(shù)5152010根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）A.這50位教師12月份的日均得分的中位數(shù)不低于25B.這50位教師12月份的日均得分不低于15分的比例超過C.這50位教師12月份的日均得分的極差介于20至40之間D.這50位教師12月份的日均得分的平均值介于30至35之間同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表【答案】ABC【解析】【分析】利用中位數(shù)判斷A；利用比例判斷B；利用極差判斷C；利用平均數(shù)判斷D【詳解】對(duì)于A，這50位教師12月份的日均得分在的人數(shù)為，日均得分在的人數(shù)為，因此這50位教師12月份的日均得分的中位數(shù)不低于25，A正確；對(duì)于B，這50位教師12月份的日均得分不低于15分的比例為：，B正確；對(duì)于C，這50位教師12月份日均得分的極差屬于，C正確；對(duì)于D，這50位教師12月份的日均得分的平均值為：，D錯(cuò)誤．故選：ABC10.已知函數(shù)，則（）A.最小正周期為 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在上單調(diào)遞減 D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小正周期，即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性定義及誘導(dǎo)公式可判斷選項(xiàng)B；利用換元法可研究函數(shù)的單調(diào)性與值域，即可判斷選項(xiàng)CD.【詳解】因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的最小正周期為，則A正確.因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則B正確.當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則函數(shù)，所以.由，得或；由，得.故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，即.因?yàn)?，所以在上不單調(diào)，則C錯(cuò)誤.因?yàn)樗栽谏系闹涤驗(yàn)?因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋缘闹涤驗(yàn)椋瑒tD正確.故選：ABD.11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線就是其中之一?則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線關(guān)于軸對(duì)稱B.曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2C.曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于到直線的距離D.若是曲線上任意一點(diǎn)，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，若點(diǎn)在曲線上，由是否滿足曲線的方程判斷；對(duì)B，由曲線的對(duì)稱性可令，結(jié)合可得，利用二次函數(shù)求得最值；對(duì)C，舉反例說明；對(duì)D，根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)位于第二象限時(shí)，取得最大值，令，將代入，利用判別式判斷.【詳解】對(duì)于A，若點(diǎn)在曲線上，則都滿足曲線的方程，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)在曲線上，根據(jù)選項(xiàng)A，同理可得曲線關(guān)于軸，坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，由曲線的對(duì)稱性可令，則，所以，則，所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2，故B正確；對(duì)于C，易知是上一點(diǎn)，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不等于到直線的距離，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由曲線的對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)位于第二象限時(shí)，取得最大值，所以，令，將代入，可得，解得，即的最大值為，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)曲線方程的特征判斷曲線的對(duì)稱性，結(jié)合各項(xiàng)描述并應(yīng)用特殊象限點(diǎn)、兩點(diǎn)距離公式、方程法判斷各項(xiàng)正誤為關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知單位向量滿足，則向量夾角的弦值是______．【答案】【解析】【分析】通過平方即可求解；【詳解】因?yàn)?，平方可得：，所以，則．故答案為：13.若圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心到直線的距離，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】由題意可知，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，由于圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則，即，解得或．因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.已知函數(shù)，且，則______．【答案】2【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算得，從而設(shè)函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性可得，從而得解.【詳解】由題意得的定義域?yàn)椋瑒t．由，得，即．設(shè)函數(shù)，易得在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即．故．故答案為?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性，從而得.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.蛇年來臨之際，某商場(chǎng)計(jì)劃安排新春抽獎(jiǎng)活動(dòng)，方案如下：1號(hào)不透明的盒子中裝有標(biāo)有“吉”“安”“和”字樣的小球，2號(hào)不透明的盒子中裝有標(biāo)有“祥”“康”“順”字樣的小球，顧客先從1號(hào)不透明的盒子中取出1個(gè)小球，再從2號(hào)不透明的盒子取出1個(gè)小球，若這2個(gè)球上的字組成“吉祥”“安康”“和順”中的一個(gè)詞語，則這位顧客中獎(jiǎng)，反之沒有中獎(jiǎng)，每位顧客只能進(jìn)行一輪抽獎(jiǎng)．已知顧客從不透明的盒子取出標(biāo)有“吉”“安”“和”“祥”“康”“順”字樣小球的概率均為，且顧客取出小球的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求顧客中獎(jiǎng)的概率；（2）若小明一家三口參加這個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求小明全家中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析；期望為1【解析】【分析】（1）分別求出顧客取出的2個(gè)小球的字樣組成“吉祥”、“安康”和“和順”的概率即可求解；（2）設(shè)小明全家中獎(jiǎng)的次數(shù)為，根據(jù)服從二項(xiàng)分布即可求解.【小問1詳解】顧客取出的2個(gè)小球的字樣組成“吉祥”的概率為，顧客取出的2個(gè)小球的字樣組成“安康”的概率為，顧客取出的2個(gè)小球的字樣組成“和順”的概率為，綜上，顧客中獎(jiǎng)的概率為；【小問2詳解】設(shè)小明全家中獎(jiǎng)的次數(shù)為，則，，，，，則的分布列為0123所以．16.如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，，，，．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由勾股定理得到，進(jìn)而得到，再結(jié)合四邊形是菱形，得到．進(jìn)而求證；（2）建系，求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；【小問1詳解】證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑?，且，所以．因?yàn)?，所以，所以因?yàn)?，所以．因?yàn)槠矫?，且，所以平面因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)樗倪呅问橇庑?，所以．因?yàn)槠矫妫?，所以平面．【小?詳解】記，以為原點(diǎn)，方向分別為軸的正方向，平行向上為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，則．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，得．設(shè)平面的一個(gè)法向量為則令，得．設(shè)平面與平面的夾角為，則，故．17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性.【答案】（1）（或）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）把代入得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類討論求出函數(shù)的單調(diào)性.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，從而，故所求切線方程為，即（或）.【小問2詳解】由題意可得的定義域?yàn)?當(dāng)，即時(shí)，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，則在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，則在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.18.已知和為橢圓上兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的兩焦點(diǎn)，且，求的面積；（3）過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，證明：為定值．【答案】（1）（2）．（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可得關(guān)于，的方程組，解出，的值，即可得出橢圓的方程；（2）利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義求出的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積；（3）當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，直接計(jì)算出的值；當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí)，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式可求出的值，即可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】由題意得，解得，所以橢圓的方程為．【小問2詳解】由題可知在中，由余弦定理得則即所以，故的面積是．【小問3詳解】當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，．當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí)，設(shè)直線的方程為聯(lián)立，得，此時(shí)．，故為定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.19.若數(shù)列的首項(xiàng)，對(duì)任意的，都有（為常數(shù)，且），則稱為有界變差數(shù)列，其中為數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)差值的上界．已知數(shù)列是有界變差數(shù)列，的前項(xiàng)和為．（1）當(dāng)時(shí)，證明：．（2）當(dāng)中各項(xiàng)都取最大值時(shí)，對(duì)任意的恒成立，求的最大值；（3）當(dāng)中各項(xiàng)都取最大值時(shí)，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，都有，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）的最大值為；（3）的取值范圍為.【解析】【分析】（1）由定義可得，結(jié)合關(guān)系證明結(jié)論；（2）由定義證明，由此可得，化簡條件不等式并分離變量可得，利用基本不等式求的最小值，結(jié)合條件可得結(jié)論；（3）由（2），利用錯(cuò)位相減法求，代入條件不等式可得，討論的奇偶，分離變量，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則.當(dāng)時(shí)，，滿足，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，滿足上式，所以.所以不等式可化為，所以，.因?yàn)?，所以，所以，而?/p>