新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)第36講 軌跡方程（解析版）

第36講軌跡方程【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程一、直譯法如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系且這些幾何簡(jiǎn)單明了且易于表達(dá)，那么只需把這些關(guān)系“翻譯”成含的等式，就可得到曲線的軌跡方程，由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟，也不需要特殊的技巧，所以被稱為直譯法。二、定義法若動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一已知曲線（圓，橢圓，雙曲線，拋物線）的定義，則可根據(jù)定義直接求出方程中的待定系數(shù)，故稱待定系數(shù)法。三、相關(guān)點(diǎn)法（代入法）有些問題中，所求軌跡上點(diǎn)的幾何條件是與另一個(gè)已知方程的曲線上點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的，這時(shí)要通過建立這兩點(diǎn)之間關(guān)系，并用表示，再將代入已知曲線方程，即得關(guān)系式?！镜湫屠}】例1．（2021·福建·泉州科技中學(xué)高三期中）如圖，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，直線AP，BP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為.（1）求P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，點(diǎn)M?N是軌跡為C上不同于A，B的兩點(diǎn)，且滿足APOM，BPON，求△MON的面積.【解析】（1）由已知設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意知，化簡(jiǎn)得的軌跡方程為（2）證明：由題意是橢圓上非頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，則直線斜率必存在且不為0，又由已知.因?yàn)?，所以設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，得....①，設(shè)的坐標(biāo)分別為，則又，所以，得又，所以，即的面積為定值.例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為定值.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程：（2）若直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)，，且線段被直線平分，求直線的斜率的取值范圍.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，依題意，有兩邊平方，整理得所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；（2）聯(lián)立，解得.設(shè)點(diǎn)，，的中點(diǎn)為則，由題意可得，又因?yàn)辄c(diǎn)，都在橢圓上，則將上述兩個(gè)等式作差得.則則，即所以，即所以直線的斜率的取值范圍是例3．（2021·新疆·克拉瑪依市教育研究所模擬預(yù)測(cè)（理））已知圓：，點(diǎn)，P是圓C上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線交CP于點(diǎn)Q.（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程；（2）過點(diǎn)作直線MN交點(diǎn)Q的軌跡于M?N兩點(diǎn)，設(shè)線段MN的中點(diǎn)為H，判斷線段與的大小，并證明你的結(jié)論.【解析】（1）∵點(diǎn)Q在線段AP的垂直平分線上，∴.又，∴.∴點(diǎn)Q的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，和為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.可設(shè)方程為，則，∴，∴點(diǎn)Q的軌跡方程為.（2）結(jié)論是：.①當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，，，此時(shí)；②當(dāng)直線MN的斜率k存在時(shí)，設(shè)：代入到，化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，，此時(shí)，，∴.∴，點(diǎn)A在以MN為直徑的圓上或圓的內(nèi)部，所以.綜上所述，.例4.（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則由M為線段AB中點(diǎn)，可得，即點(diǎn)B坐標(biāo)可表示為（2x－2a，2y），因?yàn)辄c(diǎn)（x0，y0）在橢圓上，，從而有整理得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.例5．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓，求斜率為的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為.則，（1），（2）得：，.又，.由于弦中點(diǎn)軌跡在已知橢圓內(nèi)，聯(lián)立故斜率為的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程：例6.（2021·廣東·石門中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄AP過點(diǎn)且與圓相內(nèi)切.（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.（2）直線過原點(diǎn)，且與軌跡有兩個(gè)交點(diǎn).軌跡上是否存在一點(diǎn)，使△為正三角形，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【詳解】設(shè)圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則由條件知：，故，因此，P的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓方程.故圓心P的軌跡方程為：.（2）解法一：若直線的斜率存在且不為零.故可設(shè).直線方程為：由同理，得因，此時(shí)無解.若直線的斜率為零，此時(shí)也無解.若直線的斜率不存在，可求出.故的坐標(biāo)為解法二：由圖形的對(duì)稱性及正三角形性質(zhì)，不妨設(shè)，代入橢圓方程，得同理，由得，故存在這樣的點(diǎn)，其坐標(biāo)為.例7．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，在中，已知，且三內(nèi)角A，B，C滿足，以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程.【詳解】由已知得，∵，∴由正弦定理得:，∴，∴由雙曲線的定義知，點(diǎn)的軌跡以為焦點(diǎn)，以為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的右支（除去與軸的交點(diǎn)），∴，∴頂點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.例8．（2012·遼寧·高考真題（文））如圖，動(dòng)圓,1<t<3,與橢圓：相交于A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)分別為的左，右頂點(diǎn)．(Ⅰ)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積；(Ⅱ)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程．【解析】（1）設(shè)，則矩形ABCD的面積.由得，從而當(dāng)，時(shí)，.從而時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為6.（2）證明：由，，，知直線的方程為①直線的方程為②由①②得③又點(diǎn)在橢圓C上，故④將④代入③得因此點(diǎn)M的軌跡方程為.【技能提升訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，邊所在直線的斜率之積等于，求頂點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）或，（2）（），【分析】（1）由題意可得，然后分焦點(diǎn)在軸上和焦點(diǎn)在軸上兩種情況設(shè)出橢圓的方程，再將代入方程中可求出的值，從而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再由所在直線的斜率之積等于，列方程可求出結(jié)果【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，所以，若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以得，所以橢圓的方程為，若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以得，所以橢圓的方程為，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（），因?yàn)檫吽谥本€的斜率之積等于，所以，化簡(jiǎn)得，即（），所以頂點(diǎn)的軌跡方程（），2．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【答案】和【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出所滿足的方程，化簡(jiǎn)方程可求得的軌跡方程.【詳解】設(shè)，由題意：兩邊平方可得：當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)可得，當(dāng)時(shí)，，所以曲線M的軌跡方程為和.3．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn).求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】【分析】設(shè)，，，代入拋物線方程中，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得以線段PQ的中點(diǎn)B的軌跡方程.【詳解】解：設(shè)，，代入得，化簡(jiǎn)得，又，所以線段PQ的中點(diǎn)B的軌跡方程為.4．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P到直線y＝－3的距離比點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，1)的距離多2.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)Q(0，2)的動(dòng)直線l與點(diǎn)P的軌跡交于M，N兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)R使得∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）x2＝4y；（2）存在，定點(diǎn)R(0，－2).【分析】（1）由|PA|等于點(diǎn)P到直線y＝－1的距離，結(jié)合拋物線的定義得出點(diǎn)P的軌跡方程；（2）由對(duì)稱性確定點(diǎn)R必在y軸上，再由∠MRQ＝∠NRQ可得kMR＋kNR＝0，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出定點(diǎn)R(0，－2).【詳解】（1）由題知，|PA|等于點(diǎn)P到直線y＝－1的距離，故P點(diǎn)的軌跡是以A為焦點(diǎn)，y＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，所以其方程為x2＝4y.（2）根據(jù)圖形的對(duì)稱性知，若存在滿足條件的定點(diǎn)R，則點(diǎn)R必在y軸上，可設(shè)其坐標(biāo)為(0，r)此時(shí)由∠MRQ＝∠NRQ可得kMR＋kNR＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則＋＝0由題知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx＋2，與x2＝4y聯(lián)立得x2－4kx－8＝0，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－8＋＝＋＝2k＋＝2k－＝0故r＝－2，即存在滿足條件的定點(diǎn)R(0，－2).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問題一時(shí)，關(guān)鍵是由拋物線的定義得出軌跡方程；解決問題二時(shí)，關(guān)鍵是由對(duì)稱性得出點(diǎn)R必在y軸上，進(jìn)而設(shè)出其坐標(biāo).5．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖所示，已知圓：與點(diǎn)，分別求出滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．（1）的周長(zhǎng)為10；（2）圓與圓外切，且過點(diǎn)(為動(dòng)圓圓心)；（3）圓與圓外切，且與直線相切(為動(dòng)圓圓心)．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由題意可得到，再根據(jù)橢圓的定義即可求解；（2）由題意可得到，再根據(jù)雙曲線的定義即可求解；（3）根據(jù)拋物線的定義即可求解.【詳解】解：（1）由題意知：，又，，故點(diǎn)的軌跡是橢圓去掉左右兩個(gè)頂點(diǎn)，且，，即，，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：；（2）設(shè)圓的半徑為，則，，，由雙曲線的定義知，點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支，且，，即，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：，（3）由題意知：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離，故其軌跡為拋物線，且開口向左，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義.6．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知，是圓：(為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【答案】.【分析】先根據(jù)題意可知正好為圓的半徑，而，進(jìn)而可知．根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓，根據(jù)、求得a，c，進(jìn)而求得b，答案可得．【詳解】作圖，則，，∴且大于，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓，，，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.7．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））如圖,已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.【答案】x2-=1(x≤-1)【分析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為R,根據(jù)圓外切的條件得到|MC1|=R+1,|MC2|=R+3,消去,得到|MC2|-|MC1|=2,根據(jù)雙曲線的定義得到的軌跡，并由定義得到的值，進(jìn)而得到方程.【詳解】依題意,知圓C1的圓心為C1(-3,0),半徑為1,圓C2的圓心為C2(3,0),半徑為3.設(shè)動(dòng)圓的半徑為R,則|MC1|=R+1,|MC2|=R+3,所以|MC2|-|MC1|=2<|C1C2|,因此,圓心M的軌跡是以C1,C2為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的左支,且,所以.于是所求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為x2-=1(x≤-1).【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是利用圓相外切的條件，轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差等于定值，另外要準(zhǔn)確全面掌握雙曲線的定義，這里表示的是雙曲線的一支.8．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么曲線?【答案】；橢圓.【分析】利用動(dòng)圓分別與兩圓的相外切和內(nèi)切的位置關(guān)系，可得動(dòng)圓圓心與已知兩圓圓心間的關(guān)系，再根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系結(jié)合圓錐曲線的定義，即可判斷軌跡為橢圓，并求出軌跡方程．【詳解】設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，設(shè)圓和圓的圓心分別為、，將圓的方程分別配方得：圓，圓當(dāng)動(dòng)圓與圓相外切時(shí)，有…①當(dāng)動(dòng)圓與圓相內(nèi)切時(shí)，有…②將①②兩式相加，得，∴動(dòng)圓圓心到點(diǎn)和的距離和是常數(shù)，所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為點(diǎn)、，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于的橢圓．設(shè)該橢圓的長(zhǎng)軸為，短軸為，焦距為；∴，∴∴∴動(dòng)圓圓心軌跡方程為，軌跡為橢圓．【點(diǎn)睛】本題以兩圓的位置關(guān)系為載體，考查橢圓的定義，考查軌跡方程，熟練掌握橢圓的定義是解題關(guān)鍵．9．（2020·全國(guó)·高三（理））已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的之比為.（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并說明它是什么圖形；（2）求點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值.【答案】（1）點(diǎn)的軌跡方程為，以為圓心，為半徑的圓；（2），【分析】（1）設(shè)，利用點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，建立方程，化簡(jiǎn)可得結(jié)果；（2）先求出圓心到直線的距離，最大值為，最小值為.【詳解】（1）設(shè)，∵點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，∴，化簡(jiǎn)可得，即點(diǎn)的軌跡方程為，以為圓心，為半徑的圓.（2）圓心到直線距離為，點(diǎn)到直線的距離的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.10．（2020·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的漸近線方程為y=±2x，且該雙曲線過點(diǎn)(2,2).（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)A為雙曲線C上任一點(diǎn)，F(xiàn)1?F2分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn),過其中的一個(gè)焦點(diǎn)作∠F1AF2的角平分線的垂線，垂足為點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程.【答案】（1）.（2）【分析】（1）根據(jù)漸近線方程，設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，求出參數(shù)值，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由三角形全等，結(jié)合雙曲線的定義，推出點(diǎn)滿足的條件，根據(jù)圓的定義，即可寫出其軌跡方程.【詳解】（1）根據(jù)題意，雙曲線的漸近線方程是y=±2x，則設(shè)雙曲線方程為：4x2﹣y2=λ，(λ≠0)，點(diǎn)(2,2)代入得：λ=12，則雙曲線方程為：4x2﹣y2=12，即1.（2）∵F1,F2是雙曲線1的左右焦點(diǎn)，過F2作角的平分線AB的垂線，垂足為P，并且交AF1于Q，連接OP，如下圖所示：則//，顯然故|AQ|=|AF2|，∴|F1Q|=|AF1|﹣|AQ|=|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|OP|=a，由圓的定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓，所以P的軌跡方程為：x2+y2=3.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線方程的求解，以及圓方程的求解，涉及雙曲線的定義，屬綜合基礎(chǔ)題.11．（2018·西藏·拉薩中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知橢圓M：1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，離心率為，過點(diǎn)（0，1）的直線l與M交于A，B兩點(diǎn)，且．（1）求M的方程；（2）求點(diǎn)P的軌跡方程．【答案】（1）；（2）x2+2y2＝2y．【分析】（1）根據(jù)題意2a＝2，，解方程組即可求解.（2）當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為y＝kx+1，將直線與橢圓聯(lián)立，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式消k即可求出軌跡方程.【詳解】（1）由題意可知，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝2，即a，離心率e，則c＝1，b2＝a2﹣c2＝1，所以橢圓M的方程為；（2）當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），聯(lián)立方程組，消去y，整理得（1+2k2）x2+4kx＝0，解得x1＝0，x2，y1＝1，y2，由題意可知，P為AB的中點(diǎn)，所以，消去k，整理得x2+2y2＝2y，當(dāng)斜率不存在時(shí)，A（0，1），B（0，﹣1），則P（0，0），滿足x2+2y2＝2y，所以點(diǎn)P的軌跡方程x2+2y2＝2y．【點(diǎn)睛】本題考查了由離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系以及求曲線的軌跡方程，屬于中檔題.12．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且，，在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；【答案】【分析】根據(jù)且，可得為的中點(diǎn)，利用，可得，從而可得點(diǎn)的軌跡的方程；【詳解】解：設(shè)，則由，得為的中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，所以，，又，；【點(diǎn)睛】本題考查求軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的射影是D，點(diǎn)M滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）過點(diǎn)的直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程．【答案】（1）點(diǎn)M的軌跡C的方程為，軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓（2）【分析】（1）設(shè)，根據(jù)可求得，代入圓的方程可得所求軌跡方程；根據(jù)軌跡方程可知軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，利用求得；利用韋達(dá)定理表示出與，根據(jù)平行四邊形和向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，消去后得到軌跡方程；根據(jù)求得的取值范圍，進(jìn)而得到最終結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，則由知：點(diǎn)在圓上點(diǎn)的軌跡的方程為：軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓（2）設(shè)，由題意知的斜率存在設(shè)，代入得：則，解得：設(shè)，，則四邊形為平行四邊形又∴，消去得：頂點(diǎn)的軌跡方程為【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線中的軌跡方程的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用已知中所給的等量關(guān)系建立起動(dòng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而通過化簡(jiǎn)整理得到結(jié)果；易錯(cuò)點(diǎn)是求得軌跡方程后，忽略的取值范圍.14．（2019·安徽蚌埠·三模（理））已知點(diǎn)，，，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，可以與點(diǎn)重合.當(dāng)不與重合時(shí)，直線與的斜率之積為.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）一個(gè)矩形的四條邊與動(dòng)點(diǎn)的軌跡均相切，求該矩形面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）當(dāng)與點(diǎn)不重合時(shí)，根據(jù)直線與的斜率之積為，直接可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，或，最后寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）記矩形面積為，當(dāng)矩形一邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)，易知.當(dāng)矩形各邊均不與坐標(biāo)軸平行時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，設(shè)其中一邊所在直線方程為，則對(duì)邊方程為另一邊所在的直線為，則對(duì)邊方程為，聯(lián)立：，得，則，即.矩形的一邊長(zhǎng)為，同理：，矩形的另一邊長(zhǎng)為，，綜上：.【詳解】解：（1）當(dāng)與點(diǎn)不重合時(shí)，，得，即，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，或.綜上，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.（2）記矩形面積為，當(dāng)矩形一邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)，易知.當(dāng)矩形各邊均不與坐標(biāo)軸平行時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，設(shè)其中一邊所在直線方程為，則對(duì)邊方程為另一邊所在的直線為，則對(duì)邊方程為，聯(lián)立：，得，則，即.矩形的一邊長(zhǎng)為，同理：，矩形的另一邊長(zhǎng)為，，綜上：.【點(diǎn)睛】本題考查了直譯法求曲線的軌跡方程.重點(diǎn)考查了求橢圓外切矩形的面積的取值問題，考查了基本不等式的應(yīng)用.15．（2017·福建省福州第一中學(xué)一模（文））在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡方程為曲線.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)，在軸上，的內(nèi)切圓的方程為，將表示成的函數(shù)，并求面積的最小值.【答案】（1）（2）面積的最小值為8.【解析】試題分析:（1）由拋物線定義即可得到圓心的軌跡方程;（2）由三角形的內(nèi)切圓方程可得,圓心與三角形的三條邊所在直線相切,根據(jù)點(diǎn)線距等于半徑,可得關(guān)于x的二次方程,寫出韋達(dá)定理,可將線段BC表示成的函數(shù),進(jìn)而寫出三角形的面積表達(dá)式,再由基本不等式即可求得面積的最小值.試題解析:解：（Ⅰ）由題意可知圓心到的距離等于直線的距離，由拋物線的定義可知，曲線的方程為.（Ⅱ）設(shè)，，直線的方程為：，又圓心（1,0）到的距離為1，所以.整理得：，同理可得：，所以，是方程的兩根，所以，，依題意，即，則.因?yàn)樗?所以.當(dāng)時(shí)上式取得等號(hào)，所以面積的最小值為8.16．（2017·江蘇豐縣·高三階段練習(xí)）設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于，兩點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．【答案】.【解析】試題分析：借助題設(shè)條件運(yùn)用橢圓的定義及圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行探求.試題解析：因?yàn)椋?，故，所以，故．又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，所以，題設(shè)得，，，由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為．考點(diǎn)：圓的幾何性質(zhì)及橢圓的定義等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用．17．（2017·江蘇豐縣·高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，是線段延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的軌跡方程．【答案】．【解析】試題分析：借助題設(shè)條件運(yùn)用代點(diǎn)消元的思想進(jìn)行探求.試題解析：由題意知，為中點(diǎn)，設(shè)，則為，代入，得．考點(diǎn)：代點(diǎn)消元法求軌跡方程的運(yùn)用．18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給定雙曲線．過的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)及，求線段的中點(diǎn)P的軌跡方程．【答案】【分析】設(shè)，代入雙曲線方程后相減，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式代入即可求得中點(diǎn)P的軌跡方程．再討論斜率不存在時(shí)是否滿足方程即可．【詳解】設(shè)，代入方程得兩式相減得：又設(shè)中點(diǎn)將代入，當(dāng)時(shí)得又代入得當(dāng)弦斜率不存在時(shí)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)也滿足上述方程因此所求軌跡方程是【點(diǎn)睛】本題考查了直線與曲線相交的中點(diǎn)弦問題，點(diǎn)差法解決中點(diǎn)問題的用法，屬于基礎(chǔ)題．19．（2012·河北衡水·高三階段練習(xí)（理））設(shè)直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)A、B，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)．（1）求的重心G的軌跡方程；（2）如果的外接圓的方程．【答案】解：①設(shè)，，，重心，∴△＞0＜1且（因?yàn)锳、B、F不共線）故∴重心G的軌跡方程為（6分）②，則，設(shè)中點(diǎn)為∴∴那么AB的中垂線方程為令△ABF外接圓圓心為又，C到AB的距離為∴∴∴∴所求的圓的方程為（7分）【解析】(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(xiàn)(1,0)，重心G(x，y)，?y2－4y＋4m＝0，∴Δ>0?m<1且m≠－1(A，B，F(xiàn)不共線)，故∴重心G的軌跡方程為y＝.(2)若m＝－2，則y2－4y－8＝0，設(shè)AB中點(diǎn)為(x0，