2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.1隨機(jī)事件的概率3.1.2生活中的概率學(xué)案北師大版必修3

PAGE1-3.1.2生活中的概率[航向標(biāo)·學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．正確理解概率的意義．2．應(yīng)用概率學(xué)問(wèn)說(shuō)明日常生活中的一些現(xiàn)象，會(huì)求一些事務(wù)的概率．3．了解隨機(jī)數(shù)的意義．[讀教材·自主學(xué)習(xí)]1．概率的正確理解隨機(jī)事務(wù)在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但是隨機(jī)性中含有eq\o(□,\s\up4(01))規(guī)律．相識(shí)了這種隨機(jī)性中的規(guī)律性，就能使我們比較精確地預(yù)料隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的eq\o(□,\s\up4(02))概率．概率只是度量事務(wù)發(fā)生的可能性的eq\o(□,\s\up4(03))大小，不能確定是否發(fā)生．2．嬉戲的公允性盡管隨機(jī)事務(wù)發(fā)生具有隨機(jī)性，但是當(dāng)大量重復(fù)這一過(guò)程時(shí)，它又呈現(xiàn)出肯定的規(guī)律性，因此利用eq\o(□,\s\up4(04))概率學(xué)問(wèn)可以說(shuō)明和推斷一些嬉戲規(guī)則的公允、合理性．3．決策中的概率思想假如我們面臨的是從多個(gè)可選答案中選擇正確答案的決策任務(wù)，那么“使樣本出現(xiàn)的可能性eq\o(□,\s\up4(05))最大”可以作為決策的準(zhǔn)則，這種推斷問(wèn)題的方法稱為極大似然法，是決策中的概率思想．4．天氣預(yù)報(bào)的概率說(shuō)明天氣預(yù)報(bào)的“降水概率”是隨機(jī)事務(wù)的概率，是指明白“降水”這個(gè)隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性的eq\o(□,\s\up4(06))大?。甗看名師·疑難剖析]本節(jié)主要學(xué)習(xí)概率的意義，通過(guò)學(xué)習(xí)，我們了解到概率在日常生活中方方面面的用處，要正確理解概率，訂正錯(cuò)誤相識(shí)，運(yùn)用概率學(xué)問(wèn)正確識(shí)別嬉戲的公允性，了解概率思想在決策中的應(yīng)用，理解天氣預(yù)報(bào)中的概率思想，也初步了解通過(guò)試驗(yàn)可以發(fā)覺(jué)規(guī)律，發(fā)覺(jué)概率．本節(jié)的基本結(jié)構(gòu)如下圖所示：概率的意義eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(概率的正確理解→澄清錯(cuò)誤相識(shí),嬉戲的公允性→公允競(jìng)爭(zhēng),決策中的概率思想→作出正確決策,天氣預(yù)報(bào)的概率說(shuō)明))考點(diǎn)一正確理解概率的意義例1拋一枚硬幣(質(zhì)地勻稱)，連續(xù)出現(xiàn)5次正面對(duì)上，有人認(rèn)為下次出現(xiàn)反面對(duì)上的概率大于eq\f(1,2)，這種理解正確嗎？[分析]由概率的意義干脆求解．[解]不正確．因?yàn)閽?次硬幣，其結(jié)果是隨機(jī)的，但通過(guò)做大量的試驗(yàn)，其結(jié)果呈現(xiàn)出肯定的規(guī)律性，即“正面對(duì)上”、“反面對(duì)上”的可能性都為eq\f(1,2).連續(xù)5次正面對(duì)上這種結(jié)果是可能的，但對(duì)下一次試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，其結(jié)果仍舊是隨機(jī)的，所以出現(xiàn)正面和反面的可能性還是eq\f(1,2)，不會(huì)大于eq\f(1,2).類題通關(guān)概率是對(duì)一事務(wù)是否發(fā)生而言的，是一種預(yù)料，不是一種結(jié)果.正確理解隨機(jī)事務(wù)概率的意義，澄清日常生活中出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤相識(shí).eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練1])說(shuō)明下列概率的含義．(1)某廠生產(chǎn)產(chǎn)品合格的概率為0.9；(2)一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)的概率為0.2.解(1)說(shuō)明該廠產(chǎn)品合格的可能性為90%，也就是說(shuō)，100件該廠的產(chǎn)品中大約有90件是合格品．(2)說(shuō)明參與抽獎(jiǎng)的人中有20%的人可能中獎(jiǎng)，也就是說(shuō)，若有100人參與抽獎(jiǎng)，約有20人中獎(jiǎng).考點(diǎn)二嬉戲的公允性例2不少車站碼頭旅游點(diǎn)，常有這樣的嬉戲，規(guī)則如下：有一端涂黑、紅各10支的筷子，涂色的一端朝下放在不透亮的盒子里，在一邊的桌子上擺著一排撲克牌，依次為；黑十、黑九紅一、黑八紅二、黑七紅三、黑六紅四、黑五紅五、黑四紅六、黑三紅七、黑二紅八、黑一紅九、紅十．對(duì)應(yīng)每組牌都有一個(gè)禮物，禮物的價(jià)值從兩端依次降低，對(duì)應(yīng)“黑五紅五”的禮物是一個(gè)小佛像，擺局的人說(shuō)：“從盒子里隨意抽出10支筷子，對(duì)應(yīng)顏色的一組牌所對(duì)應(yīng)的禮物就屬于你，當(dāng)你的禮物是小佛像時(shí)，請(qǐng)付五元錢把好運(yùn)氣買走；若是其余的禮物，一律不付錢就可以把禮物拿走”，試問(wèn)，這種嬉戲?qū)φl(shuí)有利？[解]這種嬉戲?qū)φl(shuí)有利呢？我們不妨從各組撲克牌所對(duì)應(yīng)的筷子出現(xiàn)的概率進(jìn)行分析．從以上對(duì)抽到各組牌的概率可知，最常抽到的恰是“黑五紅五”其次是其左、右的黑六紅四、黑四紅六，再其次是黑七紅三、黑三紅七，而擺局人讓它們對(duì)應(yīng)的禮物是很有講究的，因此，這種嬉戲?qū)[局人是明顯有利的．類題通關(guān)eq\a\vs4\al(可計(jì)算每種狀況出現(xiàn)的概率大小，即可能性大小.)eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練2])在生活中，我們有時(shí)要用抽簽的方法來(lái)確定一件事情，例如在5張票中有1張獎(jiǎng)票，5個(gè)人依據(jù)依次從中各抽1張以確定誰(shuí)得到其中的獎(jiǎng)票，那么，先抽還是后抽(后抽人不知道先抽人抽出的結(jié)果)，對(duì)各人來(lái)說(shuō)公允嗎？也就是說(shuō)，各人抽到獎(jiǎng)票的概率相等嗎？解不妨把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為排序問(wèn)題，即把5張票隨機(jī)地排列在位置1,2,3,4,5上．對(duì)于這張獎(jiǎng)票來(lái)說(shuō)，由于是隨機(jī)的排列，因此它的位置有五種可能，故它排在任一位置的概率都是eq\f(1,5)，5個(gè)人按排定的依次去抽，比如甲排在第三位上，那么他抽得獎(jiǎng)票的概率，即獎(jiǎng)票恰好排在第三個(gè)位置上的概率為eq\f(1,5)，因此，不管排在第幾位上去抽，在不知前面的人抽出結(jié)果的前提下，得到獎(jiǎng)票的概率都是eq\f(1,5).所以對(duì)每一個(gè)來(lái)說(shuō)是公允的．考點(diǎn)三決策中的概率思想例3社會(huì)調(diào)查人員希望從人群的隨機(jī)抽樣調(diào)查中得到對(duì)他們所提出問(wèn)題誠(chéng)懇的回答，但是被采訪者經(jīng)常不愿照實(shí)地作出回答．請(qǐng)從概率學(xué)問(wèn)的角度，分析如何得到敏感問(wèn)題的誠(chéng)懇回答？[解]1965年Stanley.L.Wamer獨(dú)創(chuàng)了一種應(yīng)用概率的初等概念來(lái)消退不信任心情的方法．這種方法要求被采訪者隨機(jī)地選答兩個(gè)問(wèn)題中的一個(gè)，而不必告知被采訪者回答的是哪一個(gè)問(wèn)題，兩個(gè)問(wèn)題中一個(gè)是敏感問(wèn)題，一個(gè)是無(wú)關(guān)緊要的問(wèn)題．被采訪人情愿照實(shí)回答，因?yàn)橹挥兴麄冏约褐阑卮鸬氖悄囊粋€(gè)問(wèn)題．例如在調(diào)查學(xué)生考試中是否作弊的問(wèn)題時(shí)，無(wú)關(guān)緊要的問(wèn)題是“你的學(xué)業(yè)水平考試的準(zhǔn)考證號(hào)的尾數(shù)是偶數(shù)嗎”，敏感的問(wèn)題是“考試中你作弊了嗎”，然后要求被調(diào)查的學(xué)生擲一枚硬幣，假如出現(xiàn)正面，就回答第一個(gè)問(wèn)題，否則就回答其次個(gè)問(wèn)題．假如我們把這種方法用于200個(gè)被調(diào)查的學(xué)生，得到54個(gè)“是”的回答．因?yàn)閿S硬幣出現(xiàn)正面的概率為eq\f(1,2)，我們期望大約有100人回答第一個(gè)問(wèn)題．因?yàn)闇?zhǔn)考證號(hào)的尾數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)的可能性是相同的，因而在回答第一個(gè)問(wèn)題的100人中，大約有一半人，即50人回答了“是”．其余4個(gè)回答“是”的同學(xué)考試中作過(guò)弊．由此我們估計(jì)這群人中大約有4%的人在考試中作弊．類題通關(guān)決策是概率思想在生產(chǎn)、生活實(shí)踐中應(yīng)用的典型例子.剛看到這個(gè)問(wèn)題時(shí)，覺(jué)得有點(diǎn)不行思議，因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題對(duì)于學(xué)生有點(diǎn)犯忌.可是細(xì)致想想也是很簡(jiǎn)單理解的，我們只須要知道被采訪人中作弊者的總數(shù)，并不須要知道原委誰(shuí)在考試中作弊那是監(jiān)考老師的任務(wù).正是奇妙的數(shù)學(xué)工具使我們輕松地得到答案，而且調(diào)查的精確度也可以限制.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練3])設(shè)有外形完全相同的甲和乙兩個(gè)箱子，里面均放置了形態(tài)、大小相同的若干黑球和白球．在甲箱中抽到白球的概率是99%，抽到黑球的概率是1%；在乙箱中抽到黑球的概率是99%，抽到白球的概率是1%；今隨機(jī)地抽取一箱，再?gòu)娜〕龅囊幌渲谐槿∫磺?，結(jié)果取得白球．你估計(jì)這球是從哪一個(gè)箱子中取出的？解把抽取一箱再?gòu)闹谐槿∫粋€(gè)白球看成一個(gè)隨機(jī)事務(wù)，那么從甲箱中抽取出的概率99%比從乙箱中抽取出的概率1%大得多．由于是隨機(jī)地抽取一箱，再?gòu)娜〕龅囊幌渲谐槿∫磺颍Y(jié)果取得白球，所以在甲箱中發(fā)生的可能性更大，因此估計(jì)是從概率大的甲箱中抽取的．考點(diǎn)四隨機(jī)事務(wù)概率的實(shí)際應(yīng)用例4為了估計(jì)某自然愛(ài)護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量，可以運(yùn)用以下方法：先從該愛(ài)護(hù)區(qū)中捕出肯定數(shù)量的天鵝，例如200只，給每只天鵝做上記號(hào)，不影響其存活，然后放回愛(ài)護(hù)區(qū)，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓其和愛(ài)護(hù)區(qū)中其余的天鵝充分混合，再?gòu)膼?ài)護(hù)區(qū)中捕出肯定數(shù)量的天鵝，例如150只，查看其中有記號(hào)的天鵝，設(shè)有20只，試依據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)該自然愛(ài)護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量．[分析]由題目可獲得以下主要信息：①已知樣本出現(xiàn)的概率；②估計(jì)總體的數(shù)目，解答本題可利用概率的規(guī)律性．[解]設(shè)愛(ài)護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量約為n，假定每只天鵝被捕到的可能性是相等的，從愛(ài)護(hù)區(qū)中任捕一只，設(shè)事務(wù)A＝{帶有記號(hào)的天鵝}，則P(A)＝eq\f(200,n).①其次次從愛(ài)護(hù)區(qū)中捕出150只天鵝，其中有20只帶有記號(hào)，由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知P(A)＝eq\f(20,150).②由①②兩式，得eq\f(200,n)＝eq\f(20,150)，解得n＝1500.所以該自然愛(ài)護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量約為1500只．類題通關(guān)由于概率體現(xiàn)了隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性，所以，可用樣本出現(xiàn)的頻率來(lái)近似地估計(jì)總體中該結(jié)果出現(xiàn)的概率.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練4])山東三吉鋼木家具廠為2008年奧運(yùn)會(huì)游泳競(jìng)賽場(chǎng)館水立方生產(chǎn)觀眾座椅．質(zhì)檢人員對(duì)該廠所產(chǎn)2500套座椅進(jìn)行抽檢，共抽檢了100套，發(fā)覺(jué)有5套次品，試問(wèn)該廠所產(chǎn)2500套座椅中大約有多少套次品？解設(shè)有n套次品，由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知eq\f(n,2500)＝eq\f(5,100)，解得n＝125.所以該廠所產(chǎn)2500套座椅中大約有125套次品．[例](12分)某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率是10%，那么，前9個(gè)病人都沒(méi)有治愈，第10個(gè)病人就肯定能治愈嗎？(一)精妙思路點(diǎn)撥(二)分層規(guī)范細(xì)解假如把治療一個(gè)病人作為一次試驗(yàn)，治愈率是10%，指隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，即治療病人的人數(shù)的增加，eq\a\vs4\al(大約有10%的人能夠治愈)①.6分對(duì)于一次試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，其結(jié)果是隨機(jī)的，因此，前9個(gè)病人都沒(méi)治愈是可能的，對(duì)于第10個(gè)病人來(lái)說(shuō)，其結(jié)果仍舊是隨機(jī)的，eq\a\vs4\al(即可能治愈，也可能不能治愈)②.12分(三)來(lái)自一線的報(bào)告通過(guò)閱卷后分析，對(duì)解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的①②見(jiàn)分層規(guī)范細(xì)解過(guò)程)(四)類題練筆駕馭氣象臺(tái)的天氣預(yù)報(bào)說(shuō)明天降雨的概率是95%，假如明天沒(méi)有下雨，我們是否可以據(jù)此認(rèn)為氣象臺(tái)的天氣預(yù)報(bào)不精確？解不能因?yàn)槊魈觳幌掠昃驼J(rèn)為氣象臺(tái)的天氣預(yù)報(bào)不精確．因?yàn)闅庀笈_(tái)天氣預(yù)報(bào)中所說(shuō)的明天降雨的概率是95%，是指明天下雨的可能性是95%，而明天下雨是一個(gè)隨機(jī)事務(wù)，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生．明天降雨的概率是95%，只不過(guò)是說(shuō)明下雨的概率比較大，但并不是肯定會(huì)下雨，概率再大的事務(wù)也可能不發(fā)生．明天下雨不是必定事務(wù)，只有必定事務(wù)才會(huì)肯定發(fā)生．(五)解題設(shè)問(wèn)(1)明天下雨是一個(gè)什么類型的事務(wù)？________.(2)該事務(wù)有何特征？____________________.答案(1)隨機(jī)事務(wù)(2)可能發(fā)生，也可能不發(fā)生1．2013年山東省高考數(shù)學(xué)試題中，共有12道選擇題，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有1個(gè)選項(xiàng)是正確的，則隨機(jī)選擇其中一個(gè)選項(xiàng)正確的概率是eq\f(1,4)，某家長(zhǎng)說(shuō)：“要是都不會(huì)做，每題都隨機(jī)選擇其一個(gè)選項(xiàng)，則肯定有3道題答對(duì)．”這句話()A．正確 B．錯(cuò)誤C．不肯定 D．無(wú)法說(shuō)明答案B解析把解答一個(gè)選擇題作為一次試驗(yàn)，答對(duì)的概率是eq\f(1,4)說(shuō)明白對(duì)的可能性大小是eq\f(1,4).做12道選擇題，即進(jìn)行了12次試驗(yàn)，每個(gè)結(jié)果都是隨機(jī)的，那么答對(duì)3道題的可能性較大，但是并不肯定答對(duì)3道題．也可能都選錯(cuò)，或有2,3,4，…甚至12個(gè)題都選擇正確．2．下列正確的結(jié)論是()A．事務(wù)A的概率P(A)的值滿意0<P(A)<1B．若P(A)＝0.999，則A為必定事務(wù)C．燈泡的合格率是99%，從一批燈泡中任取一個(gè)，它是合格品的可能性為99%D．若P(A)＝0.001，則A為不行能事務(wù)答案C3．依據(jù)教化探討機(jī)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)資料，今在校中學(xué)生近視率約為37.4%，某配鏡商要到一中學(xué)給學(xué)生配鏡，若已知該校學(xué)生總數(shù)為600人，則該眼鏡商應(yīng)帶眼鏡的數(shù)目為()A．374副 B．224.4副C．不少于225副 D．不多于225副答案C解析依據(jù)概率，該校近視生人數(shù)應(yīng)為37.4%×600＝224.4，結(jié)合實(shí)際狀況，眼鏡商應(yīng)帶眼鏡數(shù)不少于225副．4．學(xué)?；@球隊(duì)的五名隊(duì)員三分球的命中率如下表：隊(duì)員李揚(yáng)易建王志曹丹姚月命中率0.70.80.90.90.6在與兄弟學(xué)校的一場(chǎng)對(duì)抗賽中，假如每名隊(duì)員都有10次投籃(三分球)機(jī)會(huì)，則一共可得________分．答案11