初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）初高銜接第02講：因式分解

第02講：因式分解

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一、公式法（立方和、立方差公式）

/+//=（〃+b）（a2-ab+b2）

a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）

這就是說，兩個(gè)數(shù)的立方和（差），等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）乘以它們的平方和與它們積的差（和）.

運(yùn)用這兩個(gè)公式，可以把形式是立方和或立方差的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

考點(diǎn)二、分組分解法

從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式.而對(duì)于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如

〃口+〃力+，園+〃〃既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取.因此，可以先將多項(xiàng)式分組處理.這種利用分組來

因式分解的方法叫做分組分解法.分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組.

考點(diǎn)三、十字相乘法

1.f+（〃+c/）x+型的因式分解

（1）二次項(xiàng)系數(shù)是1；（2）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；（3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和.

X2+（/?+q）x+pq=x2+px+qx+pq=x（x+p）+q（x+〃）=（x+p）（x+q）.

因此，V+（〃+g）x+=（工+〃）（x+q）

2.一般二次三項(xiàng)式a?+H+c型的因式分解

大家知道，（。［*十。|）（。/十。2）=。［。2"2+（。|。2十/C］）X+《。2.

反過來，就得到：+（，&+。2。1）》+。1。2=（。1工+。］）（〃2k+。2）

我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)。分解成4%，常數(shù)項(xiàng)c?分解成qg,杷寫成Wx。，這里按斜線交叉相

a2C2

乘，再相加，就得到+。2。1，那么田+〃X+C就可以分解成.

這種借助畫卜字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

題型突破

題型一：提取公因式和公式法因式分解

1.多項(xiàng)式9?4g，-2y+x+4）2分解因式后有一個(gè)因式是x?2y,另一個(gè)因式是（）

A.x+2y+lB.x+2y-1C.x-2y+lD.r-2y-I

【答案】C

【分析】首先將原式重新分組，進(jìn)而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案.

【詳解】解：x2-4xy-2y+x+4)N

=(x2-4不，+4)2)+(x-2y)

=(x-2y)2+(.x-2y)

=(x2y)(x2yi1).

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查多項(xiàng)式的因式分解，項(xiàng)數(shù)多需用分組分解法，在分組后得到兩項(xiàng)中含有公因式(x-2y),將其當(dāng)成

整體提出，進(jìn)而得到答案.

2.因式分解

(1)6/力-18?！?3〃

(2)a'+2a2+a

(3)9(a-b)2-163+6)2

(4)/-1

【答案】⑴3.2。2-6。+1)

⑵

(3)-(a+7Z?)(7.+〃)

(4)(4Z-l)(6f+l)(472+l)

【分析】(1)提公因式即可；

(2)先提公因式，再用完全平方公式分解即可：

(3)用平方差公式分解即可；

(4)用兩次平方差公式分解即可.

【詳解】(1)原式=342片-6。+1)；

(2)原式=4(42+%+1)=〃(〃+11；

(3)原式=[3(a-/?)-4(〃+劃[3(a-l})+4(a+b)]=-(a+7b)(7a+/?)；

(4)原式=(。2-1),2+1)=,_1),+1乂1+])

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，根據(jù)不同題目選擇合適的方法是解題的關(guān)鍵.

3.閱讀下列材料：

已知a2+a-3=0,求a2(a+4)的值.

解：■:a2=3-a,

a2(a+4)=(3-a)(a+4)=3a+12-a2-4a=-a2-a+12=-(3-a)-a+12=9,

a2(a+4)=9.

根據(jù)上述材料的做法，完成下列各小題：

(1)若a2-a-10=0,則2(aI4)(a-5)的值為.

(2)Sx2+4x-l=0,求代數(shù)式2x，+8x3-4x2-8x+l的值.

【答案】(1)-20；(2)-1

【分析】(1)仿照材料中的解法過程，利用整體代入方法求解即可；

(2)根據(jù)因式分解和整式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)，再整體代入求解即可.

【詳解】解：(1)Va2-a-10=0,

/.a2-a=10,

A2(a+4)(a-5)=2(a2-a-20)=2x(10-20)=-20,

故答案為：-20：

(2)Vx2+4x-1=0,

22

x+4x=11x=1-4x,

.\2x4+8x3-4x2-8x+l

=2x2(x2+4x-2)-8x+l

=2(1-4x)(1-2)-8x+1

=-2+8x-8x+l

=-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用'整式的混合運(yùn)算、代數(shù)式的求值，運(yùn)用類比和整體代入思想是解答的關(guān)鍵.

4.【閱讀材料】利用公式法，可以將一些形如。小+加：+?〃￡())的多項(xiàng)式變形為〃(犬+機(jī))2+〃的形式，我們把這樣的

變形方法叫做多項(xiàng)式如2+云+°(。工0)的配方法，運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解

或有關(guān)運(yùn)算.

例如：對(duì)于/+6〃+8.(1)用配方法分解因式；(2)當(dāng)。取何值，代數(shù)式/+6〃+8有最小值？最小值是多少？

解：(1)原式=/+6〃+8+1-1

=/+6。+9-1

=(?+3/-1

=[(?+3)+!][(?+3)-1]

=(〃+4)(〃+2).

(2)由(I)得：。2+6。+8=(。+3)2-1,

V(?+3)2>0,

.*.(a+3)2-l>-l,

.?.當(dāng)。=-3時(shí),代數(shù)式〃2+3+8有最小值,最小值是-1.

【問題解決】利用配方法解決下列問題：

(I)用配方法因式分解：V+2x-8;

⑵試說明不論用為何值，代數(shù)式+4〃?-5恒為負(fù)數(shù)；

Ib—c

(3)若已知(a+c)(b-a)=：("。尸且。工0,求----的值.

4a

【答案】⑴(X+4)(X-2)

(2)見解析

(3)2

【分析】(1)根據(jù)題干信息，利用配方法分解因式即可；

(2)先利用配方法將-m2+4m-5變形為-(巾-2)2-1,根據(jù)二次方的非負(fù)性，求出-M+4〃L5的值恒為負(fù)數(shù);

ly__r

(3)先將(a+c)S-a)=：S+c)'變形為(Za-b+c)?=。，得出%-Z?+c=O,即可求出---=2.

4a

【詳解】(1)解：V+2.1-8

=x2+2.V+1-9

=(x+l):-9

=(x+l-3)(x+l-3)

=(x+4)(x-2).

(2)解：-m2+4w-5

--(m2-4m+4)-1

=-(tn-2)2-1,

.(w-2)'NO,

：.-(m-2)2MO,

.1.-(/M-2)2-1<-l<0

???不論切為何值，代數(shù)式->+4〃L5恒為負(fù)數(shù).

⑶解：(a+c)(h-a)=\(b+c)2,

/.ab-ur±be-ac=—(Z/2+2bc+c2),

4

4ab-4/+4bc-4ac=b2+2bc+c'>

(4(/-4ab+〃')+2(2a-b)c+c2=0,

/.(2a-A)2+2(2〃-h)c+<?2=0,

(2a-b+c)2=0,

2a-b+c=0,

2ci=b-c,

aw(),

【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法分解因式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式/±2"+從=(〃±4.

題型二：分組分解法

5.把下列各式因式分解

(l)a(a-3)+2(3-a)

(2)(a-b+cy—(6Z—/?-c)2

(3)4(工+?-20(x+y)+25

(4)4a2-h2+6a-3h

【答案】(1)(a-3)(a-2)(2)4a(b+c)(3)(2x十2)，一5『(4)(2a-b)(2a+b+3)

【詳解】試題分析：

(1)先把原式化為〃(〃-3)-2(。-3),再用“提公因式法”分解即可；

(2)先用“平方差公式”分解，再提“公因式”即可；

(3)用“完全平方公式”分解即可；

(4)先把原式分組化為(4〃2一〃2)+(6。—3與，兩組分別分解后，再奏“公因式”即可.

試題解析：

(1)a(a-3)+2(3-a)

=a(a-3)-2(a-3)

=(a-3)(a-2).

(2)(a+b+c)2—(a-b-c)2

=[(a+b+c)+(a-b-c)][<a+b+c)-(a-b-u)]

=(a+b+c+a-b-c)(a+b+c-a+b+c)

=2a(2b+2c)

=4a(b+c).

(3)4(x+?-20(x+y)+25

=[2(x+y)>2?(x的)+2

=[2(x+y)-5了

=(2x+2y-5)’.

(4)4a2-b2+6a-3b

=(4a2-b2)+(6a-3b)

=(2a+b)(2a-b)+3(2a-b)

=(2a-b)(2a+b+3).

6.(1)分解因式：a2-a-4b2+2b

(2)分解因式：33+9)」一108加

【答案】(1)(a-2b)(a+2b-t).(2)3?8+3『伍-3『

【分析】(1)根據(jù)分組分解法進(jìn)行因式分解即可；

(2)先提取公因式3。，然后根據(jù)平方差公式因式分解，最后根據(jù)完全平方公式因式分解即可.

【詳解】解：(1)cr-a-4b2+2b

=a~—^b~-a+21)

=(〃-2Z?)(a+2Z?-1)；

(2)3a(Z?2+9)2-108^2

=3々[伊+9)2-366

=3a(工+9+財(cái)僅2+9-6Z?)

=3"。+3『(0-3)2.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，常見的方法有：提公因式法，公式法，分組分解法等，靈活選擇因式分解的方法是

解題的關(guān)鍵.

7.閱讀下列材料：

常用的分解因式方法有提公因式、公式法等.但有的多項(xiàng)式只用上述方法就無法分解，^X2-4/+2X-4>',細(xì)心

觀察這個(gè)式子會(huì)發(fā)現(xiàn)前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，分解過程為：

x2-4/+2x-4y=（x2-4），）+（2x—4y）分組

=（'一2），）（匯+2），）+2（工一2力組內(nèi)分解因式

=（.L2必/2尸2）整體思想提公因式

這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問題：

（1）分解因式：9x2-9x+3y-y2；

⑵已知“BC的三邊〃、b、c滿足/-從一心+次.=0,判斷以3c的形狀并說明理由.

【答案】（l）（3x-y）（3x+y-3）

（2）「43C為等腰三角形；理由見解析

【分析】（1）先用平方差公式與提公因式法分組分解，然后根據(jù)整體思想提公因式即可：

（2）將a?-從-ac+〃c=o通過因式分解化為（。-3（。+〃一。）=0；由三角形的三邊關(guān)系可知a+6-c>0；所以

a-〃=0,即。=〃，從而得出結(jié)論：

【詳解】（I）解：9x2-9x+3y-y2

=（9x2->,2）-（9x-3y）

=（3x-y）（3x+j）-3（3x-j）

=（3x-y）（3x+y-3）

（2）解：依據(jù)分組分解法，得

（/_b）-（ac-be）=0

（a-b）ia+b）-c^a-b）=O

（a-b）（a+b-c）=O

根據(jù)三角形三邊關(guān)系，易得。+匕-。>0

a-b=0

??a=b

???A8C為等腰三角形

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解、等腰三角形的判定；熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

8.閱讀材料：若r—2x），+2y2一8），+16=0,求x,y的值.

解：VA2-2Ay+2/-8y+16=0

(x2-2xy+y2)+(y2-8y+16)=0

/.(x-y)2+(y-4)2=0

(x-y)2=0,(y-4)2=0

)，=4,x=4

根據(jù)上述材料，解答下列問題：

(1)nr—2mn+2n2—2/i+1=0?求2m+n的值；

(2)fl-/?=6,ab+c2-4c+13=0,求a+〃+c的值.

【答案】(1)2m+n=3；(2)a+b+c=2.

【分析】(D將方程”-2m+2〃2-2〃+1=0的左邊分組配方,再根據(jù)偶次方的非負(fù)性,可求得「〃的值,最后

代入2〃什〃即可解題；

(2)由=6整理得，。=6+/九代入已知等式中，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，最后由偶次方的非負(fù)性解題即可

【詳解】解：(1),**m2—2nvi+2rr-2w+l=0

/.(m2-2mn+n2)+(〃？-2〃+1)=0

/.+(〃-1)?=o

(in-ny=0,("-1)2=0

H=1,m=n=\

2"?+〃=2x1+1=3；

(2)*：a-b=6,

/.a=6+b

,**ab+c2-4c+13=0

z.(b+6)b+c2-4c+13=0

A{b1+6Z?+9)+(C2-4C+4)=0

:.(Z?+3)2+(C-2)2=O

???("3)2=0,(C-2)2=0

Z?=-3,c=2

/.4=6+(—3)=3

ci+b+c=3+(—3)+2=2.

【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用，涉及完全平方公式化簡(jiǎn)、偶次方的非負(fù)性，是重要考點(diǎn).難度較易，掌握相關(guān)知

識(shí)是解題關(guān)鍵.

題型三：十字相乘法

9.閱讀與思考：

整式乘法與因式分解是方向相反的變形.

由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+p%得x2+(p++/^=(x+p)(.r+<7)：

利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解.

例如：將式子/+3工+2因式分解.

分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)2=1x2,一次項(xiàng)系數(shù)3=1+2,所以/+3^+2=/+(1+2)x+1x2

解：/+3x+2=a+l)(x+2).

請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問題：

(1)因式分解：x24-7x—18=；

(2)填空：若d+px—8可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)〃的所有可能值是

(3)利用因式解法解方程：/-64+8=0；

【答案】(l)(x-2)(升9)

(2)±2,±7

(3)耳=2,X2=4

【分析】(1)仿照例題的方法，這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)T8=-9x2,一次項(xiàng)系數(shù)7=-2+9,然后進(jìn)行分解即可；

(2)仿照例題的方法，這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)-8=Yx2,-8=-2x4,—8=-lx8,-8=-8xl,然后進(jìn)行計(jì)算求出〃的所

有可能值即可；

(3)仿照例題的方法，這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)8=(-2)x(Y),一次項(xiàng)系數(shù)-6=-2+(Y),然后進(jìn)行分解計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：X2+7X-18

=x2+(-2+9)x+(-2)x9

=(x-2)(x+9)

故答案為：(42)(x+9).

(2)解：：—8=-4x2,—8=-2x4,—8=—1x8,—8=—8x1,

，4+2=—2,〃=—2+4=2,p——1+8~7〃=—8+l=-7,

，若/+px+6可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)〃的所有可能值是：±2,±7.

故答案為：+2,+7.

(3)解：X2-6A+8=0,

(42)(x-4)=0,

(廠2)=0或(x-4)=0,

，％=2,%2=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-十字相乘法，理解并掌握/+(p+q)x+pg=Cr+p)G+g)是解題的關(guān)鍵.

10.因?yàn)閅+2i-3=a+3XMl),這說明多項(xiàng)式W+2x-3有一個(gè)因式為x-l,我們把x=l代入此多項(xiàng)式發(fā)現(xiàn)x=l

能使多項(xiàng)式f+2x-3的值為0.

利用上述閱讀材料求解：

⑴若。+3)是多項(xiàng)式Y(jié)+履+12的一個(gè)因式，求攵的值；

⑵若(/-3)和(-4)是多項(xiàng)式/+加+⑵+〃的兩個(gè)因式，試求〃J〃的值.

⑶在(2)的條件下，把多項(xiàng)式父+,渥+12A+〃因式分解.

【答案】(1)%=7

(2)m=-7,〃=0

(3)x(x-3)(x-4)

【分析】(1)將x=-3代入多項(xiàng)式并使多項(xiàng)式等于0,求攵；

(2)將x=3和x=4分別代入多項(xiàng)式并使多項(xiàng)式等于0,解二元一次方程組，求陽，〃；

(3)將(2)中解得的加，〃的值代人多項(xiàng)式，然后進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】(1)解：.x+3是多項(xiàng)式/+收+12的一個(gè)因式，

..?當(dāng)X=-3時(shí)，履+12=9—3女+12=0,解得2=7；

(2)(工一3)和。一4)是多項(xiàng)式F+nvc+\2x+n的兩個(gè)因式，

33+/??x32+12x3+72=0=一7

?,?</3.2s”八，解得〈n-

4+〃?x4~+12x4+〃=0[〃=0

m=-7,〃=0.

(3)解：由(2)得N+加+12x+〃即為d-7%2+12x，

?-7X2+12X

=x(x2-7x+12)

=A(X-3)(A-4).

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的創(chuàng)新應(yīng)用，熟練掌握因式分解的原理是解題的關(guān)鍵.

1L因式分解:

(1)2(X2+6A-+1)24-5(X24-I)(X2+6X+1)+2(X2+1)2

23323

(2)x(y-z)+/(z-x)+z(x-y)

【答案】⑴9(W+4X+1)“+1『

(2)(x-y)(y-z)(z-x)(xy+jz+zr)

【分析】(1)先將f+6x+l和『+1分別看作一個(gè)整體，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，

最后利用公式法中的完全平方公式因式分解；

(2)原式是關(guān)于x、y、z的輪換式，若將原式視為關(guān)于x的多項(xiàng)式，則當(dāng)x=y時(shí)，原式=0,故原式含有因子工一九

又因?yàn)樵绞顷P(guān)于羽-z的輪換對(duì)稱式，故原式還含因子一二，二f，又因?yàn)樵綖?r,y,z的五次式，因此可以設(shè)

x2(y-z)5+y2(z-x)3+z2(x-y)'=(A-y)(y-z)(z-x)A(x2+y2+z2)+B(xy+>^+zx)J,利用待定系數(shù)法即可求

解.

【詳解】(1)解：2(x2+6x+l)"+5(A2+l)(x2+6X+1)4-2(X2+1)~

=(2.r4-12A+2+X2+1)(X2+6^+1+2/+2)

=9(x2+4x+l)(x2+2A+1)

-9(x24-4x+l)(x+1)2

(2)解：當(dāng)x=y時(shí)，原式等于o,故原式含有因子x-y,

又因?yàn)樵绞顷P(guān)于X,>，z的輪換對(duì)稱式，故原式還含因子)T,

又因?yàn)樵綖閄,y,Z的五次式，故可設(shè)

x2(y-z)'+y2(z-x)3+z2(x-y)A=(A-y)(y-2)(2-x)[A(x2+y2+z2)+B(xy+>>z+z￥)J

令％=-1,y=0,z=l得2A-8=—l,

令x=0,y=l,z=2得5A+28=2,

解得A=0,B=1,

所以丁(丁一2)3+丁2(2—4)'+22(1—),)=(1一丁)(y-2)(2一司(*丁+尸+女).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系數(shù)法，熟練掌握和運(yùn)用這些方法因式分解是

解題的關(guān)鍵.

12.閱讀材料?：解方程9+2i?35=0我們可以按下面的方法解答：

(1)分解因式/+2x-35,

①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：f=、*，-35=C-5)x(+7).

x-5

②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：X=7x-5x=Zr.

x+7

③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑簒^+2x-35=(x+7)(x-5).

(2)根據(jù)乘法原理：若"=0,則“=()或Q0,則方程N(yùn)+法-35=0可以這樣求解了+ir-35=0方程左邊因式

分解得(x+7)(x-5)=0所以原方程的解為x/=5,X2=-7

(3)試用上述方法和原理解下列方程：

①/+5.什4=0；

②/-6x-7=0；

③/3+8=0：

@2A-2+J-6=0.

3

【答案】①玉=一1,七=T；②玉=7,工2=-1：③%=2,占=4：?=—,x2=-2.

【分析】①②③④均是根據(jù)題目中的方法，先進(jìn)行因式分解，然后根據(jù)乘法原理即可求解各一元二次方程.

【詳解】解：①f+5x+4=(),

(x+l)(x+4)=0,

解得：K=-l,A-2=-4；

@X2-6X-7=0,

(x-7)|x+l)=0,

解得：芭=7,x2=-l；

③f—6x+8=0,

(x-2)(x-4)=0,

解得：再=2,X2=4；

④2f+x-6=0,

(2x-3|(x+2)=0,

解得：x,=|,X2=-2.

【點(diǎn)睛】題目主要考查解一元二次方程的十字相乘法，理解題目中的解法并學(xué)會(huì)運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

題型四：因式分解的綜合

13.已知x=2+/y=2-6,求下列代數(shù)式的值：

(1)r-xy'+y2;

(2)A2-y

【答案】(1)13；(2)8G

【分析】(1)利用完全平方公式進(jìn)行化簡(jiǎn)后代入求值即可解答；

(2)利用平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)后代入求值即可解答；

【詳解】(1)x2-xy+y2-2xy+y2=(x-y)2+xy=(2-V3)2+(4-3)=13；

(2)A2-/=(x+y)(x-y)=4x2>/3=8>/3；

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式和平方差公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握并準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

14.把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式.再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法.

如：①用配方法分解因式：〃2+64+8,

解：原式="+&/+8+1-1=/+8+9-1=(。+2)(a+4)

②M=々2一2"+助2一28+2,利用配方法求M的最小值,

解：a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+l+l=(a-b)2+(b-l)2+1

(Z?-l)2>0

.??當(dāng)。=人=1時(shí)，M有最小值1.

請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問題：

(1)在橫線上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式：x2-jx+.

(2)用配方法因式分解：4孫+3>2.

(3)若M=W+8x-4,求”的最小值.

(4)已知丁+2爐+22—2町」2)，-42+5=0,則x+y+z的值為.

【答案】(嗎

⑵(x-y)(x-3y)

(3)-20

(4)4

【分析】(1)根據(jù)題意，由完全平方公式(。+〃尸=/+2時(shí)+",可以知道橫線上是"，

(2)按照題干上的示例可以將1-4.9+3/分為(x2_4個(gè)，*4)，2)-)7,再利用完全平方公式即可求解，

(3)根據(jù)題意的方法，先將M因式分解為完全平方的形式即(x+4)、20,即可求出最小值，

(4)根據(jù)題意先將/+2/+22-2-，-2)，-42+5=0囚式分解，變成完全平方的形式即

U->')2+(y-D2+(z-2)2=0,然后得出x,V,z的值，代入x+y+z即可求出結(jié)果.

/、2

【詳解】(1)解：x2--x+-=|X--I,

3913)

故答案為："；

(2)解：x2-4xy+3y2

=x2-4xy+4y2-y2

=(x-2y)2-y2

=(x-2y+y)(x-2y-y)

=(x-y)(x-3y);

(3)解：知=—+8工一4

=.r+8l+16-16-4

=(X+4)2-20,

V(X+4)2>0,

???當(dāng)x=T時(shí)，M有最小值為-20；

(4)解：x2+2/+z2-2xy-2>'-4z+5=0,

x2-2xy+y2+y2-2y+\+z2-4z+4=0,

(x-y)2+(y-l)2+(z-2)2=O,

V(x-y)2>0,(y-l)2>0,(Z-2)2>0,

x-y=0

/.y-l=o,

z-2=0

**?x=1?y=1,z=2?

/.x+>'+z=l+l+2=4,

故答案為:4.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用配方法解決數(shù)學(xué)中的問題；把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)

運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法；配方法在數(shù)學(xué)中應(yīng)用比較廣泛，既可以利用配方法進(jìn)行因式分解，也可以

利用配方法求最小值，同時(shí)對(duì)于(4)中幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零時(shí)，可得這幾個(gè)加數(shù)同時(shí)為零，求出未知數(shù)的值，這

一知識(shí)在數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用，要熟練掌握.

15.嘉淇上小學(xué)時(shí)得知“一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)字之和能被3整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3整除“，她后來做了如下分析：

嘉淇的分析：

258=2x100+5x10+8=2x(99+1)+5x(9+1)+8

=2x99+2+5x9+5+8=(2x99+5x9)+(2+5+8)

=3(2x33+5x3)+3x5

???2x33+5x3為整數(shù)，5為整數(shù),

???3(2x33+5x3)能被3整除，3x5能被3整除，.二258能被3整除.

⑴通過計(jì)算驗(yàn)證258能否被3整除；

⑵用嘉淇的方法證明4374能被3整除：

(3)設(shè)礪是一個(gè)四位數(shù).b,c,d分別為對(duì)應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字，請(qǐng)論證“若a+/，+c+d能被3整除，則這個(gè)數(shù)

可以被3整除”.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)整數(shù)的除法計(jì)算即可；

(2)仿照例題因式分解后得到3與某數(shù)相乘即可得到結(jié)論；

(3)仿照例題因式分解后得到3與某數(shù)相乘即可得到結(jié)論.

【詳解】⑴解：258+3=86

工258能被3整除；

(2)4374-4xl(XX)+3xl(X)+7xl0-t-4

=4x(999+l)+3x(99+1)+7x(9+l)+4

=4x999+4+3x99+3+7x9+7+4

=(4x999+3x99+7x9)+(4+3+7+4)

=3x(4x333+3x33+7x3)+3x6

?「4x333+3x33+7x3為整數(shù)，6為整數(shù)，

???3x(4x333+3x33+7x3)能被3整除，3x6能被3整除，

，4374能被3整除.

（3）證明：=1000?+100/?+lOc+f/

=（999+l）a+（99+lW+（9+l）c+d

二（999〃+99/?+9c）+（a+Z?+c+d）

二3（333〃+3%+3c）+（a+〃+c+d）,

13（333。+33/7+3c）能被3整除，

?,?若“a+b+c+d”能被3整除,則礪能被3整除;

【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，正確掌握因式分解的方法及例題中的解題方法是解題的關(guān)鍵.

16.材料一：若一個(gè)四位數(shù)的千位數(shù)字與十位數(shù)字之和為10,百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為10,則稱這個(gè)四位數(shù)為“十

全數(shù)交換這個(gè)“十全數(shù)”的千位數(shù)字與十位數(shù)字的位置，百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的位置，得到新的四位數(shù)叫做這個(gè)“十

全數(shù)”的“對(duì)應(yīng)數(shù)”.

例如：1298是“十全數(shù)”，其“對(duì)應(yīng)數(shù)”為9812；5752是“十全數(shù)”,其“對(duì)應(yīng)數(shù)”為5257.

材料二：若一個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)整數(shù)H勺平方的形式，則稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù).

例如：0=（）2,則。是完全平方數(shù)；121=1/，則121是完全平方數(shù).

（1）證明：一個(gè)“十全數(shù)''與其"對(duì)應(yīng)數(shù)''之差能被11整除；

（2）記”為“十全數(shù)”，〃為機(jī)的“對(duì)應(yīng)數(shù)“，且若。（利〃）=會(huì);+19,求滿足5，幾〃）是完全平方數(shù)的所有“十

□94

全數(shù)

【答案】（1）見解析

（2）7337

【分析】（1）用小力表示“十全數(shù)''和"對(duì)應(yīng)數(shù)”，再求差并分解因式證明；

（2）列式表示。（孫〃），再利用代入驗(yàn)證法求解.

【詳解】（1）解；設(shè)“十全數(shù)的千位數(shù)字為。，百位數(shù)字為'

則十位數(shù)字為（10-。），個(gè)位數(shù)字為（1。-與，

則這個(gè)“十全數(shù)”為：1000“+100。+10（10-〃）+10-〃=990“+99〃+110,

它的“對(duì)應(yīng)數(shù)”為，1000（1。-?）+100（1。-〃）+10"+〃=11000-990。-99〃，

（998+998+110）-（11000-990a-99〃）=1980a+19勖-10890=ll（180a+l汕-990）,

所以一個(gè)“十全數(shù),，與其“對(duì)應(yīng)數(shù),，之差能被u整除；

（2）解：設(shè)“十全數(shù)”〃?的千位數(shù)字為小百位數(shù)字為"

則十位數(shù)字為（1。-〃），個(gè)位數(shù)字為（1。-“，

zw=1000a+100/?+10(10-6/)+10-Z?=990?4-99/?+110,

〃=1000(10-4)+100(10-6)+10a+〃=UC00-990a-99〃,

:.w-n=198(k/+198/?-10890,

由題意得：或〃=5且6,

???。(/幾〃)=竺±+19

17594

1980?+198/?-10890

=-------------------+1i9n

594

1O?+P-55

----------+19

=")"；丑為完全平方數(shù),

所以當(dāng)。=7時(shí)b=3,m=7337.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握代入驗(yàn)證法是解題的關(guān)鍵.

【專題突破】

一、單選題

17.下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是()

A.x2-x-l=x(x-I)-lB.x2-l=(x-l)2

C.x2-x-6=(x-3)(x+2)D.x(x-l)=x2-x

【答案】C

【分析】根據(jù)因式分解的定義對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.

【詳解】把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，這種變形叫做因式分解.

A、右邊不是整式積的形式，故不是因式分解，不符合題意；

B、形式上符合因式分解，但等號(hào)左右不是恒等變形，等號(hào)不成立，不符合題意；

C、符合因式分解的形式，符合題意；

D、從左到右是整式的乘法，從右到左是因式分解，不符合題意；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解決本題的關(guān)鍵是充分理解并應(yīng)用因式分解的定義.

18.下列分解因式正確的是()

A.-x2+4x=-x(x+4)B.f+盯+工=工(1+),)

C.x(-'-y)+y(y-x)=(x-y)2D.x2-4.r+4=(x+2；(x-2)

【答案】c

【詳解】【分析】根據(jù)因式分解的步驟：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案.注意分解要徹底.

【詳解】A.-X2+4X=-X(X-4),故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.爐+冷，+/=/(%+y+]),故B選項(xiàng)錯(cuò)誤：

C..?-)，)+y(y-x)=(x-?,故C選項(xiàng)正確；

D.x2-4A+4=(x-2)2,故口選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法，公式法分解因式.注意因式分解的步驟：先提公因式，再用公式法分解.注意分

解要徹底.

19.已知a=2OI8x+2O18,b=2OI8x+2OI9,c=2OI8x+2O2O,則a2+b2+c2—ab-ac-bc的值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】把已知的式子化成(a-b)2+(a-c)2+(b-c)5的形式，然后代入求解即可.

【詳解】原式二;(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc)

=；[(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+(b2-2bc+c2)]

=；[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]

二x(1+4+1)

二3,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查J'因式分解的應(yīng)用，代數(shù)式的求值，正確利用因式分解的方法把所求的式子進(jìn)行變形是關(guān)鍵.

20.已知〃、氏c是自然數(shù)，且滿足2'x3/'x4，=192,則a+b+c的取值不可能是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】將原式變形為2("+狗乂3〃=192,因式中含有3,所以得到192+3=64=26,而分不能被3整除,所以得到

2(fl+2c)x36=26x3,解得b=l,a+2c=6,進(jìn)而得到。+〃+c=7-c,根據(jù)三個(gè)數(shù)均為自然數(shù),解得OKcK3,此時(shí)分

類討論a和c的值即可求解.

【詳解】原式二2S2，)X3'=I92

???式中有乘數(shù)3的倍數(shù)

工192+3=64=26

V2“不能被3整除

???原式中只能有1個(gè)3

工原式化為2("2)x3〃=26x3

a+2c=6

??

b=l

a+b+c=l—c

Ta、b、。是自然數(shù)

?=6-2c>0

A7-c>0

c>0

解得04cW3

當(dāng)c=0時(shí)，a=6,得a+〃+c=7；

當(dāng)c=l時(shí)，a=4,得a+/?+c=6；

當(dāng)c=2時(shí)，4=2,得a+Z?+c=5；

當(dāng)c=3時(shí)，a=0,得a+/?+c=4；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的應(yīng)用，同底數(shù)轅乘法的應(yīng)用，因式分解.，重點(diǎn)是掌握相關(guān)運(yùn)算法則.

21.已知a=2012x+2011,b=2012x+2012,c=2012x+2013,那么a2+b2+c2—ab-bc-ca的值等于()

A.0R.1C.2D.3

【答案】D

(分析】首先把/_ab-be-ac兩兩結(jié)合為a2-ab+b2-bc+c2-ac,利用提取公因式法因式分解，再把a(bǔ)>b、

c代入求值即可.

【詳解】42+〃+/-ab?be-ac

=a2-ab+b2-bc+c2-ac

~a(a?b)+b+c(c-a)

當(dāng)a=2012x+2011,b=2012x+2012,c=2012x+2013時(shí)，a-b=-1,b~c=—1,c~a=2,原式=(20I2x+2011)x(-

1)+(2012Y+2012)x(-1)+(2012x+2013)x2

=-2012r-2011-2012v-2012+2012xx2+2013x2

=3.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題利用因式分解求代數(shù)式求值，注意代數(shù)之中字母之間的聯(lián)系，正確運(yùn)用囚式分解，巧妙解答題目.

22.圖2是圖1中長(zhǎng)方體的三視圖，用S表示面積，S主=V+3x,S左=/+x,則%=()

主視圖左視圖

俯視圖

圖1圖2

A.x24-3x+2B.x2+2x+1C.x2+4.r+3D.2x2+4x

【答案】C

【分析】由主視圖和左視圖的寬為c,結(jié)合兩者的面積得出俯視圖的長(zhǎng)和寬，從而得出答案.

【詳解】解：:S主+3x=x(r+3),S左+x=M%+l)，

工俯視圖的長(zhǎng)為(x+3),寬為(x+1),

2

50(}=(X+3)(X+1)=X4-4X+3.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖判斷口何體，整式乘法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾

何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的長(zhǎng)、寬、高.

23.已知RtqABC中，ZC=90°,若3c=a,AC=b,AB=c,Ra2-ab-21r=0,則a:》:c=()

A.1:2:75B.2:1:6C.l：2：x/3D.2:1:75

【答案】R

【分析】根據(jù)a2-ab-2b2=0,即可判斷出a和b的關(guān)系，然后再根據(jù)勾股定理判斷出c和b的關(guān)系，求出a：b：

c化簡(jiǎn)即可.

【詳解】Va2-ab-2b2=0,

:.(a-2b)(a+b)=0,

，a=2b,或2=一(不符合題意)，

???RsABC中，ZC-9O°,

:.c2=a2+b2=4b2+b2=5b2,

??c—y5b?

/.a：b：c=2b：b：百b=2：1：石.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是因式分解"十字相乘''以及勾股定理的應(yīng)用，掌握因式分解的方法和勾股定理是解此題的關(guān)鍵.

二、填空題

24.分解因式：x)，2-x=

【答案】M)'+i)()'T)

【分析】首先提取公因式，再根據(jù)平方差公式計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】

=x(V2-l)

=Mv+i)(yT)

故答案為：x(y+i)(y—i).

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的知識(shí)：解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式的性質(zhì)，從而完成求解.

13

25.若K+-=—且0<xvl,則工2—-=_____.

x6.V

【答案】V

3o

I171751

【分析】根據(jù)工+'=：，利用完全平方公式可得0-上)2=舒，根據(jù)X的取值范圍可得/-上的值,利用平方差公

xox3ox

式即可得答案.

【詳解】Vx+-I=^13,

x6

A(x--)2=(x+-)2-4x-=||,

xxx3o

V0<x<l,

X<-,

?11-5

x6

.1,1、，113/5、65

2(一/一花

xxx6

故答案為：-黑

3。

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式及平方差公式，準(zhǔn)確運(yùn)用公式是解題的關(guān)鍵.

a-3a2-42

26.化簡(jiǎn):-5---------------+-----

a'+4a+4a-3a+2

【答案】3

【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算的順序，依次計(jì)算即可.

［詳解］上<,之

a+4a+4a-3a+2

a—3(￡1+2)(a—2)2

(a+2)2a-3a+2

a-22a

-.......H----------------

a+2a+2a+2

故答案為一j

a+2

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握約分，通分，因式分解的技巧是解題的關(guān)鍵.

27.多項(xiàng)式々2一2ab+2/一命+27的最小值為.

【答案】18.

【分析】利用公式法進(jìn)行因式分解，根據(jù)非負(fù)性確定最小值.

【詳解】解：a2-2ab+2b2-6/7+27,

=(?2-2?/?+/r)+(/?2-6/?+9)+l8,

二(〃一力-+(〃-3)2+18,

V(a-b)2>0,(b-3)2>(),

.?.(4一m2+(6一3尸+18的最小值為⑶

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用乘法公式進(jìn)行因式分解，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確

定最值.

28.如用，標(biāo)號(hào)為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形PQMN,已知①和②能夠重合，③和④能夠重合，這四

個(gè)矩形的面積都是5.4E=a,DE=〃，且

(1)若小〃是整數(shù)，則。。的長(zhǎng)是；

(2)若代數(shù)式/-26山-從的值為零，則Rs的值是___________.

J矩形PQMN

【答案】a-b3+2近

【分析】(1)根據(jù)圖象表示出PQ即可；

(2)根據(jù)/一2他-〃=0分解因式可得(。-〃+伍)(，-力-同)=0,繼而求得〃=匕+四，根據(jù)這四個(gè)矩形的面

積都是5,可得==再進(jìn)行變形化簡(jiǎn)即可求解..

ah

【詳解】（1）①和②能夠重合，③和④能夠重合，AF=n.DE=hf

PQ=a—b,

故答案為：a—b：

（2）va2-2ah-b2=G,

a2-Zab+b2-lb2=（a-b）2-2b2=（a-b+五b）（a-b-=0,

:."b+6b=a或a-b-6b=0,即“=〃一&〃（負(fù)舍）或〃=力+岳

???這四個(gè)矩形的面積都是5,

.\EP=-,EN=-,

ab

c（?+/?）/—+—（.+.）.5（-+一）,、2

.S-邊比AB。）_〃J_________ab_（?+"）

S矩形刖（〃叫g(shù)叫.5（?！保?。叫?

_a2+b?+2ab_，2+〃+。2-//_cC_

a1+b2-laba2Ab--a2b2'

=（八島）、3+2夜.

b~

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式及其分式的化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的根據(jù).

29.閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法.例如“已知%-〃=2,求代數(shù)式6。-處-1的值.”可以這樣解：

8-力-1=2（%-力）-l=2x2-l=3.根據(jù)閱讀材料，解決問題：若尸2是關(guān)于x的一元一次方程m一+〃=3的解，

貝IJ代數(shù)式4〃+4。力+力2+4a+28一1的道是________.

【答案】14

【分析】先根據(jù)x=2是關(guān)于x的一元一次方程以+6=3的解，得到%+b=3,再把所求的代數(shù)式變形為

（2a+bf+2（2a+b）-lt把2a+b=3整體代入即可求值.

【詳解】解：??。=2是關(guān)于K的一元一次方程以+b=3的解，

/.2a+b=3,

4a2+4ab+b24a+2b—\

=（2fl+Z＞）2+2（2tz+/?）-l

=32+2X3-1

=14.

故答案為：14.

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的整體代入求值及一元一次方程解的定義，把所求的代數(shù)式利用完全平方公式變形是解

題的關(guān)犍.

三、解答題

30.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

(1)X2-8：

⑵f-5x;

(3)X2+3X-28;

(4)x2-lLt+30.

【答案】⑴(x-2夜)(x+2夜)

⑵x(x+6)(x-石)

(3)(A+7)(A-4)

(4)(x-5)(x-6)

【分析】(1)平方差公式因式分解；

(2)先提公因式，再運(yùn)用平方差公式分解；

(3)運(yùn)用十字相乘法分解；

(4)運(yùn)用十字相乘法分解.

【詳解】(1)x2-8=x2-(2V2)2=(X-F2>/2)(X-2V2)；

(2)x3-5x=x(x2-5)=x(x+\/5)(x-y/5)

(3)A2+3X-28=(X+7)(X-4)

(4)^2-11X+30=(X-5)(X-6).

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用適當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，觀察多項(xiàng)式特征，選擇合適的方法是解題關(guān)鍵.

31.把下列各式因式分解：

(l)(x2+I)-一4x(/+1)+4/；

⑵/一6劃一165J；

(3)(x-y)2-2(y-x)-80；

(4)4x2-4xy+y2-z2.

【答案】(1)。一1)4

⑵(x-8y)(x+2y)

(3)(x-y+10Xx-y-8)

(4)(2x-y-z)(2x-y+z)

【分析】(1)將丁+1看出整體，利用完全平方公式分解因式即可，注意分解要徹底；

(2)利用十字相乘法分解因式即可；

(3)將工一)‘看成整體，利用十字相乘法分解因式即可；

(4)利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可.

【詳解】⑴解:(爐+苗-4x(/+1)+4/

=(x2+l-2x):

(2)解：A2-6xy-16y*

=(x-8jXx+2y)；

(3)解：80

=(x-y]~+2(x-y)-80

=(x-y+IO)(x-y-8)；

(4)解：4x2-4xy+y2-z2

=(2.r-y)2-z2

=(2x-y-z)(2x-y+z).

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解答的關(guān)鍵是利用不同的方法進(jìn)行因式分解以及整體思想的運(yùn)用.

32.分解因式：2(x?+6x+l)~+5(f+6x+l)(d+1)+2(*2+1)2.

【答案】9(X2+4X+1)(X+1)2

【分析】先把(f+G+l)和(丁+1)看做一個(gè)整體利用十字相乘法分解因式，然后利用提取公因數(shù)和完全平方公式分

解因式即可.

【詳解】解：原式=[2廿+6%+1)+(爐+川](1+6工+1)+2廿+叨

=(3x2+12A+3)(3X2+6X+3)

=9(X2+4X+I)(X2+2X+1)

=9(X2+4X+1)(X+1)2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵.

33.把代數(shù)式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)增加問題的條件，這種解題

方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用.

例1.用配方法因式分解：a2+6r/+8.

原式=/+6〃+9-l=(a+3『-【=(4+3-1)(4+3+1)=(4+2)(〃+4).

例2.若〃=/一2,而+2/一2〃+2,利用配方法求M的最小值；

a1-2ab-^2b2-lb^2=a2--lab+b1+b2-2b+\+\=(a-b^+{b-\^\x

?/(67-^)2>0,(/>-l)2>0,

???當(dāng)a=》=l時(shí)，M有最小值1.

請(qǐng)根據(jù)上述自主學(xué)習(xí)材料解決下列問題：

(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：/+10〃+；

(2)用配方法因式分解：/-12a+35;

⑶若加=/-3〃+1,求M的最小值是多少；

(4)已知a2+2^+c2-2aO