備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第4節(jié)-空間直線、平面的垂直

第4節(jié)空間直線、平面的垂直1.從定義和基本事實出發(fā),借助長方體,通過直觀感知,了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的關(guān)系,歸納出有關(guān)垂直的性質(zhì)定理和判定定理,并加以證明.2.能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題.1.直線與平面垂直(1)定義一般地,如果直線l與平面α內(nèi)的直線都垂直,則直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α,直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條直線垂直,那么該直線與此平面垂直

?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線

a⊥αb⊥α?2.直線和平面所成的角(1)定義平面的一條斜線和所成的角,叫做這條直線和這個平面所成的角.若一條直線垂直于平面,它們所成的角是,若一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),它們所成的角是的角.

(2)范圍:[0,π23.平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念①二面角:從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫做二面角;

②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一點,以該點為垂足,在兩個半平面內(nèi)分別作的兩條射線,這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.

(2)平面和平面垂直的定義一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是,就說這兩個平面互相垂直.

(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的,那么這兩個平面垂直

l⊥αl?β?性質(zhì)定理兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直α⊥βl?βα?β=a直線與平面垂直的常用結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個平面,則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.(3)一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則這條直線與另一個平面也垂直;(4)兩個相交平面同時垂直于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面.1.(必修第二冊P162習(xí)題T2改編)下列命題中錯誤的是()A.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β2.設(shè)α,β為兩個不同的平面,直線l?α,則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.如圖,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,則圖中互相垂直的平面有對.

4.在三棱錐PABC中,點P在平面ABC上的射影為點O.(1)若PA=PB=PC,則點O是△ABC的心;

(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則點O是△ABC的心.

直線與平面垂直的判定與性質(zhì)角度一直線與平面垂直判定的應(yīng)用(1)已知l,m是平面α外兩條不同的直線.給出下列三個論斷:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.以其中的兩個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結(jié)論,寫出一個正確的命題:(用序號表示).

(2)如圖所示,已知AB為圓O的直徑,點D為線段AB上一點,且AD=13DB,點C為圓O上一點,且BC=3證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的傳遞性(a∥b,a⊥α?b⊥α);③面面平行的性質(zhì)(a⊥α,α∥β?a⊥β);④面面垂直的性質(zhì).(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直.角度二直線與平面垂直性質(zhì)的應(yīng)用如圖所示,正方體A1B1C1D1ABCD中,EF與異面直線AC,A1D都垂直相交.求證:EF∥BD1.1.判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想,證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).2.在解題中要重視平面幾何的知識,特別是正余弦定理及勾股定理的應(yīng)用.[針對訓(xùn)練]1.如圖所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中點,F是CC1上一點.當(dāng)CF=2時,證明:B1F⊥平面ADF.2.如圖,在四棱錐PABCD中,四邊形ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中點,M,N分別在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.證明:AE∥MN.平面與平面垂直的判定與性質(zhì)角度一平面與平面垂直的判定及應(yīng)用(2021·四川雅安模擬)如圖,菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2,它們所在的平面互相垂直,FD⊥平面ABCD.(1)求證:平面ACF⊥平面BDF;(2)若∠CBA=60°,求三棱錐EBCF的體積.面面垂直判定的兩種方法與一個轉(zhuǎn)化(1)兩種方法:①面面垂直的定義.②面面垂直的判定定理(a⊥β,a?α?α⊥β).(2)一個轉(zhuǎn)化:在已知兩個平面垂直時,一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)作交線的垂線,轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.角度二平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E是AB的中點,沿DE將△ADE折起,得到如圖所示的四棱錐PBCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE,求四棱錐PBCDE的體積;(2)若PB=PC,求證:平面PDE⊥平面BCDE.1.兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù),運用時要注意“平面內(nèi)的直線”.2.兩個相交平面同時垂直于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面.[針對訓(xùn)練]1.如圖,在三棱錐VABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形,AC⊥BC,且AC=BC=2,O,M分別為AB,VA的中點.(1)求證:平面MOC⊥平面VAB;(2)求三棱錐BVAC的高.2.如圖,在四棱錐SABCD中,四邊形ABCD是邊長為2的菱形,∠ABC=60°,△SAD為正三角形.側(cè)面SAD⊥底面ABCD,E,F分別為棱AD,SB的中點.(1)求證:AF∥平面SEC;(2)求證:平面ASB⊥平面CSB;(3)在棱SB上是否存在一點M,使得BD⊥平面MAC?若存在,求BMBS求空間角的大小角度一直線與平面所成的角如圖,已知三棱柱ABCA1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F分別是AC,A1B1的中點.(1)證明:EF⊥BC;(2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.求直線與平面所成角的一般步驟(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線.(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影,斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角.(3)把該角歸結(jié)在某個三角形中,通過解三角形,求出該角.角度二二面角如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以邊AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的,G是DF的中點.(1)設(shè)P是CE上一點,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;(2)當(dāng)AB=3,AD=2時,求二面角EAGC的大小.1.清楚二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關(guān),通常可根據(jù)需要選擇特殊點作平面角的頂點.2.求二面角的大小的方法:一作:即先作出二面角的平面角;二證:即說明所作角是二面角的平面角;三求:即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函數(shù)值,其中關(guān)鍵是“作”.[針