數(shù)學(xué)-天一大聯(lián)考2025屆高三四省聯(lián)考（陜晉青寧）試題和解析

2024—2025學(xué)年(下)高三第一次四省聯(lián)考貼在答題卡上的指定位置.在本試卷上無(wú)效.1.已知集合A={1,2,3,4|,B={0,2,4,8|,則A∩B=A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.拋物線x2-2y=0的準(zhǔn)線方程為A.B.C.x=-14.采用隨機(jī)抽樣抽到一個(gè)容量為100的樣本，由樣本數(shù)據(jù)得到如下的頻數(shù)分布表：xA.42B.445.已知圓錐的高為4,側(cè)面積是底面積的3倍，則圓錐的體積為人口數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)(共4頁(yè)),則φ=D.人CD.9.若向量a=(0,-1),b=(-3,4),c=(4,4),A.|b|=√5C.若q>0,則數(shù)列[log?aF的前n項(xiàng)和數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共4頁(yè))C.若對(duì)任意成遞增等差數(shù)列的4個(gè)數(shù)x?,x?,x?,x?,都有則12.若,且,則14.設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如[2.5]=2,[1]=1,若正數(shù)a滿足15.(13分)16.(15分)AC=2,A?B?=1,AA?=√3,M為BB?的中點(diǎn).(Ⅱ)求平面A?MC和平面AMC夾角的余弦值.數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)(共4頁(yè))17.(15分)(Ⅱ)若安排乙第二個(gè)射擊，且PI>P?>p?,要使射擊總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望較小，應(yīng)該安排哪一門火炮第一個(gè)射擊?18.(17分)已知a≠0,函數(shù)f(x)=(ax+1)In(ax+1)在處取得極值.(Ⅲ)若存在實(shí)數(shù)x>0,使得(k-2)x-1>f(x)成立，求k的最小整數(shù)值.19.(17分)已知雙曲線的離心率,且C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1).(Ⅱ)作C在點(diǎn)P處的切線l,設(shè)l與C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)Q,R,求|QR|;(Ⅲ)將橫、縱坐標(biāo)均為正整數(shù)的點(diǎn)稱為“格點(diǎn)”,記C上的所有格點(diǎn)為P?(x?,y?),數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))2024—2025學(xué)年(下)高三第一次四省聯(lián)考解析集合A和B的公共元素只有2和4,所以A∩B={2,4}.2.答案B解析,所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,位于第二象限.解析拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2y,焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程為4.答案C命題透析本題考查平均數(shù)的計(jì)算.解析由已知得x=100-10-15-25-20-10=20,估計(jì)總體的平均數(shù)為5.答案D解析設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,高為h,由題意,所以l=3r,又h=√P2-P2=2√2r=4,所以r=√2,所以圓錐的體積命題透析本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).7.答案D命題透析本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及函數(shù)的表示.解析如圖所示，設(shè)平面A?BD和平面CB?D,分別與AC?點(diǎn)Q,R)時(shí)，截面是六邊形EFGHMN,且EF//A,B,NE//B?D?,少,所以,所以EF+NE=A?B,所以六邊形EFCHMN的周長(zhǎng)與△A?BD的周長(zhǎng)相等.綜上可知y關(guān)于x的8.答案B命題透析本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系.A(x?,y?),B(x?,y?),則.因?yàn)閨AF|=3|BF|,所以y?=-3y?②.由①②可得,再結(jié)合b2=a2-c29,解得得0分.9.答案CD命題透析本題考查平面向量的性質(zhì)與坐標(biāo)運(yùn)算.對(duì)于B,a+c=(4,3),與b不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,a·(b-c)=(0,-1)·(-7,0)=0,對(duì)于D,設(shè)a在c上的投影向量為d=(x,x),則a·c=d·c=8x=-4,所以,故D正確.解析對(duì)于A,因?yàn)閍?=1,且-a?,a?,a?成等差數(shù)列，所以a?-a?=2a?=2,故A正確；對(duì)于C,若q>0,則q=2,a=2"-1,所以log?a=n-1,所以{log?a}的前n項(xiàng)和為故C正確；呈指數(shù)增長(zhǎng)，而2025+(n-1)In2呈線性增長(zhǎng)，因此當(dāng)n足夠大時(shí)，必有a?>2025+Ina,故D正確.11.答案ABD命題透析本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)、邏輯推理.解析對(duì)于A,由題意得f'(x)=2*ln2,f"(x)=2*(In2)2>0,所以f(x)是T函數(shù)，故A正確；對(duì)于B,設(shè)g(x)=f(x+1)-f(x),則g'(x)=f'(x+1)-f'(x),因?yàn)閒(x)是T函數(shù)，所以f'(x)在R上單調(diào)遞對(duì)于C,因?yàn)閤?,x?,x?,x?成遞增的等差數(shù)列，故可設(shè)x?=a-3m,x?=a-m,x?=a+m,x?=a+3m,m>0,考慮對(duì)于D,因?yàn)閒(x)是T函數(shù)，所以f'(x)在R上單調(diào)遞增，任意選取x?∈R,設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-f'(xo)x,則f(x)≥f'(xo)x+f(xo)-f'(x?)xo,當(dāng)x<0時(shí)，因?yàn)閒(x)<0,所以f'(x?)x+f(x?)-f(x?)xo<0,左邊是關(guān)于x的一次函數(shù)，根據(jù)直線的性質(zhì)知f'(x?)≥0,這里的x。是任意選取的，所以Vx∈R,f'(x)≥0,所以f(x)在R上單調(diào)遞增，故D正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.命題透析本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與二倍角公式.由題意得,所以命題透析本題考查計(jì)數(shù)原理與古典概型的應(yīng)用.解析三個(gè)人任意選擇景點(diǎn)，不同的選擇方案有43=64種，若三人選擇的景點(diǎn)互不相同，則不同的選擇方案有A3=24種，故所求的概率14.答案12命題透析本題考查不等式的性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用.解析因所以該式的前15項(xiàng)都為0,后4項(xiàng)都為1,所以,所以2.49<e,1.3?≈2.86>e,所以1.2<es≤a<e÷<1.3,所以12<10a<13,故[10a]=12.解析(I)因?yàn)閍cosB-bcosA=a-c,所以由正弦定理得sinAcosB-cosAsinB=sinA-sinC=sinA-(sinAcosB+cosAsinB),化簡(jiǎn)得2sinAcosB=sinA(3分)(Ⅱ)因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以2BD=BA+BC,由余弦定理可得,所以AC=√a2+c2-ac.…………(9分)整理得2a2+2c2-5ac=0,即………………………(13分)………………………(13分)由題意知AA,⊥平面A?B?C?,所以AA?⊥A,B?,又A?B?=1,AA,=√3,所以AB?=2=AB,因?yàn)镸是BB,的中點(diǎn)，所以BB?⊥AM(2分)因?yàn)锳A,⊥平面ABC,所以AA,⊥AC,又AB⊥AC,AB∩AA,=A,所以AC⊥平面AA,B,B,因?yàn)锳CNAM=A,所以BB?⊥平面AMC.…………………(6分)則B(2,0,0),B?(1,0,3),A,(0,0,√3),C(0,2,0),i設(shè)平面A?MC的法向量為n=(x,y,z),貝.……………(4分)(Ⅱ)設(shè)射擊的總次數(shù)為X,則X的所有可能取值為1,2,3.則P(X=1)=pi,P(X=2)=(1-p?)P?,P(X=3)=(1-p?)(1-p?),(6分)所以E?(X)=p?+2(1-p?)p?+3(1-p?)(1-p?)=P?P?-2p?-P?+3.……………同理得E?(X)=P?P?-2p?-P?+3(12分)又因?yàn)閜?>P?>p?,P?<1<2,所以E?(X)-E?(X)<0,所以要使射擊總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望較小，應(yīng)該讓甲先射擊.……………(15分)18.命題透析本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).解析(I,……(1分)解得a=1(3分)由(I)知f'(x)=In(x+1)+(Ⅲ)存在實(shí)數(shù)x>0,使得(k-2)x-1>f(x)成立，即成立………………(9分),則0,…(10分)令h(x)=x-1-In(x+1),則在(0,+0)上恒成立，故h(x)在(0,+0)上單調(diào)遞增.………………………(11分)又h(2)=1-In3<0,h(3)=2-I所以g(x)在(0,xo)上單調(diào)遞減，在(x?,+0)上單調(diào)遞增，……………(14分)故k的最小整數(shù)值為5.……………………(17分)解析(I)由題意………………(2分)所以|…………(7分)(Ⅲ)在方程x2-3y2=1中，令x=1,得y=0,令x=2,得y=±1,則………(8分)所以(2+√3)2(2-√3)2=(7+4√3)(7-4√3)=72-3×42=1,得(7,4)是C上的一個(gè)格點(diǎn)，(2+√3)3(2-√3)3=(26+15√3)(26-15√3)=262-3×152=1,得(26,15)是C上的一個(gè)格點(diǎn).按這種構(gòu)造方式，由(2+√3)"=x?+√3y。(n=1,2,3,…)可以得到一系列格點(diǎn).…(10分