2024-2025學(xué)年遼寧省大連市高二上冊10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省大連市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如圖所示，在四面體A－BCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，記，，，則等于（） B. C. D.2.若平面的法向量為，直線l的方向向量為，直線l與平面的夾角為，則下列關(guān)系式成立的是（）A. B. C. D.3.若直線的一個(gè)法向量是，則該直線的傾斜角為（）A B. C. D.4.已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.5.設(shè)是的二面角內(nèi)一點(diǎn)，，，、是垂足，，，則的長度為（）A. B. C. D.6.對于空間一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)，且有，則（）A.四點(diǎn)共面 B.四點(diǎn)共面C.四點(diǎn)共面 D.五點(diǎn)共面7.將正方形沿對角線折成直二面角，下列結(jié)論不正確的是（）A.B.，所成角為C.等邊三角形D.與平面所成角為8.正方形的邊長為12，其內(nèi)有兩點(diǎn)，點(diǎn)到邊的距離分別為3，2，點(diǎn)到邊的距離也分別是3和2.如圖，現(xiàn)將正方形卷成一個(gè)圓柱，使得和重合.則此時(shí)兩點(diǎn)間的距離為（） B. C. D.二?多項(xiàng)選擇題：體題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的按部分得分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中，正確的有（）A.直線必過定點(diǎn)B.方程是直線的一般式方程C.直線斜率為D.點(diǎn)到直線的距離為110.已知空間單位向量兩兩垂直，則下列結(jié)論正確的是（）A.向量與共線B.問量的模是C.可以構(gòu)成空間一個(gè)基底D.向量和夾角的余弦值為11.如圖，已知正六棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.直線與直線異面B.若是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為C.直線與平面所成角的正弦值為D.球的表面積為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)是，則直線在軸上的截距是__________.13.若三條直線相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為__________.14.已知正三棱柱的底面邊長為，高為2，點(diǎn)是其表面上的動(dòng)點(diǎn)，該棱柱內(nèi)切球的一條直徑是，則的取值范圍是__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：（1）過定點(diǎn)A（－3，4）；（2）斜率為．16.如圖，在四面體中，面是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.請建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，證明：面.17.如圖所示，平行六面體中，．（1）用向量表示向量，并求；（2）求．18.如圖，在五棱錐中，平面，?三角形是等腰三角形.（1）求證：平面平面：（2）求直線與平面所成角的大?。?9.如圖，在三棱柱中，棱的中點(diǎn)分別為在平面內(nèi)的射影為D，是邊長為2的等邊三角形，且，點(diǎn)F在棱上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)）．請建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解答下列問題：（1）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；（2）求銳二面角的余弦值的取值范圍．2024-2025學(xué)年遼寧省大連市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如圖所示，在四面體A－BCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，記，，，則等于（） B. C. D.【正確答案】A【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算，用基底表示向量.【詳解】連接AE，如圖所示，∵E是CD的中點(diǎn)，，，∴＝＝．在△ABE中，，又，∴.故選：A.2.若平面的法向量為，直線l的方向向量為，直線l與平面的夾角為，則下列關(guān)系式成立的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由線面角的向量求法判斷【詳解】由題意得，故選：D3.若直線的一個(gè)法向量是，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先由直線的法向量求出直線的方向向量，從而得到直線的斜率，最后由傾斜角和斜率的關(guān)系得到直線的傾斜角的值.【詳解】由直線的一個(gè)法向量是，則方向向量為，直線斜率為，所以傾斜角滿足，所以.故選：B.4.已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】直接利用投影向量的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】向量在向量上的投影向量故選：C5.設(shè)是的二面角內(nèi)一點(diǎn)，，，、是垂足，，，則的長度為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】作出圖形，可知，以及，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算可求得的長度.【詳解】如下圖所示：因?yàn)槎娼堑拇笮?，，，、是垂足，由圖可知，，又因?yàn)?，，且，所以，，?故選：D.6.對于空間一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)，且有，則（）A.四點(diǎn)共面 B.四點(diǎn)共面C.四點(diǎn)共面 D.五點(diǎn)共面【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，化簡得到，得到四點(diǎn)共面，即可求解.詳解】由，得，可得，由于，根據(jù)空間向量的基本定理，得四點(diǎn)共面.故選：B.7.將正方形沿對角線折成直二面角，下列結(jié)論不正確的是（）A.B.，所成角為C.為等邊三角形D.與平面所成角為【正確答案】D【分析】作出此直二面角的圖象，由圖形中所給的位置關(guān)系對選項(xiàng)逐一判斷，即可得出正確結(jié)論．【詳解】如圖，是的中點(diǎn)，易得即為此直二面角的平面角.A：易知，又平面，所以面，由平面，得AC⊥BD，故A正確；B：可取中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，則是中位線，故或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，又其長度為正方形邊長一半，而是的中線，其長度是的一半即正方形邊長的一半，故是等邊三角形，由此與所成的角為，故B正確；C：在等腰中等于正方形的邊長，故是等邊三角形，故C正確；D：與平面所成的線面角的平面角是，故D錯(cuò)誤.故選：D8.正方形的邊長為12，其內(nèi)有兩點(diǎn)，點(diǎn)到邊的距離分別為3，2，點(diǎn)到邊的距離也分別是3和2.如圖，現(xiàn)將正方形卷成一個(gè)圓柱，使得和重合.則此時(shí)兩點(diǎn)間的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】解法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解；解法二：過點(diǎn)，分別作底面的平行圓，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】解法一：如圖建系設(shè)圓柱底面半徑為，則，所以，則所以.解法二：如圖，設(shè)過點(diǎn)且平行底面的截面圓心為，過點(diǎn)且平行底面的截面圓心為，設(shè)圓柱底面半徑為，則，所以，則，.故選：B.二?多項(xiàng)選擇題：體題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的按部分得分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中，正確的有（）A.直線必過定點(diǎn)B.方程是直線的一般式方程C.直線斜率為D.點(diǎn)到直線的距離為1【正確答案】AD【分析】A選項(xiàng)，化為點(diǎn)斜式，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；B選項(xiàng)，，當(dāng)不全為0時(shí)，方程是直線的一般式方程；C選項(xiàng)，直線斜率為；D選項(xiàng)，利用點(diǎn)到直線距離公式得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，直線，必過定點(diǎn)，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)不全為0時(shí)，方程是直線的一般式方程，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，直線的斜率為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，點(diǎn)到直線的距離為，D正確.故選：AD10.已知空間單位向量兩兩垂直，則下列結(jié)論正確的是（）A.向量與共線B.問量的模是C.可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底D.向量和夾角的余弦值為【正確答案】BCD【分析】在空間取一點(diǎn)，以向量的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算，逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】由空間單位向量兩兩垂直，則在空間取點(diǎn)為原點(diǎn)，以向量的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，于是，對于A，，則向量與不共線，A錯(cuò)誤；對于B，，則，B正確；對于C，，假設(shè)共面，則存在使得，即，于是，矛盾，從而不共面，C正確；對于D，，，令向量和夾角為，則，D正確.故選：BCD11.如圖，已知正六棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.直線與直線異面B.若是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為C.直線與平面所成角的正弦值為D.球的表面積為【正確答案】AC【分析】根據(jù)平行的傳遞性可得，即可判斷A；如圖②，則，即可判斷B；利用空間向量法求解線面角即可判斷C；如圖③，確定球心的位置，求出球的半徑，結(jié)合球的表面積公式計(jì)算即可判斷D.【詳解】對于A，如圖①，連接，則，所以，所以直線與直線共面，故A錯(cuò)誤；對于B，將平面沿著翻折到與平面共面的位置，得到矩形，如圖②所示.因?yàn)榈酌孢呴L為，所以，則的最小值為，故B正確；對于C，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖①所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，則，故C錯(cuò)誤；對于D，如圖③，設(shè)球的半徑為，根據(jù)對稱性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的連線的中點(diǎn)處.，則，所以球的表面積，故D正確.故選：AC思路點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的思路是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)是，則直線在軸上的截距是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合斜率公式和兩直線的位置關(guān)系，求得，再由中點(diǎn)公式，求得的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，求得的值，進(jìn)而得到答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)是，可得，所以，可得，即，設(shè)的中點(diǎn)為，可得，即，將點(diǎn)代入，可得，即，令，可得，所以直線在軸上的截距是.故?813.若三條直線相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為__________.【正確答案】【分析】先求出線和的交點(diǎn)，進(jìn)而得到，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由，解得，把代入，可得，所以，所以點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)，所以點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為.故答案為.14.已知正三棱柱的底面邊長為，高為2，點(diǎn)是其表面上的動(dòng)點(diǎn)，該棱柱內(nèi)切球的一條直徑是，則的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)條件，得出棱柱的內(nèi)切球的半徑為，利用數(shù)量積的運(yùn)算得，，再求出范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎庵牡走呴L為，如圖，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，所以，得到，又正三棱柱的高為2，所以棱柱的內(nèi)切球的半徑為，與上下底面有兩個(gè)切點(diǎn)且切點(diǎn)為上下底面的中心，又是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，如圖，取上下底面有兩個(gè)切點(diǎn)為，則，又點(diǎn)是正三棱柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與（或）重合時(shí)，的值最小，此時(shí)，由對稱性知，當(dāng)為正三棱柱的頂點(diǎn)時(shí)，的值最大，連接，并延長交于，則，此時(shí)，得到.故四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：（1）過定點(diǎn)A（－3，4）；（2）斜率為．【正確答案】（1）2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0；（2）x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0．【詳解】試題分析：（1）要求直線方程，關(guān)鍵是求得直線的斜率，為此設(shè)直線方程為y＝k（x＋3）＋4，求出直線的橫、縱截距，再利用直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為3求出k；（2）已知直線斜率，只要設(shè)直線方程為y＝x＋b，同樣求得橫截距是－6b，由|－6b·b|＝6，求得b值，得直線方程．試題解析：（1）設(shè)直線l的方程是y＝k（x＋3）＋4，它在x軸，y軸上的截距分別是－－3，3k＋4，由已知，得（3k＋4）＝±6，解得k1＝－或k2＝－．故直線l的方程為2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0．（2）設(shè)直線l在y軸上的截距為b，則直線l的方程是y＝x＋b，它在x軸上的截距是－6b，由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1．∴直線l的方程為x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0．考點(diǎn)：直線方程．16.如圖，在四面體中，面是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.請建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，證明：面.【正確答案】證明見解析【分析】解法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為z軸，線段的延長線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線面平行的方法進(jìn)行證明；解法二：取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸?y軸?z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線面平行的方法進(jìn)行證明.【詳解】解法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為z軸，線段的延長線為y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由題意得，，因?yàn)椋约?，即，所以，所以，又因?yàn)槊娴囊粋€(gè)法向量為，所以，所以，又因?yàn)槊?，所以?解法二：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以平面，過作，交BC于，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸?y軸?z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，設(shè)，則，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)?，所?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，又為的中點(diǎn)，故，所以，又平面的一個(gè)法向量為，故，所以，又平面，所以平面.17.如圖所示，平行六面體中，．（1）用向量表示向量，并求；（2）求．【正確答案】（1），（2）【分析】（1）借助空間向量的線性運(yùn)算與模長與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得；（2）結(jié)合題意，借助空間向量的線性運(yùn)算與夾角公式計(jì)算即可得.【小問1詳解】，則，所以.【小問2詳解】由空間向量的運(yùn)算法則，可得，因?yàn)榍?，所以，，則.18.如圖，在五棱錐中，平面，?三角形等腰三角形.（1）求證：平面平面：（2）求直線與平面所成角的大??；【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用余弦定理得，所以由平行關(guān)系，利用線面垂直的性質(zhì)得，即得平面,然后利用面面垂直的判定定理即可證出；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.