2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共10小題，共50分。1.已知直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1,2,Q4,3，那么直線l的斜率為A.?3 B.?13 C.132.雙曲線x216?yA.34 B.43 C.543.已知橢圓x26+y22=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線A.2 B.3 C.4 D.64.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,3,5)，B(1,1,2)，C(0,a,b)，若A,B,C三點(diǎn)共線，則a+b的值為(

)A.?2 B.?1 C.0 D.15.2x?1x5的展開(kāi)式中A.?80 B.?40 C.40 D.806.正四棱錐P?ABCD的所有棱長(zhǎng)均為2，則側(cè)面與底面所成角的余弦值為(

)A.13 B.12 C.27.從數(shù)字1,2,3,4中，可重復(fù)地取出3個(gè)數(shù)字，組成各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A.6 B.8 C.10 D.128.已知直線l:y=kx?1，“k=23或k=?23”是“直線l與雙曲線A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(?2,0)，B(?2,2)，若點(diǎn)P為圓C:x2+y2=1A.3 B.13 C.5 D.10.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)P在面ABCDA.橢圓的一部分 B.線段 C.圓的一部分 D.拋物線的一部分二、填空題：本大題共5小題，共25分。11.已知直線ax?y?3=0與2x+y=0垂直，那么a=

．12.已知(3x?1)4=a4x413.某地出土一古銅斧文物，如圖，銅斧縱截面左右兩邊呈雙曲線形狀.由于年代久遠(yuǎn)，頂部斧刃處兩端有缺口，現(xiàn)小明測(cè)得銅斧縱截面最窄處AB寬4cm，底部CD寬5cm，AB//CD，底部離最窄處垂直高度為3cm，斧高12cm.請(qǐng)利用所學(xué)知識(shí)，幫小明算算，若原斧刃與AB平行，則其長(zhǎng)度為

_cm．

14.已知曲線y=|x?1|與x軸交點(diǎn)為D，與拋物線C:y2=4x交于A、B兩點(diǎn)，則∠ADB=

，?ABD的面積為

15.已知M=(x,y)|y=t(x?1)2+2x+2,0≤t≤1,1≤x≤2①(2,10)∈M；②設(shè)點(diǎn)A∈M，則直線OA的斜率的最大值為4；③?A,B∈M，|AB|≤④Q的面積小于12其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

．三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.某餐飲公司給學(xué)校學(xué)生配餐，現(xiàn)準(zhǔn)備了5種不同的葷菜和n種不同的素菜．(1)當(dāng)n=4時(shí)，若每份學(xué)生餐有1葷3素，共有多少種不同的配餐供學(xué)生選擇？(2)若每位學(xué)生可以任選2葷2素，要保證至少有200種以上的不同選擇，求n的最小值．17.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=BC=1，AA1(1)求直線CD與平面BC(2)求點(diǎn)C到平面BC118.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(?2,0)，B(0,2)，且圓心在直線y=x上.(1)求圓C的方程；(2)若圓C與直線3x+y?b=0交于兩點(diǎn)(ⅰ)求b的取值范圍；(ⅱ)若在圓C上存在點(diǎn)D，使四邊形OEDF為平行四邊形，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求b的值．19.已知橢圓C:x24+y23=1的左頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓C上(與點(diǎn)A、B不重合)(1)求橢圓C的短軸長(zhǎng)和離心率；(2)若線段GH的中點(diǎn)為D，求點(diǎn)P坐標(biāo)．20.如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=4，E為PA的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)．(1)求證：PD⊥CD；(2)設(shè)平面BEF與平面PAD的交線為l，(ⅰ)求二面角B?l?A的余弦值；(ⅱ)求直線l與直線PC所成角的余弦值．21.已知橢圓E:x2a2+y(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)(0,2)的直線與橢圓E交于兩點(diǎn)A,B，交x軸于點(diǎn)Q，直線DA,DB與直線y=t分別交于點(diǎn)M,N，線段MN的中點(diǎn)為P.是否存在實(shí)數(shù)t，使得以PQ為直徑的圓總與y軸相切？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案1.C

2.C

3.C

4.A

5.D

6.D

7.C

8.A

9.D

10.D

11.1212.136

13.9714.π

；

；

；

；

；4

15.②③④

16.(1)當(dāng)n=4時(shí)，學(xué)校共有5種不同的葷菜和4種不同的素菜，若每份學(xué)生餐有1葷3素，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的選擇方法為C51C(2)從5種不同的葷菜和n種不同的素菜中，任取2葷2素，不同的選擇方法為C52C由題意，得C52Cn因?yàn)閚∈N?，所以n≥7，所以n的最小值為

17.(1)由CC1⊥平面ABC，AC⊥CB所以以C為原點(diǎn)，CA,CB,CC1所在直線分別為x軸，y軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，D(1,0,1)，B(0,1,0)，C1所以CD=(1,0,1)，C1D設(shè)平面BC1D所以C1D?令x=1，則y=2，z=1，于是m=(1,2,1)，設(shè)直線CD與平面BC1D則sinθ=|cos所以直線CD與平面BC1D(2)因?yàn)镃C1所以點(diǎn)C到平面BC1D

18.(1)根據(jù)圓心C在直線y=x上，設(shè)圓心C(a,a).

因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)A(?2,0),B(0,2)，所以|CA|=|CB|，

所以(a+2)2所以圓心C(0,0)，所以圓C的方程為x2(2)(ⅰ)由題意，|?b|3+1<2即?4<b<4，所以b的取值范圍是(?4,4).

(ⅱ)因?yàn)樗倪呅蜲EDF為平行四邊形，又因?yàn)閨OE|=|OF|，所以O(shè)EDF為菱形.

因?yàn)閨OD|=2，所以點(diǎn)O到直線EF的距離|?b|3+1所以b=±2，符合題意．

19.(1)設(shè)橢圓的半焦距為c．由橢圓方程x24所以橢圓的短軸長(zhǎng)2b=23，離心率(2)由題意可知：直線AP的方程為y=y令x=4，得y=6y0直線BP的方程為y=y令x=4，得y=2y0因?yàn)镚H的中點(diǎn)為D(4,0)，則6y若y0=0，則P(±2,0)，與若y0≠0，則3(x將x0=1代入x24+y2綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為1,32或

20.(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，因?yàn)镃D?平面ABCD，所以PA⊥CD，又因?yàn)锳D⊥CD，AD∩PA=A，AD,PA?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又PD?平面PAD，所以CD⊥PD．(2)(ⅰ)取BC的中點(diǎn)M，連接AM，因?yàn)锽C=4，AD=2，AD/?/BC，AD⊥CD，所以四邊形ADCM為矩形，所以AM⊥AD．又因?yàn)锳P⊥平面ABCD，可得AM,AD,AP兩兩垂直，所以以A為原點(diǎn)，AM,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．則A(0,0,0)，B(2,?2,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．因?yàn)镋,F分別為PA,PC中點(diǎn)，所以E(0,0,1)，F(xiàn)(1,1,1)，所以EB=(2,?2,?1)，EF=(1,1,0)，DCDC=(2,0,0)是平面PAD的一個(gè)法向量.設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z)EB?n令x=1，則y=?1，z=4，于是n=(1,?1,4)所以cosn因?yàn)槎娼荁?l?A為銳二面角，所以二面角B?l?A的余弦值為2(ⅱ)設(shè)平面BEF∩PD=G，因?yàn)槠矫鍮EF與平面PAD的交線為l，平面BEF∩PA=E，所以交線l即為直線EG．設(shè)G(0,i,j),i≠0，則EG=(0,i,j?1)因?yàn)镋G⊥所以EG?所以i=4(j?1),i≠0,j≠1.?①因?yàn)镚在直線PD上，所以i+j=2.?②由①②解得i=4所以G(0,?45所以EG=(0,?因?yàn)镻C=(2,2,?2)，設(shè)直線l與直線PC所成角為α，所以cosα=所以直線l與直線PC所成角的余弦值為51

21.(1)由題意，得b=6,1所以a=6所以橢圓E的方程為x2(2)由題意，過(guò)(0,2)的直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx+2．聯(lián)立方程組y=kx+2,消去y得(1+2k顯然，Δ>0.

設(shè)A(xx1+x在y=kx+2中，令y=0，得x=?2所以Q(?2直線D