第十一章-線面積分w省公開(kāi)課金獎(jiǎng)全國(guó)賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第十一章

線面積分

(習(xí)題課)1/34題組一：曲線積分計(jì)算題 1.求其中L為曲線從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)一段.解:xyoA(1,1)2/342.計(jì)算其中L為星形線解:yxo3/343.計(jì)算其中L為雙紐線解:在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對(duì)稱(chēng)性,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4/344.計(jì)算其中為球面解:半徑為則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束5/345.計(jì)算其中L是沿逆a為半徑上半圓周.時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行以原點(diǎn)為中心,解:yxoa補(bǔ)線段如圖.BA所以6/34D6.計(jì)算其中曲線L由點(diǎn)A(-1,1)沿曲線到點(diǎn)O(0,0),再沿直線y=0到點(diǎn)B(2,0)路徑.解:yxoB(2,0)A(-1,1)補(bǔ)線段如圖.C(2,1)于是7/347.求其中L是自點(diǎn)A(0,2)到點(diǎn)B(,0)一段弧.解:yxoA(2,0)B(0,0)注意題目所給A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)為極坐標(biāo).因?yàn)樗苑e分與路徑無(wú)關(guān).于是8/348.求其中:(1)L為圓周正向;(2)L為橢圓正向;解:

(1)所以點(diǎn)(1,0)不在L所圍區(qū)域D內(nèi),于是

(2)所以點(diǎn)(1,0)在L所圍區(qū)域D內(nèi),補(bǔ)曲線于是9/3410/349.確定參數(shù)

值,使得在不經(jīng)過(guò)直線y=0區(qū)域上是某個(gè)函數(shù)u(x,y)全微分,并求出u(x,y).解:由得11/34取積分路徑如圖.yxo(0,1)(0,y)(x,y)12/34題組二：線積分應(yīng)用題和證實(shí)題1.已知曲線L極坐標(biāo)方程為L(zhǎng)上任意一點(diǎn)線密度為求:(1)曲線段弧長(zhǎng);(2)曲線段重心;(3)曲線段關(guān)于極軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;解:(1)13/34(2)所以故重心坐標(biāo)為(3)14/342.在變力作用下,質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線段移動(dòng)到曲面上第一卦限點(diǎn)處,問(wèn)點(diǎn)M坐標(biāo)為何時(shí),力所做功最大,并求最大功.解(1):

(2)求在條件下最大值.設(shè)解之得(3)15/343.設(shè)曲線積分與積分路徑無(wú)關(guān),且方程F(x,y)=0所確定隱函數(shù)圖形過(guò)點(diǎn)(1,2)(其中F(x,y)是可微函數(shù)),求由F(x,y)=0所確定曲線.解:設(shè)則又又知曲線過(guò)(1,2)故所求曲線為16/344.設(shè)f(x)在(–

,+

)上含有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(1)=1,對(duì)于任何閉曲線L都有求f(x).解:設(shè)由故所求函數(shù)為17/345.證實(shí):若f(u)為連續(xù)函數(shù),且L為逐段光滑閉曲線,則解:設(shè)因?yàn)閒(u)是連續(xù)函數(shù)，故顯然都是x,y連續(xù)函數(shù)，故可微分，且于是18/346.設(shè)L是圓周取逆時(shí)針?lè)较?又f(x)為正值連續(xù)函數(shù),證實(shí):解:yxo11應(yīng)用格林公式有左=積分區(qū)域D含有輪換對(duì)稱(chēng)性19/34題組三：曲面積分計(jì)算與應(yīng)用 1.計(jì)算其中

是上部分.解:xozy120/342.設(shè)計(jì)算解:錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間部分,它在xoy面上投影域?yàn)閯t21/34接2.22/343.證實(shí):若

是任一分片光滑閉曲面,為一固定方向,則其中

是

上任一點(diǎn)外法線和夾角.證實(shí):設(shè)(常向量)則Gauss公式23/344.計(jì)算其中

是球面是其外法線方向角.解:Gauss公式24/345.用三種方法計(jì)算其中

是介于z=1與z=2之間錐面部分上側(cè).解:方法1:Gauss公式xozy21補(bǔ)25/34接5.-1方法2:利用第一類(lèi)曲面積分轉(zhuǎn)化xozy2126/34接5.-2xozy2127/34接5.-3方法3:直接計(jì)算xozy21由對(duì)稱(chēng)性可知取取所以28/346.計(jì)算其中(1)

為球面(2)

為任一不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)閉曲面外側(cè).外側(cè).解(1):(2):(a)曲面不包圍原點(diǎn)(0,0,0).利用Gauss公式得:(b)曲面包圍原點(diǎn)(0,0,0).做一足夠小球面并取其內(nèi)側(cè),則在上可用高斯公式.29/34接6.于是30/347.計(jì)算其中

是由曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而得曲面,它法向量與y軸正向夾角大于解:旋轉(zhuǎn)曲面為