挑戰(zhàn)壓軸（解析版）-2021七上期末提優(yōu)訓(xùn)練

-2021學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版）挑戰(zhàn)壓軸【典型例題】1．（2020·湖北黃石市·）定義：若線段上的一個(gè)點(diǎn)把這條線段分成1：2的兩條線段，則稱這個(gè)點(diǎn)是這條線段的三等分點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，且AC：CB＝1：2，則點(diǎn)C是線段AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，顯然，一條線段的三等分點(diǎn)有兩個(gè)．（1）已知：如圖2，DE＝15cm，點(diǎn)P是DE的三等分點(diǎn)，求DP的長．（2）已知，線段AB＝15cm，如圖3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1cm的速度在射線AB上向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，先向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與點(diǎn)P重合后立馬改變方向與點(diǎn)P同向而行且速度始終為每秒2cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①若點(diǎn)P點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，求t的值．②若點(diǎn)P點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)點(diǎn)P是線段AQ的三等分點(diǎn)時(shí)，求t的值．【答案】（1）當(dāng)DP為短的部分時(shí)，DP：PE=1：2，可得DP=5當(dāng)DP為長的部分時(shí)，DP：PE=2：1，可得DP=10（2）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，t+2t=15，即t=5.②當(dāng)點(diǎn)P是線段AQ的三等分點(diǎn)時(shí),AQ=15-2t或或或解得t=3或t=或t=10.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是線段的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握線段的計(jì)算.【專題訓(xùn)練】解答題1．（2020·宜興外國語學(xué)校七年級月考）如圖，數(shù)軸上有A、B、C、D、O五個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，線段CD的長度為6個(gè)單位，線段AB的長度為2個(gè)單位，且B、C兩點(diǎn)之間的距離為13個(gè)單位，請解答下列問題：（1）點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)是___，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是___；（2）若點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)t秒運(yùn)動(dòng)到線段CD上，且BC的長度是3個(gè)單位，根據(jù)題意列出的方程是______________，解得t=___；（3）若線段AB、CD同時(shí)從原來的位置出發(fā)，線段AB以每秒2個(gè)單位的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，線段CD以每秒3個(gè)單位的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，把線段CD的中點(diǎn)記作P，求出點(diǎn)P與線段AB的一個(gè)端點(diǎn)的距離為2個(gè)單位時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．【答案】（1）∵點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，CD=6，AB=2，BC=13，∴點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)是11，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣8，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣10；（2）B運(yùn)動(dòng)到CD上時(shí)，走過的路程為2t，減去BC的距離即為此時(shí)BC的長度，故：2t-13=3，解得：t=8；（3）由題意得，線段CD的中點(diǎn)P的位置為8，分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)2個(gè)單位時(shí)，16﹣2t﹣3t=2，解得：t=2.8；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)2個(gè)單位時(shí)，2t+3t﹣16=2，解得：t=3.6，此時(shí)P與A重合；③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)2個(gè)單位時(shí)，2t+3t﹣18=2，解得：t=4；綜上，當(dāng)t=2.8或3.6或4時(shí)，點(diǎn)P與線段AB的一個(gè)端點(diǎn)的距離為2個(gè)單位．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和數(shù)軸．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．2．（2018·浙江七年級月考）已知：如圖1，點(diǎn)、、依次在度線上，現(xiàn)將射線繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線繞點(diǎn)沿進(jìn)時(shí)針方向以每秒的速度前轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為（0秒≤≤60秒）．（1）用含的代數(shù)式表示下列各角的度數(shù)：______，______．（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)0秒秒時(shí)，達(dá)到，求的值．（3）在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在這樣的，使得射線是由射線．射線、射線中的其中兩條組成的角（指大于而不超過的角）的平分線？如果存在，請直接寫出的值；如果不存在，請說明理由．【答案】解：（1）∠MOA=3t，∠NOB=6t或360-6t，故答案為：3t，6t或360-6t；

（2）若OA，OB相遇前，∠AOB=45°，

∴3t+6t+45°=180°，

∴t=15s

若OA，OB相遇后，∠AOB=45°，

∴3t+6t-45°=180°，

∴t=25s

∴t為15秒或25秒時(shí)，∠AOB=45°；（3）射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線有以下三種情況：

①OB平分∠AOM時(shí)，∵，∴，解得：t=24；

②OB平分∠MON時(shí)，∵，即∠BOM=90°，∴6t=90，或6t-180=90，

解得：t=15，或t=45；③OB平分∠AON時(shí)，∵，∴，解得：t=12；

綜上，當(dāng)t的值分別為12、15、24、45秒時(shí)，射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線．【點(diǎn)睛】本題主要考查角的計(jì)算和角平分線性質(zhì)的運(yùn)用，一元一次方程的應(yīng)用．OB為角平分線時(shí)分類討論是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．3．（2020·江蘇南京市·七年級期中）（概念提出）數(shù)軸上不重合的三個(gè)點(diǎn)，若其中一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離的比值為n（n≥1），則稱這個(gè)點(diǎn)是另外兩點(diǎn)的n階伴侶點(diǎn)．如圖，O是點(diǎn)A、B的1階伴侶點(diǎn)；O是點(diǎn)A、C的2階伴侶點(diǎn)；O也是點(diǎn)B、C的2階伴侶點(diǎn)．（初步思考）（1）如圖，C是點(diǎn)A、B的階伴侶點(diǎn)；（2）若數(shù)軸上兩點(diǎn)M、N分別表示－1和4，則M、N的階伴侶點(diǎn)所表示的數(shù)為；（深入探索）（3）若數(shù)軸上A、B、C三點(diǎn)表示的數(shù)分別為a、b、c，且點(diǎn)C是點(diǎn)A、B的n階伴侶點(diǎn)，請直接用含a、b、n的代數(shù)式表示c．【答案】解：（1）∵O是點(diǎn)A、B的1階伴侶點(diǎn)；O是點(diǎn)A、C的2階伴侶點(diǎn)；O也是點(diǎn)B、C的2階伴侶點(diǎn)，∴OA=OB,OC=2OA,OC=2OB，∴AC=3BC，∴C是點(diǎn)A、B的3階伴侶點(diǎn)；故答案是：3（2）設(shè)表示的數(shù)為x,由題意有：①|(zhì)x+1|=|x-4|，解得，x=1或x=-11，②|x-4|=|x+1|，解得，x=2或x=14，綜上所述，M、N的階伴侶點(diǎn)所表示的數(shù)為－11，1，2，14；（3）①當(dāng)n＝1時(shí)，c＝．②當(dāng)n＞1時(shí)，無論a＞b或a＜b，均有下列四種情況：點(diǎn)C在點(diǎn)A、B之間且靠近點(diǎn)B時(shí)，c＝a＋(b－a)；點(diǎn)C在點(diǎn)A、B之間且靠近點(diǎn)A時(shí)，c＝a＋(b－a)；點(diǎn)C在點(diǎn)A、B之外且靠近點(diǎn)B時(shí)，c＝a＋(b－a)；點(diǎn)C在點(diǎn)A、B之外且靠近點(diǎn)A時(shí)，c＝a－(b－a)．【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義“n階伴侶點(diǎn)”，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識，結(jié)合分類討論思想解決問題．4．（2020·長沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級月考）一副直角三角板（含45°的直角三角尺和含30°，60°的直角三角尺），如圖1放置（∠C=30°，∠D=45°），PA，PB與直線MN重合，且三角尺PAC，三角尺PBD均可以繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，求∠DPC的度數(shù)；（2）如圖2，若三角尺PAC由圖1位置繞點(diǎn)P逆時(shí)針以2°/秒的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)三角尺PBD由圖1位置繞P點(diǎn)逆時(shí)針以1°/秒的速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，在兩個(gè)三角尺旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)PC旋轉(zhuǎn)到與PM重合時(shí)，兩個(gè)三角尺都停止轉(zhuǎn)動(dòng)．①當(dāng)t為何值時(shí)，PC平分∠DPN？②過A點(diǎn)作AH垂直MN于點(diǎn)H，在旋轉(zhuǎn)過程中若∠DPM≠0，則的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變求其值，若變化，請說明理由．【答案】解：（1）∵∠BPD=∠D=45°，∠APC=60°，∴∠DPC=180°-45°-60°=75°，故答案為：75°；（2）①由題意可得：t秒時(shí)，∠DPM=（45-t）°，∠APN=2t°，∠CPN=（2t+60）°∴∠DPN=180°-（45-t）°=（135+t）當(dāng)，PC平分∠DPN時(shí)，∴，解得t=5即t為5時(shí)，PC平分∠DPN②由題意可得：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)D在直線MN上方時(shí)，∠DPM=；當(dāng)點(diǎn)D在直線MN下方時(shí)，∠DPM=；∴∠DPM=當(dāng)∠APH≤90°時(shí)，當(dāng)∠APH＞90°時(shí)，∴∴即為定值，

【點(diǎn)睛】此題主要考查了角的計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合得出等式是解題關(guān)鍵，還要理清角之間的關(guān)系．5．（2020·安徽合肥市·七年級期中）如圖，、兩點(diǎn)在數(shù)軸上，這兩點(diǎn)在數(shù)軸對應(yīng)的數(shù)分別為、．點(diǎn)、分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別是個(gè)單位/秒、個(gè)單位/秒，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是．（規(guī)定：數(shù)軸上兩點(diǎn)，之間的距離記為）（1）如果點(diǎn)、在、之間相向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它們相遇時(shí)，_____，此時(shí)點(diǎn)所走的路程為______，點(diǎn)所走的路程為______，則點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是_______；（2）如果點(diǎn)、都向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)追上點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)；（3）如果點(diǎn)、在點(diǎn)、之間相向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)；【答案】解：（1）設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇，由題意得：

2t+4t=16-（-12）

∴6t=28

∴t=

∴此時(shí)點(diǎn)所走的路程為，點(diǎn)所走的路程為點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為：-12+2×=-故答案為：、、、（2）因?yàn)閭€(gè)單位，所以追上的時(shí)間秒，所以點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為（3）當(dāng)時(shí)，分兩種情況：①、相遇前相距個(gè)單位，，此時(shí)點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為．②、相遇后相距個(gè)單位，，此時(shí)點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為綜上所述，點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)問題，其中涉及到了相遇行程問題，追及行程問題等知識點(diǎn)，具有較強(qiáng)的綜合性．6．（2020·東北師大附中明珠學(xué)校七年級期中）如圖，在正方形中，＝16，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿、邊向點(diǎn)以2的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)以0.5的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，、同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，用（）表示移動(dòng)時(shí)間．（1）請用含的代數(shù)式表示下列線段的長度：當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，＝，＝．當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，＝，＝．（2）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，為何值時(shí)，能使＝？（3）點(diǎn)能否追上點(diǎn)？如果能，求出值；如果不能，請說明理由．（4）點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)的距離為2？【答案】解：由題意得：（1）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，由由故答案為：（2）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，追上即當(dāng)，點(diǎn)追上點(diǎn)．（4）當(dāng)在的左邊時(shí)，當(dāng)在的右邊時(shí)，綜上：當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)的距離為2．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程的幾何應(yīng)用，同時(shí)考查了行程問題，線段的和差，掌握利用方程解決幾何問題是解題的關(guān)鍵．7．（2020·江蘇南通市·南通田家炳中學(xué)七年級月考）（閱讀理解）射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA＝∠BOC，則我們稱射線OC是射線OA的伴隨線．例如，如圖1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，則∠AOC＝∠BOC，稱射線OC是射線OA的伴隨線；同時(shí)，由于∠BOD＝∠AOD，稱射線OD是射線OB的伴隨線．（知識運(yùn)用）（1）如圖2，∠AOB＝120°，射線OM是射線OA的伴隨線，則∠AOM＝°，若∠AOB的度數(shù)是α，射線ON是射線OB的伴隨線，射線OC是∠AOB的平分線，則∠NOC的度數(shù)是．（用含α的代數(shù)式表示）（2）如圖3，如∠AOB＝180°，射線OC與射線OA重合，并繞點(diǎn)O以每秒3°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OD與射線OB重合，并繞點(diǎn)O以每秒5°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OD與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．①是否存在某個(gè)時(shí)刻t（秒），使得∠COD的度數(shù)是20°，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．②當(dāng)t為多少秒時(shí)，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是其余兩條射線的伴隨線．【答案】解：（1）如圖，射線是OA的伴隨射線，,，同理，若∠AOB的度數(shù)是α，射線ON是射線OB的伴隨線，,射線OC是∠AOB的平分線，,=，故答案為：（2）射線OD與OA重合時(shí)，t＝＝36（秒）①當(dāng)∠COD的度數(shù)是20°時(shí)，有兩種可能：若在相遇之前，則180﹣5t﹣3t＝20，∴t＝20；若在相遇之后，則5t+3t﹣180＝20，∴t＝25；所以，綜上所述，當(dāng)t＝20秒或25秒時(shí)，∠COD的度數(shù)是20°．②相遇之前：（i）如圖1，OC是OA的伴隨線時(shí)，則∠AOC＝∠CO