《等腰三角形“三線合一”的七種常見(jiàn)題型》專題課件

專題第十三章全等三角形等腰三角形“三線合一”的七種常見(jiàn)題型典例剖析例

解題秘方：等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是證線段或角的倍分關(guān)系或相等關(guān)系常用的性質(zhì)之一，解答含等腰三角形的題型時(shí)，常常要考慮構(gòu)造等腰三角形“三線合一”的基本圖形．本例通過(guò)作垂線，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)證角的倍分關(guān)系．如圖，房屋屋架的頂角∠BAC＝100°，立柱AD⊥BC，斜梁AB＝AC.求∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度數(shù)．分類訓(xùn)練1．解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝40°.∵AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝50°.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于點(diǎn)E.若BC＝10，且△BDC的周長(zhǎng)為24.求AE的長(zhǎng)．2．

【點(diǎn)方法】先根據(jù)△BDC的周長(zhǎng)求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)求出AE的長(zhǎng)．3．

4．如圖，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足為M.求證：CM＝MD.證明：如圖，連結(jié)AC，AD.在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，∴△ABC≌△AED(S.A.S.)．∴AC＝AD.又∵AM⊥CD，∴CM＝MD.已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC邊的中點(diǎn)．5．(1)如圖①，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BE＝AF，試判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明理由；解：△DEF為等腰直角三角形．理由：連結(jié)AD，易證△BDE≌△ADF.∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.∵AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠ADB＝90°.∴△DEF為等腰直角三角形．(2)如圖②，若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BE＝AF.請(qǐng)判斷△DEF是否仍具有(1)中的形狀，并說(shuō)明理由．解：是．理由略．如圖，已知在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證：BF＝2CD.6．證明：如圖，延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)E.∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，∴∠EBD＝∠CBD，∠BDE＝∠BDC＝90°.又∵BD＝BD，∴△BDC≌△BDE(A.S.A.)．∴BC＝BE.又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD.∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠ACE.又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，∴△ABF≌△ACE(A.S.A.)．∴BF＝CE.∴BF＝2CD.【點(diǎn)方法】由角平分線與高線重合，構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形“三線合一”證明線段的倍分關(guān)系．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且∠ABC＝2∠C.求證：CD＝AB＋BD.7．證明：如圖，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交CD于點(diǎn)E，連結(jié)AE，則AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC.∵AD⊥BC，∴DE＝BD.∵∠ABC＝2∠C，∴∠