2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練新人教A版必修4

PAGE1-2.1平面對(duì)量的實(shí)際背景及基本概念【基礎(chǔ)練習(xí)】1．下列說(shuō)法正確的是()A．長(zhǎng)度相等的向量叫作相等向量B．共線(xiàn)向量是在同一條直線(xiàn)上的向量C．零向量的長(zhǎng)度等于0D.eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))就是eq\o(AB,\s\up6(→))所在的直線(xiàn)平行于eq\o(CD,\s\up6(→))所在的直線(xiàn)【答案】C【解析】對(duì)于A，向量包括長(zhǎng)度和方向，長(zhǎng)度相等的向量不肯定是相等向量，∴A錯(cuò)誤；對(duì)于B，方向相同或相反的向量叫共線(xiàn)向量，不肯定在一條直線(xiàn)上，∴B錯(cuò)誤；對(duì)于C，依據(jù)零向量的定義知C正確；對(duì)于D，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))時(shí)，這兩向量可能共線(xiàn)，它們所在的直線(xiàn)可能平行或重合，∴D錯(cuò)誤．故選C.2．(2024年湖北棗陽(yáng)月考)下列命題正確的是()A．若|a|＝|b|，則a＝b B．若|a|＞|b|，則a＞bC．若a＝b，則a∥b D．若|a|＝0，則a＝0【答案】C【解析】對(duì)于A，|a|＝|b|，則a＝±b，∴A錯(cuò)誤；對(duì)于B，向量a與b不能比較大小，∴B錯(cuò)誤；對(duì)于C，a＝b，則a∥b，∴C正確；對(duì)于D，|a|＝0，則a＝0，∴D錯(cuò)誤．故選C.3．若四邊形ABCD是矩形，則下列命題中不正確的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線(xiàn) B．eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))共線(xiàn)C．eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))共線(xiàn) D．eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))模相等【答案】B【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD且AB＝CD，AD∥CB，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線(xiàn)且模相等，eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))共線(xiàn)．∵AC與BD相交，∴eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))不共線(xiàn)．故選B.4．在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則()A．eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線(xiàn) B．eq\o(DE,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))共線(xiàn)C．eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AE,\s\up6(→))相等 D．eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))相等【答案】B【解析】如圖所示，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，由三角形的中位線(xiàn)定理可得DE∥BC，∴eq\o(DE,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))共線(xiàn)．故選B.5．(2024年黑龍江大慶一中期末)下列命題正確的是()A．單位向量都相等B．模為0的向量與隨意向量共線(xiàn)C．平行向量不肯定是共線(xiàn)向量D．任一向量與它的相反向量不相等【答案】B【解析】在A中，單位向量大小相等都是1，但方向不同，故單位向量不肯定相等，故A錯(cuò)誤；在B中，零向量與隨意向量共線(xiàn)，故B正確；在C中，平行向量肯定是共線(xiàn)向量，故C錯(cuò)誤；在D中，零向量與它的相反向量相等，故D錯(cuò)誤．故選B.6．如圖ABCD是菱形，則在向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))和eq\o(AD,\s\up6(→))中，相等的有________對(duì)．【答案】2【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，其余不等．7．下列命題中，真命題的序號(hào)是________．①向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長(zhǎng)度與eq\o(BA,\s\up6(→))的長(zhǎng)度相等；②若a＝b，b＝c，則a與c共線(xiàn)；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)必相同；④向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線(xiàn)向量，則A，B，C，D必在同始終線(xiàn)上．【答案】①②【解析】對(duì)于①，向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長(zhǎng)度與eq\o(BA,\s\up6(→))的長(zhǎng)度相等，∴①正確；對(duì)于②，若a＝b，b＝c，則a＝c，a與c共線(xiàn)，∴②正確；對(duì)于③，兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)不肯定相同，∴③錯(cuò)誤；對(duì)于④，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線(xiàn)向量，則A，B，C，D不肯定在同始終線(xiàn)上，如平行四邊形的兩條對(duì)邊表示的向量，∴④錯(cuò)誤．綜上，真命題是①②.8．如圖，以1×2方格紙中的格點(diǎn)(A，B，C，D，E，F(xiàn))為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中．(1)寫(xiě)出與eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))相等的向量；(2)寫(xiě)出與eq\o(AD,\s\up6(→))模相等的向量．【解析】(1)與eq\o(AF,\s\up6(→))相等的向量為eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，與eq\o(AE,\s\up6(→))相等的向量為eq\o(BD,\s\up6(→)).(2)與eq\o(AD,\s\up6(→))模相等的向量為eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→)).【實(shí)力提升】9．設(shè)O為△ABC外接圓的圓心，則eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))是()A．相等向量 B．平行向量C．模相等的向量 D．起點(diǎn)相同的向量【答案】C【解析】|eq\o(AO,\s\up6(→))|，|eq\o(BO,\s\up6(→))|，|eq\o(CO,\s\up6(→))|都等于△ABC外接圓的半徑．故選C.10．已知A＝{與a共線(xiàn)的向量}，B＝{與a長(zhǎng)度相等的向量}，C＝{與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量}，其中a為非零向量，則下列命題中錯(cuò)誤的是()A．CA B．A∩B＝CC．CB D．A∩BC【答案】B【解析】因?yàn)锳∩B中還含有與a方向相同的向量，所以B錯(cuò)．11．把同一平面內(nèi)全部模不小于1，不大于2的向量的起點(diǎn)，移到同一點(diǎn)O，則這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積等于________．【答案】3π【解析】這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是一個(gè)圓環(huán)，其面積為π·22－π·12＝3π.12．如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問(wèn)：(1)與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量共有幾個(gè)？(2)與eq\o(AB,\s\up6(→))平行且模為eq\r(2)的向量共有幾個(gè)？(3)與eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同且模為3eq\r(2)的向量共有幾個(gè)？