2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)模塊復(fù)習(xí)課講義蘇教版必修2

PAGE1-模塊復(fù)習(xí)課一、立體幾何初步1．四個公理公理1：假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上全部的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)．公理2：假如兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個公共點(diǎn)的一條直線．公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面．公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行．2．直線與直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行，,相交，)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).))3．平行的判定與性質(zhì)(1)線面平行的判定與性質(zhì)線面平行判定性質(zhì)定義定理圖形條件a∩α＝aα，bα，a∥ba∥αa∥α，aβ，α∩β＝b結(jié)論a∥αb∥αa∩α＝a∥b(2)面面平行的判定與性質(zhì)面面平行判定性質(zhì)定義定理圖形條件α∩β＝aβ，bβ，a∩b＝p，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，aβ結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α4.垂直的判定與性質(zhì)(1)線面垂直的判定與性質(zhì)線面垂直圖形條件結(jié)論判定a⊥b，bα(b為α內(nèi)的隨意直線)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、nα，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性質(zhì)a⊥α，bαa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b(2)面面垂直的判定與性質(zhì)面面垂直文字語言圖形語言符號語言判定定理假如一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面相互垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(lβ,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理假如兩個平面相互垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,lβ,l⊥a))?l⊥α5.空間角(1)異面直線所成的角①定義：設(shè)a與b是異面直線，經(jīng)過空間隨意一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a，b所成的角．②范圍：設(shè)兩異面直線所成的角為θ，則0°＜θ≤90°．(2)直線和平面所成的角①平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角．②一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°的角．(3)二面角的有關(guān)概念①二面角：一般地，一條直線和由這條直線動身的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上隨意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．6．幾何體的側(cè)面積和體積的有關(guān)計算柱體、錐體、臺體和球體的側(cè)面積和體積公式面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h圓臺S側(cè)＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側(cè)＝chV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺S側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3二、平面解析幾何初步1．直線的傾斜角和斜率(1)直線的傾斜角定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸所成的直線圍著交點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角．特殊地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0°.傾斜角α的取值范圍：0°≤α＜180°．(2)直線的斜率①定義：k＝tan_α，(α≠90°)．②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)(3)斜率的求法①依據(jù)傾斜角．②依據(jù)直線方程．③依據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)．2．直線方程的幾種形式的轉(zhuǎn)化3．兩條直線的平行與垂直l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2?k1＝k2，b1≠b2；l1⊥l2?k1k2＝－1.4．兩條直線的交點(diǎn)l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的一組解．方程組無解?l1∥l2；方程組有多數(shù)組解?l1與l2重合．5．距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)間的距離公式P1P2＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．(2)點(diǎn)到直線的距離公式①點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離為d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．②兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0的距離為d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．6．圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)7．點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)及圓的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?點(diǎn)P在圓外．(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?點(diǎn)P在圓內(nèi)．(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點(diǎn)P在圓上．8．直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l與圓C的圓心之間的距離為d，圓的半徑為r，則d＞r→相離；d＝r→相切；d＜r→相交．9．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)C1與C2的圓心距為d，半徑分別為r1與r2，則兩圓：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|10.求圓的方程時常用的四個幾何性質(zhì)11．計算直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何方法運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計算．(2)代數(shù)方法運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式AB＝eq\r(1＋k2)|xA－xB|＝eq\r(（1＋k2）[（xA＋xB）2－4xAxB]).注：圓的弦長、弦心距的計算常用幾何方法．12．空間中兩點(diǎn)的距離公式一般地，空間中隨意兩點(diǎn)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)間的距離為P1P2＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2)．1．棱錐的側(cè)面都是三角形． (√)2．棱臺的各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)． (√)3．棱柱全部的面都是平行四邊形． (×)提示：棱柱的底面可以是任何平面多邊形．4．以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐． (×)提示：以直角三角形的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐．5．用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺． (×)提示：用一個平行于底面的平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．6．有一個平面的長是50m，寬為20m．提示：平面是無限延展的．7．若直線a在平面α外，則a∥α. (×)提示：a還可能與α相交．8．若直線a∥b，直線bα，則a∥α. (×)提示：還有aα這種可能．9．若兩個平面α∥β，aα，bβ，則a與b是異面直線． (×)提示：還有a∥b這種可能．10．若兩個平面α∩β＝b，aα，則a與β肯定相交． (×)提示：還有a∥β這種可能．11．假如直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則l⊥α. (√)12．假如直線l不垂直于α，則α內(nèi)也可以有多數(shù)條直線與l垂直． (√)13．兩垂直的平面的二面角的平面角大小為90°. (√)14．若直線a∥平面α，直線a∥直線b，則直線b∥平面α. (×)提示：還有b平面α這種可能．15．若直線l上有兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則l∥平面α. (×)提示：還有l(wèi)與平面α相交這種可能．16．任始終線都有傾斜角，都存在斜率． (×)提示：傾斜角為90°的直線沒有斜率．17．直線斜率的取值范圍是(－∞，＋∞)． (√)18．若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行． (×)提示：兩直線還可能重合．19．若兩條直線平行，則這兩條直線的斜率相等． (×)提示：兩直線還可能沒有斜率．20．直線y－3＝m(x＋1)恒過定點(diǎn)(－1，3)． (√)21．直線的點(diǎn)斜式方程也可寫成eq\f(y－y0,x－x0)＝k. (×)提示：若寫成這種形式，不能包含點(diǎn)(x0，y0)．22．不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示． (×)提示：垂直于x軸或y軸的直線也不能用eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示．23．點(diǎn)P1(0，a)，P2(0，b)兩點(diǎn)間的距離為a－b. (×)提示：距離為|a－b|.24．兩直線x＋y＝m與x＋y＝2n的距離為eq\f(|m－2n|,\r(2)). (√)25．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2肯定表示圓． (×)提示：當(dāng)m＝0時表示點(diǎn)(a，b)，m≠0時表示圓．26．若圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋m)2＋(y－n)2＝a2(a≠0)，此時圓的半徑肯定是a. (×)提示：圓的半徑為|a|.27．假如直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切． (√)28．假如兩個圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切． (×)提示：兩圓還可能內(nèi)切．29．空間直角坐標(biāo)系中，在x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)肯定是(0，b，c)的形式． (×)提示：坐標(biāo)應(yīng)為(a，0，0)的形式．30．空間直角坐標(biāo)系中，在xOz平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)肯定是(a，0，c)的形式． (√)1．(2024·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A．[2，6] B．[4，8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]A[圓心(2，0)到直線的距離d＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以點(diǎn)P到直線的距離d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]．依據(jù)直線的方程可知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以△ABP的面積S＝eq\f(1,2)|AB|d1＝eq\r(2)d1.因?yàn)閐1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]，所以S∈[2，6]，即△ABP面積的取值范圍是[2，6]．]2．(2024·全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為________．40eq\r(2)π[如圖所示，設(shè)S在底面的射影為S′，連接AS′，SS′.△SAB的面積為eq\f(1,2)·SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)·SA2·eq\r(1－cos2∠ASB)＝eq\f(\r(15),16)·SA2＝5eq\r(15)，∴SA2＝80，SA＝4eq\r(5).∵SA與底面所成的角為45°，∴∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝4eq\r(5)×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(10).∴底面周長l＝2π·AS′＝4eq\r(10)π，∴圓錐的側(cè)面積為eq\f(1,2)×4eq\r(5)×4eq\r(10)π＝40eq\r(2)π.]3．(2024·江蘇高考)如圖所示，正方體的棱長為2，以其全部面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為________．eq\f(4,3)[由題意知所給的幾何體是棱長均為eq\r(2)的八面體，它是由兩個有公共底面的正四棱錐組合而成的，正四棱錐的高為1，所以這個八面體的體積為2V正四棱錐＝2×eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×1＝eq\f(4,3).]4．(2024·江蘇高考)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C求證：(1)AB∥平面A1B1C(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC[解](1)證明：在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1因?yàn)锳B平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C(2)證明：在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中四邊形ABB1A1又因?yàn)锳A1＝AB，所以四邊形ABB1A1為菱形因此AB1⊥A1B.又因?yàn)锳B1⊥B1C1，BC∥B1C所以AB1⊥BC.又因?yàn)锳1B∩BC＝B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因?yàn)锳B1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC5．(2024·全國卷Ⅰ)如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把△DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF⊥BF.(1)證明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值．[解](1)由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又PF平面PEF，EF平面PEF，且PF∩EF＝F，所以BF⊥平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)作PH⊥EF，垂足為H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(HF,\s\up6(→))