2024-2025學年高中數(shù)學第二章隨機變量及其分布2.4正態(tài)分布課后課時精練新人教A版選修2-3

PAGE1-2.4正態(tài)分布A級：基礎鞏固練一、選擇題1．設隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，則c＝()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析解法一：由P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)可知2＝eq\f(c＋1＋c－1,2)，解得c＝2.解法二：∵P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，∴正態(tài)曲線關于x＝c對稱，又N(2,9)，∴c＝2.2．已知隨機變量X～N(0,1)，則X在區(qū)間[－3，＋∞)內取值的概率等于()A．0.8874 B．0.0026C．0.0013 D．0.9987答案D解析P(X≥－3)＝eq\f(1,2)P(－3≤X≤3)＋eq\f(1,2)＝0.9987.3．設X～N(10,0.8)，則D(2X＋1)等于()A．1.6 B．3.2C．6.4 D．12.8答案B解析∵X～N(10,0.8)，∴D(X)＝0.8，∴D(2X＋1)＝4D(X)＝3.2.4．某次市教學質量檢測，甲、乙、丙三科考試成果聽從正態(tài)分布，相應的正態(tài)曲線如圖所示，則下列說法中正確的是()A．三科總體的標準差相同B．甲、乙、丙三科的總體的平均數(shù)不相同C．丙科總體的平均數(shù)最小D．甲科總體的標準差最小答案D解析由圖象知甲、乙、丙三科的平均分一樣，但標準差不同，σ甲<σ乙<σ丙．故選D.5．為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)1000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重狀況，抽查結果表明他們的體重X(kg)聽從正態(tài)分布N(μ，22)，且正態(tài)分布密度曲線如圖所示．若體重大于58.5kg小于等于62.5kg屬于正常狀況，則這1000名男生中屬于正常狀況的人數(shù)是()A．997 B．954C．819 D．683答案D解析由題意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，從而屬于正常狀況的人數(shù)是1000×0.6826≈683.二、填空題6．某班同學共有48人，數(shù)學測驗的分數(shù)聽從正態(tài)分布，其平均分是80分，標準差是10分，則該班同學中成果在70～90分的約有________人．答案33解析依題意，得μ＝80，σ＝10，所以P(70<ξ<90)＝P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，所以48×0.6826≈33(人)．即該班約有33人的成果在70～90分．7．設隨機變量X～N(1,22)，則Y＝3X－1聽從的總體分布可記為________．答案Y～N(2,62)解析因為X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.又Y＝3X－1，所以E(Y)＝3E(X)－1＝3μ－1＝2，D(Y)＝9D(X)＝62.∴Y～N(2,62)．8．某一部件由三個電子元件按如圖所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設三個電子元件的運用壽命(單位：小時)均聽從正態(tài)分布N(1000，502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的運用壽命超過1000小時的概率為______．答案eq\f(3,8)解析設元件1,2,3的運用壽命超過1000小時的事務分別記為A，B，C，明顯P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,2)，∴該部件的運用壽命超過1000小時的事務為(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B＋AB)C，∴該部件的運用壽命超過1000小時的概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).三、解答題9．一建筑工地所須要的鋼筋的長度X～N(8,22)，質檢員在檢查一大批鋼筋的質量時，發(fā)覺有的鋼筋長度小于2米，這時，他是讓鋼筋工接著用切割機截鋼筋呢，還是停下來檢修切割機？解由于X～N(8,22)，依據正態(tài)分布的性質可知，正態(tài)分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率僅為0.26%，長度小于2米的鋼筋不在(2,14)內，據此質檢員應讓鋼筋工立刻停止切割，并對切割機進行檢修．B級：實力提升練10．某學校的功能室統(tǒng)一運用某品牌的一種燈管，已知這種燈管運用壽命ξ(單位：月)聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且運用壽命不少于12個月的概率為0.8，運用壽命不少于24個月的概率為0.2.(1)求這種燈管的平均運用壽命；(2)假設一間功能室一次性換上4支這種新燈管，運用12個月時進行一次檢查，將已經損壞的燈管換下(中途不更換)，求至少兩支燈管須要更換的概率．解(1)因為ξ～N(μ，σ2)，P(ξ≥12)＝0.8，P(ξ≥24)＝0.2，所以P(ξ<12)＝0.2，明顯P(ξ<12)＝P(ξ≥24)，由正態(tài)分布密度函數(shù)的對稱性可知，μ＝eq\f(12＋24,2)＝18，即每支這種燈管的平均運用壽命是18個月．(2)每支燈管運用12個月時已經損壞的概率為1－0.8＝0.2，假設運用12個月時該功能室須要更換的