湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

學(xué)年湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題85分在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.B.1C.2D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義求解即可.【詳解】拋物線，則，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.故選：C2.在等差數(shù)列中，若，則的值為（）A.30B.40C.50D.60【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)得，進(jìn)而可求.【詳解】由，得，即，所以故選：D3.已知，是雙曲線P是和的等差中項(xiàng)，則的值為（）A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】第1頁(yè)/共20頁(yè)，進(jìn)而可證，即可求.【詳解】由雙曲線，得，，因?yàn)槭呛偷炔钪许?xiàng)，所以，即①，由雙曲線的定義得②，由①②得，，，所以，即，故故選：B4.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，公比，若是數(shù)列的前n項(xiàng)積，則取最小值時(shí)n為（）A.8B.9C.8或9D.9或10【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，利用二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意得，因?yàn)?，，所以，函?shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以或時(shí)，取最小值，即取最小值.故選：C.5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）第2頁(yè)/共20頁(yè)A.若，則點(diǎn)的軌跡為橢圓B.若，則點(diǎn)的軌跡為橢圓C.若，則點(diǎn)的軌跡為直線D.若，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線的定義一一判斷即可.【詳解】由，結(jié)合橢圓的定義，顯然的軌跡不是橢圓而是線段，故A錯(cuò)誤；設(shè)，由，所以，整理得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，故B錯(cuò)誤；由，則點(diǎn)的軌跡為以為端點(diǎn)（向右）的射線，故C錯(cuò)誤；由，根據(jù)雙曲線的定義，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支，故D正確.故選：D6.設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，若，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依題意可設(shè)，，結(jié)合與的關(guān)系可得.【詳解】因數(shù)列，均為等差數(shù)列，故由，可設(shè)，，則，，第3頁(yè)/共20頁(yè)則故選：B7.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P在x軸上方，的內(nèi)切圓圓心為I，若則橢圓的離心率e的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由內(nèi)切圓性質(zhì)可得，結(jié)合橢圓的定義即可求解.【詳解】連接并延長(zhǎng)，交x軸于點(diǎn)Q，則，則，所以，所以，由得，所以.故選:C.8.已知橢圓的上，下焦點(diǎn)分別為，，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的上第4頁(yè)/共20頁(yè)的傾斜角為的直線交橢圓于AB是拋物線上在第一象限的點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線與x軸的交點(diǎn)為，若，則的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，處的切線方程，進(jìn)而即可求解.【詳解】解：由題可知，直線AB的斜率k為，設(shè)，則橢圓的離心率，所以，，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以拋物線方程為，故在點(diǎn)處的切線方程為，令，，因?yàn)椋允鞘醉?xiàng)2，公比的等比數(shù)列，即故選：A.二、多選題：本題共3小題，共分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)的傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（）第5頁(yè)/共20頁(yè)A.B.C.若，則D.【答案】BCD【解析】【分析】由題設(shè)直線AB的方程，聯(lián)立拋物線方程結(jié)合韋達(dá)定理可判斷A，B；再依次應(yīng)用拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式和焦半徑公式計(jì)算即可判斷C，D..【詳解】對(duì)于AB，由拋物線的方程可知，，即，，直線AB的斜率不可能為0，設(shè)其方程為，聯(lián)立，消去x，得，，故，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，若，則，則，C正確；對(duì)于D，由拋物線的定義知，，又，，即選項(xiàng)D正確.故選:BCD10.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若有最大值，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)最大時(shí)，B.使的最大k值為4045C.第6頁(yè)/共20頁(yè)D.在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，取最大值【答案】ACD【解析】【分析】由，則或，結(jié)合有最大值，則，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值即可判斷A，利用等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項(xiàng)和公式即可判斷B，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，利用數(shù)列與不等式可判斷D.【詳解】由得，則或，即或，因?yàn)橛凶畲笾?，所以，故?dāng)最大時(shí)，，A正確；因?yàn)椋?，B錯(cuò)誤；根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)，先增大后減小，因?yàn)榈膱D象過(guò)原點(diǎn)，且，又因?yàn)?，，所以，所以C正確；當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榍?，?頁(yè)/共20頁(yè)所以，D正確.故選：ACD.已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)A作的一條切線與雙曲線交于點(diǎn)BAB中點(diǎn)為PA作的另一條切線與雙曲線交于點(diǎn)DABAD的斜率分別為，）A.雙曲線方程為B.雙曲線的離心率C.D.過(guò)定點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)代入方程化簡(jiǎn)得出即求出離心率判斷B，得出軌跡方程可判斷A，結(jié)合點(diǎn)到直線距離及韋達(dá)定理即可判斷C，應(yīng)用斜率公式計(jì)算求解得出定點(diǎn)判斷D.，，代入雙曲線方程得：①，②，①-②得：，即，由題可知，，，所以，又因?yàn)槭茿B中點(diǎn)，所以，，即，所以，則，故B正確;第8頁(yè)/共20頁(yè)由題得，，所以雙曲線方程為，故A正確；圓M的圓心為，半徑為r，設(shè)切線方程為，則，即，則，是上述方程的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理可得，故C錯(cuò)誤;由，則，，設(shè)AD的中點(diǎn)為Q，由①可得：，即：，，因?yàn)?，，所以③，④，因?yàn)?，將③④分別代入，則：，即⑤，，即⑥，⑤-⑥得：，所以直線BD過(guò)定點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則__________.【答案】6第9頁(yè)/共20頁(yè)【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算求解可得.【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則，因?yàn)?，由等比?shù)列的性質(zhì)知：，所以故答案為：613.已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列通項(xiàng)公式為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由遞推公式可得，從而得到是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式得到從而得到的通項(xiàng)公式.【詳解】解：因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即故答案：14.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓上在第二象限的點(diǎn)，且P的縱坐標(biāo)為，若橢圓的離心率e的范圍是，則的范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件依次求得P點(diǎn)坐標(biāo)、與，進(jìn)而得，由第10頁(yè)/共20頁(yè)，令，則，即可求得t的取值范圍.【詳解】將P的縱坐標(biāo)代入橢圓的方程，則，所以，，即，所以，因?yàn)?，令，則所以，即，所以，故故答案為：第11頁(yè)/共20頁(yè)率，然后根據(jù)離心率范圍求解.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】（1）（2）【解析】1）利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系證明是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.（2）寫(xiě)出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求和即可.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，，得或舍，當(dāng)時(shí)，，，即，數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，即，，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，【小問(wèn)2詳解】，①，②，①-②得：，第12頁(yè)/共20頁(yè)16.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為e為的直線l交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn).（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求直線l的斜率.【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)頂點(diǎn)和離心率列方程求解可得；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程消去y，韋達(dá)定理結(jié)合列方程求解可得.小問(wèn)1詳解】由題得，解得，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】由題可知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立雙曲線的方程，得，設(shè)，，則，，直線l交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，第13頁(yè)/共20頁(yè)，解得，，，即，解得或，，時(shí)，17.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在常數(shù)t，使對(duì)恒成立?若存在，求出t的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，最小值為【解析】1）利用數(shù)列的與的關(guān)系式消去，判斷為等比數(shù)列，即得其通項(xiàng)；（2）代入計(jì)算并化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求得，由數(shù)列解析式的單調(diào)性求得其范圍即可.第14頁(yè)/共20頁(yè)【小問(wèn)1詳解】由①，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，②，①-②得：，即，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故，【小問(wèn)2詳解】由，可得，，，故由于單調(diào)遞增，可得，即，則存在常數(shù)t，使對(duì)恒成立，即，故t的最小值為18.已知平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q到點(diǎn)的距離比它到直線的距離少（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程;（2）已知是點(diǎn)Q的軌跡上不同的四點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸下方，直線AC，BD交于點(diǎn)P，且，設(shè)的中點(diǎn)分別為點(diǎn)①證明：三點(diǎn)共線;②若點(diǎn)P為半橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.第15頁(yè)/共20頁(yè)【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②【解析】1）設(shè)點(diǎn)，由題意得，化簡(jiǎn)可得；（2CD分別為PA，PB的中點(diǎn)，可得軸，則M，N，P三點(diǎn)共線；②點(diǎn)，，時(shí)，取得最大值，即可求得四邊形面積的最大值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，由題得，將上式兩邊同時(shí)平方，得，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)軌跡不存在，綜上：點(diǎn)Q的軌跡方程為【小問(wèn)2詳解】第16頁(yè)/共20頁(yè)①由，，可知C，D分別為的中點(diǎn)，即得，則直線AB和直線CD的斜率相等，即，設(shè)，，，，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，由，得，即，則，所以，所以軸.設(shè)，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得，，因點(diǎn)在拋物線上，故，整理得，同理得，，是方程的兩個(gè)根，，第17頁(yè)/共20頁(yè)且，，有，得軸，故三點(diǎn)共線.②因?yàn)辄c(diǎn)為半橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則，且，又，則，因?yàn)椋?，且相似比為，故，其中，?dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)四邊形面積取得最大值為第18頁(yè)/共20頁(yè)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（2）①得到后，利用斜率公式得，則軸，再證得軸，即得M，N，P三點(diǎn)共線；的面積用表示為：數(shù)的性質(zhì)求最大值.19.已知，共有mi，，或中至少有一個(gè)仍是中的項(xiàng)，則稱數(shù)列為“乘或除封閉數(shù)列”.（1）若且，判斷數(shù)列是否為“乘或除封閉數(shù)列”;（2）已知遞增數(shù)列，3，，27，“乘或除封閉數(shù)列”，求，，（3）已知各項(xiàng)均為正且單調(diào)遞增數(shù)列為“乘或除封閉數(shù)列”，若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列.【答案】（1）不是（2），，；（3）證明見(jiàn)解析【解析】1）利用題目定義驗(yàn)證即可；（2）利用或中至少有一個(gè)仍是中的項(xiàng)，推理可得答案；（3）結(jié)合新定義得出，進(jìn)而可得數(shù)列是等比數(shù)列.【小問(wèn)1詳解】由題意知，數(shù)列為2，4，8，16，32，因?yàn)楹途皇侵械捻?xiàng)，所以數(shù)列不是“乘或除封閉