湖南省2025屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟（長(zhǎng)郡二十校）高三第二次預(yù)熱演練數(shù)學(xué)試題 含解析

第1頁(yè)/共1頁(yè)2025屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第二次預(yù)熱演練數(shù)學(xué)試卷由長(zhǎng)郡中學(xué)；衡陽(yáng)市八中；永州市四中；岳陽(yáng)縣一中；湘潭縣一中；湘西州民中；石門縣一中；澧縣一中；益陽(yáng)市一中；桃源縣一中；株洲市二中；麓山國(guó)際；郴州市一中；岳陽(yáng)市一中；婁底市一中；懷化市三中；邵東市一中；洞口縣一中；寧鄉(xiāng)市一中；瀏陽(yáng)市一中.聯(lián)合命題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)，若存在，使有解，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，進(jìn)而得的取值范圍.【詳解】若存在，使得有解，即．設(shè)，，則．令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以．故的取值范圍為．故選：A2.已知數(shù)列中，，則（）A.96 B.97 C.98 D.99【答案】C【解析】【分析】利用倒敘相加法求和即可.【詳解】①，②，①+②得，所以.故選：C3.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則以下命題為真命題的是（）A.的共軛復(fù)數(shù)為 B.的虛部為C. D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)值，然后結(jié)合復(fù)數(shù)性質(zhì)逐一分析每個(gè)選項(xiàng)【詳解】，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，的虛部是，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，D選項(xiàng)正確.故選：D4.“太極圖”因其形狀如對(duì)稱的陰陽(yáng)兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點(diǎn)Px,y是陰影部分（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為點(diǎn)Px,y與連線的斜率，數(shù)形結(jié)合后由直線與圓的位置關(guān)系求解.【詳解】記，則為直線的斜率，故當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，得k最小，此時(shí)設(shè)，故，解得或（舍去），即．故選：C.5.某平臺(tái)為維護(hù)消費(fèi)者權(quán)益，開(kāi)設(shè)維權(quán)通道，消費(fèi)者可通過(guò)電話投訴專線、郵件投訴等多個(gè)渠道進(jìn)行消費(fèi)維權(quán)投訴．平臺(tái)將對(duì)投訴情況進(jìn)行核實(shí)，為消費(fèi)者提供咨詢幫助．據(jù)統(tǒng)計(jì)，在進(jìn)行維權(quán)的消費(fèi)者中，選擇電話投訴專線維權(quán)和郵件投訴維權(quán)的概率分別為和，且對(duì)應(yīng)維權(quán)成功的概率分別為、，選擇其他方式維權(quán)且成功的概率為，則在維權(quán)成功的條件下，選擇郵件投訴的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)選擇郵件投訴為事件，維權(quán)成功為事件，求出、的值，利用條件概率公式可求得的值.【詳解】設(shè)選擇郵件投訴為事件，維權(quán)成功為事件，則，，故在維權(quán)成功的條件下，選擇郵件投訴的概率為.故選：B.6.已知為平行四邊形的邊的中點(diǎn)，以B，E為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)點(diǎn)A，D，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算律可得，連接并利用橢圓的定義求，再由余弦定理求，易知，建立方程求間的關(guān)系，進(jìn)而可得橢圓的離心率【詳解】如下圖所示：因?yàn)闉槠叫兴倪呅蔚倪叺闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以．連接，由橢圓定義可知，；設(shè)，則，故，在中，．在中，．在平行四邊形中，，所以，所以，則，整理得，所以橢圓的離心率為，故選：D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理本題中向量數(shù)量積問(wèn)題時(shí)還可以利用平面向量中的極化恒等式：或．其幾何意義為向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”的平方差的．7.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角形面積公式及余弦定理得到，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系得到，，由正弦定理得到，且根據(jù)三角形為銳角三角形，得到，求出，利用對(duì)勾函數(shù)得到的最值，求出的取值范圍.【詳解】由三角形面積公式可得：，故，，故，因?yàn)?，所以，解得：?，因?yàn)闉殇J角三角形，所以舍去，故，，由正弦定理得：，其中，因?yàn)闉殇J角三角形所以，故，所以，，，，令，則為對(duì)勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又，因?yàn)?，所以，則.故選：C【點(diǎn)睛】解三角形中求解取值范圍問(wèn)題，通常有兩種思路，一是利用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，利用基本不等式進(jìn)行求解，二是利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，結(jié)合三角函數(shù)的圖象，求出答案.8.已知函數(shù)，則“”是“的最大值大于2”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形，令，，則，然后根據(jù)充分性和必要性兩方面判斷.【詳解】，令，，則，故充分性：當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而，則的最大值必大于2，充分性成立；必要性：當(dāng)時(shí)，，則不滿足最大值大于2，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，要使最大值大于2，必有，則，即，即，，故，解得，必要性不成立．綜上，“”是“的最大值大于2”的充分不必要條件．故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)換為幾何問(wèn)題加以解決，如：對(duì)于形如的代數(shù)式，可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)Mx,y與的距離加以考慮.結(jié)合以上觀點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.的圖象是軸對(duì)稱圖形B.是單調(diào)函數(shù)C.的值域?yàn)镈.方程無(wú)實(shí)數(shù)解【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱性的定義，即可判斷A，根據(jù)條件將函數(shù)構(gòu)造為兩點(diǎn)間距離，即可判斷BCD.【詳解】.設(shè)，則對(duì)于，，圖象的對(duì)稱軸為直線，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，即x=2時(shí)，取得最小值，所以不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題知，，的值域?yàn)?，故C正確；根據(jù)選項(xiàng)C，對(duì)于D，設(shè)，方程等價(jià)于，即，解得或，又，矛盾所以方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故D正確.故選：ACD.10.在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.的取值范圍為C.的最小值為D.的取值范圍是【答案】AB【解析】【分析】利用正弦定理角化邊得，結(jié)合余弦定理和二倍角公式可得，可判斷A；根據(jù)三個(gè)角為銳角列不等式組求解可判斷B；利用商數(shù)關(guān)系和和差公式，結(jié)合化簡(jiǎn)，運(yùn)用基本不等式可判斷C；邊化角，利用二倍角和三倍角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合角范圍可判斷D.【詳解】對(duì)A，由正弦定理角化邊得，由余弦定理有，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，所以，所以，所以，A正確；對(duì)B，由上知，，因?yàn)闉殇J角三角形，，解得，所以，B正確；對(duì)C，，當(dāng)時(shí)，得，因?yàn)椋?，所以等?hào)不成立，C錯(cuò)誤；對(duì)D，，因?yàn)椋?，所以，所以，即，D錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)在于利用正弦定理角化邊，代入余弦定理表示出，結(jié)合二倍角公式求得.11.在復(fù)數(shù)域內(nèi)，大小成為了沒(méi)有意義的量，那么我們能否賦予它一個(gè)定義呢，在實(shí)數(shù)域內(nèi)，我們通常用絕對(duì)值來(lái)描述大小，而復(fù)數(shù)域中也相應(yīng)的有復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)來(lái)代替絕對(duì)值，于是，我們只需定義復(fù)數(shù)的正負(fù)即可，我們規(guī)定復(fù)數(shù)的“長(zhǎng)度”即為模長(zhǎng)，規(guī)定在復(fù)平面軸上方的復(fù)數(shù)為正，在軸下方的復(fù)數(shù)為負(fù)，在軸上的復(fù)數(shù)即為實(shí)數(shù)大小.“大小”用符號(hào)+“長(zhǎng)度”表示，我們用來(lái)表示復(fù)數(shù)的“大小”，例如：，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在復(fù)平面內(nèi)表示一個(gè)圓B.若，則方程無(wú)解C.若為虛數(shù)，且，則D.復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，理解的意義，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，模長(zhǎng)計(jì)算，逐一判斷即可.【詳解】A：根據(jù)已知條件表示模長(zhǎng)為1，在復(fù)平面位于軸上方的復(fù)數(shù)，所以并不是一個(gè)圓，故A錯(cuò)誤；B：若，則方程為一個(gè)實(shí)數(shù)，所以無(wú)解，故B正確；C：若為虛數(shù)，且，設(shè)，則，所以，所以，故C正確；D：設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的新定義有，所以，且，所以，所以是，所以，故D正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于對(duì)的理解.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)和為243，則該展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】令求出，然后求出展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)和含的項(xiàng)，分別與因式中的項(xiàng)相乘可得.【詳解】令可得，解得，的展開(kāi)式中通項(xiàng)，，分別令，得，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)和含的項(xiàng)分別為，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：13.已知，若，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，分析得，進(jìn)而得到，從而利用“1”的代換與基本不等式即可得解.【詳解】因?yàn)?，則方程與有相同的解，不妨設(shè)為，則，故，即，整理得，因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于分析得方程與有相同的解，從而得到，由此得解.14.如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，，若，則三棱錐外接球體積的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用外接球球心在過(guò)底面外接圓圓心的垂線上，通過(guò)球心到各頂點(diǎn)的距離想等來(lái)求解即可.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，則，，又，，平面，則平面，因平面，則，又，，，平面，所以平面，所以三棱錐的外接球球心必在過(guò)的中心且平行于的直線上，且，設(shè)，則，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則有，當(dāng)時(shí)，，故三棱錐外接球體積的最小值為．故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在處取得極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）在時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后分解因式，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可判斷原函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，對(duì)，，，的情況進(jìn)行討論，由題意即得參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，解得或．令f′x<0，解得，所以在上單調(diào)遞減；令f′x>0，解得或，即在，上單調(diào)遞增．綜上，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問(wèn)2詳解】由求導(dǎo)得，①當(dāng)時(shí)，恒成立，令f′x<0，解得，即在上單調(diào)遞減；令f′x>0，解得，即在1,+故時(shí)，函數(shù)在處取得極小值，符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，解得，，且，當(dāng)時(shí)，f′x<0，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，f′x>0，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，符合題意．③當(dāng)時(shí)，令，解得，此時(shí)f′x≥0恒成立且f′x不恒為單調(diào)遞增，故函數(shù)無(wú)極值，不符合題意．④當(dāng)時(shí)，令，解得，，且，當(dāng)時(shí)，f′x>0，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f′x<0，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，不符合題意．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．16.已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心?橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的與直線相切.（1）求橢圓的方程，（2）過(guò)定點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若.求實(shí)數(shù)的值及的面積.【答案】（1）（2），的面積為【解析】【分析】（1）由離心率得到，利用點(diǎn)到直線的距離求出，即可求出、，從而得解；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理和，求出實(shí)數(shù)的值，再利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離得到的底和高，求出面積.【小問(wèn)1詳解】由題意知離心率，所以，即.以原點(diǎn)為圓心?橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的與直線相切，有，所以，則，故橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線的方程為由，消去得，顯然，∴，則，所以，，解得，則直線為.∴，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積17.空間中，我們將至少兩條坐標(biāo)軸不垂直的坐標(biāo)系稱為“空間斜坐標(biāo)系”．類比空間直角坐標(biāo)系，分別為“空間斜坐標(biāo)系”中三條數(shù)軸（軸、軸、軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對(duì)應(yīng)，稱向量的斜坐標(biāo)為，記作．如圖，在平行六面體中，，，，．以為基底建立“空間斜坐標(biāo)系”．（1）若點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，求的斜坐標(biāo)；（2）若的斜坐標(biāo)為，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用斜坐標(biāo)的定義及向量的線性運(yùn)算可得結(jié)果；（2）利用空間向量的線性運(yùn)算表示由題可得，，設(shè)平面的法向量為，通過(guò)求解法向量方程與賦值求得法向量，以及平面，表示出，利用平面與平面的夾角的余弦公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題可知，，則（提示：斜坐標(biāo)的本質(zhì)是將空間中的向量用基底表示后的系數(shù)），由題可知，，．平面，即則，，則的斜坐標(biāo)為．【小問(wèn)2詳解】由題可得，，設(shè)平面的法向量為（提示：設(shè)斜坐標(biāo)系下的法向量，通過(guò)求解法向量方程與賦值求得法向量），由得即取，可得，，即．則．由（1）可知平面，且，則，，則，即平面與平面的夾角的余弦值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：充分理解“空間斜坐標(biāo)系”以及通過(guò)空間向量線性運(yùn)算正確表示出向量是解題關(guān)鍵，本題以新定義下的線面關(guān)系與平面與平面的夾角為背景，考查考生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．屬于較難題.18.設(shè)數(shù)列，其中，，若同時(shí)滿足①或；②對(duì)于任意，都存在使得（且兩兩不相等），則稱數(shù)列為數(shù)列．（1）當(dāng)，時(shí)，求滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)；（2）記，若．（?。┳C明：；（ⅱ）在的條件下，求的概率．【答案】（1）只有一個(gè)（2）（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）由數(shù)列滿足的兩個(gè)條件，確定數(shù)列中各項(xiàng)的規(guī)律，確定滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)．（2）（?。┰O(shè)數(shù)列中出現(xiàn)的頻數(shù)分別為，進(jìn)而有，，同理，，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解；（ⅱ）由（ⅰ）中結(jié)論，結(jié)合得到，分別討論當(dāng)時(shí)，數(shù)列的情況，然后利用古典概型概率求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)，時(shí)，，，由條件①知或2．又由條件②對(duì)于任意，都存在使得且兩兩不相等），可得滿足條件的數(shù)列只有一個(gè)，且為1，1，1，1，2，2，2，2．小問(wèn)2詳解】（?。┳C明：當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列中出現(xiàn)的頻數(shù)分別為，由題意知，若，則有（對(duì)任意）與已知矛盾，故，同理可得，若，假設(shè)，則存在唯一的，使得，那么對(duì)于任意不同于1，的則有，與已知矛盾，所以，同理可得，所以．（ⅱ）由（?。┲?，即，解得，又，所以，所以且為整數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，數(shù)列，只有1組；當(dāng)時(shí)，數(shù)列可以表示為，滿足條件，，的有，，…，共19組；當(dāng)時(shí)，數(shù)列可以表示為，，滿足條件，，，的有，共85組；當(dāng)時(shí)，數(shù)列可以表示為，滿足條件，，，，的有94組；當(dāng)時(shí)，數(shù)列可以表示為，滿足條件，，，，，的有29組；當(dāng)時(shí)，數(shù)列可以表示為，只有1組，所以滿足的數(shù)列共有229組，