2024-2025學年高中數學第三章空間向量與立體幾何3.2立體幾何中的向量方法第3課時空間向量與空間距離選學練習含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-第3課時空間向量與空間距離（選學）[學生用書P145(單獨成冊)][A基礎達標]1．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq\r(2)，E，F(xiàn)分別是面A1B1C1D1，面BCC1B1的中心，則E，F(xiàn)兩點間的距離為()A．1 B．eq\f(\r(5),2)C.eq\f(\r(6),2) D．eq\f(3,2)解析：選C.以點A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則點E(1，1，eq\r(2))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，\f(\r(2),2)))，所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(（1－2）2＋（1－1）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),2)，故選C.2．已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2，1)，點A(－1，3，0)在平面α內，則點P(－2，1，4)到α的距離為()A．10 B．3C.eq\f(8,3) D．eq\f(10,3)解析：選D.由已知得eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1，2，－4)，故點P到平面α的距離d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－2－4－4|,3)＝eq\f(10,3).3．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點E是A1B1的中點，則點A到直線BE的距離是()A.eq\f(6\r(5),5) B．eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(\r(5),5)解析：選B.建立空間直角坐標系如圖所示，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0，2，0)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0，1，2)，設∠ABE＝θ，則cosθ＝eq\f(|\o(BA,\s\up6(→))·\o(BE,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\o(BA,\s\up6(→))||\o(BE,\s\up6(→))|))＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(2,5)eq\r(5).故A到直線BE的距離d＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|sinθ＝2×eq\f(2,5)eq\r(5)＝eq\f(4,5)eq\r(5).4．如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是()A．5 B．8C.eq\f(60,13) D．eq\f(13,2)解析：選C.以D為坐標原點，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則C(0，12，0)，D1(0，0，5)．設B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)．設平面A1BCD1的法向量為n＝(a，b，c)，由n⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，n⊥eq\o(CD1,\s\up6(→))，得n·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(－x，0，0)＝－ax＝0，n·eq\o(CD1,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(0，－12，5)＝－12b＋5c＝0，所以a＝0，b＝eq\f(5,12)c，所以可取n＝(0，5，12)．又eq\o(B1B,\s\up6(→))＝(0，0，－5)，所以點B1到平面A1BCD1的距離為eq\f(|\o(B1B,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(60,13).因為B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距離為eq\f(60,13).5．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，O是A1C1的中點，則O到平面ABC1D1的距離為()A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),4)C.eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),3)解析：選B.以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，eq\o(C1O,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1A1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，平面ABC1D1的一個法向量eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(1，0，1)，則點O到平面ABC1D1的距離d＝eq\f(|\o(DA1,\s\up6(→))·\o(C1O,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\o(DA1,\s\up6(→)))|)＝eq\f(\f(1,2),\r(2))＝eq\f(\r(2),4).故選B.6．在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，則AD到平面PBC的距離為________．解析：因為BC∥AD，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC，所以AD到平面PBC的距離等于點A到平面PBC的距離．由已知可知AB，AD，AP兩兩垂直．以A為坐標原點，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系(圖略)，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，則eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2，0，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0，2，0)．設平面PBC的法向量為n＝(a，b，c)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n⊥\o(PB,\s\up6(→))，,n⊥\o(BC,\s\up6(→))，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－2c＝0，,b＝0，))取a＝1，得n＝(1，0，1)，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，0，0)，所以AD到平面PBC的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點F，G分別是AB，CC1的中點，則點D1到直線GF的距離為________．解析：如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在的直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則D1(0，0，2)，F(xiàn)(1，1，0)，G(0，2，1)，于是有eq\o(GF,\s\up6(→))＝(1，－1，－1)，eq\o(GD1,\s\up6(→))＝(0，－2，1)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(GF,\s\up6(→))·\o(GD1,\s\up6(→)),|\o(GF,\s\up6(→))|)))＝eq\f(2－1,\r(3))＝eq\f(1,\r(3))，|eq\o(GD1,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，所以點D1到直線GF的距離為eq\r(5－\f(1,3))＝eq\f(\r(42),3).答案：eq\f(\r(42),3)8．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則平面A1BD與平面B1CD1間的距離為________．解析：以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(0，1，－1)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－1，0，－1)，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝(－1，0，0)．設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1B,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1D,\s\up6(→))＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－z＝0，,－x－z＝0.))令z＝1，得y＝1，x＝－1，所以n＝(－1，1，1)．所以點D1到平面A1BD的距離d＝eq\f(|\o(A1D1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).因為平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點D1到平面A1BD的距離．所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離為eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)9．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M為BB1的中點，N為BC的中點．(1)求點M到直線AC1的距離；(2)求點N到平面MA1C1的距離．解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直線AC1的一個單位方向向量為s0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(2，0，1)，故點M到直線AC1的距離d＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AM,\s\up6(→))|2)－\a\vs4\al(|\o(AM,\s\up6(→))·s0|)2)＝eq\r(5－\f(1,2))＝eq\f(3\r(2),2).(2)設平面MA1C1的法向量為n＝(x，y，z)，則n·eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝0且n·eq\o(A1M,\s\up6(→))＝0，即(x，y，z)·(0，2，0)＝0且(x，y，z)·(2，0，－1)＝0，即y＝0且2x－z＝0，取x＝1，得z＝2，故n＝(1，0，2)為平面MA1C1的一個法向量，與n同向的單位向量為n0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，0，\f(2\r(5),5))).因為N(1，1，0)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－1，1，－1)，故點N到平面MA1C1的距離d＝|eq\o(MN,\s\up6(→))·n0|＝eq\f(3\r(5),5).10.如圖所示，已知邊長為4eq\r(2)的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別為BC和AC的中點，PA⊥平面ABC，且PA＝2，設平面α過PF且與AE平行，求AE與平面α的距離．解：設eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的單位向量分別為e1，e2，e3，選取{e1，e2，e3}作為空間向量的一組基底，可得e1·e2＝e2·e3＝e3·e1＝0，eq\o(AP,\s\up6(→))＝2e1，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\r(6)e2，eq\o(EC,\s\up6(→))＝2eq\r(2)e3.eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→)))＝－2e1＋eq\r(6)e2＋eq\r(2)e3，設n＝xe1＋ye2＋e3是平面α的一個法向量，則n⊥eq\o(AE,\s\up6(→))，n⊥eq\o(PF,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(PF,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2\r(6)y|e2|2＝0，,－2x|e1|2＋\r(6)y|e2|2＋\r(2)|e3|2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝0，,x＝\f(\r(2),2).))所以n＝eq\f(\r(2),2)e1＋e3，所以直線AE與平面α的距離為d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2e1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)e1＋e3)))),\r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)e1))\s\up12(2)＋|e3|2))＝eq\f(2\r(3),3).[B實力提升]11.如圖，ABCD-EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內部且滿意eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))，則P到AB的距離為()A.eq\f(3,4) B．eq\f(4,5)C.eq\f(5,6) D．eq\f(3,5)解析：選C.如圖，分別以AB、AD、AE所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AE,\s\up6(→))可作為x、y、z軸方向上的單位向量，因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3)))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)，eq\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|))＝eq\f(3,4)，所以P點到AB的距離d＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AP,\s\up6(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),\x(|\o(AB,\s\up6(→))|))))\s\up12(2)))＝eq\r(\f(181,144)－\f(9,16))＝eq\f(5,6).12．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，全部棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則點B1到平面ABC1的距離為________．解析：法一：建立如圖所示的空間直角坐標系，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，則eq\o(C1A,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，－1))，eq\o(C1B1,\s\up6(→))＝(0，1，0)，eq\o(C1B,\s\up6(→))＝(0，1，－1)．設平面ABC1的一個法向量為n＝(x，y，1)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(C1A,\s\up6(→))·n＝\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y－1＝0，,\o(C1B,\s\up6(→))·n＝y(tǒng)－1＝0，))解得n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1，1))，則所求距離為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(C1B1,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\f(1,\r(\f(1,3)＋1＋1))＝eq\f(\r(21),7).法二：連接AB1，VB1-ABC1＝VA-BB1C1，VA-BB1C1＝eq\f(1,3)S△BB1C1×eq\f(\r(3),2)AB＝eq\f(\r(3),12).設點B1到平面ABC1的距離為h，則VB1-ABC1＝eq\f(1,3)S△ABC1·h，S△ABC1＝eq\f(1,2)AB×eq\f(\r(7),2)＝eq\f(\r(7),4)，所以h＝eq\f(\r(21),7).答案：eq\f(\r(21),7)13.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱AB上的動點．(1)求證：DA1⊥ED1；(2)若直線DA1與平面CED1所成角為45°，求eq\f(AE,AB)的值；(3)寫出點E到直線D1C距離的最大值及此時點E的位置(結論不要求證明)．解：以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，設E(1，m，0)(0≤m≤1)．(1)證明：eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(1，0，1)，eq\o(ED1,\s\up6(→))＝(－1，－m，1)，eq\o(DA1,\s\up6(→))·eq\o(ED1,\s\up6(→))＝1×(－1)＋0×(－m)＋1×1＝0.所以DA1⊥ED1.(2)設平面CED1的法向量為v＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(v·\o(CD1,\s\up6(→))＝0，,v·\o(CE,\s\up6(→))＝0，))而eq\o(CD1,\s\up6(→))＝(0，－1，1)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(1，m－1，0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－y＋z＝0，,x＋（m－1）y＝0，))取z＝1，得y＝1，x＝1－m，得v＝(1－m，1，1)，因為直線DA1與平面CED1所成角為45°，所以sin45°＝|cos〈eq\o(DA1,\s\up6(→))，v〉|，所以eq\f(|\o(DA1,\s\up6(→))·v|,|\o(DA1,\s\up6(→))|·|v|)＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(|2－m|,\r(2)·\r(m2－2m＋3))＝eq\f(\r(2),2)，解得m＝eq\f(1,2)，所以E點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，所以eq\f(AE,AB)的值為eq\f(1,2).(3)點E到直線D1C距離的最大值為eq\f(\r(6),2)，此時點E在A點處．14．(選做題)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2eq\r(2)，∠ABC＝90°，如圖①把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD(如圖②)．(1)求證：CD⊥AB；(2)若點M為線段BC的中點，求點M到平面