新課標(biāo)人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教案全冊(cè)

八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教案全冊(cè)

第十六章分式

高級(jí)教師

16.1分式

16.1.1從分?jǐn)?shù)到分式

一、授課學(xué)時(shí)課時(shí)

二、教學(xué)目標(biāo)

1.了解分式、有理式的概念.

2.理解分式有意義的條件，分式的值為零的條件；能熟練地求出分式有

意義的條件，分式的值為零的條件.

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：理解分式有意義的條件，分式的值為零的條件.

2.難點(diǎn)：能熟練地求出分式有意義的條件，分式的值為零的條件.

四、課堂引入

1.讓學(xué)生填寫P4［思考］,學(xué)生自己依次填出：10,￡,200,V.

7a33s

2.學(xué)生看P3的問題：一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時(shí)，它

沿江以最大航速順流航行100千米所用實(shí)踐，與以最大航速逆流航行60千米

所用時(shí)間相等，江水的流速為多少？

請(qǐng)同學(xué)們跟著教師一起設(shè)未知數(shù)，列方程.

設(shè)江水的流速為x千米/時(shí).

輪船順流航行100千米所用的時(shí)間為3小時(shí),逆流航行60千米所用時(shí)間

20+v

60小時(shí),所以100=60.

20—v20+v20—v

3.以上的式子巫，上，上，v,有什么共同點(diǎn)？它們與分?jǐn)?shù)有什么相

20+v20-vas

同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

五、例題講解

P5例1.當(dāng)x為何值時(shí)，分式有意義.

［分析］已知分式有意義，就可以知道分式的分母不為零，進(jìn)一步解出字母X

的取值范圍.

［提問］如果題目為：當(dāng)X為何值時(shí)，分式無意義.你知道怎么解題嗎？

這樣可以使學(xué)生一題二用，也可以讓學(xué)生更全面地感受到分式及有關(guān)概念.

(補(bǔ)充)例Z-2當(dāng)m為何值時(shí)，分式的值為0?

［分析］分式的值為。時(shí)，必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①分母不能為零；②

分子為零，這樣求出的m的解集中的公共部分，就是這類題目的解.

［答案］(l)m=0(2)m=2(3)m=l

六、隨堂練習(xí)

1.判斷下列各式哪些是整式，哪些是分式？

9X+4,Z,Z+y,I,8y-3,_1_

x205V2x-9

2.豈X取何值日如下列分式箜義？

(斤巧2)F(3)

3.當(dāng)X為何值時(shí)，分式的值&M?

(1羌2*'(3)

七、課后練習(xí)

1?列代數(shù)式表示下列數(shù)量關(guān)系，并指出哪些是正是？哪些是分式?

(1)甲每小時(shí)做X個(gè)零件，則他8小時(shí)做零件個(gè)，做80個(gè)零件需

小時(shí).

(2)輪船在靜水中每小時(shí)走a千米，水流的速度是b千米/時(shí)，輪船的順流

速度是千米/時(shí)，輪船的逆流速度是千米/時(shí).

(3)x與y的差于商是.

2.當(dāng)x取何值時(shí)，滿式無意義？

3.當(dāng)x為何值時(shí)，明式的值為0?

八、答案：

六、1.整式：9x+4,2,分式：Z,8y-3,1

205Xy27^9

2.(1)x*22(2)xW(3)xW±2

2

3.￡1)x=-7(2)x=0(3)x=-l

x-y?

七、1.18x,,a+b,q；整式：8x,a+b,------9

〃+44

分式：型，工

xa+b

3

2.X=3.x=-l

16.1.2分式的基本性質(zhì)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解分式的基本性質(zhì).

2.會(huì)用分式的基本性質(zhì)將分式變形.

—＞重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：理解分式的基本性質(zhì).

2.難點(diǎn)：靈活應(yīng)用分式的基本性質(zhì)將分式變形.

三、例、習(xí)題的意圖分析

LP7的例2是使學(xué)生觀察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除

以了什么整式，然后應(yīng)用分式的基本性質(zhì)，相應(yīng)地把分子（或分母）乘以或

除以了這個(gè)整式，填到括號(hào)里作為答案，使分式的值不變.

2.P9的例3、例4地目的是進(jìn)一步運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分、通分.

值得注意的是：約分是要找準(zhǔn)分子和分母的公因式，最后的結(jié)果要是最簡(jiǎn)分

式；通分是要正確地確定各個(gè)分母的最簡(jiǎn)公分母，一般的取系數(shù)的最小公倍

數(shù)，以及所有因式的最高次塞的積，作為最簡(jiǎn)公分母.

教師要講清方法，還要及時(shí)地糾正學(xué)生做題時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，使學(xué)生在做

提示加深對(duì)相應(yīng)概念及方法的理解.

3.P11習(xí)題16.1的第5題是：不改變分式的值，使下列分式的分子和分

母都不含“-”號(hào).這一類題教材里沒有例題，但它也是由分式的基本性質(zhì)得

出分子、分母和分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變.

“不改變分式的值，使分式的分子和分母都不含'-'號(hào)”是分式的基本性質(zhì)

的應(yīng)用之一，所以補(bǔ)充例5.

四、課堂引入“竺

1.請(qǐng)同學(xué)們考慮b空相等嗎*耳相等嗎？為什么？

325_9_1

2.說出a與而之間變形的過程，力與§之間變形的過程，并說出

變形依據(jù)?

3.提問分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，讓學(xué)生類比猜想出分式的基本性質(zhì).

五、例題講解

P7例2.填空

［分析］應(yīng)用分式的基本性質(zhì)把已知的分子、分母同乘以或除以同一個(gè)整

式，使分式的值不變.

P11例3.約分：

［分析］約分是應(yīng)用分式的基本性質(zhì)把分式的分子、分母同除以同一個(gè)整

式，使分式的值不變.所以要找準(zhǔn)分子和分母的公因式，約分的結(jié)果要是最簡(jiǎn)

分式.

P11例4.通分：

［分析］通分要想確定各分式的公分母，一般的取系數(shù)的最小公倍數(shù)，以

及所有因式的最高次哥的積，作為最簡(jiǎn)公分母.

（補(bǔ)充）例5.不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”號(hào).

-6b,匚，_2m,-Im,-3x。

i務(wù)析］卷個(gè)分4的分￡、分母知分式本身都有自己的符號(hào)，其中兩個(gè)符

號(hào)同時(shí)改變，分式的值不變.

解：蟲=約-x_x2m_2ni

一斗機(jī)7m5a_-j1=3￡3y'-nn

__________

6n6n-4y4y

六、隨堂練習(xí)

1.填空:

2x2⑵6a^b2_3a3

(1)一()

(3)⑷￡_12_=￡_1

a+can+cn(x+?()

2.約分：

(2)照

（1）(3).一￥(4)2(x7)

6ab2c2mn2I6xyzyr

3.通分：

(1)，-和,（2），-和巴

2效知5%2c

2xy}3x~i

(3)2ab)才（4）工和—L

y-1y+1

4.不改變分式的值,使下列分式的分手和分母都不含”號(hào).

⑵(3)(4)——

3ah一17。2-13xm

七、課后練習(xí)

1.判斷下列約分是否正確:

o+ca1

m----=-(2)打

(3)0x-y2x+y

m+n

2.通分：

(i)工和-4-(2)二和二

3ab27a2bX-XX~+X

3.不改斐分式的值,使分子第一項(xiàng)系數(shù)為正，分式本身不帶“-”號(hào).

(1)(2)--"+2)

一。十。3x-y

八、答案

六、1.(l)2x⑵4b(3)bn+n(4)x+y

4/77

2.(1)—(2)(3)X(4)-2(x-y)'

2hcn

3.通分：

i_2_

(1)=Sac=4b

"4四'5嘮2c洲口2b3c

(2)---------,

2爻_6m卻34_6%2次

(3)

懣18歿滔~^bc1觸封

(4)

酒竺1)

4.(l)fyg需+1)a3(1)2

3ab)17b213x2m

16.2分式的運(yùn)算

16.2.1分式的乘除（一）

一、教學(xué)目標(biāo)：理解分式乘除法的法則，會(huì)進(jìn)行分式乘除運(yùn)算.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：會(huì)用分式乘除的法則進(jìn)行運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：靈活運(yùn)用分式乘除的法則進(jìn)行運(yùn)算.

三、例、習(xí)題的意圖分析

LP13本節(jié)的引入還是用問題1求容積的高，問題2求大拖拉機(jī)的工作

效率是小拖拉機(jī)的工作效率的多少倍，這兩個(gè)引例所得到的容積的高是

4-，大拖拉機(jī)的工作效率是小拖拉機(jī)的工作效率的倍.引出了分式

的乘除法的實(shí)際存在的意義，進(jìn)一步引出P14［觀察］從務(wù)數(shù)的乘除法引導(dǎo)學(xué)生

類比出分式的乘除法的法則.但分析題意、列式子時(shí)、不易耽誤太多時(shí)間.

2.P14例1應(yīng)用分式的乘除法法則進(jìn)行計(jì)算，注意計(jì)算的結(jié)果如能約分,

應(yīng)化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn).

3.P14例2是較復(fù)雜的分式乘除，分式的分子、分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先把

多項(xiàng)式分解因式，再進(jìn)行約分.

4.P14例3是應(yīng)用題，題意也比較容易理解，式子也比較容易列出來，

但要注意根據(jù)問題的實(shí)際意義可知a>l,因此（aT）2=a2-2a+l〈a2-2+1,即

（a-l）2<a2-l.這一點(diǎn)要給學(xué)生講清楚，才能分析清楚“豐收2號(hào)”單位面積產(chǎn)

量高.（或用求差法比較兩代數(shù)式的大小）

四、課堂引入

1.出示P13本節(jié)的引入的問題1求容積的高、;，問題2求大拖拉機(jī)的

工作效率是小拖拉機(jī)的工作效率的（q+9倍.’””

［引入］從上面的問題可知，有時(shí)需翼分式運(yùn)算的乘除.本節(jié)我們就討論數(shù)

量關(guān)系需要進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算.我們先從分?jǐn)?shù)的乘除入手，類比出分式的乘

除法法則.

1.P14［觀察］從上面的算式可以看到分式的乘除法法則.

3.［提問］P14［思考］類比分?jǐn)?shù)的乘除法法則，你能說出分式的乘除法法

則？

類似分?jǐn)?shù)的乘除法法則得到分式的乘除法法則的結(jié)論.

五、例題講解

P14例1.

［分析］這道例題就是直接應(yīng)用分式的乘除法法則進(jìn)行運(yùn)算.應(yīng)該注意的是

運(yùn)算結(jié)果應(yīng)約分到最簡(jiǎn)，還應(yīng)注意在計(jì)算時(shí)跟整式運(yùn)算一樣，先判斷運(yùn)算符

號(hào)，在計(jì)算結(jié)果.

P15例2.

［分析］這道例題的分式的分子、分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先把多項(xiàng)式分解因

式，再進(jìn)行約分.結(jié)果的分母如果不是單一的多項(xiàng)式，而是多個(gè)多項(xiàng)式相乘是

不必把它們展開.

P15例.

［分析］這道應(yīng)用題有兩問，第一問是：哪一種小麥的單位面積產(chǎn)量最

高？先分別求出“豐收1號(hào)”、“豐收2號(hào)”小麥試驗(yàn)田的面積，再分別求

出“豐收1號(hào)”、“豐收2號(hào)”小麥試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量，分別是半、2,

還要判斷出以上兩個(gè)分式的值，哪一個(gè)值更大.要根據(jù)問題的實(shí)驚魯立音知

a>l,miLt(a-l)2=a2-2a+Ka2-2+l,即(aTVd?-1,可得出“豐收2號(hào)”單位面

積產(chǎn)量高

六、隨堂練習(xí)

計(jì)算

(1)J過(2)上這(3)

ahc1

2m25n2

(4)-8xy+殳(5).r____a_1

5x—2。+1+4。+4

七、課后練習(xí)

計(jì)算

(1)(2)(3)工—,)

5a'''

(4)(5)A-X(6)42>2-y。-x?

』+(4T)

x35(y-x)3

八、答案:

六、(1)ab(2)2m(3)(4)-20x2(5)(a+1)("2)

5n14(。-l)(a+2)

(6)0

y+2

七、(1)_1(2)7b(3),(4)a+2h

X2c210ax3b

(5)x(6)6Mx+y)

l-x5(x-y)2

16.2.1分式的乘除（二）

一、教學(xué)目標(biāo)：熟練地進(jìn)行分式乘除法的混合運(yùn)算.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘除法的混合運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘除法的混合運(yùn)算.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P17頁例4是分式乘除法的混合運(yùn)算.分式乘除法的混合運(yùn)算先把除

法統(tǒng)一成乘法運(yùn)算，再把分子、分母中能因式分解的多項(xiàng)式分解因式，最后

進(jìn)行約分，注意最后的結(jié)果要是最簡(jiǎn)分式或整式.

教材P17例4只把運(yùn)算統(tǒng)一乘法，而沒有把25V-9分解因式,就得出了最

后的結(jié)果，教師在見解是不要跳步太快，以免學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生理解不了，

造成新的疑點(diǎn).

2,P17頁例4中沒有涉及到符號(hào)問題，可運(yùn)算符號(hào)問題、變號(hào)法則是學(xué)

生學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，故補(bǔ)充例題，突破符號(hào)問題.

四、課堂引入

計(jì)算

（1）（2）亙“當(dāng).（」）

五、例題解解‘“*V2<

（P17）例4.計(jì)算

［分析］是分式乘除法的混合運(yùn)算.分式乘除法的混合運(yùn)算先統(tǒng)一成為

乘法運(yùn)算，再把分子、分母中能因式分解的多項(xiàng)式分解因式，最后進(jìn)行約分,

注意最后的計(jì)算結(jié)果要是最簡(jiǎn)的.

（補(bǔ)充）例.計(jì)算

/-.\3ab2/8xy、3x

—z—?（--------…

二更.匚噌出）（先把除法統(tǒng)一成乘法運(yùn)算）

3x

=迎食邂（判斷運(yùn)算的符號(hào)）

溫y9a2b3x

（約分到最簡(jiǎn)分式）

9oZ

2x—6(x+3)(x-2)

⑵+(x+3)?

2夕二8》+4町(x+3)(x-打x

(先把除法統(tǒng)一成乘法運(yùn)算)

重貨中毋F+3)(%與

(分子、分母中的多項(xiàng)式分解因式)

_皆十馬xt3(x+|j^-2)

一(x三-^)2%+3-U-3)

六、隨堂練習(xí)

計(jì)算

20c3

⑴善+存(-備(2)Ty+(-6"2)+

(3；陛駕1(3)492a2b4^-^xy+y2x-y

(4)(xy-x2)4-

2

(y-?y-x孫X

七、課后練習(xí)

計(jì)算

ci—Ga+93—ci

(1)-8X2/-(2)-----L+——

2

⑶知一).6yx-^xyb2、+b

，啜—~--(x+y)-

2y-6)+39-y2x-xyy2f

八、答案:

六.⑴一至⑵二(3)("5(4)-y

⑴36X￡C⑶次

七.⑵J(4)-1

y3h-212X

16.2.1分式的乘除（三）

一、教學(xué)目標(biāo)：理解分式乘方的運(yùn)算法則，熟練地進(jìn)行分式乘方的運(yùn)算.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘方的運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘、除、乘方的混合運(yùn)算.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P17例5第（1）題是分式的乘方運(yùn)算，它與整式的乘方一樣應(yīng)先判

斷乘方的結(jié)果的符號(hào)，在分別把分子、分母乘方.第（2）題是分式的乘除與

乘方的混合運(yùn)算，應(yīng)對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)運(yùn)算順序：先做乘方，再做乘除..

2.教材-P17例5中象第（1）題這樣的分式的乘方運(yùn)算只有一題，對(duì)于初

學(xué)者來說，練習(xí)的量顯然少了些，故教師應(yīng)作適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充練習(xí).同樣象第（2）

題這樣的分式的乘除與乘方的混合運(yùn)算，也應(yīng)相應(yīng)的增加兒題為好.

分式的乘除與乘方的混合運(yùn)算是學(xué)生學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，故補(bǔ)充例

題，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算順序，不要盲目地跳步計(jì)算，提高正確率，突破這個(gè)難點(diǎn).

四、課堂引入

計(jì)算下列各題：

（1）（為=3a=（）⑵（與=匕3a=（）

2%幺aabbbb

bbbbb

［提問］由以上計(jì)算的結(jié)果你能推出"（n為正整數(shù)）的結(jié)果嗎？

五、例題講解

（P17）例5.計(jì)算

［分析］第（1）題是分式的乘方運(yùn)算，它與整式的乘方一樣應(yīng)先判斷乘方的結(jié)

果的符號(hào)，再分別把分子、分母乘方.第（2）題是分式的乘除與乘方的混合

運(yùn)算，應(yīng)對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)運(yùn)算順序：先做乘方，再做乘除.

六、隨堂練習(xí)

1.判斷下列各式是否成立,并改正.

⑴匹產(chǎn)與(2)(0)2=龍

（3）（辿/駕⑷(2ch專二g柴2

-3x9x3x—hx—b

2.計(jì)算

(1)(紀(jì))2(2)(*)3(3)(￡尸+(—3

3

⑷■「二胤xrv(<

(6)(-打.(-汐X-2)2y尤

2x2y2ay

七、課后練習(xí)

計(jì)算

⑴(-彩

(-記)2

Qa)

(3)((4)(■-i)

ab

八、答案：

-3b

六、1.(1)不成立，((2)不成立，(■)~—r

〃Q、,34

。翱)、2_八9x2

(3)不成立，()3=...-(4)不成立，(

—3x27x3x-bx2-2bx+b2

25r427。6b3

2.(1)空(2)(3)一(4)-4

9y~328c99y2

⑸二2

X4x

,2

七、⑴T⑵a(3)2⑷一

a~h^a

16.2.2分式的加減（一）

一、教學(xué)目標(biāo)：（1）熟練地進(jìn)行同分母的分式加減法的運(yùn)算.

（2）會(huì)把異分母的分式通分，轉(zhuǎn)化成同分母的分式相加減.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行異分母的分式加減法的運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行異分母的分式加減法的運(yùn)算.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P18問題3是一個(gè)工程問題，題意比較簡(jiǎn)單，只是用字母n天來表示

甲工程隊(duì)完成一項(xiàng)工程的時(shí)間，乙工程隊(duì)完成這一項(xiàng)工程的時(shí)間可表示為n+3

天，兩隊(duì)共同工作一天完成這項(xiàng)工程的工+—匚.這樣引出分式的加減法的實(shí)

n〃+3

際背景，問題4的目的與問題3一樣，從上面兩個(gè)問題可知，在討論實(shí)際問

題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，需要進(jìn)行分式的加減法運(yùn)算.

2.P19［觀察］是為了讓學(xué)生回憶分?jǐn)?shù)的加減法法則，類比分?jǐn)?shù)的加減法,

分式的加減法的實(shí)質(zhì)與分?jǐn)?shù)的加減法相同，讓學(xué)生自己說出分式的加減法法

則.

3.P20例6計(jì)算應(yīng)用分式的加減法法則.第（1）題是同分母的分式減法

的運(yùn)算，第二個(gè)分式的分子式個(gè)單項(xiàng)式，不涉及到分子變號(hào)的問題，比較簡(jiǎn)

單，所以要補(bǔ)充分子是多項(xiàng)式的例題，教師要強(qiáng)調(diào)分子相減時(shí)第二個(gè)多項(xiàng)式

注意變號(hào)；

第（2）題是異分母的分式加法的運(yùn)算，最簡(jiǎn)公分母就是兩個(gè)分母的乘積,

沒有涉及分母要因式分解的題型.例6的練習(xí)的題量明顯不足，題型也過于簡(jiǎn)

單，教師應(yīng)適當(dāng)補(bǔ)充一些題，以供學(xué)生練習(xí)，鞏固分式的加減法法則.

（4）P21例7是一道物理的電路題，學(xué)生首先要有并聯(lián)電路總電阻R與

各支路電阻R“R2,…，R”的關(guān)系為工=工+_!_+…+_L.若知道這個(gè)公式，就比較

容易地用含有R的式子表示R?,列備￥=￡+」二；下面的計(jì)算就是異分母的

分式加法的運(yùn)算了，得到_L=2凡+5。，3病討胸篆的概念得到R的結(jié)果.這道

題的數(shù)學(xué)計(jì)算并不難，但新雍t蔚“識(shí)若不熟悉，就為數(shù)學(xué)計(jì)算設(shè)置了難點(diǎn).

鑒于以上分析，教師在講這道題時(shí)要根據(jù)學(xué)生的物理知識(shí)掌握的情況，以及

學(xué)生的具體掌握異分母的分式加法的運(yùn)算的情況，可以考慮是否放在例8之

后講.

四、課堂堂引入

1.出示P18問題3、問題4,教師引導(dǎo)學(xué)生列出答案.

引語：從上面兩個(gè)問題可知，在討論實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系時(shí),需要進(jìn)行

分式的加減法運(yùn)算.

2.下面我們先觀察分?jǐn)?shù)的加減法運(yùn)算，請(qǐng)你說出分?jǐn)?shù)的加減法運(yùn)算的法

則嗎？

3.分式的加減法的實(shí)質(zhì)與分?jǐn)?shù)的加減法相同，你能說出分式的加減法法

則？

4.請(qǐng)同學(xué)們說出工,上,人的最簡(jiǎn)公分母是什么？你能說出最簡(jiǎn)

2x2y33x4y29xy2

公分母的確定方法嗎？

五、例題講解

（P20）例6.計(jì)算

［分析］第（1）題是同分母的分式減法的運(yùn)算，分母不變，只把分子相

減，第二個(gè)分式的分子式個(gè)單項(xiàng)式，不涉及到分子是多項(xiàng)式時(shí)，第二個(gè)多項(xiàng)

式要變號(hào)的問題，比較簡(jiǎn)單；第（2）題是異分母的分式加法的運(yùn)算，最簡(jiǎn)公

分母就是兩個(gè)分母的乘積.

（補(bǔ)充）例.計(jì)算

/-Jxx+3yx+2y2x-3y

［分析］第（1）題是同分庫(kù)的分式加減法的運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)分子為多項(xiàng)式時(shí),

應(yīng)把多項(xiàng)事看作一個(gè)整體加上括號(hào)參加運(yùn)算，結(jié)果也要約分化成最簡(jiǎn)分式.

解：學(xué)當(dāng)

亦及y）再得上3y）

一22

_2x~2y*x~y

~~~22

_x瑁y）

_（V〉）（x+y）

；社+44

x—36+2xx—9

［分析］第（2）題是異分母的分式加減法的運(yùn)算，先把分母進(jìn)行因式分

解，再確定最簡(jiǎn)公分母，進(jìn)行通分，結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式.

解：」+行一上

x—36+2xx—9

1-x6

=-----------1-

_%壬3自氣埒)(業(yè)1)必/3)

_-(?―展豐耕(x-3)

_2(式《3)(至廣3)

-2(^(%-3)

=_______

2x4-6

六、隨堂練習(xí)

計(jì)算

⑵m+2〃n2m

(1)^+2b+a+bb-a+

22

'5ak>5a》5ab〃

(3)工+Y^(4、〃3推6/通-斷團(tuán)4-5匕7a—8b

a+3a~-9a+ha-ba+ba-b

七、課后練習(xí)

計(jì)算

⑴5(7+6/?3/?-4aa+3b⑵?3b-aa+2h3。-4/?

3a2bcziba2c3cba2/「b2a2^-b2b2

⑶工+人n+a+b+i(4)

a-bh-a6x-4y6x-4y4y2-6x2

八、答案：

四(])5a+2b(2)3m+3〃

(3)—(4)1

16.2.2分式的加減（二）

一、教學(xué)目標(biāo)：明確分式混合運(yùn)算的順序，熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P21例8是分式的混合運(yùn)算.分式的混合運(yùn)算需要注意運(yùn)算順序，式

與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，然后加減，最后結(jié)果分子、分

母要進(jìn)行約分，注意最后的結(jié)果要是最簡(jiǎn)分式或整式.

例8只有一道題，訓(xùn)練的力度不夠，所以應(yīng)補(bǔ)充一些練習(xí)題，使學(xué)生熟

練掌握分式的混合運(yùn)算.

2.P22頁練習(xí)1：寫出第18頁問題3和問題4的計(jì)算結(jié)果.這道題與第

一節(jié)課相呼應(yīng)，也解決了本節(jié)引言中所列分式的計(jì)算，完整地解決了應(yīng)用問

題.

四、課堂引入

1.說出分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序.

2.教師指出分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算與分式的混合運(yùn)算的順序相同.

五、例題講解

（P21）例8.計(jì)算

［分析］這道題是分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混

合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，然后加減，最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分,

注意運(yùn)算的結(jié)果要是最簡(jiǎn)分式.

（補(bǔ)充）計(jì)算

%—2xx—4x+4x

［分析］這道題先做括號(hào)里的減法，再把除法轉(zhuǎn)化成乘法，把分母的“-”

號(hào)提到分式本身的前邊..

解：（一1^_廣1.三

x~-2xx2-4x4-4x

x+2x-\x

1*42兆二(為-2)；(［二/；4)」

二分2+「，a彳2)2」?一(x—4)

x(x12)~—(x—4)

x2—4x+4242

(2)上----+—

'J，x-yx4-yx4-4y2x2+y

［分析］冠道題先做乘除，再微減法，把分子的“-”號(hào)提到分式本身的

刖邊.

242

解：—---鼻+―

X歲x_y凸+y?2

_x-y^+ya?左￥)(x2_/)x2

_*6曲反力＞)》2一/

_(x^y)(x+y)

X4-V

六、隨堂練習(xí)

計(jì)算

(1)(―+—)-^—(2)(―----—)^(---)

x-22-而2xo1a-bh-aab

七、課后練習(xí)

1.計(jì)算

(1)(1+-^-)(1-一—)

⑵(盧一_^).。-24-a

aa2

2,計(jì)餐江一空:3

并求出當(dāng)。=-1的值.

。+2a-2ci

八、答案：

六、⑴2x(2)旦(3)3

a-b.］

七、1.⑴孫⑵」_(3)-2?一志T

x2-y2a-2z

16.2.3整數(shù)指數(shù)幕

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.知道負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉/"=[（aWO,n是正整數(shù)）.

2.掌握整數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算荏質(zhì).

3.會(huì)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：掌握整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).

2.難點(diǎn)：會(huì)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P23思考提出問題，引出本節(jié)課的主要內(nèi)容負(fù)整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì).

2.P24觀察是為了引出同底數(shù)的事的乘法：這條性質(zhì)適用

于m,n是任意整數(shù)的結(jié)論,說明正整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)具有延續(xù)性.其它的

正整數(shù)指數(shù)事的運(yùn)算性質(zhì)，在整數(shù)范圍里也都適用.

3.P24例9計(jì)算是應(yīng)用推廣后的整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，教師不要因?yàn)?/p>

這部分知識(shí)已經(jīng)講過，就認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)掌握，要注意學(xué)生計(jì)算時(shí)的問題，及

時(shí)矯正，以達(dá)到學(xué)生掌握整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算的教學(xué)目的.

4.P25例10判斷下列等式是否正確？是為了類比負(fù)數(shù)的引入后使減法

轉(zhuǎn)化為加法，而得到負(fù)指數(shù)事的引入可以使除法轉(zhuǎn)化為乘法這個(gè)結(jié)論，從而

使分式的運(yùn)算與整式的運(yùn)算統(tǒng)一起來.

5.P25最后一段是介紹會(huì)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).用科學(xué)計(jì)算法

表示小于1的數(shù)，運(yùn)用了負(fù)整數(shù)指數(shù)累的知識(shí).用科學(xué)計(jì)數(shù)法不僅可以表示

小于1的正數(shù)，也可以表示一個(gè)負(fù)數(shù).

6.P26思考提出問題，讓學(xué)生思考用負(fù)整數(shù)指數(shù)累來表示小于1的數(shù)，

從而歸納出：對(duì)于一個(gè)小于1的數(shù)，如果小數(shù)點(diǎn)后至第一個(gè)非0數(shù)字前有幾

個(gè)0,用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示這個(gè)數(shù)時(shí)，10的指數(shù)就是負(fù)兒.

7.P26例11是一個(gè)介紹納米的應(yīng)用題，使學(xué)生做過這道題后對(duì)納米有一

個(gè)新的認(rèn)識(shí).更主要的是應(yīng)用用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).

四、課堂引入

1.回憶正整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)：

(1)同底數(shù)的哥的乘法：心?屋=心+"(m,n是正整數(shù))；

(2)■的乘方：(心)"=/"(叫n是正整數(shù));

(3)積的乘方：(")"="*"(n是正整數(shù))；

(4)同底數(shù)的幕的除法：am^an=am-n(aWO,m,n是正整數(shù)，

m>n)；

(5)商的乘方：(*"=1(n是正整數(shù))；

2.回I憶0指數(shù)累的規(guī)定，即當(dāng)aWO時(shí)，。。=1.

3.你還記得1納米=10百米，即1納米=工米嗎？

4.計(jì)算當(dāng)aWO時(shí)，/+/=二=4=二，再假設(shè)正整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算

aci-cici

性質(zhì)廠+a"(a/0,m,n是正整數(shù)，m>n)中的m>n這個(gè)條件去掉，那么

/+/=/5=尸.于是得到/2=，(aWO),就規(guī)定負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì):

當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，=(a^O).

an

五、例題講解

(P24)例9.計(jì)算

［分析］是應(yīng)用推廣后的整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，與用正整數(shù)

指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算一樣，但計(jì)算結(jié)果有負(fù)指數(shù)幕時(shí)，要寫成分式形

式.

(P25)例10.判斷下列等式是否正確？

［分析］類比負(fù)數(shù)的引入后使減法轉(zhuǎn)化為加法，而得到負(fù)指數(shù)幕的引入可

以使除法轉(zhuǎn)化為乘法這個(gè)結(jié)論，從而使分式的運(yùn)算與整式的運(yùn)算統(tǒng)一起來，

然后再判斷下列等式是否正確.

(P26)例H.

［分析］是一個(gè)介紹納米的應(yīng)用題，是應(yīng)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).

六、隨堂練習(xí)

1.填空

(1)-2=(2)(-2)2=(3)(-2)°=

(4)2°=(5)2(6)(-2)-3=

2.計(jì)算

(1)(x3y-2)2(2)x2y2?(x-2y)3(3)(3x2y2)2-(x2y)3

七、課后練習(xí)

1.用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示下列各數(shù):

0.00004,-0.034,0.00000045,0.003009

2.計(jì)算

(1)(3X108)X(4X103)(2)(2X10-3)24-(10-3)3

八、答案：

六、1.(1)-4(2)4(3)1(4)1(5)-(6)--

丫6、，gio88

2.(1)二(2)4(3)焊r

yx4y

七、1.(1)4X10"(2)3.4X102(3)4.5X107(4)3.009

X103

2.(1)1.2X10-5(2)4X103

16.3分式方程（一）

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.了解分式方程的概念，和產(chǎn)生增根的原因.

2.掌握分式方程的解法，會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程，會(huì)檢

驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是原方程的增根.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程，會(huì)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是

原方程的增根.

2.難點(diǎn)：會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程，會(huì)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是

原方程的增根.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P31思考提出問題，引發(fā)學(xué)生的思考，從而引出解分式方程的解法以

及產(chǎn)生增根的原因.

2.P32的歸納明確地總結(jié)了解分式方程的基本思路和做法.

3.P33思考提出問題，為什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的

解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原

方程的解，引出分析產(chǎn)生增根的原因，及P33的歸納出檢驗(yàn)增根的方法.

4.P34討論提出P33的歸納出檢驗(yàn)增根的方法的理論根據(jù)是什么？

5.教材P38習(xí)題第2題是含有字母系數(shù)的分式方程，對(duì)于學(xué)有余力的

學(xué)生，教師可以點(diǎn)撥一下解題的思路與解數(shù)字系數(shù)的方程相似，只是在系數(shù)

化1時(shí)，要考慮字母系數(shù)不為0,才能除以這個(gè)系數(shù).這種方程的解必須驗(yàn)根.

四、課堂引入

1.回憶一元一次方程的解法，并且解方程9--=1

46

2.提出本章引言的問題：

一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時(shí)，它沿江以最大航速順流航行

100千米所用時(shí)間，與以最大航速逆流航行60千米所用時(shí)間相等，江水的流

速為多少？

分析：設(shè)江水的流速為/千米/時(shí)，根據(jù)“兩次航行所用時(shí)間相同”這一

等量關(guān)系，得到方程獸=乎一.

20+v20—v

像這樣分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程.

五、例題講解

(P34)例1.解方程

［分析］找對(duì)最簡(jiǎn)公分母x(x-3),方程兩邊同乘x(X-3),把分式方程轉(zhuǎn)化

為整式方程，整式方程的解必須驗(yàn)根

這道題還有解法二：利用比例的性質(zhì)“內(nèi)項(xiàng)積等于外項(xiàng)積”，這樣做也

比較簡(jiǎn)便.

(P34)例2.解方程

［分析］找對(duì)最簡(jiǎn)公分母(xT)(x+2),方程兩邊同乘(xT)(x+2)時(shí),學(xué)生容

易把整數(shù)1漏乘最簡(jiǎn)公分母(x-1)(x+2),整式方程的解必須驗(yàn)根.

六、隨堂練習(xí)

解方程

⑴3」236

(2)---7----7=~；—7

x+1x—4廠—1

(3)^1-4=1(4)-^+—=2

2

X-1x-12%—1元—2

七、課后練習(xí)

1.解方程

(1)二---匚=。(2)=1一”二I

3x—8183x

⑶M+工—=0⑷-——^-=3

X+XX-XX-AIQ1+l2x4-24

2.1為何值時(shí)，代數(shù)式生v吆--1--2的值等于2?

x+3x-3x

八、答案：

六、(1)x=18(2)原方程無解(3)x=l(4)x=-

3

七、1.(1)x=3(2)x=3(3)原方程無解(4)x=l2.x=

2

16.3分式方程（二）

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.會(huì)分析題意找出等量關(guān)系.

2.會(huì)列出可化為一元一次方程的分式方程解決實(shí)際問題.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：利用分式方程組解決實(shí)際問題.

2.難點(diǎn)：列分式方程表示實(shí)際問題中的等量關(guān)系.

三、例、習(xí)題的意圖分析

本節(jié)的P35例3不同于舊教材的應(yīng)用題有兩點(diǎn)：（1）是一道工程問題應(yīng)

用題，它的問題是甲乙兩個(gè)施工隊(duì)哪一個(gè)隊(duì)的施工速度快？這與過去直接問

甲隊(duì)單獨(dú)干多少天完成或乙隊(duì)單獨(dú)干多少天完成有所不同，需要學(xué)生根據(jù)題

意，尋找未知數(shù)，然后根據(jù)題意找出問題中的等量關(guān)系列方程.求得方程的解

除了要檢驗(yàn)外，還要比較甲乙兩個(gè)施工隊(duì)哪一個(gè)隊(duì)的施工速度快，才能完成

解題的全過程（2）教材的分析是填空的形式，為學(xué)生分析題意、設(shè)未知數(shù)搭

好了平臺(tái)，有助于學(xué)生找出題目中等量關(guān)系，列出方程.

P36例4是一道行程問題的應(yīng)用題也與舊教材的這類題有所不同（1）本

題中涉及到的列車平均提速v千米/時(shí)，提速前行駛的路程為s千米，

完成.用字母表示已知數(shù)（量）在過去的例題里并不多見，題目的難度也增

加了；（2）例題中的分析用填空的形式提示學(xué)生用已知量v、s和未知數(shù)x,

表示提速前列車行駛s千米所用的時(shí)間，提速后列車的平均速度設(shè)為未知數(shù)x

千米/時(shí)，以及提速后列車行駛（x+50）千米所用的時(shí)間.

這兩道例題都設(shè)置了帶有探究性的分析，應(yīng)注意鼓勵(lì)學(xué)生積極探究，當(dāng)

學(xué)生在探究過程中遇到困難時(shí)，教師應(yīng)啟發(fā)誘導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)過自己的努力，

在克服困難后體會(huì)如何探究，教師不要替代他們思考，不要過早給出答案.

教材中為學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦解題搭建了一些提示的平臺(tái)，給了設(shè)未知數(shù)、

解題思路和解題格式，但教學(xué)目標(biāo)要求學(xué)生還是要獨(dú)立地分析、解決實(shí)際問

題，所以教師還要給學(xué)生一些問題，讓學(xué)生發(fā)揮他們的才能，找到解題的思

路，能夠獨(dú)立地完成任務(wù).特別是題目中的數(shù)量關(guān)系清晰，教師就放手讓學(xué)生

做，以提高學(xué)生分析問解決問題的能力.

四、例題講解

P35例3

分析：本題是一道工程問題應(yīng)用題，基本關(guān)系是：工作量=工作效率X工

作時(shí)間.這題沒有具體的工作量，工作量虛擬為1,工作的時(shí)間單位為“月”.

等量關(guān)系是：甲隊(duì)單獨(dú)做的工作量+兩隊(duì)共同做的工作量=1

P36例4

分析：是一道行程問題的應(yīng)用題，基本關(guān)系是：速度=鬻.這題用字母

時(shí)間

表示已知數(shù)（量）.等量關(guān)系是：提速前所用的時(shí)間=提速后所用的時(shí)間

五、隨堂練習(xí)

1.學(xué)校要舉行跳繩比賽，同學(xué)們都積極練習(xí).甲同學(xué)跳180個(gè)所用的時(shí)

間，乙同學(xué)可以跳240個(gè)；又已知甲每分鐘比乙少跳5個(gè)，求每人每分鐘各

跳多少個(gè).

2.一項(xiàng)工程要在限期內(nèi)完成.如果第一組單獨(dú)做，恰好按規(guī)定日期完成;

如果第二組單獨(dú)做,需要超過規(guī)定日期4天才能完成,如果兩組合作3天后,剩

下的工程由第二組單獨(dú)做,正好在規(guī)定日期內(nèi)完成，問規(guī)定日期是多少天？

3.甲、乙兩地相距19千米，某人從甲地去乙地，先步行7千米，然后

改騎自行車，共用了2小時(shí)到達(dá)乙地，已知這個(gè)人騎自行車的速度是步行速

度的4倍，求步行的速度和騎自行車的速度.

六、課后練習(xí)

1.某學(xué)校學(xué)生進(jìn)行急行軍訓(xùn)練，預(yù)計(jì)行60千米的路程在下午5時(shí)到達(dá),

后來由于把速度加快!，結(jié)果于下午4時(shí)到達(dá)，求原計(jì)劃行軍的速度。

2.甲、乙兩個(gè)f程隊(duì)共同完成一項(xiàng)工程，乙隊(duì)先單獨(dú)做1天后，再由兩

隊(duì)合作2天就完成了全部工程，已知甲隊(duì)單獨(dú)完成工程所需的天數(shù)是乙隊(duì)單

獨(dú)完成所需天數(shù)的求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成各需多少天？

3

3.甲容器中有15%的鹽水30升，乙容器中有18%的鹽水20升，如果向

兩個(gè)容器個(gè)加入等量水，使它們的濃度相等，那么加入的水是多少升？

七、答案：

五、1.15個(gè)，20個(gè)2.12天3.5千米/時(shí)，20千米/時(shí)

六、1.10千米/時(shí)2.4天，6天3.20升

第十七章反比例函數(shù)

李緒中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師

17.1.1反比例函數(shù)的意義

一、教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生理解并掌握反比例函數(shù)的概念

2.能判斷一個(gè)給定的函數(shù)是否為反比例函數(shù)，并會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)

解析式

3.能根據(jù)實(shí)際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式，體會(huì)函數(shù)的模型

思想

二、重、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：理解反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)已知條件寫出函數(shù)解析式

2.難點(diǎn)：理解反比例函數(shù)的概念

三、例題的意圖分析

教材第46頁的思考題是為引入反比例函數(shù)的概念而設(shè)置的，目的是讓學(xué)

生從實(shí)際問題出發(fā)，探索其中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，通過觀察、討論、歸

納，最后得出反比例函數(shù)的概念，體會(huì)函數(shù)的模型思想。

教材第47頁的例1是一道用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的題，此題

的目的一是要加深學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)概念的理解，掌握求函數(shù)解析式的方法;

二是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)所蘊(yùn)含的“變化與對(duì)應(yīng)”的思想，特別是函數(shù)與

自變量之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系。

補(bǔ)充例1、例2都是常見的題型，能幫助學(xué)生更好地理解反比例函數(shù)的概

念。補(bǔ)充例3是一道綜合題，此題是用待定系數(shù)法確定由兩個(gè)函數(shù)組合而成

的新的函數(shù)關(guān)系式，有一定難度，但能提高學(xué)生分析、解決問題的能力。

四、課堂引入

1.回憶一下什么是正比例函數(shù)、一次函數(shù)？它們的一般形式是怎樣的？

2.體育課上，老師測(cè)試了百米賽跑，那么，時(shí)間與平均速度的關(guān)系是怎

樣的？

五、例習(xí)題分析

例1.見教材P47

分析：因?yàn)閥是x的反比例函數(shù)，所以先設(shè)丫=&,再把x=2和y=6代

X

入上式求出常數(shù)k,即利用了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式。

例1.(補(bǔ)充)下列等式中，哪些是反比例函數(shù)

(1)y=—(2)y=(3)xy=21(4)y=--—(5)y=--—

3xx+22x

(6)y=—+3(7)y=x—4

分析：根據(jù)反比例函數(shù)的定義，關(guān)鍵看上面各式能否改寫成)，=人(k為

X

常數(shù)，k#0)的形式，這里(1)、(7)是整式，(4)的分母不是只單獨(dú)含

x,(6)改寫后是,=匕把，分子不是常數(shù)，只有(2)、(3)、(5)能寫

X

成定義的形式

例2.(補(bǔ)充)當(dāng)m取什么值時(shí)，函數(shù)y=(加-2)/T黯是反比例函數(shù)？

分析：反比例函數(shù)y='(kWO)的另一種表達(dá)式是y=(kWO),后

X

一種寫法中X的次數(shù)是一1,因此m的取值必須滿足兩個(gè)條件，即m-2#o

且3—n]2=—l,特別注意不要遺漏kWO這一條件，也要防止出現(xiàn)3—m2=l

的錯(cuò)誤。

解得m=-2

例3.(補(bǔ)充)已知函數(shù)y=y1+y2，yi與x成正比例，丫2與x成反比例，

且當(dāng)x=l時(shí)，y=4；當(dāng)x=2時(shí)，y=5

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式

(2)當(dāng)x=—2時(shí)，求函數(shù)y