4.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（8大題型）精練（解析版）

4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式【題型1等差數(shù)列前n項(xiàng)和與基本量】1、（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．30B．36C．42D．54【答案】B【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，所以，解得，則，故選：B2、（2023·江蘇鹽城·高二阜寧中學(xué)?？计谥校┰O(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則．【答案】【解析】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，可得，即，可得，且，解得，又?3、（2023·江蘇徐州·高二徐州市第一中學(xué)?？计谥校┮阎獮榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，，則.【答案】92【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，所以.4、（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，（1）已知，，求；（2）已知，，求．【答案】（1）44；（2）【解析】（1）設(shè)，則解得故.（2）設(shè)，則解得故.5、（2023·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和，求n．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則，解得，∴．（2）由以及，，，

得方程，整理得，解得或（舍去），故．【題型2等差數(shù)列片段和的性質(zhì)】1、（2023·甘肅臨夏·高二校聯(lián)考期中）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A．27B．45C．81D．18【答案】B【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列，所以，，成等差數(shù)列，可得，即，解得，即.故選：B.2、（2023·黑龍江·高二牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，已知，，則（）A．90B．40C．50D．60【答案】D【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以成等差數(shù)列，，，故，.故選：D3、（2023·湖北咸寧·高二鄂南高中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則=（）A．0B．C．D．【答案】D【解析】由可得，故數(shù)列為等差數(shù)列，又，故也成等差數(shù)列，即，故選：D4、（2023·湖南張家界·高二民族中學(xué)校考期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則．【答案】【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以是等差數(shù)列，則，即，解得．5、（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)之和為，前項(xiàng)和為，則它的前項(xiàng)的和為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于等差數(shù)列中也成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，∴﹒故選：C．【題型3等差數(shù)列前n項(xiàng)和與n的比值】1、（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝﹣2018，，則S2020等于（）A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040【答案】C【解析】∵Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，∴數(shù)列{}是等差數(shù)列．∵a1＝﹣2018，，∴數(shù)列{}的公差d，首項(xiàng)為﹣2018，∴2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故選：C．2、（2021·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和．若，且，則等于（）A．-2021B．-2020C．-2019D．-2018【答案】A【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，令，則也為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，由得，又得.故選：A．3、（2022·遼寧·高二校聯(lián)考期末）等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，則.【答案】【解析】設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)?，故，故為常?shù)，所以為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，，，則4、（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，則m＝.【答案】4【解析】因?yàn)镾n是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，所以數(shù)列是等差數(shù)列，所以＋＝，即＋＝0，解得m＝4.5、（2022·江蘇蘇州·高二星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，，則．【答案】【解析】等差數(shù)列中，記首項(xiàng)為，公差為，利用等差數(shù)列求和公式，可得，又所以是首項(xiàng)為，公差為等差數(shù)列，由，，得，所以的公差為所以所以【題型4兩個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的比值】1、（2023·山東淄博·高二校考階段練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和之比為，則這兩個(gè)數(shù)列的第9項(xiàng)之比是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，則由題意可知，所以，故選：C2、（2023·河南駐馬店·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)，分別是兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和．若對(duì)一切正整數(shù)n，恒成立，（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得.故選：B3、（2023·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，可設(shè)，，則，，即，故選：.4、（2023·湖南株洲·高二校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則.【答案】【解析】等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，所以.5、（2023·河南許昌·高二禹州市高級(jí)中學(xué)校考期末）設(shè)等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，若對(duì)任意的，都有，則．【答案】【解析】，由于.【題型5等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的和】1、（2023·湖北荊州·高二沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則的值為（）．A．30B．29C．28D．27【答案】B【解析】奇數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng)，其和為，∴．偶數(shù)項(xiàng)共有n項(xiàng)，其和為，∴．故選：B．2、（2021上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，前三項(xiàng)與最后三項(xiàng)這六項(xiàng)之和為，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，，所以，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，于是可得.故選：A.3、（2022·全國(guó)·高二課時(shí)習(xí)）已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，若數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，，則公差的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，，所以，，，所以，，.故選：A.4、（2022·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，，解得：.故選：D.5、（2023·全國(guó)·高二統(tǒng)考期中）已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為A．6B．5C．4D．3【答案】D【解析】因?yàn)槟车炔顢?shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，因此數(shù)列的第一、三、五、七、九項(xiàng)的和，寫(xiě)出數(shù)列的第二、四、六、八、十項(xiàng)的和，都用首項(xiàng)和公差表示，兩式相減，得到結(jié)果．5a1+20d=15；5a1+25d=30，則d=3，選B【題型6含絕對(duì)值的等差數(shù)列前n項(xiàng)和】1、（2023·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)的公差為，，則，得；則；所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為;（2）由題可知2、（2023·江蘇鹽城·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式（2）若，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）.；（2）.【解析】（1）由，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由，可得，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，因?yàn)?，所以，所?注意：分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)和，都可以.3、（2023·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，，數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則，解得，，所以.（2）數(shù)列.當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以.所以.4、（2023·湖北·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)單調(diào)遞減的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1），；（2）【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，又，解得，或，又因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞減，所以，所以，所以，解得，所以.（2）由，解得，，解得，即，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上.5、（2023·湖北·高三鄂南高中校聯(lián)考期中）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)的公差為，則：，.（2），令，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述：.【題型7等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題】1、（2023上·福建福州·高三福建省福州第八中學(xué)校考期中）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和，有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為（）A．20B．17C．19D．21【答案】C【解析】因?yàn)?，所以和異?hào)，又等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，所以數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，所以，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為19．故選：C．2、（2023·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．B．時(shí)，的最小值為2022C．有最大值D．時(shí)，的最大值為4043【答案】CD【解析】對(duì)于：由可得，故等差數(shù)列的公差，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由A得，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且，故時(shí)，的最小值為2023，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由A得，，故是關(guān)于的開(kāi)口向下的二次函數(shù)，其有最大值，沒(méi)有最小值，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)閿?shù)列的前2022項(xiàng)均為正數(shù)，且，，時(shí)，的最大值為4043，故D正確故選：CD3、（2023·河南信陽(yáng)·高二信陽(yáng)高中校考階段練習(xí)）（多選）等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，若，則成立的是（）A．B．的最大值是C．D．當(dāng)時(shí)，最大值為【答案】BC【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.所以，C選項(xiàng)正確.所以的最大值是，B選項(xiàng)正確.由于時(shí)，，是單調(diào)遞減數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，沒(méi)有最大值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC4、（2023上·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)校聯(lián)考期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的最小值及取得最小值時(shí)的值．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，最小，最小值為．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以．（2）由（1）知，又，所以當(dāng)時(shí)，取最小，最小值為．5、（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的最小值及取得最小值時(shí)n的值．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，最小，最小值為-26【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，，得，，解得，，所以．（2）方法一：由知是遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，所以當(dāng)時(shí)，最小，最小值為．方法二：，又，所以當(dāng)時(shí)，最小，最小值為-26.【題型8等差數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際問(wèn)題】1、（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）明代數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中已經(jīng)給出由n，和d求各項(xiàng)的問(wèn)題，如九兒?jiǎn)柤赘瑁骸耙粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，自長(zhǎng)排來(lái)差三歲，共年二百又零七．借問(wèn)長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．”則該問(wèn)題中老人的長(zhǎng)子的歲數(shù)為（）A．35B．32C．29D．26【答案】A【解析】根據(jù)題意，九個(gè)兒子的歲數(shù)從大到小構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，設(shè)長(zhǎng)子的歲數(shù)為，則，解得．故選：A2、（2023·江西九江·高二統(tǒng)考期末）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“某賈人擅營(yíng)，月入益功疾（注：從第2個(gè)月開(kāi)始，每月比前一月多入相同量的銅錢(qián)），第3月入25貫，全年（按12個(gè)月計(jì)）共入510貫”，則該人第11月?tīng)I(yíng)收貫數(shù)為（）A．64B．65C．68D．70【答案】B【解析】依題意，該人每個(gè)月的收入依次排成一列構(gòu)成等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，有，設(shè)的公差為d，因此，解得，所以該人第11月?tīng)I(yíng)收貫數(shù)，故選：B.3、（2023下·山西呂梁·高二校考開(kāi)學(xué)考試）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》記載有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有俸糧三百零五石，令五等官（正一品?從一品?正二品?從二品?正三品）依品遞差十三石分之，問(wèn)，各若干？”其大意是，現(xiàn)有俸糧305石，分給正一品?從一品?正二品?從二品?正三品這5位官員，依照品級(jí)遞減13石分這些俸糧，問(wèn)，每個(gè)人各分得多少俸糧？在這個(gè)問(wèn)題中，正二品分得的俸糧是（）A．35石B．48石C．61石D．74石【答案】C【解析】正一品?從一品?正二品?從二品?正三品這5位官員所分得的俸糧數(shù)記為數(shù)列，由題意，是以為公差的等差數(shù)列，且，解得．故正二品分得俸糧的數(shù)量為（石）．故選：C4、（2022·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谥校┮话倭惆怂?，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的實(shí)心塔群，共分十二階梯式平臺(tái)，自上而下一共12層，每層的塔數(shù)均不少于上一層的塔數(shù)，總計(jì)108座．已知其中10層的塔數(shù)成公差不為零的等差數(shù)列，剩下兩層的塔數(shù)之和為8，