2025高考數(shù)學專項講義第09講解三角形中的最值及范圍問題(學生版+解析)

第09講解三角形中的最值及范圍問題（15類核心考點精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較中等偏上，分值為13-15分【備考策略】1會利用基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)解決三角形中的最值及范圍問題2會利用正余弦定理及面積公式解決三角形的綜合問題【命題預測】本節(jié)內(nèi)容一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應用，同時也結(jié)合基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)等知識點求解范圍及最值，需重點復習。知識講解解三角形最值及范圍問題中常用到的關(guān)聯(lián)知識點基本不等式，當且僅當時取等號，其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)，通常表達為：（積定和最?。瑧脳l件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推論重要不等式（和定積最大）當且僅當時取等號當且僅當時取等號輔助角公式及三角函數(shù)值域形如，，其中，對于，類函數(shù)，叫做振幅，決定函數(shù)的值域，值域為，有時也會結(jié)合其他函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性來求解最值及范圍三角形中的邊角關(guān)系構(gòu)成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊在三角形中，大邊對大角，小邊對小角在三角形中,邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價關(guān)系:即注意：在銳角中，任意一個角的正弦大于另一個角的余弦，如。事實上，由，即得。由此對任意銳角，總有?？键c一、面積類最值及范圍問題1．（2024·上?！と＃┮阎膬?nèi)角，，的對邊分別為，，，且．(1)求的值；(2)若，求面積的最大值．2．（2024·河北·模擬預測）在銳角中，，，分別是角的對邊，.(1)求；(2)若，求的面積取值范圍.3．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在平面內(nèi)，四邊形滿足，點在的兩側(cè)，，，為正三角形，設.

(1)當時，求；(2)當變化時，求四邊形面積的最大值.4．（23-24高三上·江西撫州·階段練習）已知在平面四邊形中，，.(1)求的值；(2)記與的面積分別為和，求的最大值.1．（2024·廣東茂名·一模）在中，內(nèi)角的對邊分別是，且.(1)求的大小；(2)若是邊的中點，且，求面積的最大值.2．（2024·江蘇·模擬預測）在中，點在邊上，且滿足.(1)求證：；(2)若，，求的面積的最小值.3．（2024·山東濟南·二模）如圖，已知平面四邊形中，.(1)若四點共圓，求；(2)求四邊形面積的最大值.4．（23-24高一下·吉林長春·期中）已知銳角三角形的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角的大小；(2)若，角與角的內(nèi)角平分線相交于點D，求面積的最大值.5．（23-24高三上·江西·期末）如圖，在△ABC中，AB=BC=2，D為△ABC外一點，AD=2CD=4，記∠BAD=α，∠BCD=β.(1)求的值；(2)若△ABD的面積為，△BCD的面積為，求的最大值.考點二、周長類最值及范圍問題1．（2024·安徽淮北·二模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知(1)試判斷的形狀；(2)若，求周長的最大值.2．（2024·四川南充·模擬預測）在中，.(1)求；(2)若，求周長的最大值.3．（2024·湖南常德·一模）已知的內(nèi)角的對邊分別是，且.(1)判斷的形狀；(2)若的外接圓半徑為，求周長的最大值.4．（2024·山西·三模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足．(1)試判斷的形狀；(2)若的外接圓半徑為2，求周長的最大值．1．（2024高三下·全國·專題練習）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)設，求周長的最大值．2．（2024·湖南衡陽·模擬預測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知向量滿足，，且．(1)求角；(2)若是銳角三角形，且，求周長的取值范圍．3．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知在中，D為BC邊的中點，且．(1)若的面積為，，求；(2)若，求的周長的最大值．4．（2024·貴州貴陽·三模）已知的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且滿足.請回答下列問題:(1)證明:為等腰三角形;(2)若的外接圓直徑為1，試求周長的取值范圍.5．（2024·云南曲靖·二模）在中，角的對邊分別為，且.(1)求角的取值范圍；(2)已知內(nèi)切圓的半徑等于，求周長的取值范圍.考點三、邊長類最值及范圍問題1．（2024·陜西西安·一模）已知△ABC為鈍角三角形，它的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，，．(1)求的值；(2)若△ABC的面積為，求c的最小值．2．（2024·貴州遵義·一模）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若為銳角三角形，，求b的取值范圍．3．（2024·山西晉中·三模）在中，角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若，在邊上（不含端點）存在點，使得，求的取值范圍．1．（2024·全國·模擬預測）已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，滿足．(1)求角．(2)當面積的最大值為時，求的值．2．（2024·四川·三模）三角形中，角的對邊分別為，且.(1)求；(2)若邊上的中線長為2，求的最小值.3．（2024·全國·模擬預測）記銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求的大?。?2)若的面積為，求的取值范圍．考點四、邊長和差類最值及范圍問題1．（2024·全國·模擬預測）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求角；(2)若，且，求的最小值．8．8．2．（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的對邊分別為、、，．(1)求角，并計算的值；(2)若，且是銳角三角形，求的最大值．3．（2024·廣東湛江·一模）已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圓的直徑為，求的取值范圍．1．（2024·湖北·二模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，，．(1)求A；(2)者，，求的取值范圍．2．（2024·江西·模擬預測）在中，角，，所對的邊分別記為，，，且．(1)若，求的大?。?2)若，求的取值范圍．3．（2024·山西呂梁·一模）設的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)設的角平分線交于點，求的最小值．4．（2024·陜西安康·模擬預測）記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知__________.在①，②，③，這三個條件中任選一個填在上面的橫線上，并解答問題.(1)求角；(2)若的面積為，求的最小值.注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.考點五、邊長積商類最值及范圍問題1．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知銳角的三內(nèi)角的對邊分別是，且，(1)求角的大??；(2)如果該三角形外接圓的半徑為，求的取值范圍．2．（2024·寧夏固原·一模）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別是，且．(1)求證：；(2)求的取值范圍．3．（2024·全國·模擬預測）在銳角三角形中，角的對邊分別為，且滿足．(1)若，求的大?。?2)求的取值范圍．1．（2024·陜西安康·模擬預測）記銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)證明：；(2)求的取值范圍.2．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）在中，已知角，，所對的邊分別為，，，．(1)求角的大小；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．3．（2024·山西朔州·一模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，向量，且．(1)求；(2)求的最小值．考點六、中線最值及范圍問題1．（2024·四川·三模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足.(1)求；(2)若的面積為，為的中點，求的最小值.2．（2024·陜西安康·模擬預測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且(1)求；(2)設為邊的中點，，求線段長度的最大值.3．（2024·湖北·模擬預測）在中，已知，D為的中點.(1)求A；(2)當時，求的最大值.1．（2024·四川南充·二模）在①；②；③；這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足______.(1)求；(2)若的面積為，為的中點，求的最小值.2．（2024·河北·模擬預測）在中，角的對邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若邊，邊的中點為，求中線長的最大值.3．（2024·全國·模擬預測）在銳角中，角的對邊分別為，且．(1)求角的大小；(2)若是線段上靠近點的三等分點，，求的最大值．考點七、角平分線最值及范圍問題1．（2023·浙江·二模）在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，滿足，且.(1)求證：；(2)已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍.2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知銳角中，角，，所對的邊分別為，，，其中，，且．(1)求證：；(2)已知點在線段上，且，求的取值范圍．1．（2024·山東泰安·模擬預測）已知內(nèi)角的對邊分別為，．(1)求A；(2)A的平分線交于點，，求的最大值．2．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知中內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角A的大小；(2)若D是邊BC上一點，且AD是角A的角平分線，求的最小值．3．（2023·河南·三模）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求證：；(2)若的平分線交AC于D，且，求線段BD的長度的取值范圍．考點八、高線最值及范圍問題1．（2024·全國·模擬預測）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，．(1)求角；(2)設是的高，求的最大值．2．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若．(1)求角；(2)若，求邊上的高的取值范圍．1．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，設為曲線的對稱中心．(1)求；(2)記的角對應的邊分別為，若，求邊上的高長的最大值．2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？家荒＃┰阡J角中，設邊所對的角分別為，且．(1)求角的取值范圍；(2)若，求中邊上的高的取值范圍．3．（2023·全國·模擬預測）在銳角三角形中，，．(1)求．(2)求邊上的高的取值范圍．考點九、其他線段類最值及范圍問題1．（23-24高三下·河南周口·開學考試）在中，角的對邊分別為．(1)求角；(2)若為邊上一點，，求的最大值．2．（2024·陜西安康·模擬預測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求；(2)若，連接，求的值．3．（23-24高一下·吉林白山·階段練習）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求角的大?。?2)若為銳角三角形，點為的垂心，，求的取值范圍．4．（2024·廣東廣州·三模）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若D是邊上一點（不包括端點），且，求的取值范圍．1．（2024·貴州貴陽·模擬預測）已知在中，，(1)求A；(2)若點D是邊BC上一點，，△ABC的面積為，求AD的最小值.2．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求的大小；(2)若，D是邊AB上的一點，且，求線段CD的最大值．3．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大?。?2)若為銳角三角形，點F為的垂心，，求的取值范圍.4．（2024·河北衡水·一模）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點，滿足，且.(1)求角；(2)求的取值范圍.考點十、外接圓及內(nèi)切圓半徑類最值及范圍問題1．（2024·吉林·二模）已知的三個內(nèi)角的對邊分別為的外接圓半徑為，且.(1)求;(2)求的內(nèi)切圓半徑的取值范圍2．（2024·全國·模擬預測）已知中，角，，的對邊分別是，，，．(1)求角的大??；(2)若，外接圓的半徑為，內(nèi)切圓半徑為，求的最小值．2．1．（2024·全國·模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若，求內(nèi)切圓半徑取值范圍．2．（2024·全國·模擬預測）在“①；②；③”這三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答．在中，角所對的邊分別為，且______．(1)求角的大小；(2)若表示內(nèi)切圓的半徑，求的最大值．考點十一、角度類最值及范圍問題1．（2023·海南?？凇ば？寄M預測）在中，角、、所對的邊長分別為，若成等比數(shù)列，則角的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024·山東菏澤·二模）已知在中，的面積為．(1)求角的度數(shù)；(2)若是上的動點，且始終等于，記．當取到最小值時，求的值．1．（2023春·上海寶山·高一?？计谥校┤绻娜叀?、滿足，則角的取值范圍為．2．（2024·上海奉賢·三模）已知三角形的三個角對應的邊分別為、、(1)求證：存在以為三邊的三角形；(2)若以為三邊的三角形為等腰直角三角形，求三角形的最小角．考點十二、正余弦類最值及范圍問題1．（2024·全國·模擬預測）記的內(nèi)角所對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)求的最小值．2．（2024·全國·模擬預測）記的內(nèi)角的對邊分別是，已知．(1)證明：；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．3．（2024·河北滄州·模擬預測）已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)求的最大值．4．（2023·全國·模擬預測）已知的內(nèi)角所對的邊分別為．(1)求角的大小；(2)求的最小值．5．（23-24高三上·江蘇南京·期中）在中，所對的邊分別為，已知.(1)若，求的值；(2)若是銳角三角形，求的取值范圍．1．（2024·陜西寶雞·二模）中，為邊的中點，.(1)若的面積為，且，求的值；(2)若，求的取值范圍．2．（23-24高三上·山東棗莊·期末）在中，角所對的邊分別為.若.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.3．（2024·河南·一模）中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求證：；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.73．（2024·全國·模擬預測）在中，內(nèi)角的對邊分別為．(1)判斷的形狀，并證明；(2)求的最小值．4．（2024·遼寧·一模）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，滿足.(1)求證：；(2)若為銳角三角形，求的最大值．5．（2024·廣東佛山·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，其中，．(1)求角的大??；(2)如圖，為外一點，，，求的最大值．考點十三、正切類最值及范圍問題1．（2024·山東菏澤·模擬預測）在中，角所對的邊分別為.已知(1)若，判斷的形狀；(2)若，求的最大值.1．（2024·云南·二模）中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，B是與的等差中項.(1)若，判斷的形狀;(2)若是銳角三角形，求的取值范圍.考點十四、向量類最值及范圍問題1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預測）周長為4的，若分別是的對邊，且，則的取值范圍為．2．（23-24高三上·北京·階段練習）在中，．(1)求C；(2)若，求的最小值．3．（2024·湖南邵陽·一模）在中，內(nèi)角滿足.(1)求角的大??；(2)若，求的最大值.1．（23-24高一下·重慶·階段練習）如圖在中，，滿足.

(1)若，求的余弦值；(2)點是線段上一點，且滿足，若的面積為，求的最小值.2．（2024·重慶·模擬預測）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求角A的大小；(2)若，且，求AP的最小值．考點十五、參數(shù)類最值及范圍問題1．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）在銳角三角形中，角所對的邊分別為，，且．(1)求；(2)若，且，求實數(shù)的取值范圍．1．（2023·全國·模擬預測）已知在中，角所對的邊分別為，且.(1)求的值；(2)若，且，求實數(shù)的取值范圍.2．（2023·湖北咸寧·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，滿足，.(1)證明：外接圓的半徑為；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.1．（2024·陜西寶雞·一模）在中，角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求角A；(2)若的面積為1，求的最小值.2．（21-22高二下·山西·期中）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角B；(2)若，，求的取值范圍．3．（23-24高三上·河南·期中）在銳角中，角所對的邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求周長的最大值．4．（22-23高二上·河南省直轄縣級單位·期末）已知為銳角三角形，角的對邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若，求的取值范圍.5．（2023·全國·模擬預測）在銳角中，角所對的邊分別為，已知，且的面積.(1)求；(2)求的最小值.6．（2023·全國·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，已知．(1)求；(2)若外接圓的半徑為，求的面積最大值．7．（2024·廣西·模擬預測）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，，.已知.(1)證明：；(2)若，求周長的最大值.8．（2017·安徽淮北·模擬預測）在中，角A，B，C的對角分別為a，b，c且．(1)求；(2)若D為AC邊的中點，且，求面積的最大值．9．（2023·四川綿陽·模擬預測）在斜三角形中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的最小值．10．（23-24高三上·山東威?！て谀┰谥校撬鶎Φ倪叿謩e為記的面積為，已知.(1)求角的大?。?2)若，求的最大值.1．（2024·青?！つM預測）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若，的面積為S．周長為L，求的最大值．2．（2024·山東濟南·二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，.(1)若，，求的大小；(2)若求四邊形ABCD面積的最大值.3．（2024·河南·模擬預測）在中，角的對邊分別為，且.

(1)求；(2)如圖所示，為平面上一點，與構(gòu)成一個四邊形，且，若，求的最大值.4．（2024·重慶·三模）已知在數(shù)列中，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的前項和；(2)在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，求面積的最大值．5．（2024·江西·模擬預測）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b是a，c的等比中項．(1)求B的最大值：(2)若C為鈍角，求的取值范圍．6．（2024·陜西商洛·模擬預測）在銳角中.內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，已知.(1)求證：；(2)求的取值范圍.7．（2024·廣東江門·模擬預測）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，且滿足．(1)證明：；(2)若為鈍角，求的取值范圍．8．（2024·四川內(nèi)江·模擬預測）已知.(1)求的單調(diào)增區(qū)間和對稱中心；(2)在銳角中，A，B，C的對邊分別是..求的值域.9．（2024·遼寧·二模）在中，為邊上一點，，且面積是面積的2倍．(1)若，求的長；(2)求的取值范圍．10．（2024·福建泉州·模擬預測）已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，，.(1)寫出命題p：“已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，，.若，則是直角三角形”的逆命題q，并判斷逆命題q的真假；(2)若外的點D滿足，，求面積的最大值.一、單選題1．（四川·高考真題）在ABC中，．則的取值范圍是（）A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）二、雙空題2．（北京·高考真題）若的面積為,且∠C為鈍角，則∠B=；的取值范圍是.三、解答題3．（全國·高考真題）設銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為（1）求B的大小；（2）求的取值范圍.4．（全國·統(tǒng)考高考真題）的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．5．（江西·高考真題）在中，角所對的邊分別為，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范圍．6．（浙江·統(tǒng)考高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大??；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范第09講解三角形中的最值及范圍問題（15類核心考點精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較中等偏上，分值為13-15分【備考策略】1會利用基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)解決三角形中的最值及范圍問題2會利用正余弦定理及面積公式解決三角形的綜合問題【命題預測】本節(jié)內(nèi)容一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應用，同時也結(jié)合基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)等知識點求解范圍及最值，需重點復習。知識講解解三角形最值及范圍問題中常用到的關(guān)聯(lián)知識點基本不等式，當且僅當時取等號，其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)，通常表達為：（積定和最?。瑧脳l件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推論重要不等式（和定積最大）當且僅當時取等號當且僅當時取等號輔助角公式及三角函數(shù)值域形如，，其中，對于，類函數(shù)，叫做振幅，決定函數(shù)的值域，值域為，有時也會結(jié)合其他函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性來求解最值及范圍三角形中的邊角關(guān)系構(gòu)成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊在三角形中，大邊對大角，小邊對小角在三角形中,邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價關(guān)系:即注意：在銳角中，任意一個角的正弦大于另一個角的余弦，如。事實上，由，即得。由此對任意銳角，總有。考點一、面積類最值及范圍問題1．（2024·上海·三模）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．(1)求的值；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理即可得；（2）由余弦定理結(jié)合重要不等式可得取值范圍，再由三角形的面積公式可求出面積的最大值.【詳解】（1）由題意可知，，由正弦定理得，因為，所以，即.（2）由（1）可知，所以或.在中，由余弦定理得，當時，，，當且僅當時取等號，即，故的面積.當時，，，當且僅當時取等號，即，故的面積.綜上所述，的面積最大值為.2．（2024·河北·模擬預測）在銳角中，，，分別是角的對邊，.(1)求；(2)若，求的面積取值范圍.【答案】(1);(2).【分析】（1）利用進行化簡，可求，進而可求；（2）由正弦定理及三角恒等變換化簡可得，結(jié)合銳角三角形得到，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）因為，所以，根據(jù)正弦定理可得.因為，所以，所以，所以，即.因為，所以，即.因為，所以，所以.因為，所以.（2）由正弦定理得，所以.所以.因為是銳角三角形，所以,即，解得，所以，所以，所以,所以的面積取值范圍為.3．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在平面內(nèi)，四邊形滿足，點在的兩側(cè)，，，為正三角形，設.

(1)當時，求；(2)當變化時，求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由余弦定理可得的值；（2）由余弦定理可得的表達式，進而求出正三角形的面積的表達式，進而求出四邊形的面積的表達式，由輔助角公式及的范圍，可得四邊形面積的范圍．【詳解】（1）因為，，，由余弦定理可得：.（2）由余弦定理可得，因為為正三角形，所以，，所以，因為，所以，所以，所以，故當時，四邊形面積的最大值為.4．（23-24高三上·江西撫州·階段練習）已知在平面四邊形中，，.(1)求的值；(2)記與的面積分別為和，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）在和中利用余弦定理表示出，即可得到方程，解得即可；（2）利用三角形的面積公式表示出，然后結(jié)合上一問條件求解.【詳解】（1）在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，所以，即.（2）依題意，，所以，又，所以當時取最大值（此時，該四邊形符合題意），即的最大值為.1．（2024·廣東茂名·一模）在中，內(nèi)角的對邊分別是，且.(1)求的大??；(2)若是邊的中點，且，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）借助三角形內(nèi)角與正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合二倍角公式計算即可得；（2）借助向量線性運算與基本不等式，結(jié)合三角形面積公式計算即可得.【詳解】（1），，，由正弦定理可得，，，，，，即，即；（2）依題意，，，，，即，即，當且僅當時，等號成立，即，面積的最大值為.2．（2024·江蘇·模擬預測）在中，點在邊上，且滿足.(1)求證：；(2)若，，求的面積的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）因為，所以，由正弦定理可得，則可得，則得；（2）由，化簡可得，則得，，因為，則可得，再由基本不等式可得，即，則得到的面積的最小值.【詳解】（1）在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，又因為，，且，所以.（2）因為，所以，所以，因為，所以，所以，由（1）知，則，因為，所以，又，所以因為，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以的面積的最小值為.3．（2024·山東濟南·二模）如圖，已知平面四邊形中，.(1)若四點共圓，求；(2)求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）在、中分別利用余弦定理表示出，再由四點共圓得到，即可求出；；（2）由（1）可得，再由面積公式得到，將兩式平方再相加得到，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，因為四點共圓，所以，因此，上述兩式相加得：，所以（負值已舍去）.（2）由（1）得：，化簡得，則①，四邊形的面積，整理得，則②①②相加得：，即，由于，所以當且僅當時，取得最小值，此時四邊形的面積最大，由，解得，故四邊形面積的最大值為.4．（23-24高一下·吉林長春·期中）已知銳角三角形的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角的大?。?2)若，角與角的內(nèi)角平分線相交于點D，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由誘導公式及兩角和的正弦公式化簡得到，即可得解；（2）依題意，設，由三角形為銳角三角形求出，在中利用正弦定理表示，即可表示出，再由三角恒等變換公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，所以，所以，又，得，所以，即，由，解得；（2）由題意，，所以，設，，，又，則，，在中，由正弦定理可得：.即，，，，，，，即，所以面積的最大值為.5．（23-24高三上·江西·期末）如圖，在△ABC中，AB=BC=2，D為△ABC外一點，AD=2CD=4，記∠BAD=α，∠BCD=β.(1)求的值；(2)若△ABD的面積為，△BCD的面積為，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理，進行轉(zhuǎn)換即可；（2）根據(jù)題意，由（1）知，求出取得最大值，最大值為.【詳解】（1）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，所以，所以，.（2）由題意知，，所以，由（1）知，，所以，所以，所以當時，取得最大值，最大值為.考點二、周長類最值及范圍問題1．（2024·安徽淮北·二模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知(1)試判斷的形狀；(2)若，求周長的最大值.【答案】(1)是直角三角形(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解；（2）由（1）和，得到，則周長為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：由，可得，所以，即，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以是直角三角形（2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得，所以周長為，因為，可得，所以，當時，即為等腰直角三角形，周長有最大值為.2．（2024·四川南充·模擬預測）在中，.(1)求；(2)若，求周長的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，即，由余弦定理，，.（2）因為，即，，當且僅當時取等號，，即，又，所以，當且僅當時取等號，周長，即周長的最大值為3．（2024·湖南常德·一模）已知的內(nèi)角的對邊分別是，且.(1)判斷的形狀；(2)若的外接圓半徑為，求周長的最大值.【答案】(1)等腰三角形(2)【分析】（1）使用正弦定理對條件進行邊化角，再用三角恒等變換證明；（2）先用基本不等式證明，然后利用正弦定理與外接圓半徑的關(guān)系可得到，最后說明等號可以取到，即得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理并結(jié)合已知有.故，從而.由于，從而，故由可知，所以一定是等腰三角形.（2）設的外接圓半徑為.一方面，我們有，故；另一方面，當是邊長為的等邊三角形時，有，.此時，，且.所以周長的最大值是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：值得一提的是，第2小問證明時并不需要使用第1小問得到的.若使用該條件，則可化為，然后再利用亦可得到結(jié)果.但這樣并未從本質(zhì)上減少工作量，反而使解析失去了一般性和啟發(fā)性，因此本解析不采用此法.4．（2024·山西·三模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足．(1)試判斷的形狀；(2)若的外接圓半徑為2，求周長的最大值．【答案】(1)為等腰三角形(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合分析求解；（2）利用正弦定理可得周長，構(gòu)建函數(shù)，利用導數(shù)求最值，即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知：，整理得，且，則，可知，即，所以為等腰三角形.（2）由正弦定理，可得，則周長，由（1）可知：，可得，構(gòu)建函數(shù)，則，因為，則，當時，，則；當時，，則；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以當且僅當為等邊三角形時，周長取到最大值.1．（2024高三下·全國·專題練習）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)設，求周長的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）將原等式轉(zhuǎn)化為角的正弦的齊次式，再利用正、余弦定理求出角A的余弦值即得.（2）利用（1）的信息，結(jié)合基本不等式求解即得.【詳解】（1）在中，由，得，即，由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知，，，又，則，于是，當且僅當時取等號，所以周長的最大值為.2．（2024·湖南衡陽·模擬預測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知向量滿足，，且．(1)求角；(2)若是銳角三角形，且，求周長的取值范圍．【答案】(1)或.(2)【分析】（1）由，得到，再利用正弦定理求解；（2）根據(jù)和，利用正弦定理得到外接圓的半徑，然后由求解.【詳解】（1）解：∵，∴，即.由正弦定理得.∵，∴，∵，∴或.（2）∵，且三角形為銳角三角形，∴.∴由正弦定理得.∴，.∴，，.又∵為銳角三角形，∴，∴，得，.∴，，∴，又∵，∴.∴的周長的取值范圍為.3．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知在中，D為BC邊的中點，且．(1)若的面積為，，求；(2)若，求的周長的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用三角形的面積公式，求得，由余弦定理，求得，再由正弦定理求得，進而求得的值；（2）設，分別在和中，利用余弦定理，列出方程求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：因為的面積為，且為的中點，可得，又因為，可得，所以在中，由余弦定理得，所以，由正弦定理，可得，因為且，可得，即為鈍角，所以為銳角，所以.（2）解：設，分別在和中，由余弦定理，即，同理可得，所以，可得，又因為，當且僅當時，等號成立，所以，所以周長的最大值為．4．（2024·貴州貴陽·三模）已知的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且滿足.請回答下列問題:(1)證明:為等腰三角形;(2)若的外接圓直徑為1，試求周長的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理可得，因此可證得該三角形為等腰三角形；（2）由（1）可得角的范圍，由正弦定理可得，，的表達式，進而求出周長的表達式，利用導數(shù)求周長的取值范圍．【詳解】（1）證明：因為，由正弦定理可得，即，在三角形中，，所以，又因為均為三角形的內(nèi)角，即，即證得為等腰三角形；（2）由（1）可得，由正弦定理可得，而，所，，，所以，設，，則，當時，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，當時，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減．所以，，，所以．所以，周長的取值范圍是．5．（2024·云南曲靖·二模）在中，角的對邊分別為，且.(1)求角的取值范圍；(2)已知內(nèi)切圓的半徑等于，求周長的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由正弦定理可得，利用三角恒等變換可得，可求角的取值范圍；（2）由三角形的面積可求得，結(jié)合余弦定理可得，計算可得或，進而可求得的周長，設與圓內(nèi)切于點，，進而分析可得的周長的取值范圍.【詳解】（1）由正弦定理得：，，，..，，，角的取值范圍是.（2），，即，由余弦定理得：.，.，（當且僅當時取等號），,或.設與圓內(nèi)切于點，則.（當且僅當時取等號）.的周長，（當且僅當時兩處都取等號）.，，時，，,的周長的取值范圍是.考點三、邊長類最值及范圍問題1．（2024·陜西西安·一模）已知△ABC為鈍角三角形，它的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，，．(1)求的值；(2)若△ABC的面積為，求c的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角恒等變換化簡可得，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導公式得解；（2）由三角形面積公式、余弦定理及重要不等式即可求解.【詳解】（1）因為，因為，所以，由△ABC為鈍角三角形且，知，為鈍角，所以，即，所以.（2）因為，所以，由余弦定理，，當且僅當時，等號成立，此時的最小值為，所以c的最小值為.2．（2024·貴州遵義·一模）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若為銳角三角形，，求b的取值范圍．【答案】(1);(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式求解即得.（2）利用正弦定理、和角的正弦公式化簡，再利用正切函數(shù)的取值范圍求解即得.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，則，即，而，于是，又，所以.（2）由（1）知，，由正弦定理得，由為銳角三角形，得，解得，則，,則，所以b的取值范圍是.3．（2024·山西晉中·三模）在中，角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若，在邊上（不含端點）存在點，使得，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接用余弦定理求得，進而得到；（2）思路一：利用正弦定理三角恒等變換得，進一步結(jié)合正弦定理得，由即可求解；思路二：設邊上的高線長為，則長度的取值范圍是，從而條件等價于，最后用表示和，即可求出的范圍.【詳解】（1）由余弦定理得，所以.（2）方法一：因為，所以，由（1）知道，所以，所以，所以由，可得，從而（因為），所以，結(jié)合是三角形內(nèi)角可知，，當時，在三角形中，設，則，由正弦定理得，故，因為，所以，在三角形中，由正弦定理得，故，因為，所以的取值范圍是，所以的取值范圍是.方法二：在本小問的解析中，所有“線段上”均不含端點和.由知角是鈍角，所以角都是銳角，這表明點在直線上的投影在線段上.設，則由在線段上及可知，對線段上的點，長度的取值范圍是，所以條件等價于.而我們有，故.由于，故我們又有.所以條件等價于，即.綜上，的取值范圍是.1．（2024·全國·模擬預測）已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，滿足．(1)求角．(2)當面積的最大值為時，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理角化邊，然后整理，利用余弦定理得答案；（2）先利用余弦定理及基本不等式求出的最值，然后代入面積公式計算即可.【詳解】（1）因為，所以由正弦定理，得，所以．由余弦定理，得，

所以，所以．

因為，所以；（2）由三角形的面積公式，得．

由余弦定理得，當且僅當時，等號成立，則的最大值為，

所以，解得（負值舍去）．2．（2024·四川·三模）三角形中，角的對邊分別為，且.(1)求；(2)若邊上的中線長為2，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式化簡即可得解；（2）利用向量化及余弦定理結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】（1）由，得，即，所以，即，又，所以；（2）設的中點為，則，平方得，即，所以，當且僅當時取等號，由余弦定理得，因為，所以，即的最小值為，當且僅當時取等號.3．（2024·全國·模擬預測）記銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求的大?。?2)若的面積為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）切化弦后角化邊可得，結(jié)合余弦定理可得，可求得；（2）由面積可得，結(jié)合A的范圍以及三角恒等變換可得的取值范圍.【詳解】（1）由已知條件可知，則由正弦定理，得．整理，得．由余弦定理知，則，所以．又，所以．（2）由（1）可知，，則．因為為銳角三角形，所以解得．由正弦定理，得，所以．因為的面積為，所以，所以．易知．又，所以，則，所以，所以．因為，所以，故的取值范圍為．考點四、邊長和差類最值及范圍問題1．（2024·全國·模擬預測）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求角；(2)若，且，求的最小值．【答案】(1)(2)8【分析】（1）解法一:根據(jù)正弦定理，化簡得到，再利用余弦定理得，根據(jù)角的范圍求出即可；解法二：根據(jù)正弦定理，化簡得到，根據(jù)角的范圍求出即可；解法三：由題意及正弦定理得，，化簡得到，根據(jù)角的范圍求出即可（2）解法一：利用向量表示，根據(jù)列方程，整理得，然后利用基本不等式求最值即可，解法二：設，利用余弦定理可得，然后利用基本不等式求最值即可【詳解】（1）解法一：由題意及正弦定理得，；由余弦定理得，，整理得，所以．又，故．解法二：由題設可得，，即，整理得．又因為，所以．又，故，解法三：由題意及正弦定理得，，所以，整理得．又因為，所以．又，故．（2）解法一：因為，則，所以．因為，所以，整理得．因為，所以，即．故，當且僅當時，等號成立．故的最小值是8．解法二：因為，所以設．設，在中，由余弦定理得①；在中，由余弦定理得，即②．，得．因為，所以．在中，由余弦定理得，即，則，代入整理得．所以，即．則，當且僅當時，等號成立．故的最小值是8．2．（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的對邊分別為、、，．(1)求角，并計算的值；(2)若，且是銳角三角形，求的最大值．【答案】(1)或；當時，；當時，(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)同角的平方關(guān)系可得，求出B，進而求出即可；（2）由題意可得，求出C的范圍，根據(jù)正弦定理可得，利用三角恒等變換化簡計算得（），結(jié)合的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由，得，則，又，所以或.當時，；當時，.（2）若為銳角三角形，則，有，解得.由正弦定理，得，則，所以，其中，又，所以，則，故當時，取到最大值1，所以的最大值為.3．（2024·廣東湛江·一模）已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圓的直徑為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由兩角和與差的余弦公式、正弦定理化簡已知式即可得出答案；（2）由正弦定理可得，由兩角差的正弦公式和輔助角公式可得，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因為，所以，所以，因為，所以.（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范圍為.1．（2024·湖北·二模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，，．(1)求A；(2)者，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）借助正弦定理、三角形內(nèi)角和與兩角差的正弦公式計算即可得；（2）借助向量的模長與平方的關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積公式計算可得，借助三角函數(shù)的性質(zhì)，可令，，結(jié)合余弦定理計算可得，即可得解.【詳解】（1）由正弦定理得，則，則，，．即或，解得或．因為，所以，所以舍去，即；（2）由得，則，則，則，則，即．令，，因為，，所以．因為，所以，解得．由（1）得，則，又因為．所以，所以，解得，所以，解得，所以．令，則，則．因為，所以，即．2．（2024·江西·模擬預測）在中，角，，所對的邊分別記為，，，且．(1)若，求的大?。?2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得，再利用兩角和差的正余弦公式化簡，進而可求得的關(guān)系，即可得解；（2）利用正弦定理求出，再根據(jù)的關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）因為，所以，即，即，所以，即，而，所以或，所以或（舍去），又因為，所以，所以；（2）由（1）得，因為，所以，，則，又由，得，所以，所以，所以.3．（2024·山西呂梁·一模）設的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)設的角平分線交于點，求的最小值．【答案】(1)(2)9【分析】（1）首先根據(jù)正弦定理將邊化為角，再結(jié)合三角恒等變換，即可求解；（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積公式，求得，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）.由正弦定理，得，即，即（2）由題意可得，即當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為9.4．（2024·陜西安康·模擬預測）記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知__________.在①，②，③，這三個條件中任選一個填在上面的橫線上，并解答問題.(1)求角；(2)若的面積為，求的最小值.注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.【答案】(1)(2)【分析】（1）選擇①，由，求得，即可求解；若選②：由正弦定理得，進而求得，即可求解；若選③：化簡求得，結(jié)合余弦定理，求得，即可求解.（2）由（1）和面積公式，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：若選①：由，可得，所以，即，解得，因為，所以.若選②：因為，由正弦定理得，又因為，所以，即，因為，所以，可得，又因為，所以.若選③：因為，可得，即，由余弦定理得，又因為，所以.（2）解：由（1）知，所以，可得，所以，當且僅當時等號成立，所以的最小值為.考點五、邊長積商類最值及范圍問題1．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知銳角的三內(nèi)角的對邊分別是，且，(1)求角的大??；(2)如果該三角形外接圓的半徑為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理將化成邊，化簡再結(jié)合余弦定理可求得答案；（2）利用正弦定理，將邊化角，再利用角的范圍即可得出結(jié)果.【詳解】（1），由余弦定理可得，化簡整理得，又，，又，所以.（2）因為三角形外接圓半徑為，所以，，，由（1）得，所以，因為是銳角三角形，且，所以，，，，即.所以的取值范圍為.2．（2024·寧夏固原·一模）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別是，且．(1)求證：；(2)求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用二倍角公式與正弦定理的變換邊換，結(jié)合余弦定理與三角形內(nèi)角和的關(guān)系即可得解；（2）利用三角函數(shù)的和差公式與正弦定理的變換邊換，將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的表達式，再利用三角函數(shù)的值域即可得解.【詳解】（1）因為，所以，則，由正弦定理可得，即，所以，又，故，由，故；（2）由（1）得，因為，所以由正弦定理得，又銳角中，有，解得，所以，則，所以，即，故的取值范圍為.3．（2024·全國·模擬預測）在銳角三角形中，角的對邊分別為，且滿足．(1)若，求的大??；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)題中已知條件利用正切函數(shù)化簡或逆用余弦函數(shù)兩角和差公式從而可求解.（2）由（1）及正弦定理把邊化成角，再利用輔助角公式及函數(shù)求導求出范圍從而求解.【詳解】（1）方法一：，由為銳角三角形且，所以．方法二：．由為銳角三角形且，所以．（2）由（1）知，由正弦定理知：，所以．令，則，所以，其中．又由為銳角三角形，，，，因為，所以，所以，則，，所以在上單調(diào)遞減，則．即的取值范圍是．1．（2024·陜西安康·模擬預測）記銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)證明：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助二倍角公式、正弦定理、余弦定理及三角形內(nèi)角和的關(guān)系計算即可得；（2）借助正弦定理將邊化為角后，借助三角函數(shù)的值域計算即可得.【詳解】（1）證明：由，得，即，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，故，又，故，由，故；（2）由正弦定理可得：，又銳角中，有，，解得，即，即，故.2．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）在中，已知角，，所對的邊分別為，，，．(1)求角的大?。?2)若為銳角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，結(jié)合余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，可將式子變形為，再利用余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再結(jié)合三角恒等變換可得，根據(jù)銳角三角形可得的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）在中，，因為，所以，化簡得，由余弦定理得，又，所以；（2）由正弦定理知，由為銳角三角形可知，而，所以得，所以，所以，即，則的取值范圍為.3．（2024·山西朔州·一模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，向量，且．(1)求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量共線的坐標形式可得，結(jié)合余弦定理可求；（2）利用基本不等式可求最小值.【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理可得即，故，所以，而為三角形內(nèi)角，故.（2）結(jié)合（1）可得：,，當且僅當時等號成立，故的最小值為.考點六、中線最值及范圍問題1．（2024·四川·三模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足.(1)求；(2)若的面積為，為的中點，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理進行邊化角得，則得到的大??；（2）利用三角形面積公式得，再利用余弦定理和基本不等式即可得到最值.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，又，，故，，所以，又，故.（2），又，在中，由余弦定理，，當且僅當時取等號，的最小值為．2．（2024·陜西安康·模擬預測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且(1)求；(2)設為邊的中點，，求線段長度的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）由題設條件重新組合后將證明替換成，再利用正、余弦定理即可求得；（2）利用三角形中線的向量表達式和向量數(shù)量積的定義式，可推得，根據(jù)余弦定理和基本不等式求得，代入即可計算得到.【詳解】（1）由，得(*).因為，所以，由正弦定理，得，代入（*）得，.由正弦定理，得，由余弦定理的推論，得.（2）由余弦定理，得，即，所以，當且僅當時等號成立，故得.又，兩邊平方可得，，所以，即線段長度的最大值為.3．（2024·湖北·模擬預測）在中，已知，D為的中點.(1)求A；(2)當時，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩角和差及誘導公式結(jié)條件計算即可；（2）應用余弦定理結(jié)合基本不等式即可得出最大值.【詳解】（1），，即，，即.或，當時，，由，有，即時.當時，（舍）..（2）設，，由（1）及余弦定理有，即.，即，當且僅當時等號成立.由D為邊的中點有，，當且僅當時等號成立.，當且僅當時等號成立.的最大值為.1．（2024·四川南充·二模）在①；②；③；這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足______.(1)求；(2)若的面積為，為的中點，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導公式得到，即可得解；若選②，根據(jù)平方關(guān)系及誘導公式得到，再利用正弦定理將角化邊，最后由余弦定理計算可得；若選③，利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理將邊化角，即可得解；（2）由面積得，結(jié)合余弦定理和基本不等式求最值.【詳解】（1）若選擇①：，由正弦定理可得，又，，故，，所以，又，故.若選擇②：，則，由正弦定理可得，故，又，故.若選擇③；由正弦定理可得，再由余弦定理得，即，，．（2），又，在中由余弦定理，，當且僅當時取等號，的最小值為．2．（2024·河北·模擬預測）在中，角的對邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若邊，邊的中點為，求中線長的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊角互換以及余弦定理進行化簡即可得解.（2）利用向量模的平方以及余弦定理，再結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得：，則，即，由余弦定理可得：，因為，所以.（2）因為為的中點，所以，則，又由余弦定理得，，即，所以.由得，，則，當且僅當取等號，即，所以，即中線長的最大值為.3．（2024·全國·模擬預測）在銳角中，角的對邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若是線段上靠近點的三等分點，，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理、誘導公式、兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡可得，即可求解；（2）方法一：由余弦定理可得①、，可分別用3種思路（思路1：利用余弦定理切入；思路2：利用正弦定理切入；思路3：利用極限思想）求出的取值范圍，進而利用換元法構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導數(shù)求解即可；方法二：可分別用2種思路（思路1：齊次化不等式處理；思路2：正弦定理函數(shù)處理）求出；方法三：如圖，則，確定當A,O,D三點共線時等號成立，求出即可.【詳解】（1），由正弦定理得，又，所以，由整理得，即，解得，又，所以，即；（2）由余弦定理，得①，由得，即，解得．下面用三種方法求的取值范圍．思路1：用余弦定理切入．因為為銳角三角形，所以，即，將①代入得，同理，由，得，故．思路2：用正弦定理切入．因為為銳角三角形，所以解得，由正弦定理得．思路3：用極限方法求解．因為為銳角三角形，當時，；當時，；故．接下來換元構(gòu)造函數(shù)求最值．設，則．設，則，由得，又，所以，由得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故．所以．方法二：思路1，齊次化不等式處理由得，兩邊平方得，令，則，則，當即時等號成立，故的最大值為．思路2：正弦定理函數(shù)處理由，得，兩邊平方得．又因為，則，代入得．又因為為銳角三角形，所以，解得，當即時，的最大值為，所以．方法三：設的中點為外接圓的圓心為O，則，所以，，所以，，所以，所以．所以，當且僅當A,O,D三點共線時等號成立，此時為銳角三角形．考點七、角平分線最值及范圍問題1．（2023·浙江·二模）在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，滿足，且.(1)求證：；(2)已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，結(jié)合整理可得角的關(guān)系；（2）由正弦定理得，又因為為銳角三角形且，結(jié)合三角函數(shù)值域可求得線段長度的取值范圍.【詳解】（1）由題意得，由正弦定理得，因為，則，即，可得，整理得，由余弦定理得，整理得，由正弦定理得，故，整理得，又因為為銳角三角形，則，可得，所以，即.（2）在中，由正弦定理得，所以，因為為銳角三角形，且，所以，解得.故，所以.因此線段長度的取值范圍.2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知銳角中，角，，所對的邊分別為，，，其中，，且．(1)求證：；(2)已知點在線段上，且，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，結(jié)合整理可得角的關(guān)系；（2）由正弦定理得，又因為為銳角三角形且，結(jié)合三角函數(shù)值域可求得線段長度的取值范圍.【詳解】（1）因為，即，由正弦定理可得，又，即，所以，整理得，由余弦定理得，整理得，由正弦定理得，故，即，整理得，又因為為銳角三角形，則，可得，所以，即.（2）因為點在線段上，且，即平分，又，所以，則，在中，由正弦定理得，所以，因為為銳角三角形，且，所以，解得.故，所以.因此線段長度的取值范圍.1．（2024·山東泰安·模擬預測）已知內(nèi)角的對邊分別為，．(1)求A；(2)A的平分線交于點，，求的最大值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理可得，再結(jié)合余弦定理可得，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合面積關(guān)系可得，再利用基本不等式分析求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，且，所以.（2）因為為A的角平分線，則，由，可得整理得，又因為，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為2．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知中內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角A的大小；(2)若D是邊BC上一點，且AD是角A的角平分線，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出；（2）利用余弦定理得到，由三角形面積公式和求出，表達出，利用兩次基本不等式求出最值.【詳解】（1）由題意知中，，故即，即，所以，而，故，故，即，又，故；（2）由余弦定理：，又，所以，所以，所以，當且僅當時，取等號，則的最小值為.3．（2023·河南·三模）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求證：；(2)若的平分線交AC于D，且，求線段BD的長度的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正余弦定理邊角互化可得，即可利用三函數(shù)的性質(zhì)求解，（2）根據(jù)正弦定理以及角的范圍即可利用三角函數(shù)的范圍求解.【詳解】（1）證明：由余弦定理可得，

故，由正弦定理得．

所以在中，或．

若，又，故，因為，所以，故不滿足題意，舍去，所以．（2）在中，由正弦定理可得，即

所以

因為是銳角三角形，且，所得，

所以．所以線段BD長度的取值范圍是．

考點八、高線最值及范圍問題1．（2024·全國·模擬預測）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，．(1)求角；(2)設是的高，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）正弦定理將代換，再結(jié)合商數(shù)關(guān)系求出角；（2）法一：余弦定理結(jié)合基本不等式求出面積最大值，即可確定高的最大值；法二：由正弦定理將面積表示為角的函數(shù)，結(jié)合三角恒等變換，求出函數(shù)最大值，即可確定高的最大值.【詳解】（1）由及，得，又，，所以，得，因為，所以．（2）解法一

由余弦定理得，則，得，當且僅當時取等號，所以，得，故的最大值為．解法二

由正弦定理得，故，．因為，所以，，所以，當時等號成立,故，得，故的最大值為.2．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若．(1)求角；(2)若，求邊上的高的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用二倍角的正弦求解作答.（2）由（1）可得，再利用三角形面積公式計算作答.【詳解】（1）在中，由正弦定理及，得，即有，而，，即，，因此，，所以．（2）令邊上的高為，由，得，由（1）知，，即，則，所以邊上的高的取值范圍是.1．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，設為曲線的對稱中心．(1)求；(2)記的角對應的邊分別為，若，求邊上的高長的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性求出解析式，即可求；（2）利用余弦定理得到，結(jié)合三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以且，所以，可知，又由，可知，所以，故，由，可得，即．（2），化簡得，因為，所以，所以，又，所以，當且僅當時取等號，所以，所以，故長的最大值為．2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？家荒＃┰阡J角中，設邊所對的角分別為，且．(1)求角的取值范圍；(2)若，求中邊上的高的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正余弦定理及三角恒等變換結(jié)合條件可得，然后根據(jù)三角形為銳角三角形進而即得；（2）根據(jù)三角形面積公式及正弦定理可得，然后根據(jù)三角恒等變換及正切函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即可求解.【詳解】（1）因為，所以，所以，，又，所以，整理可得，所以或(舍去)，所以，又為銳角三角形，所以，所以；（2）由題可知，即，又，所以，所以，由，可得，所以，所以，即中邊上的高的取值范圍是.3．（2023·全國·模擬預測）在銳角三角形中，，．(1)求．(2)求邊上的高的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；（2）設邊上的高為，則，再利用正弦定理及三角函數(shù)求出的范圍，即可得解，注意三角形為銳角三角形.【詳解】（1）設的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，因為，，所以，由正弦定理，得，整理得，由余弦定理得，又，所以；（2）設邊上的高為，則，由正弦定理，得，由為銳角三角形，得，得，則，所以，從而，故邊上的高的取值范圍是．考點九、其他線段類最值及范圍問題1．（23-24高三下·河南周口·開學考試）在中，角的對邊分別為．(1)求角；(2)若為邊上一點，，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角余弦公式化簡，再利用正弦定理，余弦定理運算求解；（2）由，可得，根據(jù)余弦定理和基本不等式可求得的范圍，得解.【詳解】（1）因為，所以，所以，由正弦定理，得，由余弦定理，得，因為，所以．（2）因為，且，所以，化簡，得，解得，由（1），得，即，由，得，解得（當且僅當時取等號），又，所以．而，且是關(guān)于的增函數(shù)，所以當時，．2．（2024·陜西安康·模擬預測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求；(2)若，連接，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）對已知進行化簡，然后利用兩角和的正切公式及誘導公式進行計算可得答案；（2）方法一：根據(jù)正弦定理求出，再由余弦定理可得答案；方法二：根據(jù)正弦定理求出，對兩邊平方計算可得答案.【詳解】（1）由題意，得，整理，得，所以，所以，解得．又，所以；（2）方法一：根據(jù)正弦定理，得，所以．由，知是邊的中點，在中，由余弦定理，得；方法二：根據(jù)正弦定理，得，所以，由，得，又，所以，所以．

3．（23-24高一下·吉林白山·階段練習）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求角的大小；(2)若為銳角三角形，點為的垂心，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)平方關(guān)系及正弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；（2）延長交于，延長交于，則，設，且，分別求出，再根據(jù)三角恒等變換化一，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理得，則，因為，所以；（2）延長交于，延長交于，根據(jù)題意可得．因為，所以，設，且，則，同理可得，則，因為，所以，又，所以，所以的取值范圍是．【點睛】方法點睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”；（2）利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”.求三角形有關(guān)代數(shù)式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來求解；（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.4．（2024·廣東廣州·三模）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若D是邊上一點（不包括端點），且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理，化簡得到，進而求得，即可求解.（2）設，在中，利用正弦定理，化簡得到，根據(jù)題意，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1），，又，可得，，，又，，可得，所以，解得或，，所以，即.（2）設，則，，，在中，由正弦定理得，因為為銳角三角形，所以且，則，所以，可得，所以，所以.1．（2024·貴州貴陽·模擬預測）已知在中，，(1)求A；(2)若點D是邊BC上一點，，△ABC的面積為，求AD的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由二倍角的正弦公式，降冪公式，結(jié)合三角函數(shù)值求出即可；（2）由向量的加法得到，再利用三角形面積公式得到，然后由向量的模長計算結(jié)合基本不等式求出結(jié)果即可.【詳解】（1）因為，所以，因為，，則，故，所以，，（2）因為，則，所以，故，因為的面積為，所以，所以上式當且僅當，即，時取得“”號，所以AD的最小值是.2．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求的大??；(2)若，D是邊AB上的一點，且，求線段CD的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理及余弦定理可得到，進而即可求得的大??；（2）由正弦定理得到，由余弦定理得到，從而求出，進而即可求解．【詳解】（1）因為，則由正弦定理得，整理得，又由余弦定理有，得，又，所以．（2）在中，由正弦定理得，所以，又，所以，，在中，由余弦定理得，又，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以，即線段的最大值為．3．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大??；(2)若為銳角三角形，點F為的垂心，，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得的值，再由角的范圍，可得角的大??；（2）設，分別在兩個三角形中，由正弦定理可得，的表達式，由輔助角公式可得的取值范圍．【詳解】（1）因為，所以，所以，由正弦定理可得，由余弦定理可得，，可得；（2）延長交于，延長交于，延長交于，，根據(jù)題意可得，，因為，所以，設，，在中，由正弦定理可得，即，可得，同理在中，可得，所以，因為，所以，所以，所以．4．（2024·河北衡水·一模）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點，滿足，且.(1)求角；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合面積公式、正弦定理及兩角和的正弦公式化簡可得，進而求解即可；（2）在中由正弦定理可得，在中，可得，進而得到，結(jié)合三角恒等變化公式化簡可得，進而結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解即可.【詳解】（1），，即，由正弦定理得，，，，，，由，得.（2）由（1）知，，因為，所以，，在中，由正弦定理得，即，在中，，，，,，，，，所以的取值范圍為.

考點十、外接圓及內(nèi)切圓半徑類最值及范圍問題1．（2024·吉林·二模）已知的三個內(nèi)角的對邊分別為的外接圓半徑為，且.(1)求;(2)求的內(nèi)切圓半徑的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化為邊，再由余弦定理求解即可；（2）根據(jù)等面積法可得出的表達式，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為函數(shù)，再由三角函數(shù)求值域即可得出范圍.【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，所以，由可知，，所以，故.（2）因為的內(nèi)切圓半徑，所以，即，又因為，所以，所以，由正弦定理，又，則，所以，故，所以.2．（2024·全國·模擬預測）已知中，角，，的對邊分別是，，，．(1)求角的大??；(2)若，外接圓的半徑為，內(nèi)切圓半徑為，求的最小值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用正弦定理、誘導公式及兩角和的正弦公式得，由，得到，得到;（2）利用余弦定理及基本不等式求得，利用等面積法求得的最大值，利用正弦定理求得，求出【詳解】（1）由及正弦定理，得，故，即，即．由，則，故，即．因為，所以．（2）由（1）和余弦定理可得，，故，，即，當且僅當時等號成立．故．由利用等面積法求得的最大值，易知，故，故，利用正弦定理，所以的最小值為2．1．（2024·全國·模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若，求內(nèi)切圓半徑取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)正弦的二倍角公式結(jié)合兩角和的余弦公式與三角形內(nèi)角關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)化簡可得，再設，根據(jù)正弦函數(shù)的值域求解即可.【詳解】（1）由題意得，即，，故．（2）因為，為內(nèi)切圓半徑，所以．設，則，又因為，，，，所以三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍為．2．（2024·全國·模擬預測）在“①；②；③”這三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答．在中，角所對的邊分別為，且______．(1)求角的大??；(2)若表示內(nèi)切圓的半徑，求的最大值．【答案】(1)任選一條件，都有；(2)【分析】（1）利用正弦定理，結(jié)合三角恒等變換化簡計算即可求解；（2）由（1），根據(jù)余弦定理可得，利用三角形等面積可得內(nèi)切圓的半徑，結(jié)合基本不等式計算即可求解.【詳解】（1）選擇①：由正弦定理，得，所以，即．又，所以，且．所以．又，所以．選擇②：由正弦定理，得．又，所以，．所以．即．又，所以．又，所以，即．選擇③：由正弦定理，得．所以，即．又，所以．所以．因為，所以．（2）由余弦定理，得，所以．設的周長為，面積為，則，．所以內(nèi)切圓的半徑．將式代入上式，得．因為，所以由式可得，即（當且僅當時取得等號）．所以的最大值為．考點十一、角度類最值及范圍問題1．（2023·海南海口·?？寄M預測）在中，角、、所對的邊長分別為，若成等比數(shù)列，則角的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由成等比數(shù)列，可得，然后利用余弦定理表示出，進行化簡后利用基本不等式求出的最小值，根據(jù)的范圍以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】因為成等比數(shù)列，可得，則，（當且僅當時取等號），由于在三角形中，且在上為減函數(shù)，所以角的取值范圍是：.故選：B.2．（2024·山東菏澤·二模）已知在中，的面積為．(1)求角的度數(shù)；(2)若是上的動點，且始終等于，記．當取到最小值時，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）設，則求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式結(jié)合正弦定理得到，根據(jù)角的范圍求解即可．【詳解】（1）設，則，又，因此，由為的內(nèi)角，所以.（2）由（1）知，，又，則，因此，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，，顯然，則有，因此當時，取到最小值，此時，即，所以的值.1．（2023春·上海寶山·高一校考期中）如果的三邊、、滿足，則角的取值范圍為．【答案】【分析】由余弦定理和重要不等式可求的范圍，進而可求角的取值范圍.【詳解】因為，所以由余弦定理得，當且僅當時取等號，又，所以.故答案為：2．（2024·上海奉賢·三模）已知三角形的三個角對應的邊分別為、、(1)求證：存在以為三邊的三角形；(2)若以為三邊的三角形為等腰直角三角形，求三角形的最小角．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用正弦定理和三角形任意兩邊之和大于第三邊即可證明；（2）由題意可得均為銳角，不