2025高考數(shù)學(xué)專項講義第14講圓錐曲線中的定值問題(學(xué)生版+解析)

第14講圓錐曲線中的定值問題（8類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2021年新I卷，第21題,12分雙曲線中的定值問題求雙曲線的軌跡方程2020年新I卷，第22題,12分橢圓中的定值問題根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓中存在定點(diǎn)滿足某條件問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的定值問題2.會定值相關(guān)的計算【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學(xué)們要會結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)考點(diǎn)一、弦長類定值1．（2020·山東·高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．2．（2020·北京·高考真題）已知橢圓過點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．3．（重慶·高考真題）如圖，中心在原點(diǎn)O的橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線l的方程為：．(1)求橢圓的方程；(2)在橢圓上任取三個不同點(diǎn)，使，證明：為定值，并求此定值．4．（江西·高考真題）如圖，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)分別在的兩條漸近線上，軸，,(為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求雙曲線的方程；（2）過上一點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在上移動時，恒為定值，并求此定值.5．（北京·高考真題）已知橢圓：（）的離心率為，，，，的面積為1.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，橢圓的動弦過橢圓的右焦點(diǎn)，當(dāng)垂直軸時，橢圓在處的兩條切線的交點(diǎn)為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若直線的斜率為，過點(diǎn)作軸的垂線，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，證明：為定值．2．（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）設(shè)為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，四邊形的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)若過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求證：為定值.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知A是圓E：上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段AF的垂直平分線交線段AE于點(diǎn)T．(1)求動點(diǎn)T的軌跡C的方程；(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，求證：．4．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，四邊形的面積為4．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)．與軸交于點(diǎn)．試判斷是否存在，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．5．（24-25高三上·青海西寧·開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，且面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線與直線平行，且與軸，軸分別交于點(diǎn)，與橢圓相交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).（i）求與的面積之比；（ii）證明：為定值.6．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的長軸是短軸的倍，且橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為是橢圓左右頂點(diǎn)，過做橢圓的切線，取橢圓上軸上方任意兩點(diǎn)（在的左側(cè)），并過兩點(diǎn)分別作橢圓的切線交于點(diǎn)，直線交點(diǎn)的切線于，直線交點(diǎn)的切線于，過作的垂線交于.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若，直線與的斜率分別為與，求的值.(3)求證：考點(diǎn)二、斜率類定值1．（2021·全國·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.2．（2024·河南·二模）已知橢圓的焦距為2，兩個焦點(diǎn)與短軸一個頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，過點(diǎn)的兩條直線和分別交橢圓于點(diǎn)和點(diǎn)（和.不重合），直線和的斜率分別為和.若，判斷是否為定值，若是，求出該值；若否，說明理由.3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，，點(diǎn)P在以AB為直徑的圓C上運(yùn)動，軸，垂足為D，點(diǎn)M滿足，點(diǎn)M的軌跡為W，過點(diǎn)的直線l交W于點(diǎn)E、F.(1)求W的方程；(2)若直線l的傾斜角為，求直線l被圓C截得的弦長；(3)設(shè)直線AE，BF的斜率分別為，，證明為定值，并求出該定值.4．（23-24高二上·湖南·期末）已知橢圓與雙曲線的焦距之比為．(1)求橢圓和雙曲線的離心率；(2)設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過F作軸交雙曲線于點(diǎn)P（P在第一象限），A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，與橢圓交于另一點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．1．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓，是上一個動點(diǎn)，點(diǎn)，長的最小值為．(1)求的值：(2)設(shè)過點(diǎn)且斜率不為0的直線交于兩點(diǎn)，分別為的左、右頂點(diǎn)，直線和直線的斜率分別為，求證：為定值．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，軸，垂足為D，點(diǎn)P在線段上，且．(1)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)記（1）中所求點(diǎn)P的軌跡為，過點(diǎn)作一條直線與相交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)Q．記的斜率分別為，證明：是定值．3．（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，若一條斜率不為0的直線過點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．考點(diǎn)三、角度類定值1．（北京·高考真題）已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線是圓上動點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值..2．（江西·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動點(diǎn)P在直線上運(yùn)動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求△APB的重心G的軌跡方程.（2）證明∠PFA=∠PFB．1．（23-24高三上·安徽六安·階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于兩點(diǎn)．(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，求拋物線在點(diǎn)處的切線方程；(2)探究軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動時，總有？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2024·湖南長沙·一模）已知雙曲線與直線：（）有唯一的公共點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，在第一象限.(1)探求參數(shù)，滿足的關(guān)系式；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的左焦點(diǎn)，證明：.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上，．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)若過焦點(diǎn)且斜率存在的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，試問是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由．考點(diǎn)四、位置關(guān)系類定值1．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．2．（2024·全國·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．1．（2024·山西長治·模擬預(yù)測）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為，且該橢圓過點(diǎn)(1)求橢圓E的方程；(2)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程；(3)若直線l方程為，過A、B作直線的垂線，垂足分別為P、Q，點(diǎn)R為線段PQ的中點(diǎn)，求證：四邊形ARQF為梯形.2．（23-24高三上·湖南·階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，P，Q分別為左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（為橢圓的離心率），的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足分別為、，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．求證：四邊形為梯形.考點(diǎn)五、向量類定值1．（四川·高考真題）過點(diǎn)C(0，1)的橢圓的離心率為，橢圓與x軸交于兩點(diǎn)、，過點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．（I）當(dāng)直線l過橢圓右焦點(diǎn)時，求線段CD的長；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時，求證：為定值．2．（23-24高二上·上海奉賢·期末）已知橢圓C:的左右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓C上一點(diǎn).(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求的面積；(2)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，且是鈍角，求橫坐標(biāo)的范圍；(3)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為0,1，且直線與橢圓C交于兩個不同的點(diǎn)A，B.求證：為定值.3．（2024·北京通州·二模）已知橢圓：（）的長軸長為4，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)直線l過橢圓E的左焦點(diǎn)F，且與E交于兩點(diǎn)（不與左右頂點(diǎn)重合），點(diǎn)在軸正半軸上，直線交軸于點(diǎn)P，直線交軸于點(diǎn)，問是否存在，使得為定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，請說明理由．1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線與的斜率之積為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過的直線交曲線于兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：為定值．2．（2023·天津·一模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為，橢圓的一個頂點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為2.已知直線與橢圓C交于A，B

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求k的值；(3)若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，求證：為定值.

考點(diǎn)六、面積類定值1．（北京·高考真題）已知橢圓過點(diǎn)兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）設(shè)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積為定值．2．（22-23高二上·浙江臺州·期中）已知點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離比是.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)若直線與軌跡交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由.3．（2023·廣東·一模）已知橢圓：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若橢圓與橢圓的離心率相同，焦點(diǎn)都在同一坐標(biāo)軸上，橢圓的長軸長與橢圓的長軸長之比為.(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)A，B在橢圓上，若，則四邊形的面積是否為定值?若是，求出定值；若不是，請說明理由.1．（23-24高二上·陜西西安·期末）設(shè)點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線，與橢圓交于兩點(diǎn).(1)求證：;(2)的面積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.2．（23-24高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知A，B分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，，直線AB的斜率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與軌跡交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM，ON的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．3．（23-24高二上·廣東汕頭·期末）已知橢圓：的離心率為，且橢圓過點(diǎn)，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)，為橢圓上不同兩點(diǎn)，過橢圓上的點(diǎn)作，且，求證：的面積為定值．4．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知，分別是雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，，點(diǎn)到的漸近線的距離為3.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；(2)已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動直線與相切，若與的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，求證：的面積為定值.考點(diǎn)七、距離類定值1．（2024·江蘇鹽城·一模）已知拋物線：，圓：，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若直線：分別與拋物線相交于點(diǎn)A，（在B的左側(cè)）、與圓相交于點(diǎn)S，（S在的左側(cè)），且與的面積相等，求出的取值范圍；(2)已知，，是拋物線上的三個點(diǎn)，且任意兩點(diǎn)連線斜率都存在.其中，均與圓相切，請判斷此時圓心到直線的距離是否為定值，如果是定值，請求出定值；若不是定值，請說明理由.1．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）如圖，現(xiàn)用一個與圓柱底面成角的平面截圓柱，所得截面是一個橢圓，在平面上建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.若圓柱的底面圓的半徑為2，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)Px0,y0為橢圓上任意一點(diǎn)，為橢圓在點(diǎn)處的切線.設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，，它們到切線的距離分別為，，試判斷是否為定值？若是，求其定值；若不是，說明理由.考點(diǎn)八、參數(shù)類定值1．（北京·高考真題）已知拋物線C：=2px經(jīng)過點(diǎn)（1，2）．過點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，，，求證：為定值．2．（21-22高三下·山東·開學(xué)考試）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，是C上一點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)的直線與C交于兩點(diǎn)A，B，與直線交于點(diǎn)N．設(shè)，，求證：為定值．1．（24-25高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上?下頂點(diǎn)分別為，且，點(diǎn)在上.(1)求橢圓的方程；(2)過左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，設(shè)，，證明：為定值.2．（23-24高三上·河北保定·期末）已知動點(diǎn)在上，過作軸的垂線，垂足為，若為中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)過作直線交的軌跡于、兩點(diǎn)，并且交軸于點(diǎn)．若，，求證：為定值．1．（24-25高三上·陜西·開學(xué)考試）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為E，虛軸的上端點(diǎn)為P，且，．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是雙曲線C上不同的兩點(diǎn)，Q是線段的中點(diǎn)，O是原點(diǎn)，直線的斜率分別為，證明：為定值．2．（24-25高三上·湖北武漢·開學(xué)考試）已知橢圓的離心率，連接四個頂點(diǎn)所得菱形的面積為4.斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若，求的最大值；(3)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若三點(diǎn)不共線，且的斜率滿足，求證：為定值.3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線交拋物線于兩點(diǎn)，連接，設(shè)的斜率分別為，問：是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.4．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）如圖所示，已知拋物線是拋物線與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率不為零的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．(1)求的取值范圍；(2)問在平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，分別過、兩點(diǎn)作拋物線的切線，兩條切線分別與軸交于、兩點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．(1)證明：為定值；(2)設(shè)直線的斜率為，證明：為定值．6．（23-24高三上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線和點(diǎn).點(diǎn)在上，且.(1)求的方程；(2)若過點(diǎn)作兩條直線與，與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，線段和中點(diǎn)的連線的斜率為，直線，，，的斜率分別為，，，，證明：，且為定值.7．（23-24高三下·山東·開學(xué)考試）已知拋物線是上不同的三點(diǎn)，過三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)，則稱三角形為拋物線的外切三角形．(1)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，且時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)外切三角形的垂心為，試判斷是否在定直線上，若是，求出該定直線；若不是，請說明理由；(3)證明：三角形與外切三角形的面積之比為定值．8．（23-24高二上·山東青島·期末）已知拋物線，點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)且平行于軸的直線與圓相切，與交與兩點(diǎn)，.(1)求和圓的方程；(2)過上一點(diǎn)作圓的兩條切線分別與交于兩點(diǎn)，判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由.9．（23-24高二上·陜西渭南·期末）如圖，過點(diǎn)C0,1的橢圓的離心率為，橢圓與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)；(1)當(dāng)直線過橢圓右焦點(diǎn)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)異于點(diǎn)時，求證：為定值．10．（2024·湖南長沙·二模）如圖，雙曲線的左?右焦點(diǎn)，分別為雙曲線的左?右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交雙曲線的左?右兩支于兩點(diǎn)，交雙曲線的右支于點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），且與的周長之差為2.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn).①記直線的斜率為，直線的斜率為，求的值；②試探究：是否為定值？并說明理由.11．（2024·廣東汕頭·三模）已知雙曲線：的漸近線方程為，過點(diǎn)的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，且當(dāng)軸時，.(1)求的方程；(2)記雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，，直線，的斜率分別為，，求的值.(3)探究圓：上是否存在點(diǎn)，使得過作雙曲線的兩條切線，互相垂直.12．（2024·重慶九龍坡·三模）已知，，是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，線段的中垂線與直線相交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)且斜率為的直線交曲線位于軸右側(cè)的部分于不同的A，B兩點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)且滿足，試探究是否為定值，若是，則求出該定值；若不是，請說明理由.13．（24-25高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右頂點(diǎn)分別為，虛軸長為6.(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，若直線與交于點(diǎn).（i）證明：點(diǎn)在定直線上；（ii）若直線與交于點(diǎn)，求的值.14．（23-24高三上·河北·期末）已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且的最小值為2．(1)求的方程；(2)過且與垂直的直線交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的中點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．15．（23-24高三上·廣東廣州·期中）已知橢圓C：的離心率為，焦距為2.(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的左頂點(diǎn)為A，過右焦點(diǎn)F的直線與橢圓C交于B，D（異于點(diǎn)A）兩點(diǎn)，直線，分別與直線交于M，N兩點(diǎn)，試問是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.1．（山東·高考真題）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和.（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；（Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.2．（湖北·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)作直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．（1）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求面積的最小值；（2）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．3．（江西·高考真題）如圖，已知拋物線，過點(diǎn)任作一直線與相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線與直線相交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)證明：動點(diǎn)在定直線上；(2)作的任意一條切線（不含軸）與直線相交于點(diǎn)，與（1）中的定直線相交于點(diǎn)，證明：為定值，并求此定值.4．（·四川·高考真題）橢圓（）的離心率是，點(diǎn)在短軸上，且．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的動直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由5．（四川·高考真題）已知橢圓：的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)是直角三角形的三個頂點(diǎn)，直線：與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)T．（Ⅰ）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且與直線交于點(diǎn)，證明：存在常數(shù)，使得，并求的值．6．（上?！じ呖颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線.（1）過的左頂點(diǎn)引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；（2）設(shè)斜率為1的直線l交于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓相切，求證：OP⊥OQ；（3）設(shè)橢圓.若M、N分別是、上的動點(diǎn)，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值.7．（全國·高考真題）如圖，橢圓的長軸與x軸平行，短軸在y軸上，中心為．(1)寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(2)直線交橢圓于兩點(diǎn)；直線交橢圓于兩點(diǎn)，．求證：；(3)對于（2）中的中的在，，，，設(shè)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求證：（證明過程不考慮或垂直于軸的情第14講圓錐曲線中的定值問題（8類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2021年新I卷，第21題,12分雙曲線中的定值問題求雙曲線的軌跡方程2020年新I卷，第22題,12分橢圓中的定值問題根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓中存在定點(diǎn)滿足某條件問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的定值問題2.會定值相關(guān)的計算【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學(xué)們要會結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)考點(diǎn)一、弦長類定值1．（2020·山東·高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【答案】（1）；（2）詳見解析.【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.（2）方法一：設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，在斜率存在時設(shè)方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到的關(guān)系，進(jìn)而得直線恒過定點(diǎn)，在直線斜率不存在時要單獨(dú)驗證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)的位置.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)［方法一］：通性通法設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因為，所以，即，根據(jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡得，因為不在直線上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時直線過點(diǎn).令為的中點(diǎn)，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點(diǎn)，使得為定值.［方法二］【最優(yōu)解】：平移坐標(biāo)系將原坐標(biāo)系平移，原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡得，即．設(shè)，因為則，即．代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．［方法三］：建立曲線系A(chǔ)點(diǎn)處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．則過A，M，N三點(diǎn)的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．用直線及點(diǎn)A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．即．對比項、x項及y項系數(shù)得將①代入②③，消去并化簡得，即．故直線的方程為，直線過定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．［方法四］：設(shè)．若直線的斜率不存在，則．因為，則，即．由，解得或（舍）．所以直線的方程為．若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則．令，則．又，令，則．因為，所以，即或．當(dāng)時，直線的方程為．所以直線恒過，不合題意；當(dāng)時，直線的方程為，所以直線恒過．綜上，直線恒過，所以．又因為，即，所以點(diǎn)D在以線段為直徑的圓上運(yùn)動．取線段的中點(diǎn)為，則．所以存在定點(diǎn)Q，使得為定值．【整體點(diǎn)評】（2）方法一：設(shè)出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，通過題目條件可知直線過定點(diǎn)，再根據(jù)平面幾何知識可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法也是本題的通性通法；方法二：通過坐標(biāo)系平移，將原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，設(shè)直線的方程為，再通過與橢圓方程聯(lián)立，構(gòu)建齊次式，由韋達(dá)定理求出的關(guān)系，從而可知直線過定點(diǎn)，從而可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法是本題的最優(yōu)解；方法三：設(shè)直線，再利用過點(diǎn)的曲線系，根據(jù)比較對應(yīng)項系數(shù)可求出的關(guān)系，從而求出直線過定點(diǎn)，故可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)；方法四：同方法一，只不過中間運(yùn)算時采用了一元二次方程的零點(diǎn)式賦值，簡化了求解以及的計算．2．（2020·北京·高考真題）已知橢圓過點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【分析】(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；(Ⅱ)首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA,NA的方程確定點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo)，將線段長度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的問題，進(jìn)一步結(jié)合韋達(dá)定理可證得，從而可得兩線段長度的比值.【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為：，由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(Ⅱ)[方法一]：設(shè)，，直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得：，即：，則：.直線MA的方程為：，令可得：，同理可得：.很明顯，且，注意到，，而，故.從而.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何含義法①當(dāng)直線l與x軸重合，不妨設(shè)，由平面幾何知識得，所以．②當(dāng)直線l不與x軸重合時，設(shè)直線，由題意，直線l不過和點(diǎn)，所以．設(shè)，聯(lián)立得．由題意知，所以．且．由題意知直線的斜率存在．．當(dāng)時，．同理，．所以．因為，所以．【整體點(diǎn)評】方法一直接設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程消去y，利用韋達(dá)定理化簡求解；方法二先對斜率為零的情況進(jìn)行特例研究，在斜率不為零的情況下設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程消去x，直接利用韋達(dá)定理求得P,Q的縱坐標(biāo)，運(yùn)算更為簡潔，應(yīng)為最優(yōu)解法.3．（重慶·高考真題）如圖，中心在原點(diǎn)O的橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線l的方程為：．(1)求橢圓的方程；(2)在橢圓上任取三個不同點(diǎn)，使，證明：為定值，并求此定值．【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】(1)根據(jù)準(zhǔn)線的幾何性質(zhì)，求出a，再算出b，可得橢圓方程；(2)根據(jù)題設(shè)，分別求出與x軸正方向的夾角之間的關(guān)系，代入中計算即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為．因焦點(diǎn)為，故半焦距，又右準(zhǔn)線的方程為，從而由已知，因此，，故所求橢圓方程為；（2）記橢圓的右頂點(diǎn)為A，并設(shè)（1，2，3），不失一般性，假設(shè)，且，．又設(shè)點(diǎn)在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有

．解得．因此，而，故為定值．綜上，橢圓方程為；.【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)在于運(yùn)用橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離表達(dá)為到準(zhǔn)線的距離乘以離心率，再對運(yùn)用三角函數(shù)計算化簡.4．（江西·高考真題）如圖，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)分別在的兩條漸近線上，軸，,(為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求雙曲線的方程；（2）過上一點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在上移動時，恒為定值，并求此定值.【答案】（1）（2）【分析】（1）確定的值即可求出雙曲線的方程，由直線和方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，即，即可求出的值；（2）聯(lián)立直線和直線的方程求出點(diǎn)，聯(lián)立直線和直線的方程求出點(diǎn)，即可得到的表達(dá)式，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，化簡即可得到，即命題得證．【詳解】（1）設(shè)，因為，所以．由題意可得，直線OB方程為，直線BF的方程為，聯(lián)立解得，而直線OA的方程為，則∴又因為ABOB，所以，解得，故雙曲線C的方程為（2）由（1）知，則直線的方程為，即因為直線AF的方程為，所以直線與AF的交點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為，則．因為是C上一點(diǎn)，則，代入上式得，故所求定值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的方程的求法，雙曲線的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及雙曲線中的定值問題的解法應(yīng)用，意在考查數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．（北京·高考真題）已知橢圓：（）的離心率為，，，，的面積為1.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（Ⅰ）根據(jù)離心率為，即，OAB的面積為1，即，橢圓中列方程組進(jìn)行求解；（Ⅱ）根據(jù)已知條件分別求出的值，求其乘積為定值.【詳解】（Ⅰ）由題意得解得.所以橢圓的方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，設(shè)，則.當(dāng)時，直線的方程為.令，得，從而.直線的方程為.令，得，從而.所以.當(dāng)時，，所以.綜上，為定值.【考點(diǎn)】橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、運(yùn)算求解能力.【名師點(diǎn)睛】解決定值、定點(diǎn)的方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無關(guān)；(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元思想的運(yùn)用可有效地簡化運(yùn)算.1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，橢圓的動弦過橢圓的右焦點(diǎn)，當(dāng)垂直軸時，橢圓在處的兩條切線的交點(diǎn)為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若直線的斜率為，過點(diǎn)作軸的垂線，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用即可求點(diǎn)M坐標(biāo)；（2）先設(shè)出點(diǎn)N坐標(biāo)，再求的斜率，判斷直線與的關(guān)系，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求弦長，即可證明.【詳解】（1），解得，所以橢圓方程為，又，所以右焦點(diǎn)，當(dāng)垂直軸時，不妨取，根據(jù)對稱性可知點(diǎn)在x軸上，且直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得：，則，化簡得，解得，所以直線的方程為，令，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）如圖，由題意可得直線的方程為，即.設(shè)Ax1,所以，故直線與垂直，聯(lián)立，消去得：，則，所以，同理，，所以，故為定值．2．（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）設(shè)為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，四邊形的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)若過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的對稱性，結(jié)合平行四邊形的判定定理、三角形面積公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線的斜率是否為零，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，因為，所以四邊形為平行四邊形，其面積設(shè)為，則，所以，所以，又，解得，所以橢圓的方程為.（2），當(dāng)直線與軸重合時，的方程為，此時不妨令，則；當(dāng)直線與軸不重合時，的方程可設(shè)為，由，得，設(shè)，則，綜上，為定值4.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)直線所過點(diǎn)的特征進(jìn)行恰當(dāng)選擇直線方程.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知A是圓E：上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段AF的垂直平分線交線段AE于點(diǎn)T．(1)求動點(diǎn)T的軌跡C的方程；(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由點(diǎn)T滿足條件符合橢圓的定義，得點(diǎn)T的軌跡方程；（2）按直線斜率是否為零分類討論，當(dāng)直線斜率不為零時，聯(lián)立方程組，得，所以x軸平分，用角平分線定理證明命題成立.【詳解】（1）因為，所以動點(diǎn)T的軌跡C是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)且長軸長為4的橢圓，因為，，所以，，所以動點(diǎn)T的軌跡C的方程是．（2）證明：若直線l與x軸重合，則M，N為橢圓C長軸的端點(diǎn)，不妨設(shè)，，則，，所以，若直線l與x軸不重合，設(shè)直線l的方程為，設(shè)點(diǎn)Mx1,y1，N因為，所以，，因為，所以x軸平分，所以，綜上，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：動點(diǎn)滿足曲線的定義，可以直接得動點(diǎn)的軌跡方程.欲證可證x軸平分.4．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，四邊形的面積為4．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)．與軸交于點(diǎn)．試判斷是否存在，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)在橢圓上及四邊形面積，結(jié)合待定系數(shù)法求出.（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出結(jié)合韋達(dá)定理求解即得.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，依題意，，則，四邊形為平行四邊形，其面積，得，即，聯(lián)立解得，所以橢圓的方程為.（2）存在.由消去得，當(dāng)時，恒成立，設(shè)，則，，則當(dāng)，即時，為定值，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；②特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．5．（24-25高三上·青海西寧·開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，且面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線與直線平行，且與軸，軸分別交于點(diǎn)，與橢圓相交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).（i）求與的面積之比；（ii）證明：為定值.【答案】(1)(2)（i）1；（ii）證明見解析【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)為短軸的端點(diǎn)時，面積最大，然后根據(jù)題意建立方程組求解即可；（2）先利用直線與直線平行，設(shè)直線方程為，然后計算出，再與橢圓聯(lián)立，得方程，設(shè)點(diǎn)，然后用韋達(dá)定理得到，分別計算兩個小問即可.【詳解】（1）根據(jù)題意解得，所以橢圓的方程為（2）如圖所示：設(shè)直線的方程為，則，聯(lián)立方程消去，整理得，，得設(shè)，則.（i），，與的面積之比為1.（ii）證明：.綜上，.6．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的長軸是短軸的倍，且橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為是橢圓左右頂點(diǎn)，過做橢圓的切線，取橢圓上軸上方任意兩點(diǎn)（在的左側(cè)），并過兩點(diǎn)分別作橢圓的切線交于點(diǎn)，直線交點(diǎn)的切線于，直線交點(diǎn)的切線于，過作的垂線交于.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若，直線與的斜率分別為與，求的值.(3)求證：【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的方程，求出，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)過點(diǎn)的切線方程的點(diǎn)斜式，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，由，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，可得的值.（3）設(shè)（），再設(shè)過點(diǎn)的切線方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，由，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，可得，的表達(dá)式.再把和用，表示，化簡整理即可.【詳解】（1）由題意：.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)過點(diǎn)的切線方程為：，即，由，消去，整理得：，由，整理得：，所以.（3）設(shè)（），的延長線交軸于點(diǎn)，如圖：、兩點(diǎn)處切線斜率分別為，則.設(shè)點(diǎn)的橢圓的切線方程為：，即，由消去，化簡整理得：，由得：化簡整理得：，由韋達(dá)定理，得：，，所以，，所以要證明，只需證明：，即，因為，所以上式成立，即成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.考點(diǎn)二、斜率類定值1．（2021·全國·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)利用雙曲線的定義可知軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；(2)方法一：設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得直線的斜率，最后化簡計算可得的值.【詳解】(1)因為，所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立如圖所示，設(shè),設(shè)直線的方程為．

聯(lián)立,化簡得，，則．故．則．設(shè)的方程為，同理．因為，所以，化簡得，所以，即．因為，所以．[方法二]：參數(shù)方程法設(shè)．設(shè)直線的傾斜角為，則其參數(shù)方程為，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，可得，整理得．設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系得．設(shè)直線的傾斜角為，，同理可得由，得．因為，所以．由題意分析知．所以，故直線的斜率與直線的斜率之和為0．[方法三]：利用圓冪定理因為，由圓冪定理知A，B，P，Q四點(diǎn)共圓．設(shè),直線的方程為，直線的方程為,則二次曲線．又由，得過A，B，P，Q四點(diǎn)的二次曲線系方程為：，整理可得：，其中．由于A，B，P，Q四點(diǎn)共圓，則xy項的系數(shù)為0，即.【整體點(diǎn)評】(2)方法一：直線方程與二次曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理處理圓錐曲線問題是最經(jīng)典的方法，它體現(xiàn)了解析幾何的特征，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：參數(shù)方程的使用充分利用了參數(shù)的幾何意義，要求解題過程中對參數(shù)有深刻的理解，并能夠靈活的應(yīng)用到題目中.方法三：圓冪定理的應(yīng)用更多的提現(xiàn)了幾何的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計算更為簡單.2．（2024·河南·二模）已知橢圓的焦距為2，兩個焦點(diǎn)與短軸一個頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，過點(diǎn)的兩條直線和分別交橢圓于點(diǎn)和點(diǎn)（和.不重合），直線和的斜率分別為和.若，判斷是否為定值，若是，求出該值；若否，說明理由.【答案】(1)(2)為定值0.【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)結(jié)合題意可得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由點(diǎn)斜式寫出直線的方程，聯(lián)立曲線，得到韋達(dá)定理，再由向量共線得到坐標(biāo)關(guān)系，利用韋達(dá)定理化簡即可.【詳解】（1）由題焦距，解得，由兩個焦點(diǎn)與短軸一個頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形可知，則，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）是定值.已知，設(shè)，直線的方程為，即，代入并整理，得，，.，三點(diǎn)共線，且與同向，，同理可得，化簡得，，所以為定值0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問關(guān)鍵是由向量的坐標(biāo)表示與共線，再由韋達(dá)定理化簡得到斜率關(guān)系.3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，，點(diǎn)P在以AB為直徑的圓C上運(yùn)動，軸，垂足為D，點(diǎn)M滿足，點(diǎn)M的軌跡為W，過點(diǎn)的直線l交W于點(diǎn)E、F.(1)求W的方程；(2)若直線l的傾斜角為，求直線l被圓C截得的弦長；(3)設(shè)直線AE，BF的斜率分別為，，證明為定值，并求出該定值.【答案】(1)(2)(3)證明見解析，2【分析】（1）由已知可得圓的方程，設(shè)Mx,y，Px0,y0，，根據(jù)，可得（2）由已知可得直線方程，求出圓心到直線的距離，由勾股定理即可求解；（3）根據(jù)題意可知直線斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線和橢圓構(gòu)成的方程組，根據(jù)斜率的計算公式結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.【詳解】（1）

由題意，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，設(shè)Mx,y，Px0,y由得，，又，所以，所以的方程為；（2）直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以直線被圓C截得的弦長為；（3）

由題意，直線斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立得，所以，，故，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.4．（23-24高二上·湖南·期末）已知橢圓與雙曲線的焦距之比為．(1)求橢圓和雙曲線的離心率；(2)設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過F作軸交雙曲線于點(diǎn)P（P在第一象限），A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，與橢圓交于另一點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．【答案】(1)橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合橢圓、雙曲線的方程與性質(zhì)運(yùn)算求解；（2）由（1）可知，聯(lián)立方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合斜率公式分析證明.【詳解】（1）橢圓的焦距，雙曲線的焦距，則，整理得，從而，，故橢圓的離心率，雙曲線的離心率．（2）由（1）可知，橢圓，因為，所以直線的方程為．聯(lián)立方程組，整理得，則，則，可得，即，因為，，，則，，故．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與弦端點(diǎn)相關(guān)問題的解法解決與弦端點(diǎn)有關(guān)的向量關(guān)系、位置關(guān)系等問題的一般方法，就是將其轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)聯(lián)立消元后的一元二次方程根與系數(shù)的大小關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解．1．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓，是上一個動點(diǎn)，點(diǎn)，長的最小值為．(1)求的值：(2)設(shè)過點(diǎn)且斜率不為0的直線交于兩點(diǎn)，分別為的左、右頂點(diǎn)，直線和直線的斜率分別為，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，并求出長，再結(jié)合二次函數(shù)探求最小值即得解.（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理計算即得.【詳解】（1）依題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)焦距為，設(shè)，則，而，則，而，則，即，因此，由，得當(dāng)時，，即，化簡得，又，解得，所以．（2）由（1）知，橢圓的方程為，點(diǎn)，設(shè)，則，即，斜率不為0的直線過點(diǎn)，設(shè)方程為，則，由消去并整理得，顯然，則，即有，因此，所以為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，軸，垂足為D，點(diǎn)P在線段上，且．(1)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)記（1）中所求點(diǎn)P的軌跡為，過點(diǎn)作一條直線與相交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)Q．記的斜率分別為，證明：是定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)Px,y，則有，根據(jù)在圓上運(yùn)動，即可求解、的關(guān)系式即為點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立利用韋達(dá)定理求出，求出，對，令，得，求出，即可求出是定值.【詳解】（1）設(shè)Px,y，根據(jù)題意有，又因為M在圓上運(yùn)動，所以，即，所以點(diǎn)P的軌跡方程為：.（2）根據(jù)已知條件可知，若直線的斜率不存在，不合題意，若直線斜率為，直線與直線平行無交點(diǎn)也不合題意，所以直線的斜率存在設(shè)為，直線的方程為，聯(lián)立，則有，且，設(shè)，，則，，，所以，對，令，得，所以，所以，所以為定值.3．（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，若一條斜率不為0的直線過點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合離心率公式，即可利用待定系數(shù)法求橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示，即可求解的值.【詳解】（1）由橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上，可得，所以，又點(diǎn)在該橢圓上，所以，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)，由于該直線斜率不為0，可設(shè)，聯(lián)立方程和，得，恒成立，根據(jù)韋達(dá)定理可知，，，，，．考點(diǎn)三、角度類定值1．（北京·高考真題）已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線是圓上動點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值..【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的大小為..【詳解】【解法1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力．（Ⅰ）由題意，得，解得，∴，∴所求雙曲線的方程為.（Ⅱ）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得.由及得，∵切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，∴，且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，∵，且，.∴的大小為..【解法2】（Ⅰ）同解法1.（Ⅱ）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得.由及得①②∵切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，∴，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，∴，∴的大小為..（∵且，∴，從而當(dāng)時，方程①和方程②的判別式均大于零）.2．（江西·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動點(diǎn)P在直線上運(yùn)動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求△APB的重心G的軌跡方程.（2）證明∠PFA=∠PFB．【答案】(1)(2)見解析【詳解】本試題主要考查了軌跡方程的求解和證明角的相等問題．解：（1）設(shè)切點(diǎn)，坐標(biāo)分別為和，切線的方程為：；切線的方程為：；由于既在又在上，所以解得，所以的重心的坐標(biāo)為，，所以，由點(diǎn)在直線上運(yùn)動，從而得到重心的軌跡方程為：，即．（2）方法1：因為，，．由于點(diǎn)在拋物線外，則．，同理有，．方法2：①當(dāng)時，由于，不妨設(shè)，則，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：；而直線的方程：，即．所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：所以，即得．②當(dāng)時，直線AF的方程：，即，直線的方程：，即，所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：，同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由，可得到．1．（23-24高三上·安徽六安·階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于兩點(diǎn)．(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，求拋物線在點(diǎn)處的切線方程；(2)探究軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動時，總有？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）總有，即直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，即恒有，聯(lián)立直線與拋物線方程，得到韋達(dá)定理代入運(yùn)算，判斷得解.【詳解】（1）由已知，得，因為，所以，斜率，因此，切線方程為，即．（2）存在符合題意的點(diǎn)，理由如下：設(shè)點(diǎn)為符合題意的點(diǎn)，，直線的斜率分別為．聯(lián)立方程，得，因為，則，可得，從而，因為不恒為0，可知當(dāng)且僅當(dāng)時，恒有，則直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，故，所以點(diǎn)符合題意．2．（2024·湖南長沙·一模）已知雙曲線與直線：（）有唯一的公共點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，在第一象限.(1)探求參數(shù)，滿足的關(guān)系式；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的左焦點(diǎn)，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將直線與雙曲線方程聯(lián)立，因只有一個切點(diǎn)從而可得，從而求解.（2）將直線分別與雙曲線的兩漸近線方程聯(lián)立求出，，由（1）可求出，即，分別求出，，，從而可求解.【詳解】（1）聯(lián)立方程，整理得.由，且是雙曲線與直線的唯一公共點(diǎn)，可得，則，即為參數(shù)，滿足的關(guān)系式.

結(jié)合圖象，由點(diǎn)在第一象限，可知，且.所以，的關(guān)系式滿足.（2）由題可得雙曲線的左焦點(diǎn)，漸近線為.聯(lián)立方程，解得，即；聯(lián)立方程，解得，即.結(jié)合，且由式可變形為，解得，可得.要證，即證，即證，即證，即證.由，得.根據(jù)直線的斜率公式，，，，則，，可得，因此，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用直線與雙曲線方程聯(lián)立后利用，從而求得和點(diǎn)坐標(biāo)，然后由直線分別與雙曲線的兩漸近線聯(lián)立求出坐標(biāo)，要證，從而可求解.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上，．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)若過焦點(diǎn)且斜率存在的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，試問是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題中條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)Mx1,y1，Nx2,y2，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫出線段的垂直平分線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出MN、【詳解】（1）解：由點(diǎn)在雙曲線上，可得．因為，所以．又，所以，，，

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：為定值，理由如下：設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)Mx1,y1聯(lián)立，可得，

當(dāng)時，直線與雙曲線的漸近線平行，此時直線和雙曲線只有一個交點(diǎn)，不合題意，故，此時，

則，，由已知可得，可得，則，，所以，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段的垂直平分線的方程為．令在直線的方程中，令得，即，所以．

又，在中，由正弦定理得，所以．在中，由正弦定理得，所以，所以為定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值考點(diǎn)四、位置關(guān)系類定值1．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合題意得到，，再結(jié)合，解之即可；（2）依題意求得直線、與的方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，再根據(jù)題意求得，得到，由此得解.【詳解】（1）依題意，得，則，又分別為橢圓上下頂點(diǎn)，，所以，即，所以，即，則，所以橢圓的方程為.（2）因為橢圓的方程為，所以，因為為第一象限上的動點(diǎn)，設(shè)，則，

易得，則直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，而，則直線的方程為，令，則，解得，即，又，則，，所以，又，即，顯然，與不重合，所以.2．（2024·全國·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)Fc,0，根據(jù)的坐標(biāo)及軸可求基本量，故可求橢圓方程.（2）設(shè)，Ax1,y1，Bx2,y2【詳解】（1）設(shè)Fc,0，由題設(shè)有且，故，故，故，故橢圓方程為.（2）直線的斜率必定存在，設(shè)，Ax1,y1由可得，故，故，又，而，故直線，故，所以，故，即軸.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.1．（2024·山西長治·模擬預(yù)測）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為，且該橢圓過點(diǎn)(1)求橢圓E的方程；(2)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程；(3)若直線l方程為，過A、B作直線的垂線，垂足分別為P、Q，點(diǎn)R為線段PQ的中點(diǎn)，求證：四邊形ARQF為梯形.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.（2）利用點(diǎn)差法求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.（3）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，計算，以及AF與RQ，從而判斷出四邊形ARQF為梯形.【詳解】（1）由題得，將代入得：，橢圓E的方程為.（2）設(shè)Ax1,且，兩式相減得：，可得，l方程為，即.（3）由得：，且，，∴，又直線的斜率存在，AF與RQ不平行，∴四邊形ARQF為梯形.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件求得，和是兩個未知參數(shù)，要求出兩個參數(shù)的值，需要兩個已知條件，如本題中“橢圓的右焦點(diǎn)以及橢圓所過點(diǎn)”兩個已知條件，再結(jié)合即可求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2．（23-24高三上·湖南·階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，P，Q分別為左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（為橢圓的離心率），的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足分別為、，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．求證：四邊形為梯形.【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題目條件得到，，結(jié)合，求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，表達(dá)出，，得到，，四邊形為梯形的充分必要條件是，即，變形得到，聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，從而證明出【詳解】（1）∵，∴，∴又，，解得，∴橢圓的方程；（2）證明：由（1）的結(jié)論可知，橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)Ax1,y1，.∵直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，∴由于直線與直線不平行，∴四邊形為梯形的充分必要條件是，即，即，即，∵，∴上式又等價于，即，由，得，，∴，，，∴成立，∴四邊形為梯形.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.考點(diǎn)五、向量類定值1．（四川·高考真題）過點(diǎn)C(0，1)的橢圓的離心率為，橢圓與x軸交于兩點(diǎn)、，過點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．（I）當(dāng)直線l過橢圓右焦點(diǎn)時，求線段CD的長；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時，求證：為定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）為定值，答案見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）由已知得，解得，所以橢圓方程為．橢圓的右焦點(diǎn)為，此時直線的方程為，代入橢圓方程得，解得，代入直線的方程得，所以，故．（Ⅱ）當(dāng)直線與軸垂直時與題意不符．設(shè)直線的方程為．代入橢圓方程得．解得，代入直線的方程得，所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為．又直線AC的方程為，又直線BD的方程為，聯(lián)立得因此，又．所以．故為定值．考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題平面向量數(shù)量積的運(yùn)算橢圓的簡單性質(zhì)．點(diǎn)評：本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，直線與曲線相交的弦長公式的應(yīng)用及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，屬于圓錐曲線問題的綜合應(yīng)用2．（23-24高二上·上海奉賢·期末）已知橢圓C:的左右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓C上一點(diǎn).(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求的面積；(2)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，且是鈍角，求橫坐標(biāo)的范圍；(3)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為0,1，且直線與橢圓C交于兩個不同的點(diǎn)A，B.求證：為定值.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，求出的值，再求的面積.（2）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，先明確的關(guān)系，再由余弦定理，表示出，由求的范圍.（3）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到，，并用它們表示出，進(jìn)行化簡整理即可.【詳解】（1）因為點(diǎn)在橢圓上，所以，因為，所以，因為，，所以，，，所以.（2）如圖：因為點(diǎn)M在橢圓上，所以，由余弦定理得因為是鈍角，所以，又因為，所以，解得，的范圍為.（3）如圖：設(shè)Ax1,由得，，，，又，，所以，即有為定值.3．（2024·北京通州·二模）已知橢圓：（）的長軸長為4，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)直線l過橢圓E的左焦點(diǎn)F，且與E交于兩點(diǎn)（不與左右頂點(diǎn)重合），點(diǎn)在軸正半軸上，直線交軸于點(diǎn)P，直線交軸于點(diǎn)，問是否存在，使得為定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，當(dāng)時，有定值．【分析】（1）根據(jù)長軸長為，離心率為，可得，得到標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）根據(jù)斜率存在，設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出，，表達(dá)出直線TM和直線TN，進(jìn)而求出為定值；斜率不存在，不妨設(shè)，，求出為定值.【詳解】（1）因為橢圓的長軸長為，離心率為，所以，．所以，．所以．所以橢圓的方程為．（2）若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，．

聯(lián)立方程組，消去，化簡得．則，即,設(shè)Mx1,所以，．所以直線TM的方程為，直線的方程為．所以，．所以，，所以．所以當(dāng)時，為定值，即（負(fù)值舍）時，有定值．當(dāng)時，若直線l斜率不存在，不妨設(shè)，，所以，．所以．綜上，當(dāng)時，有定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求解存在性的定值問題，分類討論，求解計算，計算量偏大.1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線與的斜率之積為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過的直線交曲線于兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再用斜率坐標(biāo)公式列式化簡即得.（2）設(shè)出直線的方程，與軌跡的方程聯(lián)立，并設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理計算求解即可.【詳解】（1）設(shè)，直線的斜率為，直線的斜率為，依題意，，整理得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，，直線的方程分別為，聯(lián)立這兩個方程得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由消去x得，，于是，，，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．2．（2023·天津·一模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為，橢圓的一個頂點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為2.已知直線與橢圓C交于A，B

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求k的值；(3)若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，求證：為定值.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積即可求出，則橢圓方程可得；（2）聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及向量相等的坐標(biāo)關(guān)系即可求出；（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算即可求出．【詳解】（1），，代入得.又橢圓的一個頂點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為2，即，即，以上各式聯(lián)立解得，則橢圓方程為.（2）直線y=kx?1與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，聯(lián)立，消去得:，，設(shè)Ax1,，，由得，解得:，由得.（3）證明：由（2）知，，.為定值.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓錐曲線中的定值問題常見的方法：從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．考點(diǎn)六、面積類定值1．（北京·高考真題）已知橢圓過點(diǎn)兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）設(shè)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積為定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)兩頂點(diǎn)坐標(biāo)可知，的值，則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解；（Ⅱ）四邊形的面積等于對角線乘積的一半，分別求出對角線，的值求乘積為定值即可．試題解析：（Ⅰ）由題意得，．所以橢圓的方程．又，所以離心率．（Ⅱ）設(shè)，則．又，，所以，直線的方程為．令，得，從而．直線的方程為．令，得，從而所以四邊形的面積．從而四邊形的面積為定值．考點(diǎn)：1、橢圓方程；2、直線和橢圓的關(guān)系．【方法點(diǎn)晴】本題考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，以及考查邏輯思維能力、分析與解決問題的綜合能力、運(yùn)算求解能力、方程思想與分類討論的思想．第一小題根據(jù)兩頂點(diǎn)坐標(biāo)可知，的值，則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解；第二小題四邊形的面積等于對角線乘積的一半，分別求出對角線，的值求乘積為定值即可．2．（22-23高二上·浙江臺州·期中）已知點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離比是.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)若直線與軌跡交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由.【答案】(1)(2)是定值，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得，即可求解；（2）利用韋達(dá)定理結(jié)合，可得，再利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式表示出三角形的面積，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，化解可得：.（2）設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程可得：，消去可得：，所以，即，則，，，把韋達(dá)定理代入可得：，整理得，滿足，又，而點(diǎn)到直線的距離，所以，把代入，則，可得是定值1.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.3．（2023·廣東·一模）已知橢圓：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若橢圓與橢圓的離心率相同，焦點(diǎn)都在同一坐標(biāo)軸上，橢圓的長軸長與橢圓的長軸長之比為.(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)A，B在橢圓上，若，則四邊形的面積是否為定值?若是，求出定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)面積是定值，為2.【分析】（1）利用橢圓的性質(zhì)計算即可；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)及三角形面積公式計算即可.【詳解】（1）根據(jù)題意易知兩橢圓焦點(diǎn)都在軸上，不妨設(shè)，易知橢圓的長軸長，所以橢圓的長軸長，橢圓的離心率，故橢圓的方程；（2）是定值，理由如下：設(shè)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上可知，因為，所以四邊形是平行四邊形，且，即①，又②，①-②得：，因為，所以，即，易得直線，所以點(diǎn)B到直線的距離為，所以平行四邊形的面積為，顯然面積是定值，定值為2.

【點(diǎn)睛】本題第二問利用設(shè)點(diǎn)法設(shè)，通過向量的線性運(yùn)算得出四邊形是平行四邊形，利用點(diǎn)坐標(biāo)滿足橢圓方程通過化簡得出橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，而難點(diǎn)在于構(gòu)造得出，繼而得到，余下利用點(diǎn)到直線的距離和面積公式計算即可.計算技巧性比較強(qiáng)，需要多去領(lǐng)悟總結(jié).1．（23-24高二上·陜西西安·期末）設(shè)點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線，與橢圓交于兩點(diǎn).(1)求證：;(2)的面積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)見解析(2)是定值，定值為【分析】（1）直線與橢圓方程聯(lián)立，證明的中點(diǎn)坐標(biāo)，即切點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）首先討論直線的斜率不存在的情況，以及直線的斜率存在時與橢圓方程聯(lián)立，并利用韋達(dá)定理表示弦長AB，并表示的面積.【詳解】（1）設(shè)直線斜率不存在，則點(diǎn)在軸上，由對稱性可知，，若直線的斜率存在，設(shè)，Ax1,y1，B聯(lián)立，可得，當(dāng)時，直線與橢圓切于點(diǎn)，，解得：，，當(dāng)時，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，綜上，；（2）若直線斜率不存在，則，與橢圓方程聯(lián)立可得，，，故，若直線的斜率存在，由（1）可得，，，點(diǎn)到直線的距離，所以，綜上的面積為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一問的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線與橢圓相交和相切的問題，轉(zhuǎn)化為證明的中點(diǎn)，即切點(diǎn).2．（23-24高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知A，B分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，，直線AB的斜率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與軌跡交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM，ON的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．【答案】(1)(2)定值1【分析】（1）由已知可得，計算即可得到橢圓的方程；（2）設(shè)聯(lián)立方程組，求得，又由直線OM，ON的斜率之積等于，化簡求得，再由弦長公式和面積公式，即可求解.【詳解】（1）由題意可知，，直線AB的斜率為．依題意得，橢圓的方程為（2）設(shè)，由，得，則，即，且，因為直線OM，ON的斜率之積等于，，所以，即，又O到直線MN的距離為,，所以.所以的面積為定值1.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將直線與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，再通過斜率乘積為定值得到，最后利用點(diǎn)到直線距離公式和弦長公式得到面積表達(dá)式，代入即可得到答案.3．（23-24高二上·廣東汕頭·期末）已知橢圓：的離心率為，且橢圓過點(diǎn)，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)，為橢圓上不同兩點(diǎn)，過橢圓上的點(diǎn)作，且，求證：的面積為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）依題意得到、、的方程組，解得即可；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，即可求出，，從而得到，則，再設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，再根據(jù)得到，最后根據(jù)計算可得；【詳解】（1）依題意，解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）可得，，設(shè)直線的方程為，代入得，它的兩個根為和，可得，，從而．因為，所以，若直線的斜率不存在，根據(jù)對稱性，則在橢圓的上（下）頂點(diǎn)處，不妨取為上頂點(diǎn)，則，由，解得或，所以或，所以，若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，將代入，整理得，由，則，，所以，化簡得，所以.綜上可得的面積等于，為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.4．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知，分別是雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，，點(diǎn)到的漸近線的距離為3.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；(2)已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動直線與相切，若與的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，求證：的面積為定值.【答案】(1)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線方程為(2)證明過程見詳解.【分析】（1）利用焦距求出，利用點(diǎn)到直線距離公式表示到的漸近線的距離求出，再利用求出，然后求出漸近線.（2）討論直線的斜率是否存在，且當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)，找到參數(shù)之間的關(guān)系，線段的長，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，求得面積，即可證明.【詳解】（1）因為，所以，因為F1?c,0，漸近線為，即則到的漸近線的距離為可表示為，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線方程為.（2）①當(dāng)直線經(jīng)過雙曲線的頂點(diǎn)時直線的斜率不存在，此時直線方程為，此時易得，點(diǎn)到直線的距離為，所以此時②當(dāng)直線的斜率存在時設(shè)直線為，由得因為直線于雙曲線相切，所以且，整理得且，即由得，則同理得到所以點(diǎn)到直線的距離所以所以的面積為定值3.

【點(diǎn)睛】利用，找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用公式求得AB，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，進(jìn)而求出面積是解題關(guān)鍵.考點(diǎn)七、距離類定值1．（2024·江蘇鹽城·一模）已知拋物線：，圓：，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若直線：分別與拋物線相交于點(diǎn)A，（在B的左側(cè)）、與圓相交于點(diǎn)S，（S在的左側(cè)），且與的面積相等，求出的取值范圍；(2)已知，，是拋物線上的三個點(diǎn)，且任意兩點(diǎn)連線斜率都存在.其中，均與圓相切，請判斷此時圓心到直線的距離是否為定值，如果是定值，請求出定值；若不是定值，請說明理由.【答案】(1)(2)是，定值為1.【分析】（1）根據(jù)題意，將三角形面積相等轉(zhuǎn)化為，再利用設(shè)而不求分別求得，，從而得到，再由判別式即可得解.（2）充分利用，得到直線與的方程，利用與圓相切的性質(zhì)同構(gòu)出直線的方程，從而得解.【詳解】（1）因為與的面積相等，且與的高均為原點(diǎn)到直線的距離，所以，則，設(shè)Ax1,y1，B則，即，直線：代入拋物線，得，因為直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，所以，則，直線：代入圓：，得，因為直線與圓于S，T兩點(diǎn)，所以，即，即，所以，由，得，又，則，將其代入得，解得；將其代入得，解得.綜上，的取值范圍為0,2.

（2）由題，易知直線，，斜率一定存在，設(shè)，，，則，則直線的方程為：，即，即，因為圓：的圓心為，半徑為，因為直線與圓相切，則，平方化簡得：，看成關(guān)于，為變量的式子得：，同理得直線與圓C相切，化簡式子后得：，所以可以同構(gòu)出直線的方程為：，所以圓心到直線的距離為：，此時圓心到直線的距離為定值，定值為.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求