d112對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

第二節(jié)一、對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分概念與性質(zhì)二、對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分計(jì)算法三、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間聯(lián)絡(luò)對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分第十一章第1頁(yè)一、對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分概念與性質(zhì)1.

引例:變力沿曲線(xiàn)所作功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受以下變力作用在xOy平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線(xiàn)弧L移動(dòng)到點(diǎn)B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線(xiàn)所作功處理方法:動(dòng)過(guò)程中變力所作功W.第2頁(yè)1)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個(gè)小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做功為F沿則用有向線(xiàn)段上任取一點(diǎn)在第3頁(yè)3)“近似和”4)“取極限”(其中

為n個(gè)小弧段最大長(zhǎng)度)第4頁(yè)2.定義.設(shè)L為xOy平面內(nèi)從A到B一條有向光滑弧,若對(duì)L任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn),都存在,在有向曲線(xiàn)弧L上對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分,則稱(chēng)此極限為函數(shù)或第二類(lèi)曲線(xiàn)積分.其中,L稱(chēng)為積分弧段或積分曲線(xiàn).稱(chēng)為被積函數(shù),在L上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限記作第5頁(yè)若

為空間曲線(xiàn)弧,記稱(chēng)為對(duì)x曲線(xiàn)積分;稱(chēng)為對(duì)y曲線(xiàn)積分.若記,對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分也可寫(xiě)作類(lèi)似地,第6頁(yè)3.性質(zhì)(1)若L可分成k條有向光滑曲線(xiàn)弧(2)用L－

表示L反向弧,則則

定積分是第二類(lèi)曲線(xiàn)積分特例.說(shuō)明:

對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分必須注意積分弧段方向!第7頁(yè)二、對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分計(jì)算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L參數(shù)方程為則曲線(xiàn)積分連續(xù),證實(shí):下面先證存在,且有第8頁(yè)對(duì)應(yīng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn)依據(jù)定義因?yàn)閷?duì)應(yīng)參數(shù)因?yàn)長(zhǎng)為光滑弧,同理可證第9頁(yè)尤其是,假如L方程為則對(duì)空間光滑曲線(xiàn)弧

:類(lèi)似有定理第10頁(yè)例1.計(jì)算其中L為沿拋物線(xiàn)解法1取x為參數(shù),則解法2取y為參數(shù),則從點(diǎn)一段.第11頁(yè)例2.計(jì)算其中L為(1)半徑為a圓心在原點(diǎn)上半圓周,方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)B(–a,0).解:(1)取L參數(shù)方程為(2)取L方程為則則第12頁(yè)例3.計(jì)算其中L為(1)拋物線(xiàn)(2)拋物線(xiàn)(3)有向折線(xiàn)

解:

(1)原式(2)原式(3)原式第13頁(yè)例4.設(shè)在力場(chǎng)作用下,質(zhì)點(diǎn)由沿

移動(dòng)到解:(1)(2)

參數(shù)方程為試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作功.其中

為第14頁(yè)例5.求其中從z軸正向看為順時(shí)針?lè)较?解:取

參數(shù)方程第15頁(yè)三、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間聯(lián)絡(luò)設(shè)有向光滑弧L以弧長(zhǎng)為參數(shù)

參數(shù)方程為已知L切向量方向余弦為則兩類(lèi)曲線(xiàn)積分有以下聯(lián)絡(luò)第16頁(yè)類(lèi)似地,在空間曲線(xiàn)

上兩類(lèi)曲線(xiàn)積分聯(lián)絡(luò)是令記A在t上投影為第17頁(yè)二者夾角為

例6.設(shè)曲線(xiàn)段L長(zhǎng)度為s,證實(shí)續(xù),證:設(shè)說(shuō)明:

上述證法可推廣到三維第二類(lèi)曲線(xiàn)積分.在L上連第18頁(yè)例7.將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)積分,解：其中L沿上半圓周第19頁(yè)1.定義2.性質(zhì)(1)L可分成k條有向光滑曲線(xiàn)弧(2)L－

表示L反向弧對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分必須注意積分弧段方向!內(nèi)容小結(jié)第20頁(yè)3.計(jì)算?對(duì)有向光滑弧?對(duì)有向光滑弧第21頁(yè)4.兩類(lèi)曲線(xiàn)積分聯(lián)絡(luò)?對(duì)空間有向光滑弧

:第22頁(yè)原點(diǎn)O距離成正比,思索與練習(xí)1.設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在處受恒指向原點(diǎn),沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)沿逆時(shí)針移動(dòng)到提醒:(解見(jiàn)P196例5)F大小與M到原F方向力F作用,求力F所作功.思索:若題中F方向改為與OM垂直且與y軸夾銳角,則第23頁(yè)2.

已知為折線(xiàn)ABCOA(如圖),計(jì)算提醒:第24頁(yè)作業(yè)P1983(2),(4),(6),(7);

4;5;7;8第三節(jié)第25頁(yè)備用題1.解:線(xiàn)移動(dòng)到向坐標(biāo)原點(diǎn),其大小與作用點(diǎn)到xOy面距離成反比.沿直求F所作功W.已知F方向指一質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)F作用下由點(diǎn)第26