第01講 平面向量與三角形中的范圍與最值問(wèn)題（五大題型）（原卷版）

第01講平面向量與三角形中的范圍與最值問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：定義法題型二：坐標(biāo)法題型三：基底法題型四：幾何意義法題型五：極化恒等式【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一．平面向量范圍與最值問(wèn)題常用方法：1、定義法第一步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問(wèn)題第三步：得出結(jié)論2、坐標(biāo)法第一步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)第二步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解3、基底法第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論4、幾何意義法第一步：先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式第三步：解得結(jié)果知識(shí)點(diǎn)二．極化恒等式1、平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：（1）（2）（2）兩式相加得：2、極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式（1）平行四邊形模式：幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的．（2）三角形模式：（M為BD的中點(diǎn)）AABCM知識(shí)點(diǎn)三．在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問(wèn)題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)．解決這類問(wèn)題，通常有下列五種解題技巧：（1）利用基本不等式求范圍或最值；（2）利用三角函數(shù)求范圍或最值；（3）利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；（4）根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；（5）利用二次函數(shù)求范圍或最值．要建立所求量（式子）與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍（也就是函數(shù)的定義域）找完善，避免結(jié)果的范圍過(guò)大．【典例例題】題型一：定義法【例1】（2023·廣西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)是的邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·江蘇南京·高一南京市寧海中學(xué)校聯(lián)考期中）已知向量均為單位向量，且，向量滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．題型二：坐標(biāo)法【例2】（2023·江蘇南通·高一?？计谀┤鐖D所示，邊長(zhǎng)為的正，以的中點(diǎn)為圓心，為直徑在點(diǎn)的另一側(cè)作半圓弧，點(diǎn)在圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為_(kāi)_____.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·上海閔行·高一閔行中學(xué)?？计谀┮阎矫嫦蛄?，其中，則的取值范圍是__________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·北京通州·高一統(tǒng)考期中）在正方形中，，P為邊的中點(diǎn)，Q為邊的中點(diǎn)，M為邊（包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是_________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·四川廣元·高一廣元中學(xué)校考期中）已知向量，，當(dāng)取得最大值時(shí)，______．題型三：基底法【例3】（2023·福建三明·高一三明一中?？计谥校┮阎詾閳A心的單位圓上有兩個(gè)定點(diǎn)、及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知的外心為，且滿足，（其中，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．5題型四：幾何意義法【例4】（2023·江蘇南京·高一南京市第一中學(xué)?？计谥校┫蛄浚?，若與的夾角為，則的最大值為（

）A．2 B． C．4 D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則（

）A． B．2 C． D．1題型五：極化恒等式【例5】（2023·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知圖中正六邊形的邊長(zhǎng)為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，為圓O的直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·福建福州·高一福建省福州高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎呴L(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)接于圓O，點(diǎn)P是正方形ABCD四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，MN是圓O的一條直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【真題演練】1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為_(kāi)________；若，則的最大值為_(kāi)________．4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，，D是AC中點(diǎn)，，試用表示為_(kāi)__________，若，則的最大值為_(kāi)___________5．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E．且交AC于點(diǎn)F,則的值為_(kāi)___________；的最小值為_(kāi)___________．6．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)________．7．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．8．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為_(kāi)__________.9．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，為單位向量，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為_(kāi)______．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·北京·高一中關(guān)村中學(xué)校考期中）已知是單位向量，向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC＝2，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·北京大興·高一統(tǒng)考期中）已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．以上答案均不對(duì)5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知平面向量與的夾角為，若恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2023·福建泉州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若正的邊長(zhǎng)為4，為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是邊長(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知平面向量，，均為單位向量，且，的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·河北唐山·高一校聯(lián)考期中）在正方形中，，點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．存在，使得D．的最小值為210．（2023·江蘇連云港·高一校考期中）如圖，在四邊形ABCD中，，，，且，，則（

）

A．B．實(shí)數(shù)的值為C．D．若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為11．（2023·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)非零向量，滿足，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．與的夾角為 B．C．有最大值 D．12．（2023·福建南平·高一武夷山一中?？计谥校﹫A冪定理是平面幾何中的一個(gè)定理，是相交弦定理、割線定理、切割線定理的統(tǒng)一，（其中相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等，例如，如果交點(diǎn)為的兩條相交直線與圓相交于與，則），如下圖，已知圓的半徑為3，點(diǎn)是圓內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦、均過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．· B．·的取值范圍是C．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，·為定值 D．AC⊥BD時(shí)，·的最大值為28三、填空題13．（2023·重慶·高一重慶一中?？计谥校┮阎矫嫦蛄繚M足，則的最大值為_(kāi)_________.14．（2023·廣西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，為對(duì)角線的交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_____．15．（2023·上海徐匯·