《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)（微課版）》 習(xí)題及答案匯 周永衛(wèi) 第1-10章

PAGEPAGE8概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)習(xí)題及參考答案習(xí)題1.11．寫出下列試驗(yàn)的樣本空間，并把事件用集合形式表示.（1）擲一顆骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn).（2）擲二顆骰子，A=“所得點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，且只有一個(gè)1點(diǎn).”B=“所得點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，沒有1點(diǎn)出現(xiàn).”（3）將一枚硬幣拋兩次，A=“第一次出現(xiàn)正面.”B=“至少有一次出現(xiàn)正面.”C=“兩次出現(xiàn)同一面.”【解】（1）（2）（3）2.設(shè)A，B，C為三個(gè)事件，試用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件：（1）A發(fā)生，B，C都不發(fā)生；（2）A與B發(fā)生，C不發(fā)生；（3）A，B，C都發(fā)生；（4）A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生；（5）A，B，C都不發(fā)生；（6）A，B，C不都發(fā)生；（7）A，B，C至多有2個(gè)發(fā)生；（8）A，B，C至少有2個(gè)發(fā)生.【解】（1）A（2）AB（3）ABC（4）A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=(5)=(6)(7)BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪(8)AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC3.判斷下面等式是否正確，并說明原因.（1）A∪B=（AB）∪B；（2）B=A∪B；（3）∩C=C；（4）（AB）（）=；（5）若AB，則A=AB；（6）若AB=，且CA，則BC=；（7）若AB，則；（8）若BA,則A∪B=A.【解】（1）錯(cuò)（2）錯(cuò)（3）對（4）對（5）對（6）對（7）錯(cuò)（8）對習(xí)題1.2從52張牌中任取13張牌，求恰好有5張黑桃，3張紅心，2張梅花，3張方塊的概率.【解】設(shè)A=“所抽取13張牌中恰好有5張黑桃，3張紅心，2張梅花，3張方塊”，則2.數(shù)學(xué)學(xué)院2023級(jí)5名學(xué)生組成一創(chuàng)新訓(xùn)練小組，考慮這5名學(xué)生的生日，求下列事件的概率（1）5名學(xué)生的生日都在星期一；（2）5名學(xué)生的生日都不在星期一；（3）5名學(xué)生的生日不都在星期一?！窘狻浚?）設(shè)A1=“5名學(xué)生的生日都在星期一”，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1個(gè)，故P（A1）==（）5（2）設(shè)A2=“5名學(xué)生的生日都不在星期一”，有利事件數(shù)為65，故P（A2）==()5(3)設(shè)A3=“5名學(xué)生的生日不都在星期一”，P（A3）=1P(A1)=1()5一批產(chǎn)品50件，其中有5件次品，從中任取3件，求有一件次品的概率.【解】設(shè)A=“任取3件產(chǎn)品中有一件次品”，則4.從一批由M件正品，件正品組成的產(chǎn)品中任取n件產(chǎn)品，求在下列抽樣方法下，所抽取的n件產(chǎn)品中有件正品的概率.（1）一次抽取n件產(chǎn)品；（2）無放回抽樣；（3）有放回抽樣.【解】（1）設(shè)A=“一次抽取n件產(chǎn)品，所抽取的n件產(chǎn)品中有件正品”，則(2)設(shè)B=“無放回抽樣時(shí)，所抽取的n件產(chǎn)品中有件正品”.由于是無放回抽樣，可用排列法計(jì)算.樣本點(diǎn)總數(shù)有種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種.對于固定的一種正品與次品的抽取次序，從M件正品中取m件的排列數(shù)有種，從NM件次品中取nm件的排列數(shù)為種，故P（B）=由于無放回抽樣也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成P（B）=可以看出，用第二種方法簡便得多.（3）設(shè)C=“有放回抽樣時(shí)，所抽取的n件產(chǎn)品中有件正品”.由于是有放回抽樣，每次都有N種取法，故所有可能的取法總數(shù)為Nn種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種，對于固定的一種正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M種取法，共有Mm種取法，nm次取次品，每次都有NM種取法，共（NM）nm種取法，故此題也可用貝努利概型，共做了n重貝努利試驗(yàn)，每次取得正品的概率為，則取得m件正品的概率為.某地區(qū)的電話號(hào)碼是由8打頭的8位數(shù)組成，后面7位數(shù)從0，1,2，…,9中等可能的取值，任取一電話號(hào)碼，求該號(hào)碼的后面4位數(shù)全不相同的概率.【解】設(shè)A=“所取電話號(hào)碼的后面4位數(shù)全不相同”，則50個(gè)乒乓球中有3個(gè)舊球，現(xiàn)有10支只隊(duì)伍比賽，每支隊(duì)伍隨機(jī)抽取3個(gè)乒乓球，求有一支隊(duì)伍抽到3個(gè)舊球的概率.【解】設(shè)A=“一支隊(duì)伍抽到3個(gè)舊球”從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率.【解】設(shè)A=“至少有兩只配成一雙”；（法一）=1\*GB3①僅配成一雙=2\*GB3②配成兩雙則（法二）均不配成雙是所求事件的逆事件甲乙兩名學(xué)生約定下午4:00-5:00在圖書館見面，求一人要等待另一人0.5小時(shí)以上的概率.題8圖【解】設(shè)兩人到達(dá)時(shí)刻為x,y,則0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人0.5小時(shí)以上”等價(jià)于|xy|>30.如圖陰影部分所示.9.從（0，1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求：（1）兩個(gè)數(shù)之和小于的概率；（2）兩個(gè)數(shù)之積小于的概率.【解】設(shè)兩數(shù)為x,y，則0<x,y<1.（1）x+y<.(2)xy=<.題9圖10.袋中有5個(gè)紅球，3個(gè)黃球，2個(gè)黑球，現(xiàn)任取一球，觀察其顏色后放回，如此繼續(xù)，求在取得黃球之前取得紅球的概率?！窘狻咳N情況：“第一次取得黃球”“取得黃球之前取得紅球”“取得黃球之前全取黑球”所以11.一層電梯有6名乘客，乘客在2-11層下電梯是等可能的，求（1）指定一層有2名乘客下電梯的概率（2）恰有2位名乘客在同一層離開電梯的概率（3）至少有2名乘客在同一層離開電梯的概率【解】由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結(jié)果為106種.（1），也可由6重貝努利模型：（2）由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有種可能結(jié)果，再從六人中選二人在該層離開，有種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時(shí)離開的情況，因此可包含以下三種離開方式：①4人中有3個(gè)人在同一層離開，另一人在其余8層中任一層離開，共有種可能結(jié)果；②4人同時(shí)離開，有種可能結(jié)果；③4個(gè)人都不在同一層離開，有種可能結(jié)果，故（3）設(shè)C=“至少有2名乘客在同一層離開電梯”，則“6個(gè)人在十層中任意六層離開”，故所以12.n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐，（1）求甲、乙兩人坐在一起的概率；（2）求甲、乙、丙三人坐在一起的概率；【解】（1）(2)13.在線段內(nèi)任取兩點(diǎn)將其分為三段，求其能構(gòu)成一三角形的概率.【解】設(shè)這三段長分別為x,y,axy.則基本事件集為由0<x<a,0<y<a,0<axy<a所構(gòu)成的圖形，有利事件集為由構(gòu)成的圖形，即題13圖如圖陰影部分所示，故所求概率為.14.一正方體表面全部涂上紅色，先將其等分成1000個(gè)小立方體，并從中隨機(jī)抽取1個(gè)小立方體，求其有兩個(gè)面是紅色的概率.【解】設(shè)A=“小立方體有兩面是紅色”在1000個(gè)小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的，這樣的小立方體共有8個(gè).只有位于原立方體的棱上（除去八個(gè)角外）的小立方體是兩面紅色的，這樣的小立方體共有12×8=96個(gè).故所求概率為.15.3個(gè)乒乓球隨機(jī)放入4個(gè)袋子中，求袋子中乒乓球的最大個(gè)數(shù)分別為1，2，3的概率.【解】設(shè)=“袋子中乒乓球的最大個(gè)數(shù)為i”，i=1,2,3.將3個(gè)乒乓球隨機(jī)放入4個(gè)袋子中，全部可能放法有43種，袋子中球的最大個(gè)數(shù)為1時(shí)，每個(gè)袋子中最多放一球，故而袋子中球的最大個(gè)數(shù)為3，即三個(gè)球全放入一個(gè)袋子中，故因此或16.某景區(qū)有輛觀光車，名游客隨機(jī)乘坐觀光車，求每一輛觀光車上都有游客的概率.【解】設(shè)Ai=“第i輛觀光車沒有游客”，（i=1,…,n）,則其中i1,i2,…,in1是1，2，…，n中的任n1個(gè).顯然n輛觀光車全空的概率是零，于是故所求概率為習(xí)題1.31.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且P（A）=0.7,(A-B)=0.3，求P（）.【解】P（）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)]=1[0.70.3]=0.62.設(shè)A，B是兩事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么條件下P（AB）取到最大值？（2）在什么條件下P（AB）取到最小值？【解】（1）當(dāng)AB=A時(shí)，P（AB）取到最大值為0.6.（2）當(dāng)A∪B=Ω時(shí)，P（AB）取到最小值為0.3.3.為三個(gè)隨機(jī)事件，，，，，求為三事件中至少發(fā)生一個(gè)的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=++=袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中任取3個(gè)，求至少有2個(gè)紅球的概率.【解】設(shè)Ai=“恰有i個(gè)紅球”（i=2,3），顯然A2與A3互斥.故5.鄭州市某天刮風(fēng)的概率為0.3,下雨的概率為0.5，既刮風(fēng)又下雨的概率為0.1，求：（1）在下雨條件下刮風(fēng)的概率；（2）這天下雨或刮風(fēng)的概率.【解】設(shè)A=“下雨”，B=“刮風(fēng)”.（1）（2）6.某家庭有3個(gè)孩子，已知有一個(gè)女孩，求這個(gè)家庭至多有2個(gè)女孩的概率.【解】設(shè)A=“其中一個(gè)為女孩”，B=“至多有2個(gè)女孩”，樣本點(diǎn)總數(shù)為23=8，故或在縮減樣本空間中求，此時(shí)樣本點(diǎn)總數(shù)為7.7.設(shè),P(B)=0.4,，求.【解】證明“確定的原則”（Surething）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|)≥P(B|)，則P（A）≥P(B).【證】由P（A|C）≥P(B|C),得即有同理由得故對任意的隨機(jī)事件A，B，C，試證.【證】習(xí)題1.4統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，男性中約5%是色盲患者，女性中0.25%是色盲患者.今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)抽取一人，此人恰好是色盲患者，求此人是女性概率.【解】設(shè)A={此人是女人}，B={此人是色盲}，則由貝葉斯公式2.袋中有15個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)新球，使用時(shí)任取3球，用后放回.求第二次使用時(shí)所取3球均為新球的概率【解】設(shè)Ai=“第一次取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球”，i=0,1,2,3.B=“第二次取出的3球均為新球”由全概率公式，有3.統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，學(xué)習(xí)認(rèn)真的學(xué)生中90%的可能通過四級(jí)考試，學(xué)習(xí)不認(rèn)真的學(xué)生中90%的可能通不過四級(jí)考試，已知80%的學(xué)生學(xué)習(xí)是認(rèn)真的，求(1)通過四級(jí)考試的學(xué)生是不認(rèn)真學(xué)習(xí)的學(xué)生的概率(2)未通過四級(jí)考試的學(xué)生是認(rèn)真學(xué)習(xí)的學(xué)生的概率【解】設(shè)A=“被調(diào)查學(xué)生是認(rèn)真學(xué)習(xí)的”，則=“被調(diào)查學(xué)生是不認(rèn)真學(xué)習(xí)的”.由題意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又設(shè)B=“被調(diào)查學(xué)生通過四級(jí)考試”，由題意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由貝葉斯公式知（1）即通過四級(jí)考試的學(xué)生中不認(rèn)真學(xué)習(xí)的僅占2.702%(2)即未通過四級(jí)考試的學(xué)生中認(rèn)真學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.某人有n把外形完全一樣的鑰匙，但只有一把能把門打開，他逐一試開，求他第k次才能成功的概率.【解】習(xí)題1.51.甲乙兩名射手命中率分別為0.8和0.7，兩人各射擊一次，求（1）都射中的概率；（2）至少有一人射中的概率；（3）恰有一人射中的概率.【解】設(shè)A1=“甲射中目標(biāo)”；A2=“乙射中目標(biāo)”；(1)(2)(3)2.投擲一枚硬幣，第三次出現(xiàn)正面試驗(yàn)停止.求（1）正好在第6次停止的概率；（2）已知試驗(yàn)第6次停止，求第5次出現(xiàn)的也是正面的概率.【解】（1）(2)3.甲乙兩名射手命中率分別為0.7和0.6，兩人各射擊3次，求二人命中目標(biāo)次數(shù)相等的概率.【解】設(shè)Ai=“甲命中i次”，Bi=“乙命中i次”,i=0,1,2,3,則=0.320764.某零件需要4道獨(dú)立加工工序，四道工序合格品率分別為0.98,0.97,0.95,0.97，求零件的合格品率.【解】設(shè)Ai=“第i道工序合格”，（i=1,2,3,4）.試驗(yàn)成功的概率為0.2，至少需多少次獨(dú)立試驗(yàn)才能使至少成功一次的概率不小于0.9【解】設(shè)至少需進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn).即為故n≥11至少需進(jìn)行11次獨(dú)立試驗(yàn)證明：若P（A｜B)=P(A｜)，則A，B相互獨(dú)立.【證】即亦即因此故A與B相互獨(dú)立.三名科研人員獨(dú)立地攻克一技術(shù)難題，他們能成功的概率分別為，求此難題被攻克的概率.【解】設(shè)Ai=“第i名科研人員攻克難題”（i=1,2,3），則擲一顆骰子兩次，考慮事件“第一次擲得點(diǎn)數(shù)2或5”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和至少為7”，求，，并問，是否獨(dú)立.【解】顯然，，所以，相互獨(dú)立.9.某種疾病的治愈率為25%，現(xiàn)有一種新藥物，為測試其治療效果是否有效，現(xiàn)把該藥物分給10名患者服用，若10名患者中至少有4人治愈，則認(rèn)為有效，求（1）該藥有效，若治愈率為35%，試驗(yàn)認(rèn)為無效的概率.（2）該藥無效，但試驗(yàn)認(rèn)為有效的概率.【解】（1）(2)10.投擲一硬幣2n次，求正面朝上次數(shù)大于反面朝上次數(shù)的概率.【解】擲2n次硬幣，可能出現(xiàn)：A=“正面次數(shù)多于反面次數(shù)”，B=“正面次數(shù)少于反面次數(shù)”，C=“正面次數(shù)等于反面次數(shù)”，A，B，C兩兩互斥.由于硬幣是均勻的，故P（A）=P（B）.所以由2n重貝努利試驗(yàn)中正面出現(xiàn)n次的概率為故甲乙兩名射手命中率均為0.5，甲射擊n+1次，乙射擊n次，求甲命中次數(shù)多于乙命中次數(shù)的概率.【解】令甲中=甲命中次數(shù)，甲不中=甲沒有命中次數(shù).乙中=乙命中次數(shù)，乙不中=乙沒有命中次數(shù).顯然有=（甲中≤乙中）=（n+1甲不中≤n乙不中）=（甲不中≥1+乙不中）=（甲不中>乙不中）由對稱性知P（甲中>乙中）=P（甲不中>乙不中）因此P(甲中>乙中)=試驗(yàn)中事件發(fā)生概率為，試證：無論如何小，只要試驗(yàn)次數(shù)充分多，最終必會(huì)發(fā)生.【證】在前n次試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為求在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.【解】設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.則由以上兩式相減得所求概率為若要求在n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得.習(xí)題1.6設(shè)有50個(gè)人去看電影，只有30張電影票，于是進(jìn)行抽簽決定誰去，利用MATLAB軟件求第21個(gè)抽簽者抽到電影票的概率.【解】設(shè)事件A為“21個(gè)抽簽者抽到電影票”，則由古典概型知.MATLAB程序：clcN=input('請輸入一個(gè)正整數(shù)：');sum=0;fori=1:NA=[ones(1,30)zeros(1,20)];randIndex_A=randperm(50);B=A(randIndex_A);sum=sum+B(21);endP=sum/N運(yùn)行結(jié)果如下表：N1001000500010000100000P0.65000.62600.60720.59420.5979一個(gè)盒子中有100件電子元件，其中70件正品，30件次品，從中不放回地抽取4次，每次1件，利用MATLAB求第一、二次取得次品且第三、四次取得正品的概率.【解】程序代碼clc;n=100;%袋子中球的總數(shù)n1=70;%袋子中白球的總數(shù)n2=30;%袋子中黑球的總數(shù)k=4;%取出球的總數(shù)k1=2;%取出白球的總數(shù)k2=2;%取出黑球的總數(shù)p=(factorial(n1)/factorial(n1-k1)*factorial(n2)/factorial(n2-k2))/(factorial(n)/factorial(n-k))%計(jì)算概率輸出結(jié)果：p=0.0447一質(zhì)點(diǎn)從平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)開始，等可能地向上、下、左、右四個(gè)方向隨機(jī)游走，每次游走的距離為1.利用MATLAB軟件計(jì)算經(jīng)過2n次游走后，質(zhì)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)的概率；經(jīng)過2n次游走后，質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為（X=i，Y=j）(i≥0,j≥0)的概率.【解】（1）樣本空間S中有個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件A為“質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過2n次游走后，質(zhì)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)”，A發(fā)生，說明向左和向右的游走次數(shù)相等、向上和向下的游走次數(shù)相等，設(shè)事件表示“質(zhì)點(diǎn)上下游走各k次、左右游走各n-k次”，則中包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，于是，可得.(2)設(shè)為“經(jīng)過2n次游走后，質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為（X=i，Y=j）”(i≥0,j≥0)，因此i與j同為奇數(shù)或同為偶數(shù).設(shè)質(zhì)點(diǎn)向左游走k次、向下游走t次，則向右游走i+k次、向上游走j+t次，且有i+j+2(k+t)=2n,從而有，設(shè)事件為“質(zhì)點(diǎn)向左游走k次、向下游走次，則向右游走i+k次、向上游走次”，則.MATLAB程序代碼clcn=input('請輸入游走次數(shù)n：');i=input('請輸入質(zhì)點(diǎn)的橫坐標(biāo)i：');j=input('請輸入質(zhì)點(diǎn)的縱坐標(biāo)j：');P=0;N=4^(2*n);M=factorial(2*n);fork=0:n-(i+j)/2P=P+M/(N*factorial(k)*factorial(i+k)*factorial(n-k-(i+j)/2)*factorial(n-k+(j-i)/2));endP結(jié)果：(1)n=10,P(A)=0.0310;n=20,P(A)=0.0157.n=10,i=1,j=3,P(H)=0.0192;n=20,i=4,j=6,P(H)=0.0044.第1章考研真題1.隨機(jī)地向半圓0<y<(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于π/4的概率為多少？（1991研考）【解】利用幾何概率來求，圖中半圓面積為πa2.陰影部分面積為故所求概率為2.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.（1993研考）【解】設(shè)A=“兩件中至少有一件是不合格品”，B=“另一件也是不合格品”3.設(shè)A，B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，求P{（+B）（A+B）（+）（A+）}的值.（1997研考）【解】因?yàn)椋ˋ∪B）∩（∪）=A∪B（∪B）∩（A∪）=AB∪所求故所求值為0.4.設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3份、7份和5份.隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后抽出兩份.（1）求先抽到的一份是女生表的概率p；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.（1998研考）【解】設(shè)Ai=“報(bào)名表是取自第i區(qū)的考生”，i=1,2,3.Bj=“第j次取出的是女生表”，j=1,2.則(1)(2)而故設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件，A，B和C滿足條件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.（1999研考）【解】由故或,按題設(shè)P（A）<,故P（A）=.6.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求P（A）.（2000研考）【解】①②故故③由A,B的獨(dú)立性，及①、③式有故故或（舍去）即.7.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,試比較P(A∪B)與P(A)的大小.(2006研考)【解】因?yàn)樗?8.設(shè)是隨機(jī)事件，互不相容，,,則________。(2012研考)【解】因?yàn)榛ゲ幌嗳?，所?9.設(shè)隨機(jī)事件與相互獨(dú)立，且，，則()(A)(B)(C)(D)(2014研考)【解】所以，選B10.若A,B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則()(A)(B)(C)(D)(2015研考)【解】因?yàn)椋?，選C11.設(shè)為隨機(jī)概率，若,,則的充分必要條件是（）(A)(B)(C)(D)(2017研考)【解】由得，，即等價(jià)于由得，，即等價(jià)于.選A12.設(shè)隨機(jī)事件獨(dú)立，獨(dú)立，若,,則________。(2018研考)【解】由得，，所以.得13.若A,B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則的充分必要條件是()(A)(B)(C)(D)(2019研考)【解】，.則的充分必要條件是.即，選C14.設(shè)隨機(jī)事件，若,,則中恰有一個(gè)事件發(fā)生的概率為（）(A)(B)(C)(D)(2020研考)【解】則中恰有一個(gè)事件發(fā)生的概率為，選D15.若A,B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，且，則下列命題中不成立的是()(A)若，則(B)若，則(C)若，則(D)若，則(2021研考)【解】由可得，所以A,B獨(dú)立.從而由可得從而由可得，整理得.所以選D16.設(shè)隨機(jī)事件滿足互不相容，互不相容，獨(dú)立，若,則.(2022研考)【解】顯然.習(xí)題2.11.試用隨機(jī)變量描述下列試驗(yàn).（1）某城市110呼叫中心每天收到的呼叫次數(shù)；（2）某公交汽車站，每隔10分鐘有一輛114路公交車通過，觀察乘客等車時(shí)間.【解】（1）X表示“呼叫次數(shù)”，則X=i表示“呼叫i次”，i=0,1,2,…；（2）X表示“乘客等車時(shí)間”，則X取值于[0,10]上所有實(shí)數(shù).2.盒中裝有大小相同的10個(gè)球，編號(hào)分別為0，1，…，9，從中任取一個(gè)球，觀察其號(hào)碼.用隨機(jī)變量表示事件“號(hào)碼小于5”，“號(hào)碼等于5”，“號(hào)碼大于5”，并求其概率.【解】設(shè)隨機(jī)變量X表示取到球的號(hào)碼，則X的所有可能取值為0，1，…，9.X<5表示“號(hào)碼小于5”，且；X=5表示“號(hào)碼等于5”，且；X>5表示“號(hào)碼大于5”，且.習(xí)題2.21.袋中有5只同樣大小的球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5.在袋中任取3只球，設(shè)X表示3只球中的最大號(hào)碼，試求X的分布律.【解】隨機(jī)變量X的可能取值為3,4,5，且故X的分布律為X345P0.10.30.62.設(shè)每次同時(shí)拋擲兩枚骰子，直到有一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止，設(shè)拋擲次數(shù)為X，試求X的分布律.【解】設(shè)Ai={第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)},（i=1,2），P(Ai)=.且A1與A2相互獨(dú)立，再設(shè)C=“每次拋擲出現(xiàn)6點(diǎn)”.則故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布.3.（1）設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=，其中k=0,1,2,…,λ＞0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.（2）設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=a/N，k=1，2，…，N，試確定常數(shù)a.【解】（1）由，則.（2）由，則.4.設(shè)某停車場每天有200輛車在此停車，為方便車主充電，該停車場計(jì)劃配備充電樁.設(shè)每天某一時(shí)刻每輛車在此充電的概率為0.02，且各輛車是否充電相互獨(dú)立.試問該停車場需配備多少個(gè)充電樁，才能保證某一時(shí)刻每輛車需充電而沒有空余充電樁的概率小于0.01？【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需要充電的汽車數(shù)，則X~b(200,0.02)，設(shè)該停車場需配備N個(gè)充電樁，則有，即，利用泊松近似，則，查表得N≥9，故至少應(yīng)配備9個(gè)充電樁.5.設(shè)每天有大量汽車通過一個(gè)十字路口，設(shè)每輛車在一天的某時(shí)段出事故的概率為0.0001.在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車通過這個(gè)路口，試?yán)貌此啥ɡ碛?jì)算出事故的次數(shù)不小于2的概率.【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則X~b(1000，0.0001)，由泊松定理可知，X近似服從P(0.1).則6.設(shè)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行5次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)為X.若，試求概率.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則，故.則.7.設(shè)抽檢產(chǎn)品時(shí)，每次抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn).設(shè)每次抽檢取到不合格品的概率為0.3，當(dāng)取到不合品不少于3次時(shí)，機(jī)器暫停運(yùn)行.（1）抽檢5次產(chǎn)品，試求機(jī)器暫停運(yùn)行的概率；（2）抽檢7次產(chǎn)品，試求機(jī)器暫停運(yùn)行的概率.【解】（1）設(shè)X表示抽檢5次產(chǎn)品時(shí)取到次品的次數(shù)，有X~b(5,0.3)，則.（2）設(shè)Y表示抽檢75次產(chǎn)品時(shí)取到次品的次數(shù)，有Y~b(7,0.3)，則.8.設(shè)某市110指揮中心在時(shí)長t小時(shí)的時(shí)間間隔內(nèi)，收到的報(bào)警次數(shù)X服從P(t/2)，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無關(guān).（1）求某日12:00~15:00沒收到報(bào)警的概率；（2）求某日12:00~17:00至少收到1次報(bào)警的概率.【解】（1）t=3時(shí)，X~P(3/2)，則.（2）t=5時(shí)，X~P(5/2)，則.9.設(shè)隨機(jī)變量X，Y的概率分布分別為P{X=k}=,k=0,1,2,P{Y=m}=,m=0,1,2,3,4.如果已知，試求.【解】由，則從而10.某雜志出版發(fā)行2000冊，每冊出現(xiàn)裝訂錯(cuò)誤的概率為0.001.試求這2000冊雜志中恰有5冊出現(xiàn)裝訂錯(cuò)誤的概率.【解】令X為2000冊雜志中出現(xiàn)裝訂錯(cuò)誤的冊數(shù)，則X~b(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算，，得.11.某運(yùn)動(dòng)員練習(xí)投籃，每次投中的概率為3/4，以X表示他首次投中時(shí)的投籃次數(shù)，試求X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率.【解】X取偶數(shù)的概率為.12.某中學(xué)有2500名學(xué)生購買了某保險(xiǎn)公司的學(xué)平險(xiǎn)，每名學(xué)生每年的保費(fèi)為120元，在一年中每名學(xué)生在校發(fā)生意外的概率為0.002，而發(fā)生意外時(shí)學(xué)生家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2萬元賠償金.試求針對該校學(xué)平險(xiǎn)這項(xiàng)業(yè)務(wù)：（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率;（2）保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10萬元、20萬元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.（1）保險(xiǎn)公司在該校學(xué)平險(xiǎn)總收入為2500×120=300000元，設(shè)1年內(nèi)發(fā)生意外的學(xué)生數(shù)為X，則X~b(2500,0.002)，由n很大，p很小，λ=np=5，由泊松定理X近似服從P(5)，則.（2）保險(xiǎn)公司獲利不少于10萬元的概率為.保險(xiǎn)公司獲利不少于200元的概率為.習(xí)題2.31.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)如下：試在(1),(2),(3)處填上合適的數(shù).【解】由知②填1；由右連續(xù)性，可知，故①為0，從而③亦為0.即2.已知?jiǎng)tF(x)是________隨機(jī)變量的分布函數(shù).離散型(B)連續(xù)型(C)非連續(xù)亦非離散型【解】因?yàn)镕(x)在(∞,+∞)上單調(diào)不減右連續(xù)，且，，所以F(x)是一個(gè)分布函數(shù).由F(x)在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F(x)是非連續(xù)亦非離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù).選(C).3.在區(qū)間[0,a]內(nèi)隨機(jī)投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，該質(zhì)點(diǎn)落在[0,a]中任意子區(qū)間內(nèi)的概率與該子區(qū)間的長度成正比例，設(shè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為X，試求X的分布函數(shù).【解】任取區(qū)間，由題意可知，其中k為比例系數(shù).令，則有，故由，則當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)x>a時(shí)，F(xiàn)(x)=1；當(dāng)0≤x≤a時(shí)，；即4.設(shè)一批同型號(hào)的零件共有15個(gè)，其中有2只零件為次品，每次在這批零件中任取1只，共取3次，取后不放回.設(shè)X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函數(shù)并作圖；（3），，，.【解】（1）X的可能取值為0,1,2.故X的分布律為X012P（2）當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=0；當(dāng)0≤x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P(X=0)=；當(dāng)1≤x<2時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P(X=0)+P(X=1)=；當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=1.故X的分布函數(shù)為5.某射手練習(xí)射擊時(shí)，向同一目標(biāo)獨(dú)立射擊3次，設(shè)每次擊中目標(biāo)的概率為0.8.試求3次射擊中，（1）擊中目標(biāo)的次數(shù)X的分布律；（2）X的分布函數(shù)；（2）3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】（1）設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，3.故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512（2）X的分布函數(shù)為（3）習(xí)題2.41.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為則區(qū)間[a,b]等于________.[0,π/2](B)[0,π](C)[,0](D)[0,]【解】在上sinx≥0，且，故f(x)是概率密度.在上，故f(x)不是概率密度.在上，故f(x)不是概率密度.在上，當(dāng)時(shí)，sinx<0，f(x)也不是概率密度.故選(A).2.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,求：（1）A值；（2）P{0<X<1}；（3）F(x).【解】（1）由得，故.（2），（3）當(dāng)x<0時(shí)，；當(dāng)x≥0時(shí)，.故3.設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為（1）求常數(shù)A,B；（2）求P{X≤2},P{X＞3}；（3）求X的概率密度f(x).【解】（1）由得（2），.（3）4.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求X的分布函數(shù)F(x)，并畫出f(x)及F(x).【解】由，當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)0≤x<1時(shí)，當(dāng)1≤x<2時(shí)，；當(dāng)x≥2時(shí)，.即5.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為（1）；（2）f(x)=試確定常數(shù)a,b,并求其分布函數(shù)F(x).【解】（1）由知，故.即概率密度為由，故當(dāng)x≤0時(shí)，；當(dāng)x>0時(shí)，.即（2）由，得b=1.即X的概率密度為由，故當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)0<x<1時(shí)，；當(dāng)1≤x<2時(shí)，；當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)(x)=1.即6.設(shè)某種通訊儀器內(nèi)安裝有3只同型號(hào)的電子管，該型號(hào)電子管使用壽命X（單位：小時(shí)）的密度函數(shù)為試求：（1）在開始儀器開始使用的150小時(shí)內(nèi)無電子管損壞的概率；（2）在這段時(shí)間內(nèi)只有1只電子管損壞的概率；（3）X的分布函數(shù)F(x).【解】（1），設(shè)開始150小時(shí)內(nèi)，3只電子管中損壞的電子管數(shù)為Y，則Y~b(3,1/3).則.（2）.（3）當(dāng)x<100時(shí)，F(xiàn)(x)=0當(dāng)x≥100時(shí)，.故7.設(shè)隨機(jī)變量.對X進(jìn)行3次獨(dú)立觀測，求至少有兩次的X觀測值大于3的概率.【解】由X~U[2,5]，有則.設(shè)三次觀測中，觀測值大于3的次數(shù)為Y，則Y~b(3,2/3)，則.8.設(shè)某時(shí)間段內(nèi)，車主在某加油站等待加油的時(shí)間X（單位：分鐘）服從參數(shù)為1/5的指數(shù)分布.某人在該加油站等待加油，若超過10分鐘就離開.若他一個(gè)月要加油5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)未等到加油而離開加油站的次數(shù)，試求Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】由，其概率密度為車主未等到加油而離開的概率為.則，其分布律為得9.某人從家出發(fā)打車去火車站，有兩條路可走.第一條路程交通擁擠但路程較短，所需時(shí)間（單位：分鐘）服從；第二條路阻塞少但路程較長，所需時(shí)間服從.（1）若在火車發(fā)車前1小時(shí)出發(fā)，走哪條路趕上火車的把握大些？（2）若在火車發(fā)車前45分鐘出發(fā)，走哪條路趕上火車把握大些？【解】（1）若走第一條路，X~N(40，102)，則；若走第二條路，X~N(50，42)，則.故走第二條路乘上火車的把握大些.（2）若X~N(40，102)，則；若X~N(50，42)，則.故走第一條路乘上火車的把握大些.10.設(shè)隨機(jī)變量X~N(3,4)，（1）求，，，；（2）確定c使.【解】（1）；；；.由，，得，即，故c=3.11.某工廠生產(chǎn)的零件長度X（單位：cm）服從正態(tài)分布，設(shè)零件長度在10.05±0.12內(nèi)為合格品，求該廠生產(chǎn)的零件的不合格率.【解】12.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若P{120＜X≤200}≥0.8，則σ最大為多少？【解】由，則，由的單調(diào)性，可得，故.13.設(shè)隨機(jī)變量，則當(dāng)σ取何值時(shí)，概率最大？【解】因?yàn)椋?，由，?即.又，故為極大值點(diǎn)且惟一.故當(dāng)時(shí)X落入?yún)^(qū)間(1，3)的概率最大.14.求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)，（1）α=0.01，求zα;（2）α=0.003，求zα，zα/2.【解】（1）由，有，得，故.（2）由，有，得，故.,，故.α=0.003時(shí)，，故習(xí)題2.51.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律如表2-10所示表2-10X的概率分布表X-2-1013pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9.Y0149Pk1/57/301/511/30即2.設(shè)P{X=k}=(1/2)k,k=1,2,…,令求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y的分布律.【解】，即Y-11Pk2/31/33.設(shè)X~N(0,1),試求（1）Y=eX的概率密度；（2）Y=2X2+1的概率密度；（3）的概率密度.【解】由X~N(0,1)，則由函數(shù)y=g(x)=ex單調(diào)遞增，其反函數(shù)為x=h(y)=lny,則，=0，，則（2）由，則當(dāng)y≤1時(shí)，；當(dāng)y>1時(shí)，，故（3）由，則當(dāng)y≤0時(shí)，；當(dāng)y>0時(shí)，.故4.設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,1)，試求：（1）Y=eX的分布函數(shù)及概率密度；（2）的分布函數(shù)及概率密度.【解】由X~U(0,1)，有（1）由，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)1<y<e時(shí)，；當(dāng)y≥e時(shí)，.即故Y的密度函數(shù)為（2）由，則當(dāng)z≤0時(shí)，；當(dāng)z>0時(shí)，.即故Z的概率密度為5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】由，則當(dāng)y≤0時(shí)，；當(dāng)0<y<1時(shí)，；當(dāng)y≥1時(shí)，.故Y的密度函數(shù)為6.設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)某品牌手機(jī)店的顧客人數(shù)X服從泊松分布P(λ)，每位顧客購買手機(jī)的概率為p，且顧客是否購買手機(jī)是相互獨(dú)立的，求該段時(shí)間購買手機(jī)的顧客數(shù)Y的分布律.【解】設(shè)購買手機(jī)的人數(shù)為Y，在進(jìn)入手機(jī)店的人數(shù)X=m的條件下，Y~b(m,p)，即.由全概率公式有可知，進(jìn)入手機(jī)店的人數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，購買手機(jī)的人數(shù)仍服從泊松分布，但參數(shù)改變?yōu)棣藀.習(xí)題2.6一工廠生產(chǎn)的電子元件的壽命X（單位：小時(shí)）服從參數(shù)，的正態(tài)分布，若要求，利用MATLAB軟件求允許最大為多少？【解】；，可得，MATLAB程序：Sigma=40/norminv(0.9,0,1)結(jié)果：Sigma=31.2122.設(shè)隨機(jī)變量X服從于區(qū)間[1,5]上的均勻分布，對X進(jìn)行30次獨(dú)立觀測，利用MATLAB軟件求(1)至少有10次觀察值大于4的概率;(2)觀察值大于4的次數(shù)在5至15次的概率.【解】MALAB程序：p=1-unifcdf(4,1,5);P1=binocdf(10,30,p)P2=binocdf(15,30,p)-binocdf(4,30,p)輸出結(jié)果：p=0.25,P1=0.8943,P2=0.9013.第2章考研真題1.設(shè)隨機(jī)變量.試證在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布.（1995研考）【證】X的密度函數(shù)為由在（0,+∞）上單調(diào)遞增，其反函數(shù)為，則，=0，，則即Y~U(0,1).2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=求X的概率分布.（1991研考）【解】X的概率分布為X113P0.40.40.23.設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27，求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.（1988研考）【解】令X為三次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)P(A)=p，則X~b(3,p).由P{X≥1}=，則P{X=0}=(1p)3=，故p=.4.若隨機(jī)變量X在(1,6)上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實(shí)根的概率是多少？（1989研考）【解】5.若隨機(jī)變量X~N(2,σ2)，且P{2<X<4}=0.3，則P{X<0}=.（1991研考）【解】由，得.故.6.假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.7可以直接出廠；以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n(n≥2)臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立）.求（1）全部能出廠的概率α；（2）其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率β；（3）其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率θ.（1995研考）【解】設(shè)A=“需進(jìn)一步調(diào)試”，B=“儀器能出廠”，則=“能直接出廠”，AB=“經(jīng)調(diào)試后能出廠”.由題意知B=∪AB，且,.設(shè)X為新生產(chǎn)的n臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)，則X~b(n,0.94).則7.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.（1990研考）【解】設(shè)X為考生的外語成績，則X~N(72,σ2)，由，得，查表知，得σ=12.從而X~N(72,122)，則.8.在電源電壓不超過200V、200V~240V和超過240V三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2（假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N(220,252)）.試求：（1）該電子元件損壞的概率α;（2）該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200~240V的概率β.（1991研考）【解】設(shè)A1=“電壓不超過200V”，A2=“電壓在200~240V”，A3=“電壓超過240V”，B=“元件損壞”.由X~N(220,252)，則；；.由全概率公式有,由貝葉斯公式有9.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(1,2)上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度fY(y).（1988研考）【解】由在（1,2）上單調(diào)遞增，其反函數(shù)為，則，=e2，，則10.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX(x)=試求隨機(jī)變量Y=eX的密度函數(shù)fY(y).（1995研考）【解】由在x>0上單調(diào)遞增，其反函數(shù)為，則，=1，，則11.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX(x)=,試求的密度函數(shù)fY(y).（1988研考）【解】由在上單調(diào)遞減，其反函數(shù)為，則.，，則12.假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為λt的泊松分布.（1）求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔為T的概率分布；（2）求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作8小時(shí)的情形下，再無故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q.（1993研考）【解】（1）當(dāng)t<0時(shí)，；當(dāng)t≥0時(shí)，事件T>t與N(t)=0等價(jià)，有，即所以間隔時(shí)間T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.（2）.13.隨機(jī)變量X的絕對值不大于1，，.在事件出現(xiàn)的條件下，X在內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長度成正比，試求X的分布函數(shù)F(x).（1997研考）【解】由X的絕對值不大于1，顯然當(dāng)x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=0；而x≥1時(shí)F(x)=P{X≤x}=1；由題知，故當(dāng)1<x<1時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)x=1時(shí)，.即X的分布函數(shù)為14.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ1,σ12)，Y服從正態(tài)分布N(μ2,σ22)，且，試比較σ1與σ2的大小.（2006研考）【解】依題意，，則，.又由，則，故，即.15.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)則.0(B)(C)(D)（2010研考）【解】應(yīng)選(C).16.設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度，為上均勻分布的概率密度，若為概率密度，則a，b應(yīng)滿足_______.2a+3b=4(B)3a+2b=4(C)a+b=1(D)a+b=2（2010研考）【解】由為概率密度，有，則，得2a+3b=4，應(yīng)選(A).17.設(shè)為兩個(gè)分布函數(shù)，且連續(xù)函數(shù)為相應(yīng)的概率密度，則必為概率密度的是________.(A)(B)(C)(D)（2011研考）【解】由，得，再由，得，又，故為某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度，應(yīng)選(D).18.設(shè)隨機(jī)變量，，，，則_______.(A)(B)(C)(D)（2013研考）【解】由，得.由，得，于是.由，得，于是.由，得，應(yīng)選(A).19.設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，a為常數(shù)且大于零，則P{Y≤a+1|Y＞a}=_____.（2013研考）【解】由，得Y的概率密度為于是20.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為令隨機(jī)變量求Y的分布函數(shù).（2013研考）【解】由，則當(dāng)y<1時(shí)，；當(dāng)y≥2時(shí)，；當(dāng)1≤y<2時(shí)，即21.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為對X進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測，直到第2個(gè)大于3的觀測值出現(xiàn)時(shí)停止，記Y為觀測次數(shù).求Y的概率分布.（2015研考）【解】令，Y的可能取值為2,3,…,Y的分布律為22.設(shè)隨機(jī)變量，記，則_______.(A)隨著的增加而增加(B)隨著的增加而增加(C)隨著的增加而減少(D)隨著的增加而減少（2016研考）【解】由，得，則隨著的增加而增加，應(yīng)選(B).23.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(x)滿足且，則P{X<0}=_____.0.2(B)0.3(C)0.4(D)0.5（2018研考）【解】由可知f(x)關(guān)于x=1對稱，由，得.再由，有，得.從而，應(yīng)選(A).24.設(shè)某原件的使用壽命T的分布函數(shù)為其中為參數(shù)且大于零，求概率與，其中（2020研考）【解】由，則；25.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)每次成功的概率為p，現(xiàn)進(jìn)行3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，在至少成功1次的條件下，3次試驗(yàn)全部成功的概率為，則p=_______.（2024研考）【解】設(shè)三次試驗(yàn)中試驗(yàn)成功的次數(shù)為X，則.，解得.習(xí)題3.11.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，試用表示下面事件的概率.(1)(2)(3)(4).【解】(1)；(2)；(3);(4).2.已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為(1)求的值；(2)求概率，，.【解】(1)(2)；；.3.一個(gè)盒中放有同樣的5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任意取2次，每次取1球.令在放回和不放回兩種情況下，求的聯(lián)合概率分布律.【解】（1）放回情況，，.（2）不放回情況，，.4.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布律如下表所示.表3-6的聯(lián)合概率分布律YX12010.5000.5（1）求的聯(lián)合分布函數(shù)；（2）求.【解】略.5.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為.求(1)；(2),其中區(qū)域有圍成（見下圖）；(3).【解】(1)于是，；(2).第5題區(qū)域D(3第5題區(qū)域D.6.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為.求(1)；(2).【解】(1)；(2).習(xí)題3.21.設(shè)二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布律如下表所示.表3-11的聯(lián)合概率分布律YX123-110.050.250.1000.200.40求的邊緣概率分布律.【解】先求的邊緣概率分布律,.再求的邊緣概率分布律,,.2.設(shè)二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布律如下表所示.表3-12的聯(lián)合概率分布律YX-11/21-10301/121/31/6005/1200求的邊緣概率分布律.【解】先求的邊緣概率分布律,,.再求的邊緣概率分布律,,.3.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為求的邊緣分布函數(shù).【解】4.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求的邊緣概率密度函數(shù).【解】5.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求的邊緣概率密度函數(shù).【解】6.設(shè)為二維正態(tài)隨機(jī)變量，即，求的邊緣概率密度函數(shù).【解】略.習(xí)題3.31.設(shè)二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布律如下表所示.表3-16的聯(lián)合概率分布律YX012-10301/61/61/61/601/61/60(1)求在的條件下，的概率分布律；(2)求在的條件下，的概率分布律；【解】首先求出的邊緣概率分布律,,.,,.(1)，，.(2)，,.2.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求條件概率密度函數(shù).【解】于是，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，3.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求條件概率密度函數(shù).【解】于是，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，習(xí)題3.41.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布律如表3-19所示.表3-19的聯(lián)合概率分布律XY2580.40.80.150.300.350.050.120.03判斷隨機(jī)變量X與Y的獨(dú)立性.【解】的邊緣概率分布律為,,.的邊緣概率分布律為,.由于，故隨機(jī)變量X與Y不相互獨(dú)立.2.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布律如表3-20所示.表3-20的聯(lián)合概率分布律XY123121/61/91/181/3ab已知隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，求a,b的值.【解】略.3.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為判斷隨機(jī)變量是否相互獨(dú)立.【解】驗(yàn)證可知，故不相互獨(dú)立.4.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為判斷隨機(jī)變量是否相互獨(dú)立.【解】驗(yàn)證可知，故不相互獨(dú)立.5.設(shè)和是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，在上服從均勻分布，的概率密度為（1）求和的聯(lián)合概率密度函數(shù)；（2）設(shè)含有的二次方程為，試求方程有實(shí)根的概率.【解】(1)由可知，的概率密度函數(shù)為再由和是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量可得，和的聯(lián)合概率密度函數(shù)為(2)方程有實(shí)根等價(jià)于事件，于是方程有實(shí)根的概率為.習(xí)題3.51.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布律如表3-27所示.表3-27的聯(lián)合概率分布律YX0121201/31/31/601/6(1)求概率分布律；(2)求概率分布律.【解】p(i,j)01/31/31/601/6(X,Y)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)Z1=X+Y123234Z2=max{X,Y}112222于是，概率分布律為Z11234pz1(xi)01/21/31/6概率分布律為Z212pz2(xi)1/32/32.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)的指數(shù)分布，求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).【解】由于隨機(jī)變量且相互獨(dú)立，故于是，隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為.3.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).【解】隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為.由的聯(lián)合概率密度函數(shù)可知，使的區(qū)域?yàn)椋ㄒ娤聢D）.于是第3題.第3題4.設(shè)隨機(jī)變量均服從指數(shù)分布且相互獨(dú)立，記隨機(jī)變量.求的聯(lián)合概率密度函數(shù).【解】由于均服從指數(shù)分布，于是的概率密度函數(shù)分別為考慮到相互獨(dú)立，故的聯(lián)合概率密度函數(shù)為函數(shù)存在唯一的反函數(shù)，且反函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù).同時(shí)，由于，得到.此時(shí)雅可比行列式為.于是的聯(lián)合概率密度函數(shù)為.習(xí)題3.6設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布見下表表3-29的聯(lián)合概率分布律（X,Y）-201234500.020.010.050.010.020.040.0110.010.10.050.0200.010.0230.030.010.040.010.020.030.0150.040.080.050.020.070.07060.020.030.050.020.010.010.01利用MATLAB軟件計(jì)算(1)X和Y的邊緣分布律；(2)P{2<X+sin(Y)<3.6}.【解】clc;clear;closeall;Xvalue=[01356];Yvalue=[-2012345];Pvalue=[0.020.010.050.010.020.040.01;0.010.100.050.020.000.010.02;0.030.010.040.010.020.030.01;0.040.080.050.020.070.070.00;0.020.030.050.020.010.010.01;]PX=[Xvalue;sum(Pvalue,2)']%X的邊緣概率PY=[Yvalue;sum(Pvalue)]%Y的邊緣概率P=0;fori=1:5forj=1:7ifXvalue(i)+sin(Yvalue(j))<3.6ifXvalue(i)+sin(Yvalue(j))>2P=P+Pvalue(i,j);[Xvalue(i)Yvalue(j)]endendendendP運(yùn)行結(jié)果：(1)X01356pi0.160.210.150.330.15Y-2012345pj0.120.230.240.080.120.160.05(2)P{2<X+sin(Y)<3.6}=0.10設(shè)具有聯(lián)合概率密度函數(shù)為：利用MATLAB軟件計(jì)算(1)；(2)邊緣概率密度和；(3)的概率密度.【解】(1)輸入程序symsxyzfxy=2-x-y;P=int(int(fxy,y,0,x/2),x,0,1)運(yùn)行結(jié)果：P=7/24.(2)輸入程序symsxyzfxy=2-x-y;fxz=2-z;fx=int(fxy,y,0,1)fy=int(fxy,x,0,1)運(yùn)行結(jié)果：,.(3)輸入程序symsxyzfxz=2-z;fz1=int(fxz,x,0,z)fz2=int(fxz,x,z-1,1)運(yùn)行結(jié)果：第3章考研真題1.設(shè)平面區(qū)域由曲線及直線所圍成，二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布，求關(guān)于的邊緣概率密度在處的值為多少？（1998研考）【解】區(qū)域的面積為，于是的聯(lián)合概率密度函數(shù)為.的邊緣概率密度函數(shù)為，所以有.2.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布律及關(guān)于的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處.（1998研考）表3-30的聯(lián)合概率分布律YXy1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】略.3.設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為，且中途下車與否相互獨(dú)立，以表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時(shí)有個(gè)乘客的條件下，中途有人下車的概率；（2）二維隨機(jī)變量的概率分布.（2001研考）【解】(1)顯然，這是求條件下，的概率，即求.由于車上的每位乘客是否下車是相互獨(dú)立的，故的條件分布是一個(gè)二項(xiàng)分布，于是有(2)4.設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，其中的概率分布為，而的概率密度為，求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).(2002研考)【解】設(shè)的分布函數(shù)為，的分布函數(shù)為，則由全概率公式可知于是，隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為.5.設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)分布，則（）(2012研考)【解】由于隨機(jī)變量和分別服從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)分布，故有，.考慮到隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，因此，于是.6.設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布，求.(2006研考)【解】已知隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布，故有以及.于是，.7.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為令隨機(jī)變量(1)求的分布函數(shù)；(2)求概率.(2013研考)【解】，故而.(1)由隨機(jī)變量可知，的取值范圍為，于是當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.(2).8.設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則(2015研考)【解】由可知，與的相關(guān)系數(shù)，于是有與相互獨(dú)立，且，.所以.9.設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布，令(1)寫出的概率密度；(2)問與是否相互獨(dú)立？并說明理由；(3)求的分布函數(shù).(2016研考)【解】(1)區(qū)域的面積為，故而的聯(lián)合概率密度函數(shù)為.(2),..，，.顯然，，即與不相互獨(dú)立.(3)先求出.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.即.再求出.于是，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.即.由以上可計(jì)算出.10.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，求常數(shù)及條件概率密度函數(shù).(2010研考)【解】注意到，則有于是，.又.故有.11.設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且的概率分布為，的概率密度函數(shù)為(1)求；(2)求的概率密度函數(shù).(2017研考)【解】(1)..(2)先求.為此，由求出的分布函數(shù)為.于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.再求出.于是，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.由以上可計(jì)算出所以.12.設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布，則()(A)與無關(guān)，而與有關(guān)；(B)與有關(guān)，而與無關(guān)；(C)與,都有關(guān)；(D)與,都無關(guān).(2019研考)【解】已知隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布，故有，于是.所以，與無關(guān)，而與有關(guān).13.設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，的概率分布為,.令.(1)求出的概率密度；(2)為何值時(shí)，和不相關(guān)；(3)與是否相互獨(dú)立？(2019研考)【解】注意解題過程中要使用全概率公式.(1).于是，(2)當(dāng)時(shí)，，則和不相關(guān).已知服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，故.已知的概率分布，故.由隨機(jī)變量和相互獨(dú)立可知，和相互獨(dú)立，于是.所以，當(dāng)，即時(shí)，和不相關(guān).(3).而，，故有，即與不相互獨(dú)立.14.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，其中均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，的概率分布為，.(1)求二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)，結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表示；(2)證明隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.(2020研考)【解】(1)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是，(2).即隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.15.設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且，則(2023研考)【解】.16.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為(1)求與的方差；(2)判斷與是否相互獨(dú)立；(3)求的概率密度函數(shù).(2023研考)【解】(1)(2)由于，所以與不相互獨(dú)立.(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，的分布函數(shù)，概率密度函數(shù)為.17.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，令則下列隨機(jī)變量與同分布的是()(A)；(B)；(C)；(D).(2024研考)【解】由可知，的取值范圍為.于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，.顯然，與同分布的是隨機(jī)變量.習(xí)題4.11.設(shè)隨機(jī)變量的分布律如表4-15所示，表4-15-10121/81/21/81/4求【解】(1)(2)(3).2.隨機(jī)變量的概率分布為：已知，求常數(shù)【解】由于從而又因所以3.設(shè)隨機(jī)變量的分布律為X101Pp1p2p3且已知,求.【解】因……①,又……②,……③由①②③聯(lián)立解得4.氣體分子