數(shù)列解答題講義-2025屆高三數(shù)學(xué)二輪高頻考點(diǎn)專(zhuān)題復(fù)習(xí)含答案

2025年高三數(shù)學(xué)二輪高頻考點(diǎn)專(zhuān)題復(fù)習(xí)--數(shù)列解答題模擬預(yù)測(cè)分層精練模擬預(yù)測(cè)一基礎(chǔ)鞏固（難度系數(shù)0.8）數(shù)列解答題是高考數(shù)學(xué)的重要組成部分，通常具有一定難度，考查多個(gè)方面的知識(shí)與能力。以下是對(duì)其考點(diǎn)的概述：1.數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）定義法：對(duì)于等差等比數(shù)列，高考常直接考查利用這些定義求數(shù)列通項(xiàng)，如給出數(shù)列前幾項(xiàng)滿足的等差或等比關(guān)系，要求寫(xiě)出通項(xiàng)公式。（2）遞推公式求通項(xiàng)：①累加法：適用于an＋1＝an＋f(n)，可變形為an＋1－an＝f(n)要點(diǎn)：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解②累乘法：適用于an＋1＝f(n)an，可變形為eq\f(an＋1,an)＝f(n)要點(diǎn)：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解③構(gòu)造法：對(duì)于不滿足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的遞推關(guān)系，常采用構(gòu)造法要點(diǎn)：對(duì)所給的遞推公式進(jìn)行變形構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求解2.數(shù)列的求和（1）公式法：等差數(shù)列與等比數(shù)列求和在高考常直接考查利用這些公式對(duì)給定的等差或等比數(shù)列進(jìn)行求和。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．（2）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法來(lái)求.（3）裂項(xiàng)相消法：如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為分式或根式的形式，且能拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，那么通過(guò)累加將一些正、負(fù)項(xiàng)相互抵消，只剩下有限的幾項(xiàng)，從而求出該數(shù)列的前n項(xiàng)和．（4）分組求和法：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列；=2\*GB3②通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列.3.數(shù)列的性質(zhì)（1）等差數(shù)列性質(zhì)：①在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列,即，…仍是等差數(shù)列，公差為．②在等差數(shù)列中，若，，，且，則；特殊地，SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中項(xiàng).③等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即SKIPIF1<0…成等差數(shù)列，公差為.④若，是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．（2）等比數(shù)列性質(zhì)：①相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為().②若，則，其中.特別地，若，則，其中.③數(shù)列，，，,…組成公比為（）的等比數(shù)列④若數(shù)列，是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列，和(其中，，是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．4.數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合（1）數(shù)列與函數(shù)：數(shù)列可以看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集的特殊函數(shù)，所以常利用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法來(lái)研究數(shù)列。同時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性、周期性等性質(zhì)也可類(lèi)比到數(shù)列中，研究數(shù)列的增減性、周期性等。（2）數(shù)列與不等式：?？疾樽C明數(shù)列相關(guān)的不等式，證明方法多樣，如利用放縮法，將數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)放大或縮小，使其轉(zhuǎn)化為可求和或易比較大小的形式。1．（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2025·河北邯鄲·二模）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2024·甘肅張掖·一模）已知數(shù)列滿足．(1)若，求證：為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)于任意，都有，求公差的取值范圍．5．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)于任意正整數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的最小值.6．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測(cè)）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，，成等比數(shù)列.(1)求和；(2)若，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.7．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）在遞增數(shù)列中，.(1)求的值；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.8．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列為單調(diào)遞增等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.模擬預(yù)測(cè)二中檔達(dá)標(biāo)（難度系數(shù)0.5）9．（2025·江西·一模）已知數(shù)列滿足.(1)若為遞增數(shù)列，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)之積.10．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為Sn，且分別滿足：，.(1)求通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.11．（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的公差，且，記為數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)若成等比數(shù)列，且的等差中項(xiàng)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若且，比較的大小.12．（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是公差大于0的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè).（i）試寫(xiě)出，，的值；（ii）求數(shù)列的前20項(xiàng)和.13．（2025·寧夏內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式；(3)令，證明:．14．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.15．（2024·廣東·二模）在數(shù)列中，，都有，，成等差數(shù)列，且公差為.(1)求，，，；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)是否存在，使得，，，成等比數(shù)列.若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.16．（2024高三上·山東濟(jì)南·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.模擬預(yù)測(cè)三拓展提升（難度系數(shù)0.2）17．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）已知給定數(shù)列，從第二項(xiàng)起后項(xiàng)與前項(xiàng)作差，得到新數(shù)列，定義這個(gè)新數(shù)列為數(shù)列的階差數(shù)列，記為，繼續(xù)上述操作，得到新數(shù)列，稱為的階差數(shù)列，記為，一般地，對(duì)任意，稱數(shù)列為數(shù)列的階差數(shù)列．(1)寫(xiě)出數(shù)列的階差數(shù)列；(2)若數(shù)列的首項(xiàng)階差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；(3)若數(shù)列的首項(xiàng)，且，求數(shù)列的最小值．18．（2024·甘肅定西·一模）在個(gè)數(shù)碼1，2，…，（，）構(gòu)成的一個(gè)排列中，若一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序（例如，則與構(gòu)成逆序），這個(gè)排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為，例如，，(1)計(jì)算；(2)設(shè)數(shù)列滿足，，求的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)排列（，）滿足（），（），，求，19．（2024·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，?，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，，，以此類(lèi)推．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，規(guī)定：若，使得，則稱為該數(shù)列的“類(lèi)比數(shù)”．(1)將該數(shù)列的“類(lèi)比數(shù)”從小到大排列，直接寫(xiě)出前3個(gè)“類(lèi)比數(shù)”；(2)試判斷50是否為“類(lèi)比數(shù)”，并說(shuō)明理由；(3)①求滿足的最小的“類(lèi)比數(shù)”；②證明：該數(shù)列的“類(lèi)比數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)．20．（2025·湖南邵陽(yáng)·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列（）的前項(xiàng)和為，且.當(dāng)時(shí)，將進(jìn)行重新排列，構(gòu)成新數(shù)列，使其滿足：或（其中，）.(1)當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出所有滿足的數(shù)列；(2)試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并加以證明；(3)當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足：是公差為且（且）的等差數(shù)列，求公差.21．（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，規(guī)定為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列，其中；(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，對(duì)于任意的，都存在，使得，求的值；(3)設(shè)為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，令，其中，證明：.22．（24-25高三上·天津南開(kāi)·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)，求；(3)若對(duì)于數(shù)列，在和之間插入個(gè)，組成一個(gè)新的數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.23．（2025·遼寧沈陽(yáng)·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若在曲線的方程中，以（為正實(shí)數(shù)）代替得到曲線的方程，則稱曲線關(guān)于原點(diǎn)“伸縮”，變換稱為“伸縮變換”，稱為伸縮比．(1)已知雙曲線的方程為，伸縮比，求關(guān)于原點(diǎn)伸縮變換后所得雙曲線的方程；(2)已知橢圓經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓，若射線與橢圓分別交于兩點(diǎn)A、B，且，求橢圓的方程；(3)已知拋物線作“伸縮變換”，得到﹐對(duì)作變換，得拋物線；如此進(jìn)行下去，對(duì)拋物線作變換，得拋物線，其中，若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．24．（24-25高三上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，數(shù)列是等比數(shù)列，且.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和：(3)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.25．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）若項(xiàng)數(shù)為m（，）的數(shù)列滿足：①單調(diào)遞增且；②對(duì)任意的正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得或，則稱數(shù)列具有性質(zhì)P.(1)若，，分別判斷數(shù)列，是否具有性質(zhì)P，并說(shuō)明理由；(2)若數(shù)列具有性質(zhì)P，證明：且（且）；(3)若數(shù)列具有性質(zhì)P且，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.26．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列，，其中，對(duì)任意正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列為數(shù)列的“-接近數(shù)列”.已知為數(shù)列的“-接近數(shù)列”，且，.(1)當(dāng)時(shí)，若，求，的值；(2)當(dāng)時(shí)，若，是否存在正整數(shù)，使得？如果存在，請(qǐng)求出的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)時(shí)，若為無(wú)窮等差數(shù)列，公差為，證明：“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件是“”.27．（2024·吉林·三模）已知項(xiàng)數(shù)為m（，）的數(shù)列為遞增數(shù)列，且滿足，若，且，則稱為的“伴隨數(shù)列”.(1)數(shù)列4，10，16，19是否存在“伴隨數(shù)列”，若存在，寫(xiě)出其“伴隨數(shù)列”，若不存在，說(shuō)明理由；(2)若為的“伴隨數(shù)列”，證明：；(3)已知數(shù)列存在“伴隨數(shù)列”，且，，求m的最大值.參考答案1．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)探索數(shù)列的特點(diǎn)，再求其通項(xiàng)公式.（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和的方法求其前項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得.當(dāng)時(shí)，，所以.所以是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，故.（2）由已知得，所以.2．(1)(2)【分析】（1）令求得，當(dāng)時(shí)，由退位相減得到，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）求得,利用錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（1）由題知，，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則有，即，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）知，，所以，，所以，所以.3．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取倒數(shù)，即可根據(jù)等差數(shù)列的定義求證，（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可得解.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，即因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列（2）由（1）得，所以，所以．所以4．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算可得，可求通項(xiàng)公式；（2）依題意可得，，再由得出不等式可求得公差的取值范圍．【詳解】（1）易知，所以．因?yàn)?，所以公差．得．?）因?yàn)閷?duì)任意，都有，所以，，得，．由（1）知，所以，，解得；即公差的取值范圍為.5．(1)(2)【分析】(1)求出給定的等差數(shù)列通項(xiàng)公式，再利用前項(xiàng)和求通項(xiàng)公式的方法求解作答即可；(2)運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和，化簡(jiǎn)整理，判斷數(shù)列的最值，再由恒成立思想，即可得到所求實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】（1）數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，，，當(dāng)時(shí)，；經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足上式.（2）由，則，而，所以，即的最小值為.6．(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求出，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式即可求解；（2）結(jié)合題意，由（1）的結(jié)論可得，利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由成等比數(shù)列，得，則，即，而，解得，所以，.（2）由（1）知，又，則，因此，所以.7．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)遞推式依次求出對(duì)應(yīng)項(xiàng)，結(jié)合單調(diào)性確定最終值；（2）由題設(shè)得，應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和求.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得，同理得或，?，又是遞增數(shù)列，所以；（2）因?yàn)?，所以，所以或，又是遞增數(shù)列，所以，故，所以.8．(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)得到為公差為2的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求通項(xiàng)公式求出，再設(shè)的公比為，列出方程，求出，得到通項(xiàng)公式；（2）化簡(jiǎn)得到，故為公差為3的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?，故為公差?的等差數(shù)列，所以，又，，成等差數(shù)列，故，設(shè)的公比為，其中，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，為遞增數(shù)列，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，為遞減數(shù)列，舍去，綜上，，；（2），則，故為公差為3的等差數(shù)列，故.9．(1)；(2)證明見(jiàn)解析，.【分析】（1）由題設(shè)，恒成立，利用二次函數(shù)性質(zhì)求右側(cè)最大值，即可得參數(shù)范圍；（2）根據(jù)已知可得，結(jié)合等比數(shù)列定義證明結(jié)論，進(jìn)而可得，應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求.【詳解】（1）由題設(shè)，即，恒成立，而在上單調(diào)遞減，則，所以；（2）由題設(shè)，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，故，所以，則，所以.10．(1)，；(2)【分析】（1）利用的關(guān)系先求得的遞推公式，根據(jù)構(gòu)造法求出，再由的關(guān)系求，然后可得；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）令得，當(dāng)時(shí)，由得：，兩式相減得：，整理得，即，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，得，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，上式也成立，所以，所以，即.（2）記，其前項(xiàng)和為，則，，兩式相減得所以11．(1)(2)【分析】（1）由等比中項(xiàng)和等差中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）由等差數(shù)列的求和公式結(jié)合基本不等式計(jì)算即可；【詳解】（1）由已知得，即，化簡(jiǎn)得，，，又，即，所以，故；（2）易知等差數(shù)列的首項(xiàng)，不妨設(shè)，，，又，所以，，，，，.12．(1)(2)（i）；（ii）408【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算可得公差和首項(xiàng)，即可根據(jù)通項(xiàng)公式求解，（2）根據(jù)題意可得則，，即可利用分組求和，結(jié)合等差和等比數(shù)列的求和公式求解.【詳解】（1）設(shè)的公差為，令，得，故即，令，得，故，即，由于，則解得，故，（2）（i）當(dāng)，故，時(shí)，，所以，（ii）由題意可知：，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)，，則，，當(dāng)，，則，，所以,因此13．(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件化簡(jiǎn)，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求即得；（3）將（2）中得到的的通項(xiàng)代入求得，化簡(jiǎn)后利用數(shù)列的單調(diào)性即可得證.【詳解】（1）由得，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）得,解得：.（3）令，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則所以數(shù)列在上單調(diào)遞減，從而數(shù)列在上單調(diào)遞增，且，故得.14．(1)(2)(3)【分析】（1）利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)可求得公差，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法可求.（3）利用錯(cuò)位相減法可求.【詳解】（1）∵成等比數(shù)列，∴，∵數(shù)列為等差數(shù)列，，∴，解得或（舍），∴，∴.（2）由（1）得，∴.（3）由題意得，，∴，，得，∴，∴.15．(1)3；5；9；13(2)(3)存在，【分析】（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列，公差為2；，，成等差數(shù)列，公差為4求解即可；（2）由題意，，再分與兩種情況求解即可；（3）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】（1）由題意，，，成等差數(shù)列，公差為2；，，成等差數(shù)列，公差為4.則，，，.（2）由題意，.當(dāng)，時(shí)，，且滿足上式，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.所以（3）存在時(shí)，使得，，，成等比數(shù)列證明如下：由（2）可得，，，假設(shè)，，成等比數(shù)列，則，化簡(jiǎn)得，所以，即，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，，，成等比數(shù)列.16．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)條件，得到當(dāng)，時(shí)，，且有，由等比數(shù)列的定義即可證明結(jié)果；（2）由（1）及條件可得，，再利用等比等差數(shù)列前項(xiàng)和公式分組求和，即可求解．【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以?dāng)，時(shí)，，即又時(shí)，，所以數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列．（2）由（1）知，所以，又由，可得，所以17．(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)階差數(shù)列的定義，寫(xiě)出已知數(shù)列的階差數(shù)列；（2）根據(jù)已知得，應(yīng)用累加法求通項(xiàng)公式即可；（3）由已知得，累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，令，則并確定單調(diào)性，進(jìn)而求數(shù)列的最小值.【詳解】（1）由題意，得，；，所以2階數(shù)列為．（2）因?yàn)?，又，所以，所以，累加得，即，所以．?）因?yàn)?，及，得，又，所以，兩邊同除，得，?dāng)時(shí)，，所以，時(shí)也滿足，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增而，所以，即時(shí)，取得最小值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，根據(jù)定義得到為關(guān)鍵，第三問(wèn)，根據(jù)已知條件和定義得，再應(yīng)用累加求通項(xiàng)公式為關(guān)鍵.18．(1)5(2)(3)【分析】（1）利用逆序數(shù)的定義，依次分析排列中的逆序個(gè)數(shù)，從而得解；（2）利用逆序數(shù)的定義得到，從而利用構(gòu)造法推得是等比數(shù)列，從而得解；（3）利用逆序數(shù)的定義，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式得到，再利用裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）在排列51243中，與5構(gòu)成逆序的有4個(gè)，與1構(gòu)成逆序的有0個(gè)，與2構(gòu)成逆序的有0個(gè)，與4構(gòu)成逆序的有1個(gè)，與3構(gòu)成逆序的有0個(gè)，所以.（2）由（1）中的方法，同理可得，又，所以，設(shè)，得，所以，解得，則，因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為5的等比數(shù)列，所以，則.（3）因?yàn)椋ǎ?，所以，所以，所?【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：新定義題型，弄清題意是關(guān)鍵.第二問(wèn)考查了構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式，第三問(wèn)考查了裂項(xiàng)相消法.19．(1)前3個(gè)“類(lèi)比數(shù)”為2，4，13；(2)不是“類(lèi)比數(shù)”，理由見(jiàn)解析；(3)①1836；②證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)“類(lèi)比數(shù)”的定義直接求出該數(shù)列的前3個(gè)“類(lèi)比數(shù)”即可.（2）首先根據(jù)規(guī)律求出，再根據(jù)定義看是否存在正整數(shù)p使得.（3）求出前組的和為，進(jìn)而求出，讓?zhuān)纯汕蟪鼋Y(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所?不是該數(shù)列的“類(lèi)比數(shù)”．因?yàn)?，，，所以該?shù)列的前3個(gè)“類(lèi)比數(shù)”為2，4，13.（2）由題意可得數(shù)列如下：第1組：1；第2組：1，2；第3組：1，2，4；…第組：．所以該數(shù)列的前項(xiàng)的和為，（*）當(dāng)時(shí)，，則，由于，，，故50不是“類(lèi)比數(shù)”．（3）①在（*）式中，要使，有，，易知出現(xiàn)在第44組之后，又第組的和為，前組的和為，第組前項(xiàng)的和為，．因?yàn)椋裕?，則，當(dāng)時(shí)，，所以對(duì)應(yīng)滿足條件的最小“類(lèi)比數(shù)”．②證明：由①知，．當(dāng)，且取任意整數(shù)時(shí)，可得“類(lèi)比數(shù)”，所以該數(shù)列的“類(lèi)比數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答數(shù)列新定義的基本步驟審題：仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意；建模：將已知的條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語(yǔ)言，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，分清該數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，是求通項(xiàng)還是前項(xiàng)和；求解：求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解；還原：將所求結(jié)果還原到原問(wèn)題中.20．(1)2，4，1，3，5和2，5，3，1，4.(2)不可能是等差數(shù)列，證明見(jiàn)解析(3).【分析】（1）需要根據(jù)已知條件求出的表達(dá)式，再根據(jù)以及和或的條件來(lái)確定數(shù)列.（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列.（3）利用已知條件對(duì)分類(lèi)討論，設(shè)，求出范圍，再根據(jù)是公差為的等差數(shù)列，求出，得到滿足題意的.【詳解】（1），①當(dāng)時(shí)，，即，.當(dāng)時(shí)，，②由①－②得：，即.，，，即.數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列..由題意可得當(dāng)且的數(shù)列為：2，4，1，3，5和2，5，3，1，4.（2）數(shù)列不可能為等差數(shù)列，證明如下：假設(shè)是等差數(shù)列，公差為，當(dāng)時(shí)，由題意知，或3，此時(shí)，.不是等差數(shù)列中的項(xiàng)，與題意不符.不可能是等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，由題意，或.此時(shí)，.不是等差數(shù)列的項(xiàng)，與題意不符.不可能是等差數(shù)列.綜上所述，不可能是等差數(shù)列.（3）由題意，，當(dāng)時(shí)，，，與題意不符；當(dāng)時(shí)，記，當(dāng)時(shí)，，，記表示集合中元素的最小值，則.，與題意不符；當(dāng)時(shí)，取此時(shí)數(shù)列滿足題意.綜上所述，.【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了由與的關(guān)系式求，考查了等差數(shù)列的證明方法和基本量的計(jì)算，考查了分析問(wèn)題，邏輯推理，分類(lèi)討論方法，屬于較難題.21．(1)不是，是，理由見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的定義，結(jié)合特例法判斷即可.（2）由存在，使得，可得，由，可得，分類(lèi)討論可求的值；（3）由一階差分?jǐn)?shù)列的定義可得，則，先證明中，利用分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】（1）所以不是等差數(shù)列，則所以是首項(xiàng)為6，公差為6的等差數(shù)列（2）由題意又即，則若，即，解得（舍去）即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，對(duì)，不存在綜上所述，（3）所以，從而從而，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：關(guān)于新定義問(wèn)題的常見(jiàn)思路為：（1）理解新定義，明確新定義中的條件、原理、方法與結(jié)論等；（2）新定義問(wèn)題要與平時(shí)所學(xué)知識(shí)相結(jié)合運(yùn)用，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.22．(1)，；(2)；(3)2170.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出公差，再借助等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出公比，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式.（2）由（1）的結(jié)論，分奇偶求出的通項(xiàng)，并結(jié)合裂項(xiàng)相消法及錯(cuò)位相減求出對(duì)應(yīng)前項(xiàng)和，再利用分組求和法求解.（3）根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的前2025項(xiàng)中數(shù)列的項(xiàng)及1的個(gè)數(shù)，再分組求和即得.【詳解】（1）在等差數(shù)列中，，而，解得，公差，則；設(shè)等比數(shù)列的公比為，，由，得，即，解得，，所以數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，.（2）由（1）得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，，則，兩式相減得，因此，所以.（3）依題意，數(shù)列：項(xiàng)為前的總項(xiàng)數(shù)為，數(shù)列是遞增的，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此數(shù)列的前項(xiàng)中，有數(shù)列的前10項(xiàng)，有個(gè)，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：①對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；②對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；③對(duì)于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；④對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.23．(1)(2)或；(3).【分析】（1）由伸縮變換的定義計(jì)算即可；（2）先由伸縮變換求得方程，分別與射線聯(lián)立方程求A、B坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式解方程即可；（3）由伸縮變換的定義計(jì)算，結(jié)合條件及累乘法，等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由條件得，整理得，所以的方程為；（2）因?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)“伸縮變換”，對(duì)作變換，得，聯(lián)立，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以或，所以或；因此橢圓的方程為或；（3）對(duì)作變換，得拋物線，得，又因?yàn)椋?，即，?dāng)時(shí)，，得，適用上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：結(jié)合題目給的數(shù)學(xué)情景，運(yùn)用到新的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，學(xué)會(huì)將已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)方法遷移到新的問(wèn)題中.24．(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量求解首項(xiàng)、公比即可得和的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)部分通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)部分錯(cuò)位相減法求和，然后分奇偶項(xiàng)求和即可得數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，利用含參不等式分離參數(shù)可得對(duì)恒成立，令，判斷其單調(diào)性得最值即可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）由題可知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且，則，解得，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，，則，解得，所以，所以和的通項(xiàng)公式為，．（2）由（1）得為，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，因?yàn)楫?dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)①，則②，①—②：，所以，所以求數(shù)列的前項(xiàng)和為，故；（3）由題意可得，由，得，所以對(duì)恒成立，令，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以最大，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對(duì)于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對(duì)于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.25．(1)不具有，數(shù)列具有性質(zhì)P，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用性質(zhì)P的定義分別判斷兩個(gè)數(shù)列；（2）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)P，得到，且又，于是，，…，，，再求和即可；（3）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)P，判斷數(shù)列是等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式即可.【詳解】（1），即，，，所以單調(diào)遞增且，因?yàn)椴淮嬖谡麛?shù)，使得或，所以數(shù)列不具有性質(zhì)P；，即，，，，所以單調(diào)遞增且.因?yàn)榛虻慕Y(jié)果有：，，，，，，，，，，都存在正整數(shù)，使得等于以上值，所以數(shù)列具有性質(zhì)P.（2）因?yàn)閿?shù)列