2025年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)鞏固考點(diǎn)鞏固卷23排列組合及二項(xiàng)式定理(七大考點(diǎn))(原卷版+解析)

考點(diǎn)鞏固卷23排列組合及二項(xiàng)式定理(七大考點(diǎn))考點(diǎn)01：排列數(shù)及組合數(shù)的運(yùn)算1．設(shè)，，則中前的系數(shù)為（

）A． B． C． D．2．若，則的個(gè)位數(shù)字是（

）A．3 B．8 C．0 D．53．（

）A．24 B．60 C．48 D．724．的值是（

）A．480 B．520 C．600 D．13205．已知，，，則（

）A． B． C． D．6．不等式的解集是（

）A． B． C． D．7．，，則等于（

）A． B． C． D．8．表示為（

）A． B． C． D．9．若，則（

）A．5 B．20 C．60 D．12010．已知，則（

）A．11 B．10 C．9 D．8考點(diǎn)02：捆綁法及插空法11．一個(gè)小型聯(lián)歡會(huì)要安排1個(gè)詩詞朗誦類節(jié)目，2個(gè)獨(dú)唱類節(jié)目，2個(gè)歌舞類節(jié)目，則同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有（

）A．44種 B．48種 C．72種 D．80種12．兩個(gè)大人和4個(gè)小孩站成一排合影，若兩個(gè)大人之間至少有1個(gè)小孩，則不同的站法有（

）種.A．240 B．360 C．420 D．48013．現(xiàn)在六個(gè)人并排站成一排，則甲、乙、丙三人不相鄰，且甲在乙的左邊，乙在丙的左邊的概率為（

）A． B． C． D．14．甲、乙、丙等5人站成一排，甲乙相鄰，且乙丙不相鄰，則不同排法共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種15．2024年“花開刺桐城”閩南風(fēng)情系列活動(dòng)在泉州舉辦，包含美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽，書畫筆會(huì)，文藝晚會(huì)等內(nèi)容．假如在美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽中，某區(qū)域有2幅不同的美術(shù)作品、3幅不同的書法作品、1幅不同的攝影作品，將這6幅作品排成兩排掛在同一面墻上，第一排掛4幅，第二排掛2幅，則美術(shù)作品不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．16．已知A、B、C、D、E、F六個(gè)人站成一排，要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的排法共有（

）種A．186 B．264 C．284 D．33617．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高從低到高，互不相同，將他們排成相對身高為“高低高低高”或“低高低高低”的隊(duì)形，則甲、丁不相鄰的不同排法種數(shù)為（

）A．12 B．14 C．16 D．1818．二項(xiàng)式的展開式中，把展開式中的項(xiàng)重新排列，則有理項(xiàng)互不相鄰的排法種數(shù)為（

）A．種 B．種 C．種 D．種19．甲乙丙丁戊5名同學(xué)坐成一排參加高考調(diào)研，若甲不在兩端且甲乙不相鄰的不同排列方式的個(gè)數(shù)為（

）A．36種 B．48種 C．54種 D．64種20．某年級在元旦活動(dòng)中要安排6個(gè)節(jié)目的表演順序，其中有3個(gè)不同的歌唱節(jié)目和3個(gè)不同的舞蹈節(jié)目，要求第一個(gè)和最后一個(gè)都必須安排舞蹈節(jié)目，且不能連續(xù)安排3個(gè)歌唱節(jié)目，則不同的安排方法有（

）A．144種 B．72種 C．36種 D．24種考點(diǎn)03：染色問題21．已知正四棱錐，現(xiàn)有五種顏色可供選擇，要求給每個(gè)頂點(diǎn)涂色，每個(gè)頂點(diǎn)只涂一種顏色，且同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)不同色，則不同的涂色方法有（

）A．240 B．420 C．336 D．12022．如圖，A，B，C，D為四個(gè)不同的區(qū)域，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、黑4種顏色，對這四個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同的顏色（A與C不相鄰，B與D不相鄰），則使用2種顏色涂色的概率為（

）A． B． C． D．23．為迎接元宵節(jié)，某廣場將一個(gè)圓形區(qū)域分成五個(gè)部分（如圖所示），現(xiàn)用4種顏色的鮮花進(jìn)行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區(qū)域鮮花的擺放方案共有（

）A．48種 B．36種 C．24種 D．12種．24．地圖涂色是一類經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題.如圖，用4種不同的顏色涂所給圖形中的4個(gè)區(qū)域，要求相鄰區(qū)域的顏色不能相同，則不同的涂色方法有（

）種.A．84 B．72 C．48 D．2425．用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是（

）A．120 B．72 C．48 D．2426．中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個(gè)區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．種 B．種C．種 D．種27．某植物園要在如圖所示的5個(gè)區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹，則共有（

）種不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．48028．五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面.五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.五行是指木、火、土、金、水五種物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)變化.所以，在中國，“五行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現(xiàn)有種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（

）

A． B． C． D．29．將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)涂上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，若只有5種顏色可供使用，則共使用4種顏色的概率為（

）A． B． C． D．30．如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)04：倍縮法及隔板法31．方程的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為（

）．A．220 B．120 C．84 D．2432．把分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片全部分給甲、乙、丙三個(gè)人，每人至少一張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為（

）A．60 B．36 C．30 D．1233．已知，且，記為，，中的最大值，（

）A． B． C． D．34．若方程，其中，則方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（

）A．10 B．15 C．20 D．3035．滿足不等式的有序整數(shù)組的數(shù)目為（

）A．228 B．229 C．230 D．23136．已知，，，則關(guān)于，，的方程共有（

）組不同的解.A． B． C． D．37．在空間直角坐標(biāo)系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)（所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．38．的展開式為多項(xiàng)式，其展開式經(jīng)過合并同類項(xiàng)后的項(xiàng)數(shù)一共有（

）A．72項(xiàng) B．75項(xiàng) C．78項(xiàng) D．81項(xiàng)39．學(xué)校有個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個(gè)年級至少個(gè)名額，則有（

）種分配方案.A． B． C． D．40．袋中有十個(gè)完全相同的乒乓球，四個(gè)小朋友去取球，每個(gè)小朋友至少取一個(gè)球，所有的球都被取完，最后四個(gè)小朋友手中乒乓球個(gè)數(shù)的情況一共有（

）A．84種 B．504種 C．729種 D．39種考點(diǎn)05：平均分組及部分平均分組問題41．某中學(xué)派6名教師到A，B，C，D，E五個(gè)山區(qū)支教，每位教師去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少安排一名教師前去支教．學(xué)?？紤]到教師甲的家鄉(xiāng)在山區(qū)A，決定派教師甲到山區(qū)A，同時(shí)考慮到教師乙與丙為同一學(xué)科，決定將教師乙與丙安排到不同山區(qū)，則不同安排方法共有（

）A．360種 B．336種 C．216種 D．120種42．將5本不同的書分給3位同學(xué)，則每位同學(xué)至少有1本書的不同分配方式共有（

）種.A． B． C． D．43．有個(gè)人到南京、鎮(zhèn)江、揚(yáng)州的三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一個(gè)學(xué)校錄用，每個(gè)學(xué)校至少錄用其中一人，則不同的錄用情況種數(shù)是（

）A．90 B．150 C．390 D．42044．A、B、C、D、E5所學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)研學(xué)基地供選擇，每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，且每個(gè)基地至少有1所學(xué)校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學(xué)校去的不同的選擇種數(shù)共有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．60種45．甲、乙等5人去三個(gè)不同的景區(qū)游覽，每個(gè)人去一個(gè)景區(qū)，每個(gè)景區(qū)都有人游覽，若甲、乙兩人不去同一景區(qū)游覽，則不同的游覽方法的種數(shù)為（

）A．112 B．114 C．132 D．16046．大連市普通高中創(chuàng)新實(shí)踐學(xué)校始建于2010年1月，以豐富多彩的活動(dòng)廣受學(xué)生們的喜愛.現(xiàn)有A，B，C，D，E五名同學(xué)參加現(xiàn)代農(nóng)業(yè)技術(shù)模塊，影視藝術(shù)創(chuàng)作模塊和生物創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)?zāi)K三個(gè)模塊，每個(gè)人只能參加一個(gè)模塊，每個(gè)模塊至少有一個(gè)人參加，其中A不參加現(xiàn)代農(nóng)業(yè)技術(shù)模塊，生物創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)?zāi)K因?qū)嶒?yàn)材料條件限制只能有最多兩個(gè)人參加，則不同的分配方式共有（

）種．A．84 B．72 C．60 D．4847．甲、乙等5人計(jì)劃去上海、蘇州及青島三個(gè)城市調(diào)查農(nóng)民工薪資情況．每個(gè)人只能去一個(gè)城市，并且每個(gè)城市都要有人去，則不同的分配方案共有種數(shù)為（

）A．150 B．300 C．450 D．54048．基礎(chǔ)學(xué)科對于一個(gè)國家科技發(fā)展至關(guān)重要，是提高核心競爭力，保持戰(zhàn)略領(lǐng)先的關(guān)鍵．其中數(shù)學(xué)學(xué)科尤為重要．某雙一流大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“九章算術(shù)”，“古今數(shù)學(xué)思想”，“數(shù)學(xué)原理”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“算術(shù)研究”五門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選三門，至少選一門，且已選過的課程不能再選，大一到大三三學(xué)年必須將五門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式種數(shù)為（）．A．種 B．種 C．種 D．種49．為了了解雙減政策的執(zhí)行情況，某地教育主管部門安排甲、乙、丙、丁四人到三所學(xué)校進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)學(xué)校至少安排一人，則不同的安排方法種數(shù)有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．72種50．將甲，乙等5人全部安排到四個(gè)工廠實(shí)習(xí)，每人只去一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少安排1人，且甲，乙都不能去工廠，則不同的安排方法有（

）A．72種 B．108種 C．126種 D．144種考點(diǎn)06：利用分配系數(shù)求指定項(xiàng)或系數(shù)51．的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A．第3項(xiàng) B．第6項(xiàng) C．第6，7項(xiàng) D．第5，7項(xiàng)52．若的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則其常數(shù)項(xiàng)為（

）A．120 B．252 C．210 D．4553．在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A．第項(xiàng) B．第項(xiàng)C．第項(xiàng)與第項(xiàng) D．第項(xiàng)與第項(xiàng)54．的展開式的第5項(xiàng)的系數(shù)是（

）A． B． C． D．55．在的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為（

）A． B． C． D．56．被3除的余數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．457．已知的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．60 B．80 C．100 D．12058．二項(xiàng)式的展開式中第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（

）A． B．15 C． D．2059．的二項(xiàng)展開式中，第m項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（

）A． B． C． D．60．若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6考點(diǎn)07：二項(xiàng)式系數(shù)的最值及系數(shù)的最值61．在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為和，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．62．若展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為．（用數(shù)字作答）63．已知的展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.（不用計(jì)算，寫出表達(dá)式即可）64．的二項(xiàng)式展開中，系數(shù)最大的項(xiàng)為．65．已知，寫出滿足條件①②的一個(gè)n的值．①，；②，，1，2，…，n．66．在二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）.67．若中的系數(shù)為，則；二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為．68．已知的展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第四項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為．69．已知展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是10，則，展開式中系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)是.70．假如的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)是，則二項(xiàng)展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)是考點(diǎn)鞏固卷23排列組合及二項(xiàng)式定理(七大考點(diǎn))考點(diǎn)01：排列數(shù)及組合數(shù)的運(yùn)算1.排列的定義：一般地，從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．要點(diǎn)詮釋:（1）排列的定義中包括兩個(gè)基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”．（2）從定義知，只有當(dāng)元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時(shí)，才是同一個(gè)排列．（3）如何判斷一個(gè)具體問題是不是排列問題，就要看從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后，再安排這m個(gè)元素時(shí)是有順序還是無順序，有順序就是排列，無順序就不是排列．2、排列數(shù)1.排列數(shù)的定義從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示.要點(diǎn)詮釋:“排列”和“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，一個(gè)排列是指“從n個(gè)不同的元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一個(gè)排列（也就是具體的一件事）；2．排列數(shù)公式，其中n，m∈N+，且m≤n．要點(diǎn)詮釋:公式特征：第一個(gè)因數(shù)是，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1，最后一個(gè)因數(shù)是，共有個(gè)因數(shù)。3：階乘表示式1．階乘的概念：把正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘.表示：，即.規(guī)定：．2.排列數(shù)公式的階乘式：所以．組合數(shù)公式：(1)（、，且）(2)（、，且）1．設(shè)，，則中前的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意，寫出的展開式，利用二項(xiàng)式通項(xiàng)，寫出展開式中前的系數(shù)，利用組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】依題意，，對于的通項(xiàng)為，故中前的系數(shù)為：.故選：D.2．若，則的個(gè)位數(shù)字是（

）A．3 B．8 C．0 D．5【答案】A【分析】通過發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，可知個(gè)位數(shù)為0，再求出即可判斷．【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的個(gè)位數(shù)字為0，又，的個(gè)位數(shù)字為3．故選：A．3．（

）A．24 B．60 C．48 D．72【答案】A【分析】根據(jù)組合數(shù)以及排列數(shù)的計(jì)算即可求解.【詳解】,故選：A4．的值是（

）A．480 B．520 C．600 D．1320【答案】C【分析】根據(jù)排列數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】.故選：C.5．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先借助排列數(shù)的定義與指數(shù)定義得到與的關(guān)系后，借助組合數(shù)定義結(jié)合放縮可比較與的關(guān)系，即可得解.【詳解】，，均由20個(gè)數(shù)相乘組成，其中前兩項(xiàng)和最后一項(xiàng)比較，其他項(xiàng)，直到，故，，其中里面前四項(xiàng)大于中的后五項(xiàng)，即，其他項(xiàng)均要對應(yīng)大于或等于剩余中的每一項(xiàng)，故.故選：C.6．不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用排列數(shù)公式化簡并求解不等式.【詳解】不等式中，，化為，整理得，解得，因此，所以不等式的解集是.故選：A7．，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件利用排列數(shù)公式的意義即可得解.【詳解】因且，表示80個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積，其中最大因數(shù)為，最小因數(shù)為，由排列數(shù)公式的意義得結(jié)果為，所以.故選：A8．表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由排列數(shù)公式求解．【詳解】由排列數(shù)公式可得：．故選：B．9．若，則（

）A．5 B．20 C．60 D．120【答案】D【分析】直接利用組合數(shù)與排列數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，由組合數(shù)的性質(zhì)可得，解得，故.故選：D.10．已知，則（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，解?故選：B考點(diǎn)02：捆綁法及插空法相鄰問題1、思路：對于相鄰問題，一般采用“捆綁法”解決，即將相鄰的元素看做是一個(gè)整體，在于其他元素放在一起考慮.如果設(shè)計(jì)到順序，則還應(yīng)考慮相鄰元素的順序問題，再與其他元素放在一起進(jìn)行計(jì)算.2、解題步驟：第一步：把相鄰元素看作一個(gè)整體（捆綁法），求出排列種數(shù)第二步：求出其余元素的排列種數(shù)第三步：求出總的排列種數(shù)不相鄰問題技巧總結(jié)1.思路：對于不相鄰問題一般采用“插空法”解決，即先將無要求的元素進(jìn)行全排列，然后將要求不相鄰的元素插入到已排列的元素之間，最后進(jìn)行計(jì)算即可2.解題步驟：①先考慮不受限制的元素的排列種數(shù)②再將不相鄰的元素插入到已排列元素的空當(dāng)種（插空法），求出排列種數(shù)③求出總的排列種數(shù)11．一個(gè)小型聯(lián)歡會(huì)要安排1個(gè)詩詞朗誦類節(jié)目，2個(gè)獨(dú)唱類節(jié)目，2個(gè)歌舞類節(jié)目，則同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有（

）A．44種 B．48種 C．72種 D．80種【答案】B【分析】利用間接法，首先將五個(gè)節(jié)目全排列，減去獨(dú)唱類節(jié)目相鄰，再減去歌舞類節(jié)目相鄰，最后加上獨(dú)唱類節(jié)目相鄰且歌舞類節(jié)目也相鄰的情況即可.【詳解】依題意五個(gè)節(jié)目全排列有種排法；若獨(dú)唱類節(jié)目相鄰，則有種排法；若歌舞類節(jié)目相鄰，則有種排法；若獨(dú)唱類節(jié)目相鄰且歌舞類節(jié)目也相鄰，則有種排法；綜上可得同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有種.故選：B12．兩個(gè)大人和4個(gè)小孩站成一排合影，若兩個(gè)大人之間至少有1個(gè)小孩，則不同的站法有（

）種.A．240 B．360 C．420 D．480【答案】D【分析】由題意可得兩個(gè)大人不相鄰，不相鄰問題用插空法即可得.【詳解】若兩個(gè)大人之間至少有1個(gè)小孩，即兩個(gè)大人不相鄰，故共有種.故選：D.13．現(xiàn)在六個(gè)人并排站成一排，則甲、乙、丙三人不相鄰，且甲在乙的左邊，乙在丙的左邊的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由6人的全排列，以及插空法及甲乙丙的順序確定，從而可求甲在乙的左邊，乙在丙的左邊的概率.【詳解】6人的全排列有，利用插空法，將余下的三個(gè)人全排列，則將甲、乙、丙三人插入到四個(gè)空中且他們的順序?yàn)榧滓冶环N，又由甲、乙、丙三人的全排列有種，所以甲、乙、丙三人不相鄰，且甲在乙的左邊，乙在丙的左邊的排法有種，故所求概率為．故選：B．14．甲、乙、丙等5人站成一排，甲乙相鄰，且乙丙不相鄰，則不同排法共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種【答案】B【分析】利用捆綁法，結(jié)合排列組合只是求解.【詳解】甲乙捆綁在一起看成一個(gè)整體，與丙以外的2人全排列，有種，又因?yàn)橐冶幌噜彛园岩曳湃胍还灿?種，所以一共有種，故選：B.15．2024年“花開刺桐城”閩南風(fēng)情系列活動(dòng)在泉州舉辦，包含美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽，書畫筆會(huì)，文藝晚會(huì)等內(nèi)容．假如在美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽中，某區(qū)域有2幅不同的美術(shù)作品、3幅不同的書法作品、1幅不同的攝影作品，將這6幅作品排成兩排掛在同一面墻上，第一排掛4幅，第二排掛2幅，則美術(shù)作品不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用排列組合公式，還需要用到分類計(jì)數(shù)加法原理和分步計(jì)數(shù)乘法原理，因?yàn)橛龅讲幌噜弳栴}，還得用插空法原理.【詳解】由題意知這6幅作品排成兩排掛在同一面墻上的不同掛法有：種，由于美術(shù)作品不相鄰，按以下情形分類：①美術(shù)作品掛在第一排的不同掛法有：種；②美術(shù)作品分掛在兩排的不同掛法有：種；所以美術(shù)作品不相鄰的概率是：，故選：C.16．已知A、B、C、D、E、F六個(gè)人站成一排，要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的排法共有（

）種A．186 B．264 C．284 D．336【答案】D【分析】先考慮A和B不相鄰的排法，再考慮A和B不相鄰，且C站兩端的情況，相減后得到答案.【詳解】先考慮A和B不相鄰的排法，將C、D、E、F四個(gè)人進(jìn)行全排列，有種情況，C、D、E、F四個(gè)人之間共有5個(gè)空，選擇2個(gè)排A和B，有種情況，故有種選擇，再考慮A和B不相鄰，且C站兩端的情況，先從兩端選擇一個(gè)位置安排C，有種情況，再將D、E、F三個(gè)人進(jìn)行全排列，有種情況最后D、E、F三個(gè)人之間共有4個(gè)空，選擇2個(gè)排A和B，有種情況，故有種情況，則要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的安排有種情況.故選：D17．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高從低到高，互不相同，將他們排成相對身高為“高低高低高”或“低高低高低”的隊(duì)形，則甲、丁不相鄰的不同排法種數(shù)為（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】將排法分為兩種情況討論，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理相加即可.【詳解】依據(jù)題意，分兩種情況討論，情況一：高低高低高依次對應(yīng)1-5號位置，規(guī)定甲在號位，則乙在1號位或4號位，而甲，丁不相鄰，當(dāng)乙在1號位時(shí)，此時(shí)為乙甲戊丙丁，共1種，當(dāng)乙在4號位時(shí)，此時(shí)有丙甲戊乙丁，戊甲丙乙丁，共2種，易得倒序排列和正序排列種數(shù)相同，故本情況共6種，情況二：低高低高低依次對應(yīng)1-5號位置，假設(shè)戊在2號位，若丁在1號位，此時(shí)有丁戊甲丙乙，丁戊乙丙甲，共2種，若丁在4號位，此時(shí)有甲戊丙丁乙，甲戊乙丁丙，共2種，易得倒序排列和正序排列種數(shù)相同，故本情況共8種，故符合題意的情況有種，故B正確.故選：B.18．二項(xiàng)式的展開式中，把展開式中的項(xiàng)重新排列，則有理項(xiàng)互不相鄰的排法種數(shù)為（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】先利用二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式求出有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，再利用插空法求解.【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為：，令，得，所以展開式中的有理項(xiàng)有4項(xiàng)，把展開式中的項(xiàng)重新排列，先把3項(xiàng)無理項(xiàng)全排列，再把4項(xiàng)有理項(xiàng)插入形成的4個(gè)空中，所以有理項(xiàng)互不相鄰的排法種數(shù)為種.故選：D.19．甲乙丙丁戊5名同學(xué)坐成一排參加高考調(diào)研，若甲不在兩端且甲乙不相鄰的不同排列方式的個(gè)數(shù)為（

）A．36種 B．48種 C．54種 D．64種【答案】A【分析】利用間接法，先考慮甲乙不相鄰的不同排列方式數(shù)，再減去甲站在一端且甲乙不相鄰的排列方式數(shù)，結(jié)合排列數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】先考慮甲乙不相鄰的不同排列方式數(shù)，再減去甲站在一端且甲乙不相鄰的排列方式數(shù)，所以總數(shù)為種，故選：A.20．某年級在元旦活動(dòng)中要安排6個(gè)節(jié)目的表演順序，其中有3個(gè)不同的歌唱節(jié)目和3個(gè)不同的舞蹈節(jié)目，要求第一個(gè)和最后一個(gè)都必須安排舞蹈節(jié)目，且不能連續(xù)安排3個(gè)歌唱節(jié)目，則不同的安排方法有（

）A．144種 B．72種 C．36種 D．24種【答案】B【分析】先排第一及最后一個(gè)節(jié)目，再排歌唱節(jié)目，最后用插空法計(jì)算即可得.【詳解】先從3個(gè)不同的舞蹈節(jié)目選出2個(gè)分別安排在第一及最后一個(gè)，有種，再將3個(gè)不同的歌唱節(jié)目排成一列，有種，3個(gè)不同的歌唱節(jié)目中間有2個(gè)空，從中選1個(gè)安排最后一個(gè)節(jié)目，有種，故共有.故選：B.考點(diǎn)03：染色問題秒殺策略：涂色問題分步(乘法)、分類(加法)處理：盡可能多的找兩兩相鄰的區(qū)域，因?yàn)檫@些區(qū)域顏色各不相同，按乘法原理涂色，再按分類涂剩余區(qū)域，一般分用剩余顏色與不用剩余顏色。模型演練模型1：如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種。(用數(shù)字作答)破解：兩兩相鄰最多的區(qū)域是兩個(gè)，這兩個(gè)區(qū)域涂色按乘法原理：種，再涂剩余兩個(gè)區(qū)域，分：用剩余顏色：種；不用剩余顏色：1種；共種。模型2：如圖，一環(huán)形花壇分成A、B、C、D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為()DDBCAA.96 B.84 C.60 D.48破解：共有：(四種顏色：三種顏色：兩種顏色：1)=84)種，選B。21．已知正四棱錐，現(xiàn)有五種顏色可供選擇，要求給每個(gè)頂點(diǎn)涂色，每個(gè)頂點(diǎn)只涂一種顏色，且同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)不同色，則不同的涂色方法有（

）A．240 B．420 C．336 D．120【答案】B【分析】分三種情況，用三種顏色，四種顏色，五種顏色，求出每種情況數(shù)相加得到答案.【詳解】當(dāng)只用三種顏色時(shí)，同色且同色，5種顏色選擇3種，且有種選擇，當(dāng)只用四種顏色時(shí)，同色或同色，從5種顏色中選擇4種，再從和中二選一，涂相同顏色，故有種選擇，當(dāng)用五種顏色時(shí)，每個(gè)頂點(diǎn)用1種顏色，故有種選擇，

綜上，共有種選擇.故選：B22．如圖，A，B，C，D為四個(gè)不同的區(qū)域，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、黑4種顏色，對這四個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同的顏色（A與C不相鄰，B與D不相鄰），則使用2種顏色涂色的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由排列組合以及分類加法計(jì)數(shù)原理求解個(gè)數(shù)，即可由古典概型概率公式求解.【詳解】使用4種顏色給四個(gè)區(qū)域涂色，有種涂法；使用3種顏色給四個(gè)區(qū)域涂色，共有種涂法；（使用3種顏色給四個(gè)區(qū)域涂色有兩類情況：①區(qū)域A與區(qū)域C涂同一種顏色，區(qū)域B與區(qū)域D涂另外2種顏色；②區(qū)域B與區(qū)域D涂同一種顏色，區(qū)域A與區(qū)域C涂另外2種顏色）使用2種顏色給四個(gè)區(qū)域涂色，共有種不同的涂法．所以所有的涂色方法共有（種），故使用2種顏色給四個(gè)區(qū)域涂色的概率為．故選：B23．為迎接元宵節(jié)，某廣場將一個(gè)圓形區(qū)域分成五個(gè)部分（如圖所示），現(xiàn)用4種顏色的鮮花進(jìn)行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區(qū)域鮮花的擺放方案共有（

）A．48種 B．36種 C．24種 D．12種．【答案】A【分析】滿足條件的涂色方案可分為區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色和區(qū)域同色兩類，且和其它區(qū)域不同色，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，分類加法計(jì)數(shù)原理求解即可【詳解】滿足條件的擺放方案可分為兩類，第一類區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，滿足條件的方案可分四步完成，第一步，先擺區(qū)域有種方法，第二步，擺放區(qū)域有3種方法，第三步，擺放區(qū)域有2種方法，第四步，考慮到區(qū)域不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域有1種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得第一類中共有種方案，第二類，區(qū)域同色兩類，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，滿足條件的方案可分四步完成，第一步，先擺區(qū)域有種方法，第二步，擺放區(qū)域有3種方法，第三步，擺放區(qū)域有2種方法，第四步，考慮到區(qū)域不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域有1種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得第一類中共有種方案，根據(jù)分步加法計(jì)數(shù)原理可得該區(qū)域鮮花的擺放方案共有種，故選：A.24．地圖涂色是一類經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題.如圖，用4種不同的顏色涂所給圖形中的4個(gè)區(qū)域，要求相鄰區(qū)域的顏色不能相同，則不同的涂色方法有（

）種.A．84 B．72 C．48 D．24【答案】A【分析】先將區(qū)域分為上下左右，再分上下顏色相同與不同，最后用分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】將圖形區(qū)域氛圍上下左右，若上下顏色相同，則上有4種，左有3種，右有3種，共有種；若上下顏色不同，則上有4種，下有3種，左右各有兩種，共有種，所以共有種，故選：A25．用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是（

）A．120 B．72 C．48 D．24【答案】A【分析】利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，先分類再分步即可求解．【詳解】先涂，有4種選擇，接下來涂，有3種選擇，再涂,有2種選擇，①當(dāng),顏色相同時(shí)涂色方法數(shù)是：，②當(dāng),顏色不相同時(shí)涂色方法數(shù)是：，滿足題意的涂色方法總數(shù)是：．故選：A．26．中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個(gè)區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．種 B．種C．種 D．種【答案】B【分析】確定區(qū)域，，，的顏色，分區(qū)域與區(qū)域涂的顏色是否相同兩種情況討論，進(jìn)而可得出答案.【詳解】由題意可得，只需確定區(qū)域，，，的顏色，即可確定整個(gè)傘面的涂色．先涂區(qū)域，有種選擇，再涂區(qū)域，有種選擇，當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色不同時(shí)，區(qū)域有種選擇，剩下的區(qū)域有種選擇；當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域有種選擇，故不同的涂色方案有種．故選：B．27．某植物園要在如圖所示的5個(gè)區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹，則共有（

）種不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．480【答案】C【分析】利用分類計(jì)數(shù)原理求解，按2與4兩區(qū)域種植果樹是否相同進(jìn)行分類即可.【詳解】分兩類情況：第一類：2與4種同一種果樹，第一步種1區(qū)域，有5種方法；第二步種2與4區(qū)域，有4種方法；第三步種3區(qū)域，有3種方法；最后一步種5區(qū)域，有3種方法，由分步計(jì)數(shù)原理共有種方法；第二類：2與4種不同果樹，第一步在1234四個(gè)區(qū)域，從5種不同的果樹中選出4種果樹種上，是排列問題，共有種方法；第二步種5號區(qū)域，有2種方法，由分步計(jì)數(shù)原理共有種方法.再由分類計(jì)數(shù)原理，共有種不同的方法.故選：C.28．五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面.五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.五行是指木、火、土、金、水五種物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)變化.所以，在中國，“五行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現(xiàn)有種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】依次填涂“火”、“土”、“金”、“水”、“木”，分別確定每個(gè)區(qū)域的涂色方法種數(shù)，結(jié)合分類加法分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），不妨設(shè)四種顏色分別為、、、，先填涂區(qū)域“火”，有種選擇，不妨設(shè)區(qū)域“火”填涂的顏色為，接下來填涂區(qū)域“土”，有種選擇，分別為、、，若區(qū)域“土”填涂的顏色為，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為、、；若區(qū)域“土”填涂的顏色為，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為、、；若區(qū)域“土”填涂的顏色為，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為、、.綜上所述，區(qū)域“金”填涂、、、的方案種數(shù)分別為、、、種，接下來考慮區(qū)域“水”的填涂方案：若區(qū)域“金”填涂的顏色為，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為、、；若區(qū)域“金”填涂的顏色為，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為、、；若區(qū)域“金”填涂的顏色為，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為、、；若區(qū)域“金”填涂的顏色為，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為、、.則區(qū)域“水”填涂的方案種數(shù)為種，填涂的方案種數(shù)為種，填涂的方案種數(shù)為種，填涂的方案種數(shù)為種.從區(qū)域“火”、“土”、“金”填涂至區(qū)域“水”，填涂區(qū)域“水”的方案還和填涂區(qū)域“木”有關(guān)，當(dāng)區(qū)域“水”填涂的顏色為時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為、、；若區(qū)域“水”填涂的顏色為時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為、；若區(qū)域“水”填涂的顏色為時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為、；若區(qū)域“水”填涂的顏色為時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為、.所以，當(dāng)區(qū)域“火”填涂顏色時(shí)，填涂方案種數(shù)為種.因此，不同的涂色方法種數(shù)有種.故選：D.29．將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)涂上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，若只有5種顏色可供使用，則共使用4種顏色的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分用5種顏色中的多少種顏色去涂色，分情況計(jì)算出總的涂色方法種數(shù)，然后用古典概型公式計(jì)算即可.【詳解】如圖：若將四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)涂上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，有5種顏色可供使用，則有以下情況：若5種顏色都使用上，則四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)的顏色都不一樣，共有種不同涂色的方法；若只使用5種顏色中的4種，則四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)中與同色或與同色，共有種不同涂色的方法；若只使用5種顏色中的3種，則四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)中與同色且與同色，共有種不同涂色的方法，綜上，一共有種涂色方法，其中共使用4種顏色的涂色方法有240種，則共使用4種顏色的概率.故選：C30．如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，分類研究，不同色；同色兩大類，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案．【詳解】由題意知，分兩種情況：(1)不同色，先涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有種；(2)同色；先涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有種．由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有種，故選：A．考點(diǎn)04：倍縮法及隔板法定序問題作倍縮放：將題干給定的總數(shù)都看成某一個(gè)獨(dú)立的個(gè)體（不相同的），進(jìn)行全排列故為，其次再將有順序要求的個(gè)元素進(jìn)行全排列個(gè)，其中滿足要求的順序必為1個(gè)，則總的情況數(shù)為。 31．方程的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為（

）．A．220 B．120 C．84 D．24【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為：將排成一列的13個(gè)完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解.【詳解】依題意，可知為非負(fù)整數(shù)，因?yàn)?，所以，從而將問題轉(zhuǎn)化為：將排成一列的13個(gè)完全相同的小球分成部分，每部分至少一個(gè)球，一共有12個(gè)間隔，利用4個(gè)隔板插入即可，故共有種.故選：A32．把分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片全部分給甲、乙、丙三個(gè)人，每人至少一張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為（

）A．60 B．36 C．30 D．12【答案】A【分析】分析可知原題意相當(dāng)于將，，，，，這六個(gè)數(shù)用兩個(gè)隔板隔開，在五個(gè)空位插上兩個(gè)隔板，再對應(yīng)到具體三個(gè)人，利用隔板法分析求解.【詳解】先將卡片分為符合條件的三份，由題意知：三人分六張卡片，且每人至少一張，至多四張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號，相當(dāng)于將，，，，，這六個(gè)數(shù)用兩個(gè)隔板隔開，在五個(gè)空位插上兩個(gè)隔板，共種情況，再對應(yīng)到三個(gè)人有種情況，則共有種法.故選：A．33．已知，且，記為，，中的最大值，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)隔板法得到的解有組，然后列舉得到有6組解，最后求概率即可.【詳解】根據(jù)隔板法，將10看做10和完全相同的小球排成一排，中間形成9個(gè)空，放入兩個(gè)隔板，可求得的解有組，時(shí)，或或或或或，所以.故選：A.34．若方程，其中，則方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（

）A．10 B．15 C．20 D．30【答案】A【分析】將方程正整數(shù)解問題轉(zhuǎn)化為排列組合問題，采用擋板法求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榉匠?，其中，則，將其轉(zhuǎn)化為有6個(gè)完全相同的小球，排成一列，利用擋板法將其分成3組，第一組小球數(shù)目為；第二組小球數(shù)目為；第三組小球數(shù)目為，共有種方法，故方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為10，故選：A.35．滿足不等式的有序整數(shù)組的數(shù)目為（

）A．228 B．229 C．230 D．231【答案】D【分析】根據(jù)隔板法可求方程不同的整數(shù)解的個(gè)數(shù).【詳解】先考慮的有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)，由絕對值的和為3、4或5，可得個(gè)數(shù)為.若有一個(gè)為零，則有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，若有兩個(gè)為零，則有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，若全為零，則有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)為個(gè)，故共有不同組數(shù)231.故選：D.36．已知，，，則關(guān)于，，的方程共有（

）組不同的解.A． B． C． D．【答案】A【分析】問題轉(zhuǎn)化為10個(gè)相同小球放入三個(gè)不同盒子中，每個(gè)盒子都有小球，利用隔板法求解.【詳解】問題可轉(zhuǎn)化為，10個(gè)相同的小球放到三個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子不能空著，每個(gè)盒子中小球的數(shù)目就是方程的一組解，由隔板法可知，共有種不同的分法，即方程共有組不同的解.故選：A37．在空間直角坐標(biāo)系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)（所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用空間向量法求得面的一個(gè)法向量為，從而求得面上的點(diǎn)滿足，進(jìn)而得到棱錐內(nèi)部整點(diǎn)為滿足，再利用隔板法與組合數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】根據(jù)題意，作出圖形如下，因?yàn)?，所以，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，令，則，故，設(shè)是面上的點(diǎn)，則，故，則，不妨設(shè)三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)為，則，故，則，易知若，則在面上，若，則在三棱錐外部，所以，當(dāng)且時(shí)，將寫成個(gè)排成一列，利用隔板法將其隔成三部分，則結(jié)果的個(gè)數(shù)為的取值的方法個(gè)數(shù)，顯然有個(gè)方法，所有整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，因?yàn)?，所?故選：B.38．的展開式為多項(xiàng)式，其展開式經(jīng)過合并同類項(xiàng)后的項(xiàng)數(shù)一共有（

）A．72項(xiàng) B．75項(xiàng) C．78項(xiàng) D．81項(xiàng)【答案】C【分析】由多項(xiàng)式展開式中的項(xiàng)為，即，將問題轉(zhuǎn)化為將2個(gè)隔板和11個(gè)小球分成三組，應(yīng)用組合數(shù)求項(xiàng)數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，多項(xiàng)式展開式各項(xiàng)形式為且，故問題等價(jià)于將2個(gè)隔板和11個(gè)小球分成三組，即.故選：C39．學(xué)校有個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個(gè)年級至少個(gè)名額，則有（

）種分配方案.A． B． C． D．【答案】C【分析】問題等價(jià)于將個(gè)完全相同的小球，放入個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少個(gè)球，結(jié)合隔板法可得結(jié)果.【詳解】問題等價(jià)于將個(gè)完全相同的小球，放入個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少個(gè)球，由隔板法可知，不同的分配方案種數(shù)為.故選：C.40．袋中有十個(gè)完全相同的乒乓球，四個(gè)小朋友去取球，每個(gè)小朋友至少取一個(gè)球，所有的球都被取完，最后四個(gè)小朋友手中乒乓球個(gè)數(shù)的情況一共有（

）A．84種 B．504種 C．729種 D．39種【答案】A【分析】相同元素分組可以采用“隔板法”求解.【詳解】四個(gè)小朋友去取球，每個(gè)小朋友至少取一個(gè)球，所有的球都被取完，即將個(gè)球分成了份：個(gè)球有個(gè)空隙，選個(gè)空隙插上“隔板”即可分成4份，即：種.故選：A.考點(diǎn)05：平均分組及部分平均分組問題分堆問題①平均分堆，其分法數(shù)為：．②分堆但不平均，其分法數(shù)為．41．某中學(xué)派6名教師到A，B，C，D，E五個(gè)山區(qū)支教，每位教師去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少安排一名教師前去支教．學(xué)?？紤]到教師甲的家鄉(xiāng)在山區(qū)A，決定派教師甲到山區(qū)A，同時(shí)考慮到教師乙與丙為同一學(xué)科，決定將教師乙與丙安排到不同山區(qū)，則不同安排方法共有（

）A．360種 B．336種 C．216種 D．120種【答案】B【分析】對山區(qū)的派發(fā)人數(shù)分類，若派到山區(qū)只有甲，剩下教師按人數(shù)分組以后計(jì)算種數(shù)，再減去乙丙教師安排到同一山區(qū)的種數(shù)，即可得山區(qū)只派甲的情況的種數(shù)，進(jìn)而求出總的情況數(shù)量.【詳解】若派到山區(qū)有人，則不同的派法有種；若派到山區(qū)只有甲，先把其余人分為四組，每組人數(shù)分別為，再將四組教師分配到四個(gè)山區(qū)，不同派法有種，其中乙和丙安排到同一山區(qū)的情況有種，所以派到山區(qū)只有甲的派法有種；所以不同的派法共有種.故選：42．將5本不同的書分給3位同學(xué)，則每位同學(xué)至少有1本書的不同分配方式共有（

）種.A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出將5本不同的書分成三份的方法數(shù)，再求出將分好的三份書籍分發(fā)給3位同學(xué)的方法數(shù)即可根據(jù)分步乘法計(jì)算原理求解.【詳解】由題可先將5本不同的書分成三份，共有種方法，再將分好的三份書籍分發(fā)給3位同學(xué)的方法數(shù)有種，所以將5本不同的書分給3位同學(xué)共有種分法.故選：C.43．有個(gè)人到南京、鎮(zhèn)江、揚(yáng)州的三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一個(gè)學(xué)校錄用，每個(gè)學(xué)校至少錄用其中一人，則不同的錄用情況種數(shù)是（

）A．90 B．150 C．390 D．420【答案】C【分析】根據(jù)錄用的人數(shù)，結(jié)合組合和排列的定義分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】若人中有且僅有人被錄用，滿足條件的錄用情況有種，若人中有且僅有人被錄用，滿足條件的錄用情況有種，若人都被錄用，滿足條件的錄用情況有種，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得符合要求的不同的錄用情況種數(shù)是.故選：C.44．A、B、C、D、E5所學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)研學(xué)基地供選擇，每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，且每個(gè)基地至少有1所學(xué)校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學(xué)校去的不同的選擇種數(shù)共有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．60種【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用兩個(gè)原理，結(jié)合排列、組合應(yīng)用列式計(jì)算即可.【詳解】①A校去乙地有種；②A校與另一所學(xué)校去丙地有種，③A校單獨(dú)去丙地有種，所以共有種，故選：B．45．甲、乙等5人去三個(gè)不同的景區(qū)游覽，每個(gè)人去一個(gè)景區(qū)，每個(gè)景區(qū)都有人游覽，若甲、乙兩人不去同一景區(qū)游覽，則不同的游覽方法的種數(shù)為（

）A．112 B．114 C．132 D．160【答案】B【分析】先分組再分配，先將5人分成3組，有、兩種分組可能，求出所有游覽方法總數(shù)，根據(jù)題意再減去甲乙去同一景區(qū)的方法總數(shù)即可.【詳解】去三個(gè)不同的景區(qū)游覽，每個(gè)人去一個(gè)景區(qū)，每個(gè)景區(qū)都有人去游覽，因此先分組再分配，5個(gè)人可以分為3組，分別是、，當(dāng)為時(shí)，有種組合，當(dāng)為時(shí)，有種組合，再分配到三個(gè)不同的景區(qū)，有種；以上情況包含甲乙去同一景區(qū)，需要再減去此種情況，將甲乙捆綁起來作為一個(gè)元素，此時(shí)有四個(gè)元素去三個(gè)不同的景區(qū)，此時(shí)只有這種組合，因此有種組合，再分配給三個(gè)不同的景區(qū)，有種；因此滿足題意的有：種.故選:B46．大連市普通高中創(chuàng)新實(shí)踐學(xué)校始建于2010年1月，以豐富多彩的活動(dòng)廣受學(xué)生們的喜愛.現(xiàn)有A，B，C，D，E五名同學(xué)參加現(xiàn)代農(nóng)業(yè)技術(shù)模塊，影視藝術(shù)創(chuàng)作模塊和生物創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)?zāi)K三個(gè)模塊，每個(gè)人只能參加一個(gè)模塊，每個(gè)模塊至少有一個(gè)人參加，其中A不參加現(xiàn)代農(nóng)業(yè)技術(shù)模塊，生物創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)?zāi)K因?qū)嶒?yàn)材料條件限制只能有最多兩個(gè)人參加，則不同的分配方式共有（

）種．A．84 B．72 C．60 D．48【答案】A【分析】分參加生物創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)?zāi)K的為1人和2人兩種情況，結(jié)合排列組合知識和計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】因?yàn)樯飫?chuàng)新實(shí)驗(yàn)?zāi)K因?qū)嶒?yàn)材料條件限制只能有最多兩個(gè)人參加，所以參加生物創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)?zāi)K的為1人和2人兩種情況，(1)當(dāng)參加生物創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)?zāi)K的為1人時(shí)，若這個(gè)人為，則一共有種不同的分配方式；若這個(gè)人不是，則只能參加現(xiàn)代農(nóng)業(yè)技術(shù)模塊，一共有種不同的分配方式；(2)參加生物創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)?zāi)K的為2人時(shí)，若這兩人中有，則一共有，若這兩人中沒有，則只能參加現(xiàn)代農(nóng)業(yè)技術(shù)模塊，一共有種不同的分配方式；綜上，一共由種不同的分配方式；胡選：A47．甲、乙等5人計(jì)劃去上海、蘇州及青島三個(gè)城市調(diào)查農(nóng)民工薪資情況．每個(gè)人只能去一個(gè)城市，并且每個(gè)城市都要有人去，則不同的分配方案共有種數(shù)為（

）A．150 B．300 C．450 D．540【答案】A【分析】先分組再分配，結(jié)合排列組合即可求解.【詳解】把5人分組有兩類情況：和.先把5人按分組，有種分組方法，按分組，有種分組方法，因此不同分組方法數(shù)為，再把三組人安排到三個(gè)城市，有種方法，所以不同分配方法種數(shù)是.故選：A.48．基礎(chǔ)學(xué)科對于一個(gè)國家科技發(fā)展至關(guān)重要，是提高核心競爭力，保持戰(zhàn)略領(lǐng)先的關(guān)鍵．其中數(shù)學(xué)學(xué)科尤為重要．某雙一流大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“九章算術(shù)”，“古今數(shù)學(xué)思想”，“數(shù)學(xué)原理”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“算術(shù)研究”五門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選三門，至少選一門，且已選過的課程不能再選，大一到大三三學(xué)年必須將五門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式種數(shù)為（）．A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A【分析】根據(jù)分組分配問題，結(jié)合排列組合即可求解.【詳解】先將五門課程分成3,1,1和2,2,1這樣兩種情況，再安排到三個(gè)學(xué)年中，則共有種選修方式故選：A49．為了了解雙減政策的執(zhí)行情況，某地教育主管部門安排甲、乙、丙、丁四人到三所學(xué)校進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)學(xué)校至少安排一人，則不同的安排方法種數(shù)有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．72種【答案】C【分析】先將四人分三組，然后再分配給三個(gè)學(xué)校即可即可.【詳解】將甲、乙、丙、丁四人到三所學(xué)校進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)學(xué)校至少安排一人，將四人分成3組：其中一組1人，一組1人，一組2人，有種，再將這三組分配給三個(gè)不同的學(xué)校有，所以共有種情況.故選：C50．將甲，乙等5人全部安排到四個(gè)工廠實(shí)習(xí)，每人只去一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少安排1人，且甲，乙都不能去工廠，則不同的安排方法有（

）A．72種 B．108種 C．126種 D．144種【答案】C【分析】利用分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合分組分配問題和排列組合知識求解．【詳解】由題意可知，分兩種情況討論，①工廠安排1人，有種，②工廠安排2人，有種，所以不同的安排方法有種．故選：C．考點(diǎn)06：利用分配系數(shù)求指定項(xiàng)或系數(shù)二項(xiàng)式定理1.定義一般地,對于任意正整數(shù),都有：()，這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式。式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr+1表示，即通項(xiàng)為展開式的第r+1項(xiàng)：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)2．二項(xiàng)式(a+b)n的展開式的特點(diǎn)：(1)項(xiàng)數(shù)：共有n+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；(2)二項(xiàng)式系數(shù)：第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；(3)次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n．字母a降冪排列，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次數(shù)從0到n，每一項(xiàng)中，a，b次數(shù)和均為n；3.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：（）公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；②字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；51．的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A．第3項(xiàng) B．第6項(xiàng) C．第6，7項(xiàng) D．第5，7項(xiàng)【答案】C【分析】根據(jù)n＝11為奇數(shù)，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，由展開式中第項(xiàng)和第項(xiàng)相等且最大求解.【詳解】因?yàn)閚＝11為奇數(shù)，所以的展開式中第項(xiàng)和項(xiàng)，即第6，7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且最大．故選：C52．若的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則其常數(shù)項(xiàng)為（

）A．120 B．252 C．210 D．45【答案】C【分析】先根據(jù)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大求出，再根據(jù)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)令指數(shù)等于，求出，即可求出常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，，即，則的展開式的通項(xiàng)為，令，即，故其常數(shù)項(xiàng)為.故選：C.53．在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A．第項(xiàng) B．第項(xiàng)C．第項(xiàng)與第項(xiàng) D．第項(xiàng)與第項(xiàng)【答案】D【分析】結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可得到二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng).【詳解】由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得，二項(xiàng)式系數(shù)最大為，，分別為第項(xiàng)與第項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)．故選：D.54．的展開式的第5項(xiàng)的系數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】寫出展開式的通項(xiàng)，即可判斷.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（且），則第5項(xiàng)公式為，所以展開式的第5項(xiàng)的系數(shù)是.故選：C55．在的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的展開式通項(xiàng)公式，再求出x的系數(shù).【詳解】因?yàn)榈恼归_式，所以當(dāng)時(shí)，x的系數(shù)為.故選：B.56．被3除的余數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用二項(xiàng)式定理賦值化簡，再將寫成形式展開后可求余數(shù).【詳解】由二項(xiàng)式定理得，令得，①，令得