2025年高考數(shù)學第一輪復(fù)習考點鞏固考點鞏固卷24分布列及三大分布(五大考點)(原卷版+解析)

考點鞏固卷24分布列及三大分布(五大考點)考點01：分布列均值和方差的性質(zhì)1．某城市采用搖號買車的方式，有20萬人搖號，每個月?lián)u上的人退出搖號，沒有搖上的人繼續(xù)進入下月?lián)u號，每個月都有人補充進搖號隊伍，每個季度第一個月?lián)u上的概率為，第二個月為，第三個月為，則平均每個人搖上需要的時間為（

）個月.A．7 B．8 C．9 D．102．有甲、乙兩個不透明的袋子，甲袋子里有1個白球，乙袋子里有5個白球和5個黑球，現(xiàn)從乙袋子里隨機取出個球放入甲袋子里，再從甲袋子里隨機取出一個球，記取到的白球的個數(shù)為，則當變大時（

）A．變小 B．先變小再變大C．變大 D．先變大再變小3．克拉麗絲有一枚不對稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為，她擲了次硬幣，最終有10次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設(shè)隨機變量表示每擲次硬幣中正面向上的次數(shù)，現(xiàn)以使最大的值估計的取值并計算.(若有多個使最大，則取其中的最小值).下列說法正確的是（

）A． B．C． D．與10的大小無法確定4．下列說法中，正確命題的個數(shù)為（

）①已知隨機變量服從二項分布，若，則.②對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是.③以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則、的值分別是和.④若樣本數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù):的方差為16A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．下列命題中，不正確的是（

）A．若隨機變量，則B．若隨機變量，且，則C．若x>0，，則的最小值為D．兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強6．下列命題錯誤的是（

）A．兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1B．設(shè)，若，，則C．線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心D．一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中不放回地隨機摸出20個球作為樣本，用隨機變量X表示樣本中黃球的個數(shù)，則X服從二項分布，且7．若隨機變量的可能取值為，且（），則（

）A． B． C． D．8．設(shè)，，是不全相等的實數(shù)，隨機變量取值為，，的概率都是，隨機變量取值為，，的概率也都是，則（

）A．， B．，C．， D．，9．某人在次射擊中擊中目標的次數(shù)為，，其中，，擊中奇數(shù)次為事件，則（

）A．若，，則取最大值時B．當時，取得最小值C．當時，隨著的增大而增大D．當時，隨著的增大而減小10．下列說法不正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)1，4，14，6，13，10，17，19的25％分位數(shù)為5B．一組數(shù)據(jù)，3，2，5，7的中位數(shù)為3，則的取值范圍是C．若隨機變量，則方差D．若隨機變量，且，則考點02：超幾何分布11．一箱蘋果共有12個蘋果，其中有個是爛果，從這箱蘋果中隨機抽取3個．恰有2個爛果的概率為，則（

）A．3 B．4 C．5 D．612．2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領(lǐng)銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機抽取兩人，則男生人數(shù)的期望為（

）A． B． C． D．13．某商場推出一種抽獎活動：盒子中裝有有獎券和無獎券共10張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽中1張有獎券，則該客戶中獎，否則不中獎.客戶甲每天都參加1次抽獎活動，一個月（30天）下來，發(fā)現(xiàn)自己共中獎11次，根據(jù)這個結(jié)果，估計盒子中的有獎券有（

）A．1張 B．2張 C．3張 D．4張14．袋中有6個大小相同的黑球，編號為，還有4個同樣大小的白球，編號為，現(xiàn)從中任取4個球，則下列結(jié)論中正確的是（

）①取出的最大號碼服從超幾何分布；②取出的黑球個數(shù)服從超幾何分布；③取出2個白球的概率為；④若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為A．①② B．②④ C．③④ D．①③④15．下列說法正確的為（

）A．某高中為了解在校學生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校三個年級的學生中抽取一個容量為60的樣本．已知該校高一、高二、高三年級學生數(shù)之比為5:4:3，則應(yīng)從高三年級中抽取14名學生B．10件產(chǎn)品中有8件正品，2件次品，若從這10件產(chǎn)品中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為C．若隨機變量服從正態(tài)分布，，則D．設(shè)某校男生體重（單位：kg）與身高（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法建立的回歸方程為，若該校某男生的身高為170cm，則可斷定其體重為62.5kg16．在一次“概率”相關(guān)的研究性活動中，老師在每個箱子中裝了4個小球，其中3個是白球，1個是黑球，用兩種方法讓同學們來摸球.方法一：在20箱中各任意摸出一個小球；方法二：在10箱中各任意摸出兩個小球.將方法一、二至少能摸出一個黑球的概率分別記為和，則（

）A． B．C． D．以上三種情況都有可能17．2021年1月18日，國家統(tǒng)計局公布我國2020年GDP總量首次突破100萬億元，這是我國經(jīng)濟里程碑式的新飛躍.尤其第三產(chǎn)業(yè)增長幅度較大，現(xiàn)抽取6個企業(yè)，調(diào)查其第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值增長量分別為0.4，0.6，1.2，1.2，1.8，2.0(單位：十萬元)，若增長量超過1.5(十萬元)可評為優(yōu)秀企業(yè)，現(xiàn)從6個企業(yè)中隨機抽取兩個，則恰好有一個優(yōu)秀企業(yè)的概率為（

）A． B． C． D．18．《易系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù).若從這個數(shù)中任取個數(shù)，則這個數(shù)中至少有個陽數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．19．紋樣是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分，它既代表著中華民族的悠久歷史、社會的發(fā)展進步，也是世界文化藝術(shù)寶庫中的巨大財富．小楠從小就對紋樣藝術(shù)有濃厚的興趣．收集了如下9枚紋樣徽章，其中4枚鳳紋徽章，5枚龍紋徽章．小楠從9枚徽章中任取3枚，則其中至少有一枚鳳紋徽章的概率為（

）．A． B． C． D．20．一個班級共有30名學生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級參加學校開展的某項活動，假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量X，男生的人數(shù)為變量Y，則等于A． B．C． D．考點03：二項分布及二項分布的概率最大問題21．在概率論中，全概率公式指的是：設(shè)為樣本空間，若事件兩兩互斥，，則對任意的事件，有．若甲盒中有2個白球、2個紅球、1個黑球，乙盒中有個白球、3個紅球、2個黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機取出一個球，若從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的概率大于等于，則的最大值為．22．近年來，我國外賣業(yè)發(fā)展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道亮麗的風景線．某外賣小哥每天來往于4個外賣店（外賣店的編號分別為），約定：每天他首先從1號外賣店取單，叫做第1次取單，之后，他等可能的前往其余3個外賣店中的任何一個店取單叫做第2次取單，依此類推．假設(shè)從第2次取單開始，他每次都是從上次取單的店之外的3個外賣店取單，設(shè)事件第次取單恰好是從1號店取單是事件發(fā)生的概率，顯然，則23．馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機過程，該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關(guān).甲口袋中各裝有1個黑球和2個白球，乙口袋中裝有2個黑球和1個白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)進行n（）次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個數(shù)為，恰有1個黑球的概率為，則的值是；的數(shù)學期望是.24．甲、乙、丙三個人去做相互傳球訓練，訓練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出．如果第一次由甲將球傳出，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，則；．25．如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號分別為，用表示小球最后落入格子的號碼，若，則.26．為銘記歷史、緬懷先烈，增強愛國主義情懷，某學校開展共青團知識競賽活動．在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學回答一道有關(guān)團史的問題，每個人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學都回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率為；若規(guī)定三名同學搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為，，，則這個問題回答正確的概率為．27．已知一道解答題有兩小問，每小問5分，共10分.現(xiàn)每十個人中有六人能夠做出第一問，但在第一問做不出的情況下，第二問做出的概率為0.1；第一問做出的情況下，第二問做不出的概率為0.6.用頻率估計概率，則此題得滿分的概率是；得0分的概率是.28．甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球、2個白球，乙箱中有4個紅球、1個白球，從甲箱中隨機抽出2個球，在已知至少抽到一個紅球的條件下，則2個球都是紅球的概率為；擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點數(shù)小于等于4，從甲箱子中隨機抽出1個球；如果點數(shù)大于等于5，從乙箱子中隨機抽出1個球，若抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率是.29．某單位為了提高員工身體素質(zhì)，開展雙人投籃比寒，現(xiàn)甲?乙兩人為一組參加比賽，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若投中，則此人繼續(xù)投籃，若未投中，則換為對方投籃，無論之前投籃的情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲?乙的概率各為.第2次投籃的人是甲的概率為；已知在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投籃的人是甲的概率為.30．學習小組為了研究手機對學生學習的影響，對本學校學生手機使用情況統(tǒng)計分析有以下結(jié)果：若學生前一天沒有玩手機，則接下來一天也不玩手機的概率為0.7，若學生前一天玩手機，接下來一天也玩手機的概率為0.8.已知一個學生第一天沒玩手機，根據(jù)這個統(tǒng)計結(jié)果計算，那么他第二天玩手機的概率為，第三天不玩手機的概率為.考點04：正態(tài)分布?？碱}型31．若隨機變量，且，則．32．正態(tài)分布在區(qū)間和上取值的概率為，，則二者的大小關(guān)系為．33．某生產(chǎn)線正常生產(chǎn)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標近似服從正態(tài)分布，若，則實數(shù)的值為.34．李明記錄了自己50次坐公交車所花的時間為（單位：分鐘），經(jīng)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)服從正態(tài)分布，平均時間為36分鐘，方差為36，則.35．某次數(shù)學練習中，學生成績X服從正態(tài)分布,若，則從參加這次考試的學生中任意選取3名學生，至少有2名學生的成績高于125的概率是．36．隨機變量的概率分布密度函數(shù)，其圖象如圖所示，設(shè)，則圖中陰影部分的面積為．37．某市統(tǒng)計高中生身體素質(zhì)狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標值在內(nèi)就認為身體素質(zhì)合格，在[60，84]內(nèi)就認為身體素質(zhì)良好，在內(nèi)就認為身體素質(zhì)優(yōu)秀，現(xiàn)從全市隨機抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標值，經(jīng)計算．若該市高中生的身體素質(zhì)指標值服從正態(tài)分布，則估計該市高中生身體素質(zhì)良好的概率為．（用百分數(shù)作答，精確到）參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，．38．已知某種零件的尺寸（單位：mm）在內(nèi)的為合格品．某企業(yè)生產(chǎn)的該種零件的尺寸X服從正態(tài)分布，且，則估計該企業(yè)生產(chǎn)的2000個零件中合格品的個數(shù)為．39．某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件，其質(zhì)量指標介于的為優(yōu)品.技術(shù)改造前，該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標服從正態(tài)分布；技術(shù)改造后，該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標服從正態(tài)分布.那么，該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差為.（若，則，，）40．小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常選擇自駕、公交或地鐵這三種方式.若小明選擇自駕，則從家里到達公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布若小明選擇地鐵，則從家里到達公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布；若小明選擇公交，則從家里到達公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布.若小明上午8：12從家里出發(fā)，則選擇上班遲到的可能性最小.(填“自駕”“公交”或“地鐵”)參考數(shù)據(jù)：若則，，考點05：獨立事件的乘法公式41．目前不少網(wǎng)絡(luò)媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺引入虛擬主播，在第1天的直播中有超過100萬次的觀看．(1)已知小李第1天觀看了虛擬主播的直播，若小李前一天觀看了虛擬主播的直播，則當天觀看虛擬主播的直播的概率為，若前一天沒有觀看虛擬主播的直播，則當天觀看虛擬主播的直播的概率為，求小李第2天與第3天至少有一天觀看虛擬主播的直播的概率；(2)若未來10天內(nèi)虛擬主播的直播每天有超過100萬次觀看的概率均為，記這10天中每天有超過100萬次觀看的天數(shù)為．①判斷為何值時，最大；②記，求．42．甲、乙兩名圍棋學員進行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，兩人平局的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨立．(1)若，求進行4局比賽后甲學員贏得比賽的概率；(2)當時，（i）若比賽最多進行5局，求比賽結(jié)束時比賽局數(shù)的分布列及期望的最大值；（ii）若比賽不限制局數(shù)，求“甲學員贏得比賽”的概率（用表示）．43．某箱中有個除顏色之外均相同的球，已知.箱中1個球為白球，其余為黑球.現(xiàn)在該箱中進行一取球?qū)嶒?每次從箱中等可能地取出一個球，若取出白球或取球次后結(jié)束實驗，否則進行相應(yīng)操作進行下一次取球.設(shè)實驗結(jié)束時的取球次數(shù)為.(1)若取出黑球后放回箱中，求的數(shù)學期望;(2)若取出黑球后替換為白球放回箱中，求的最大值，并證明:.44．希望中學高三（8）班擬舉辦為期兩天的氣排球比賽，晏老師從體育室拿了4個排球放入球車中提供使用，4個排球中有2個新球與2個舊球，比賽當天從球車中隨機取出2個球進行比賽，賽完后新球變成舊球放回球車.設(shè)第1天與第2天賽完后球車中舊球數(shù)量分別為和.(1)求的分布列與數(shù)學期望.(2)求與.45．小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了元，然后發(fā)給朋友，如果猜中，將獲得紅包里的所有金額；如果未猜中，將當前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，、平分紅包里的金額；如果未猜中，將當前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，、和平分紅包里的金額；如果未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)、、猜中的概率分別為，，，且、、是否猜中互不影響．(1)求恰好獲得元的概率；(2)設(shè)獲得的金額為元，求的分布列及的數(shù)學期望．46．小林有五張卡片，他等概率的在每張卡片上寫下1，2，3，4，5中的某個數(shù)字．(1)求五張卡片上的數(shù)字都不相同的概率；(2)證明：這五張卡片上最大的數(shù)字最可能是5．47．甲、乙兩人進行足球射門訓練，設(shè)有I、II兩個射門區(qū)，約定如下：每人隨機選擇I區(qū)內(nèi)射門或II區(qū)內(nèi)射門，在I區(qū)內(nèi)射門，進球得1分，不進球得0分；在II區(qū)內(nèi)射門，進球得3分，不進球得0分.已知甲每次在I區(qū)內(nèi)射門進球的概率均為，每次在II區(qū)內(nèi)射門進球的概率均為；乙每次在I區(qū)內(nèi)射門進球的概率均為，每次在II區(qū)內(nèi)射門進球的概率均為，且甲、乙兩人射門進球與否互不影響（甲、乙各完成一次射門為一次射門訓練）.(1)在一次射門訓練中，求甲、乙都得0分的概率；(2)若3次射門訓練中，表示甲、乙得分相等的射門訓練次數(shù)，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.48．陽春三月，油菜花進入最佳觀賞期，長沙縣江背鎮(zhèn)、望城光明村彭家老屋、瀏陽達滸油菜花田、岳麓區(qū)含泰社區(qū)油菜花田都免費向市民、游客開放，長沙某三所高級中學A，B，C組織學生去這四個景區(qū)春游，已知A，B兩所學校去每個景區(qū)春游的可能性都相同，C學校去岳麓區(qū)含泰社區(qū)春游的可能性為，去其它三個景區(qū)春游的可能性相同.(1)求望城光明村彭家老屋迎來三所學校春游的概率；(2)長沙縣江背鎮(zhèn)迎來學校所數(shù)的分布列及數(shù)學期望.49．某校甲、乙兩個數(shù)學興趣班要進行擴招，經(jīng)過數(shù)學興趣班的海報宣傳，共有4名數(shù)學愛好者a，b，c，d報名參加（字母編號的排列是按照報名的先后順序而定）．現(xiàn)通過一個小游戲進行分班，規(guī)則如下：在一個不透明的箱子中放有紅球和黑球各2個，紅球和黑球除顏色不同之外，其余大小、形狀完全相同，按報名先后順序，先由第一名數(shù)學愛好者從箱子中不放回地摸出1個小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個放入箱子中；接著由下一名數(shù)學愛好者從箱子中不放回地摸出1個小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個，如此重復(fù)，直至4名數(shù)學愛好者均摸球完畢．數(shù)學愛好者若摸出紅球，則被分至甲班，否則被分至乙班．(1)求a，b，c三名數(shù)學愛好者均被分至同一個興趣班的概率；(2)記甲、乙兩個興趣班最終擴招的人數(shù)分別為e，f，記，求．50．學校團委和工會聯(lián)合組織教職員工進行益智健身活動比賽.經(jīng)多輪比賽后，由教師甲?乙作為代表進行決賽.決賽共設(shè)三個項目，每個項目勝者得10分，負者得-5分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的獲得冠軍.已知教師甲在三個項目中獲勝的概率分別為，各項目的比賽結(jié)果相互獨立.甲?乙獲得冠軍的概率分別記為.(1)求甲教師總得分為0分的概率；(2)判斷甲?乙獲得冠軍的實力是否有明顯差別（若，則認為甲?乙獲得冠軍的實力有明顯差別，否則認為沒有明顯差別.考點鞏固卷24分布列及三大分布(五大考點)考點01：分布列均值和方差的性質(zhì)離散型隨機變量的均值與方差1.均值若離散型隨機變量的分布列為稱為隨機變量的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．2.均值的性質(zhì)（1）（為常數(shù)）．（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．（3）．（4）如果相互獨立，則．3.方差若離散型隨機變量的分布列為則稱為隨機變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機變量的標準差．4.方差的性質(zhì)（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．（2）方差公式的變形：．1．某城市采用搖號買車的方式，有20萬人搖號，每個月?lián)u上的人退出搖號，沒有搖上的人繼續(xù)進入下月?lián)u號，每個月都有人補充進搖號隊伍，每個季度第一個月?lián)u上的概率為，第二個月為，第三個月為，則平均每個人搖上需要的時間為（

）個月.A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】表示每個人搖上需要的時間及其對應(yīng)概率后，借助期望公式與錯位相減法計算即可得.【詳解】設(shè)表示搖上需要的時間，則可能取、、、、、，則，，，，，，，故，則，故即，當時，，故平均每個人搖上需要的時間為9個月.故選：C.2．有甲、乙兩個不透明的袋子，甲袋子里有1個白球，乙袋子里有5個白球和5個黑球，現(xiàn)從乙袋子里隨機取出個球放入甲袋子里，再從甲袋子里隨機取出一個球，記取到的白球的個數(shù)為，則當變大時（

）A．變小 B．先變小再變大C．變大 D．先變大再變小【答案】A【分析】運用超幾何分布與兩點分布，求解離散隨機變量的期望，然后判斷選項.【詳解】由題意可知，從乙盒子里隨機取出個球，其中白球的個數(shù)服從超幾何分布，則．故從甲盒子里隨機取一球，相當于從含有個白球的個球中取一球，取到白球的個數(shù)為，易知隨機變量服從兩點分布，故，所以，隨著的增加，減小.故選：A3．克拉麗絲有一枚不對稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為，她擲了次硬幣，最終有10次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設(shè)隨機變量表示每擲次硬幣中正面向上的次數(shù)，現(xiàn)以使最大的值估計的取值并計算.(若有多個使最大，則取其中的最小值).下列說法正確的是（

）A． B．C． D．與10的大小無法確定【答案】B【分析】由題可知服從二項分布，，結(jié)合，計算得，又和，故得.【詳解】由題，服從二項分布，則，最大即為滿足的最小，即為，又，故為整數(shù)時，不為整數(shù)時為大于的最小整數(shù)，而，當為整數(shù)時顯然成立，當不為整數(shù)時大于的最小整數(shù)為的整數(shù)部分，其小于，故，答選：B.4．下列說法中，正確命題的個數(shù)為（

）①已知隨機變量服從二項分布，若，則.②對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是.③以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則、的值分別是和.④若樣本數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù):的方差為16A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】根據(jù)二項分布的期望公式及期望的性質(zhì)判斷①；根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點，判斷②；將兩邊取對數(shù)，即可判斷③；根據(jù)方差的性質(zhì)判斷④.【詳解】對于①：因為服從二項分布，所以，所以，解得，故①正確；對于②：因為線性回歸直線必過樣本中心點，所以，可得，故②正確；對于③：由兩邊取對數(shù)可得，令，求得線性回歸方程為，所以，，則，，故③正確；對于④：若樣本數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為，故④錯誤；故正確的為①②③共個.故選：D5．下列命題中，不正確的是（

）A．若隨機變量，則B．若隨機變量，且，則C．若x>0，，則的最小值為D．兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強【答案】D【分析】對于A，由二項分布方差公式計算即可；對于B，由正態(tài)分布的對稱性計算即可；對于C，由基本不等式計算即可；對于D，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義即可判斷.【詳解】對于A，隨機變量，由二項分布方差公式得，故A正確；對于B，隨機變量，由正態(tài)分布的對稱性得，故B正確；對于C，由，則，所以當且僅當，則或取等號，故C正確；對于D，線性相關(guān)系數(shù)的范圍在到之間，有正有負，相關(guān)有正相關(guān)和負相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的絕對值的大小越接近于，兩個變量的線性相關(guān)性越強；反之，線性相關(guān)性越弱，故D錯誤.故選：D.6．下列命題錯誤的是（

）A．兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1B．設(shè)，若，，則C．線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心D．一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中不放回地隨機摸出20個球作為樣本，用隨機變量X表示樣本中黃球的個數(shù)，則X服從二項分布，且【答案】D【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的表示意義、二項分布的有關(guān)性質(zhì)、線性回歸方程和超幾何分布的定義依次判斷選項即可.【詳解】A：兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，故A正確；B：由，得，解得，故B正確；C：線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，故C正確；D：由于是不放回地隨機摸出20個球作為樣本，所以由超幾何分布的定義知服從超幾何分布，得，故D錯誤；故選：D7．若隨機變量的可能取值為，且（），則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)概率之和等于1得到方程，求出，計算出期望，進而計算出方差.【詳解】由題意得，解得，故，.故選：A8．設(shè)，，是不全相等的實數(shù)，隨機變量取值為，，的概率都是，隨機變量取值為，，的概率也都是，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】首先求出，設(shè)，從而得到，、，再利用作差法判斷與的大小關(guān)系，即可得解.【詳解】因為隨機變量取值為，，的概率都是，∴，設(shè)，則；隨機變量取值為，，的概率都是，∴，；由，，是不全相等的實數(shù)，，，∴；綜上，，.故選：B.9．某人在次射擊中擊中目標的次數(shù)為，，其中，，擊中奇數(shù)次為事件，則（

）A．若，，則取最大值時B．當時，取得最小值C．當時，隨著的增大而增大D．當時，隨著的增大而減小【答案】C【分析】對于A，根據(jù)直接寫出，然后根據(jù)取最大值列式計算即可判斷；對于B，根據(jù)，直接寫出即可判斷；對于CD，由題意把表示出來，然后利用單調(diào)性分析即可.【詳解】對于A，在次射擊中擊中目標的次數(shù)，當時對應(yīng)的概率，因為取最大值，所以，即，即，解得，因為且，所以，即時概率最大，故A不正確；對于B，，當時，取得最大值，故B不正確；對于C、D，，，，當時，，為正項且單調(diào)遞增的數(shù)列，所以隨著的增大而增大，故C正確；當時，，為正負交替的擺動數(shù)列，所以不會隨著的增大而減小，故D不正確；故選：C.10．下列說法不正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)1，4，14，6，13，10，17，19的25％分位數(shù)為5B．一組數(shù)據(jù)，3，2，5，7的中位數(shù)為3，則的取值范圍是C．若隨機變量，則方差D．若隨機變量，且，則【答案】C【分析】對于A，先把數(shù)據(jù)從小到大排列，利用百分位定義計算即可；對于B，根據(jù)中位數(shù)的定義討論即可；對于C，根據(jù)二項分布的方差公式計算即可；對于D，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解.【詳解】對于A，該組數(shù)據(jù)共8個，且，所以25％分位數(shù)為從小到大排列后第2個數(shù)和第3個數(shù)的平均數(shù)，即為，故A正確；對于B，若，則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為2，3，5，，7或2，3，5，7，，中位數(shù)為5，不合題意；若，則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為2，3，，5，7，中位數(shù)為，不合題意；若，則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為2，，3，5，7或，2，3，5，7，中位數(shù)為3，故實數(shù)的取值范圍是，故B正確；對于C，若隨機變量，則，所以，故C錯誤；對于D，若隨機變量，且，則，故D正確．故選：C．考點02：超幾何分布超幾何分布：一般地，在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品數(shù)，則事件發(fā)生的概率為,其中，且．稱分布列01……為超幾何分布列．如果隨機變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量服從超幾何分布.注意：若有件產(chǎn)品，其中件為次品，無放回地任意抽取件，則其中恰有的次品件數(shù)是服出超幾何分布.11．一箱蘋果共有12個蘋果，其中有個是爛果，從這箱蘋果中隨機抽取3個．恰有2個爛果的概率為，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由超幾何分布的概率公式列方程即可求解.【詳解】依題意可得，即，整理得，解得或9，因為，所以．故選：B.12．2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領(lǐng)銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機抽取兩人，則男生人數(shù)的期望為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先將男生人數(shù)設(shè)為隨機變量，再求得概率，代入期望公式，即可求解.【詳解】設(shè)男生人數(shù)為，且，，，,則.故選：C13．某商場推出一種抽獎活動：盒子中裝有有獎券和無獎券共10張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽中1張有獎券，則該客戶中獎，否則不中獎.客戶甲每天都參加1次抽獎活動，一個月（30天）下來，發(fā)現(xiàn)自己共中獎11次，根據(jù)這個結(jié)果，估計盒子中的有獎券有（

）A．1張 B．2張 C．3張 D．4張【答案】B【分析】根據(jù)題意，計算盒子中獎券數(shù)量對應(yīng)的概率，結(jié)合期望分析更接近11的可能最大.【詳解】設(shè)中獎的概率為，30天中獎的天數(shù)為，則若盒子中的有獎券有1張，則中獎的概率為，，若盒子中的有獎券有2張，則中獎的概率為，，若盒子中的有獎券有3張，則中獎的概率為，，若盒子中的有獎券有4張，則中獎的概率為，，根據(jù)題意盒子中的有獎券有2張，更有可能30天中獎11天，故選：B.14．袋中有6個大小相同的黑球，編號為，還有4個同樣大小的白球，編號為，現(xiàn)從中任取4個球，則下列結(jié)論中正確的是（

）①取出的最大號碼服從超幾何分布；②取出的黑球個數(shù)服從超幾何分布；③取出2個白球的概率為；④若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為A．①② B．②④ C．③④ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取可判斷①②；利用超幾何分布求概率的方式即可判斷③④【詳解】對于①，根據(jù)超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取，由此可知取出的最大號碼不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數(shù)學模型計算概率，故①錯誤；對于②，取出的黑球個數(shù)符合超幾何分布的定義，將黑球視作第一類，白球視作第二類，可以用超幾何分布的數(shù)學模型計算概率，故②正確；對于③，取出2個白球的概率為，故③錯誤；對于④，若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則取出四個黑球的總得分最大，總得分最大的概率為，故④正確．故選：B15．下列說法正確的為（

）A．某高中為了解在校學生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校三個年級的學生中抽取一個容量為60的樣本．已知該校高一、高二、高三年級學生數(shù)之比為5:4:3，則應(yīng)從高三年級中抽取14名學生B．10件產(chǎn)品中有8件正品，2件次品，若從這10件產(chǎn)品中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為C．若隨機變量服從正態(tài)分布，，則D．設(shè)某校男生體重（單位：kg）與身高（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法建立的回歸方程為，若該校某男生的身高為170cm，則可斷定其體重為62.5kg【答案】C【分析】對A，結(jié)合分層抽樣按比例分配原則可判斷錯誤；對B，結(jié)合超幾何分布公式可求解對應(yīng)概率；對C，結(jié)合正態(tài)分布對稱性可判斷；對D，線性回歸方程只能做出預(yù)測.【詳解】對于A．應(yīng)從高三年級中抽取名學生，A錯誤；對于B．所求概率，B錯誤；對于C，，所以，C正確；對于D，用回歸方程計算得到是估計值，故不能斷定其體重為62.5kg，D錯誤．故選：C16．在一次“概率”相關(guān)的研究性活動中，老師在每個箱子中裝了4個小球，其中3個是白球，1個是黑球，用兩種方法讓同學們來摸球.方法一：在20箱中各任意摸出一個小球；方法二：在10箱中各任意摸出兩個小球.將方法一、二至少能摸出一個黑球的概率分別記為和，則（

）A． B．C． D．以上三種情況都有可能【答案】C【分析】分別計算和，再比較大小.【詳解】方法一：每箱中的黑球被選中的概率為，所以至少摸出一個黑球的概率．方法二：每箱中的黑球被選中的概率為，所以至少摸出一個黑球的概率．，則．故選：C.17．2021年1月18日，國家統(tǒng)計局公布我國2020年GDP總量首次突破100萬億元，這是我國經(jīng)濟里程碑式的新飛躍.尤其第三產(chǎn)業(yè)增長幅度較大，現(xiàn)抽取6個企業(yè)，調(diào)查其第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值增長量分別為0.4，0.6，1.2，1.2，1.8，2.0(單位：十萬元)，若增長量超過1.5(十萬元)可評為優(yōu)秀企業(yè)，現(xiàn)從6個企業(yè)中隨機抽取兩個，則恰好有一個優(yōu)秀企業(yè)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題知，增長量超過1.5的有2個，則從6個企業(yè)中隨機抽取兩個，則恰好有一個優(yōu)秀企業(yè)的個數(shù)為，從而求得概率.【詳解】由題知，增長量超過1.5的有2個，則從6個企業(yè)中隨機抽取兩個，則恰好有一個優(yōu)秀企業(yè)的概率為故選：D18．《易系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù).若從這個數(shù)中任取個數(shù)，則這個數(shù)中至少有個陽數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】本題首先可以根據(jù)題意確定個數(shù)中的陽數(shù)和陰數(shù)，然后求出任取個數(shù)中有個陽數(shù)以及任取個數(shù)中有個陽數(shù)的概率，最后兩者相加，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，個數(shù)中，、、、、是陽數(shù)，、、、、是陰數(shù)，若任取個數(shù)中有個陽數(shù)，則，若任取個數(shù)中有個陽數(shù)，則，故這個數(shù)中至少有個陽數(shù)的概率，故選：C.19．紋樣是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分，它既代表著中華民族的悠久歷史、社會的發(fā)展進步，也是世界文化藝術(shù)寶庫中的巨大財富．小楠從小就對紋樣藝術(shù)有濃厚的興趣．收集了如下9枚紋樣徽章，其中4枚鳳紋徽章，5枚龍紋徽章．小楠從9枚徽章中任取3枚，則其中至少有一枚鳳紋徽章的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題首先可以確定所有可能事件的數(shù)量為，然后確定滿足“一枚鳳紋徽章也沒有”的所有可能事件的數(shù)目為，最后根據(jù)“至少有一枚鳳紋徽章”的對立事件為“一枚鳳紋徽章也沒有”即可得出結(jié)果.【詳解】從9枚紋樣徽章中選擇3枚，所有可能事件的數(shù)量為，滿足“一枚鳳紋徽章也沒有”的所有可能事件的數(shù)目為，因為“至少有一枚鳳紋徽章”的對立事件為“一枚鳳紋徽章也沒有”，所以，故選：B.20．一個班級共有30名學生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級參加學校開展的某項活動，假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量X，男生的人數(shù)為變量Y，則等于A． B．C． D．【答案】C【解析】求出,即得解.【詳解】由題得,所以.故選：C.考點03：二項分布及二項分布的概率最大問題1．n重伯努利試驗的概念只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．2．n重伯努利試驗具有如下共同特征(1)同一個伯努利試驗重復(fù)做n次；(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立．3．二項分布（若有件產(chǎn)品，其中件是次品，有放回地任意抽取件，則其中恰有的次品件數(shù)是服從二項分布的）一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為：如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)．4．一般地，可以證明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．21．在概率論中，全概率公式指的是：設(shè)為樣本空間，若事件兩兩互斥，，則對任意的事件，有．若甲盒中有2個白球、2個紅球、1個黑球，乙盒中有個白球、3個紅球、2個黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機取出一個球，若從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的概率大于等于，則的最大值為．【答案】6【分析】設(shè)相應(yīng)事件，結(jié)合全概率公式列式求解即可.【詳解】設(shè)第一次從甲盒取出白球，紅球，黑球的事件分別為，，，從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的事件為，則，可得，解得，則的最大值為6．故答案為：6.22．近年來，我國外賣業(yè)發(fā)展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道亮麗的風景線．某外賣小哥每天來往于4個外賣店（外賣店的編號分別為），約定：每天他首先從1號外賣店取單，叫做第1次取單，之后，他等可能的前往其余3個外賣店中的任何一個店取單叫做第2次取單，依此類推．假設(shè)從第2次取單開始，他每次都是從上次取單的店之外的3個外賣店取單，設(shè)事件第次取單恰好是從1號店取單是事件發(fā)生的概率，顯然，則【答案】【分析】依題意利用全概率公式可得，再構(gòu)造等比數(shù)列求解即可．【詳解】由題意可知，由全概率公式可得，，所以，又因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以．故答案為：．23．馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機過程，該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關(guān).甲口袋中各裝有1個黑球和2個白球，乙口袋中裝有2個黑球和1個白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)進行n（）次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個數(shù)為，恰有1個黑球的概率為，則的值是；的數(shù)學期望是.【答案】【分析】利用全概率公式求出；利用期望的計算公式求出有關(guān)的遞推式，然后構(gòu)造等比數(shù)列求通項即可.【詳解】考慮到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得；記取0，1，2，3的概率分別為，，，，推導的分布列：，，，則，則，故給合，可知.故答案為：;.24．甲、乙、丙三個人去做相互傳球訓練，訓練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出．如果第一次由甲將球傳出，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，則；．【答案】/0.25【分析】設(shè)出事件，由題意得到，由互斥事件的概率加法公式和全概率公式得到概率的遞推式，接著構(gòu)造等比數(shù)列,求出其通項公式即得.【詳解】設(shè)“經(jīng)過次傳球后，球在甲的手中”，則事件的概率即，則依題意，，則，即，(*)因代入解得，，；由（*）可得，，且，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，于是，，則得，.故答案為：；.25．如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號分別為，用表示小球最后落入格子的號碼，若，則.【答案】5【分析】分析得到～，有，由二項式系數(shù)的性質(zhì)求最大值.【詳解】小球在下落的過程中，共10次等可能的向左或向右落下，則小球落入底部的格子號碼服從二項分布，且落入格子的號碼即向右次數(shù)，即～，所以，由二項式系數(shù)的對稱性可知當時，最大，即最大，所以．故答案為：5.26．為銘記歷史、緬懷先烈，增強愛國主義情懷，某學校開展共青團知識競賽活動．在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學回答一道有關(guān)團史的問題，每個人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學都回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率為；若規(guī)定三名同學搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為，，，則這個問題回答正確的概率為．【答案】/【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，先由相互獨立事件的概率公式求出、的值，結(jié)合對立事件的性質(zhì)求出第一空答案，利用全概率公式計算第二空的答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，則，，，所以，，若規(guī)定三名同學都回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率，若規(guī)定三名同學搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為，，，則這個問題回答正確的概率．故答案為：；．27．已知一道解答題有兩小問，每小問5分，共10分.現(xiàn)每十個人中有六人能夠做出第一問，但在第一問做不出的情況下，第二問做出的概率為0.1；第一問做出的情況下，第二問做不出的概率為0.6.用頻率估計概率，則此題得滿分的概率是；得0分的概率是.【答案】0.24/0.36/【分析】設(shè)相應(yīng)事件，由題意可得，根據(jù)對立事件結(jié)合條件概率公式分析求解.【詳解】設(shè)“第一問做出”為事件A，“第二問做出”為事件B，由題意可得：，則，所以，即此題得滿分的概率是0.24；所以，即此題得滿分的概率是0.36.故答案為：0.24；0.36.28．甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球、2個白球，乙箱中有4個紅球、1個白球，從甲箱中隨機抽出2個球，在已知至少抽到一個紅球的條件下，則2個球都是紅球的概率為；擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點數(shù)小于等于4，從甲箱子中隨機抽出1個球；如果點數(shù)大于等于5，從乙箱子中隨機抽出1個球，若抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率是.【答案】13【分析】利用條件概率公式計算摸出的2個球是紅球的概率；利用全概率公式求紅球的概率.【詳解】記事件表示“至少抽到一個紅球”，事件表示“2個球都是紅球”，,,所以.設(shè)事件表示“從乙箱中抽球”，則事件表示“從甲箱中抽球”，事件表示“抽到紅球”，則,所以,所以.故答案為：①，②.29．某單位為了提高員工身體素質(zhì)，開展雙人投籃比寒，現(xiàn)甲?乙兩人為一組參加比賽，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若投中，則此人繼續(xù)投籃，若未投中，則換為對方投籃，無論之前投籃的情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲?乙的概率各為.第2次投籃的人是甲的概率為；已知在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投籃的人是甲的概率為.【答案】【分析】設(shè)相應(yīng)事件，結(jié)合題意分析相應(yīng)事件的概率，結(jié)合全概率公式求；結(jié)合條件概率求.【詳解】設(shè)“第次是甲投籃”為事件，“投籃命中”為事件B，由題意可知：，，則，所以第2次投籃的人是甲的概率為；且在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投籃的人是甲的概率為.故答案為：；.30．學習小組為了研究手機對學生學習的影響，對本學校學生手機使用情況統(tǒng)計分析有以下結(jié)果：若學生前一天沒有玩手機，則接下來一天也不玩手機的概率為0.7，若學生前一天玩手機，接下來一天也玩手機的概率為0.8.已知一個學生第一天沒玩手機，根據(jù)這個統(tǒng)計結(jié)果計算，那么他第二天玩手機的概率為，第三天不玩手機的概率為.【答案】0.30.55【分析】根據(jù)題意由對立事件概率公式得第二天玩手機的概率，再由全概率公式得第三天不玩手機概率即可.【詳解】由題意，學生前一天沒有玩手機，則接下來一天也不玩手機的概率為0.7，所以一個學生第一天沒玩手機，那么他第二天玩手機的概率為，由全概率公式知第三天不玩手機的概率為.故答案為：；考點04：正態(tài)分布常考題型【規(guī)律方法】1.求正態(tài)曲線的兩個方法(1)圖解法：明確頂點坐標即可，橫坐標為樣本的均值μ，縱坐標為eq\f(1,\r(2π)σ)．(2)待定系數(shù)法：求出μ，σ便可．2.正態(tài)分布下2類常見的概率計算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個．3.正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線對稱性和曲線與x軸之間面積為1．(2)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(3)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化：①P(X<a)＝1－P(X≥a)；②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；③若b<μ，則P(X<b)＝eq\f(1－Pμ－b<X<μ＋b,2)．特別提醒：正態(tài)曲線，并非都關(guān)于y軸對稱，只有標準正態(tài)分布曲線才關(guān)于y軸對稱．31．若隨機變量，且，則．【答案】0.1/【分析】利用正態(tài)分布的對稱性得到答案.【詳解】因為，且，則，所以．故答案為：0.132．正態(tài)分布在區(qū)間和上取值的概率為，，則二者的大小關(guān)系為．【答案】相等.【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解可得.【詳解】由正態(tài)分布的對稱性可知，，所以，所以，即.故答案為：相等.33．某生產(chǎn)線正常生產(chǎn)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標近似服從正態(tài)分布，若，則實數(shù)的值為.【答案】3【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得方程，求出.【詳解】近似服從正態(tài)分布，，故，解得.故答案為：334．李明記錄了自己50次坐公交車所花的時間為（單位：分鐘），經(jīng)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)服從正態(tài)分布，平均時間為36分鐘，方差為36，則.【答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解即可.【詳解】由題意可知：，所以.故答案為：35．某次數(shù)學練習中，學生成績X服從正態(tài)分布,若，則從參加這次考試的學生中任意選取3名學生，至少有2名學生的成績高于125的概率是．【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對稱性，求得，設(shè)選中的學生的成績高于125分的人數(shù)為，結(jié)論重復(fù)試驗的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，學生成績X服從正態(tài)分布，若，則，所以，從參加這次考試的學生中任意選取3名學生，設(shè)選中的學生的成績高于125分的人數(shù)為，可得變量，所以至少有2名學生的成績高于125分的概率為.故答案為：.36．隨機變量的概率分布密度函數(shù)，其圖象如圖所示，設(shè)，則圖中陰影部分的面積為．【答案】0.35/【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.【詳解】由題意可知，則，故圖中陰影部分的面積為．故答案為：0.35.37．某市統(tǒng)計高中生身體素質(zhì)狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標值在內(nèi)就認為身體素質(zhì)合格，在[60，84]內(nèi)就認為身體素質(zhì)良好，在內(nèi)就認為身體素質(zhì)優(yōu)秀，現(xiàn)從全市隨機抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標值，經(jīng)計算．若該市高中生的身體素質(zhì)指標值服從正態(tài)分布，則估計該市高中生身體素質(zhì)良好的概率為．（用百分數(shù)作答，精確到）參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，．【答案】【分析】利用正態(tài)分布均值和方差公式得出的值，再由特定區(qū)間的概率即可求解..【詳解】因為100個數(shù)據(jù)的平均值，方差所以的估計值為的估計值為.設(shè)該市高中生的身體素質(zhì)指標值為，由，得.故答案為：．38．已知某種零件的尺寸（單位：mm）在內(nèi)的為合格品．某企業(yè)生產(chǎn)的該種零件的尺寸X服從正態(tài)分布，且，則估計該企業(yè)生產(chǎn)的2000個零件中合格品的個數(shù)為．【答案】1600【分析】解法一：根據(jù)題意利用正態(tài)分布的對稱性求零件合格的概率，進而可得結(jié)果；解法二：根據(jù)題意利用正態(tài)分布的對稱性求零件不合格的概率，進而可得結(jié)果.【詳解】解法一：因為X服從正態(tài)分布，且，所以該企業(yè)生產(chǎn)的該種零件合格的概率，所以估計該企業(yè)生產(chǎn)的2000個零件中合格品的個數(shù)為．解法二：因為X服從正態(tài)分布，且，所以，所以該企業(yè)生產(chǎn)的該種零件不合格的概率為，所以估計該企業(yè)生產(chǎn)的2000個零件中合格品的個數(shù)為．故答案為：1600.39．某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件，其質(zhì)量指標介于的為優(yōu)品.技術(shù)改造前，該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標服從正態(tài)分布；技術(shù)改造后，該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標服從正態(tài)分布.那么，該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差為.（若，則，，）【答案】【分析】根據(jù)題意利用正態(tài)分布性質(zhì)分別計算出技術(shù)改造前后的優(yōu)品率，可得結(jié)果.【詳解】技術(shù)改造前，易知，則其優(yōu)品率為；技術(shù)改造后，其中，則其優(yōu)品率為；所以優(yōu)品率之差為.故答案為：40．小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常選擇自駕、公交或地鐵這三種方式.若小明選擇自駕，則從家里到達公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布若小明選擇地鐵，則從家里到達公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布；若小明選擇公交，則從家里到達公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布.若小明上午8：12從家里出發(fā)，則選擇上班遲到的可能性最小.(填“自駕”“公交”或“地鐵”)參考數(shù)據(jù)：若則，，【答案】公交【分析】由題意可知從家里到達公司所用的時間不超過48分鐘，小明就不會遲到，由此計算三種方式下的值，比較大小，即可得結(jié)論.【詳解】由題意可知從家里到達公司所用的時間不超過48分鐘，小明就不會遲到；若選擇自駕，則；若選擇地鐵，則；若選擇公交，則，而，故選擇公交上班遲到的可能性最小，故答案為：公交考點05：獨立事件的乘法公式事件的獨立性（1）事件與相互獨立的充要條件是．（2）當時，與獨立的充要條件是．（3）如果，與獨立，則成立．41．目前不少網(wǎng)絡(luò)媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺引入虛擬主播，在第1天的直播中有超過100萬次的觀看．(1)已知小李第1天觀看了虛擬主播的直播，若小李前一天觀看了虛擬主播的直播，則當天觀看虛擬主播的直播的概率為，若前一天沒有觀看虛擬主播的直播，則當天觀看虛擬主播的直播的概率為，求小李第2天與第3天至少有一天觀看虛擬主播的直播的概率；(2)若未來10天內(nèi)虛擬主播的直播每天有超過100萬次觀看的概率均為，記這10天中每天有超過100萬次觀看的天數(shù)為．①判斷為何值時，最大；②記，求．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）先求出小李第二天和第三天都沒有觀看虛擬主播直播的概率，然后利用對立事件的概率，即可求解；（2）①由已知服從二項分布，則，進而可得，然后利用比值與1比較大小，即可求解；②因為，所以可能取值為1或，然后結(jié)合①分別求出和的概率代入，即可得解.【詳解】（1）由已知小李第天和第天都沒有觀看虛擬主播直播的概率為，所以小李第天和第天至少有一天觀看虛擬主播直播的概率為.（2）①由已知服從二項分布，所以，由，當時，，所以，即，當時，，所以，即，綜上，當時，最大.②因為，所以或，當時，，，當時，，，.42．甲、乙兩名圍棋學員進行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，兩人平局的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨立．(1)若，求進行4局比賽后甲學員贏得比賽的概率；(2)當時，（i）若比賽最多進行5局，求比賽結(jié)束時比賽局數(shù)的分布列及期望的最大值；（ii）若比賽不限制局數(shù)，求“甲學員贏得比賽”的概率（用表示）．【答案】(1)(2)(i)分布列見解析，，(ii)【分析】（1）用事件分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”，“平局”，記“進行4局比賽后甲學員贏得比賽”為事件N，則事件N包括事件：共5種，即可求解；（2）（i）由題意得的所有可能取值為：，求出對應(yīng)的概率，列出分布列及求出數(shù)學期望，并求出最大值；（ii）由（1）得前兩局比賽結(jié)果可能有：，其中事件表示“甲學員贏得比賽”，事件表示“乙學員贏得比賽”，事件表示“甲、乙兩名學員各得1分”，當甲、乙兩名學員得分總數(shù)相同時，甲學員贏得比賽的概率與比賽一開始甲學員贏得比賽的概率相同，所以即可求解．【詳解】（1）用事件分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”，“平局”，則，記“進行4局比賽后甲學員贏得比賽”為事件N，則事件N包括事件：共5種，所以．（2）（i）因為，所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即，由題意得的所有可能取值為：，，，，所以的分布列為：245所以的期望為：因為，所以，等號成立時，，所以，所以，故的最大值為：．（ii）記“甲學員贏得比賽”為事件M，則，由（1）得前兩局比賽結(jié)果可能有：，其中事件表示“甲學員贏得比賽”，事件表示“乙學員贏得比賽”，事件表示“甲、乙兩名學員各得1分”，當甲、乙兩名學員得分總數(shù)相同時，甲學員贏得比賽的概率與比賽一開始甲學員贏得比賽的概率相同，所以，所以，得，因為，所以.43．某箱中有個除顏色之外均相同的球，已知.箱中1個球為白球，其余為黑球.現(xiàn)在該箱中進行一取球?qū)嶒?每次從箱中等可能地取出一個球，若取出白球或取球次后結(jié)束實驗，否則進行相應(yīng)操作進行下一次取球.設(shè)實驗結(jié)束時的取球次數(shù)為.(1)若取出黑球后放回箱中，求的數(shù)學期望;(2)若取出黑球后替換為白球放回箱中，求的最大值，并證明:.【答案】(1)；(2)，證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出取出白球、黑球的概率，再求出的可能值及各個值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望.（2）求出，再列出不等式且并求出，然后利用分析法，結(jié)合不等式性質(zhì)推理證明.【詳解】（1）每一次取到白球的概率為，取到黑球的概率為，當時，的所有可能取值為，且有，因此的分布列為：12…….，即，，兩式作差得，故，代入得.（2）由于取球次數(shù)最多為次，則當時，，分別令，，整理得，代入得，則的最大值在或處取得，且代入有，經(jīng)檢驗，時也成立，因此.下面證明：，即證，等價于證明，等價于證明，等價于證明，又當時，，則，且有，所以上式成立，即得證.44．希望中學高三（8）班擬舉辦為期兩天的氣排球比賽，晏老師從體育室拿了4個排球放入球車中提供使用，4個排球中有2個新球與2個舊球，比賽當天從球車中隨機取出2個球進行比賽，賽完后新球變成舊球放回球車.設(shè)第1天與第2天賽完后球車中舊球數(shù)量分別為和.(1)求的分布列與數(shù)學期望.(2)求與.【答案】(1)分布列見解析，(2)，【分析】（1）求出可取的值及相應(yīng)的概率，求出可取的值及相應(yīng)的概率，可得的分布列及期望；（2）求出，，由條件概率公式計算可得答案.【詳解】（1）可取的值為，，，，可取的值為，，，，，所以：的分布列為：234；（2），，.45．小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了元，然后發(fā)給朋友，如果猜中，將獲得紅包里的所有金額；如果未猜中，將當前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，、平分紅包里的金額；如果未猜中，將當前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，、和平分紅包里的金額；如果未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)、、猜中的概率分別為，，，且、、是否猜中互不影響．(1)求恰好獲得元的概率；(2)設(shè)獲得的金額為元，求的分布列及的數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算即可；（2）由題意，的可能取值為，，，，計算對應(yīng)的概率值，寫出的分布列與數(shù)學期望值．【詳解】（1）若恰好獲得8元紅包，則結(jié)果為未猜中，未猜中，猜中，故A恰好獲得元的概率為；（2）的可能取值為，，，，則，，，，所以的分布列為：數(shù)學期望為．46．小林有五張卡片，他等概率的在每張卡片上寫下1，2，3，4，5中的某個數(shù)字．(1)求五張卡片上的數(shù)字都不相同的概率；(2)證明：這五張卡片上最大的數(shù)字最可