滬教版 九年級(jí)數(shù)學(xué) 圓的章節(jié)復(fù)習(xí)

*圓的壹節(jié)復(fù)習(xí)第

電日前州忒

【題目】課前測試

如圖，。01的半徑為1，。02的半徑為2,0102=5,OO分別與。01外切、與。。2內(nèi)

切，那么OO半徑〃的取值范圍是.

【答案】r>3

【解析】

如圖1所示，當(dāng)0、01、。2三圓心共線時(shí)，此時(shí)r最小，

則2r=5+2-1=6,解得：r=3；

如圖2所示，當(dāng)0、01、。2三圓兩兩相切，

由于三角形兩邊之和大于第三邊，

.?.(r+l)+(r-2)>5，解得：r>3o

綜上所述：r>3o

總結(jié)：本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，其中相切問題在平時(shí)考試中經(jīng)常出現(xiàn)，需要學(xué)生必須

掌握，通過該題檢測學(xué)生圓相切部分的知識(shí)掌握情況，此外還考察學(xué)生分析問題、解決問題

的能力。本題圖1的情況比較容易想到，但是圖2的情況就比較有難度，特別是在圓中還

用到了三角形三邊關(guān)系，這對大多學(xué)生來說確實(shí)是“始料未及"，該題需利用相切的知識(shí)點(diǎn)

來解題，注意分類討論。

【難度】3

【題目】課前測試

4

如圖，在RUABC中，NACB=90°,AC=8,tanB=7，點(diǎn)P是線段AB上的f動(dòng)

點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的0P與射線AC的另一個(gè)交點(diǎn)為D,射線PD交射線BC

于點(diǎn)E,點(diǎn)Q是線段BE的中點(diǎn)。

(1)當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)，設(shè)PA=x,CE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出

定義域；

(2)以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑的OQ和。P相切時(shí)，求。P的半徑;

(3)射線PQ與。P相交于點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)PC、MC,當(dāng)△PMC是等腰三角形時(shí)，求AP的長。

【答案】

(1)y=6-1x(0cx<5);

J

535

(2)OP的半徑為；或三;

36

(3)AP的長為當(dāng)或2或5或8

】JJLJ

【解析】

(1)解：過點(diǎn)P作PH±AD,垂足為點(diǎn)H,

43

,/zACB=90°,tanB=—,sinA=-,

35

3

1".PA=x,:.PH=-x,

4

?.zPHA=90°,^m2+AH2=PA2,:.AH=-x,

5

4Q

??在OP中，PH_L弦AD:.DH=AH=-x,.\AD=-x,

f55

o

又,「AC=8,:.CD=^--x,

PHPH

?.zPHA=zBCA=90o,.-.PH//BE,/.——=

0<x<5)

>8-底3

5

(2)vPA=PD,PH±AD,.*.zl=z2,B

,/2=N3,..PB二PE,(一

1.PH//BE,/.zl=zB

..Q是BE的中點(diǎn)，「?PQ'BE,、

PQ4"3Ac

?tmiDR=——=—

BQ3'"BP51、E

:PA=x,/.PB=]O-x,

34

BQ=6--x,PQ=S--x,

1。當(dāng)OQ和OP外切時(shí)：PQ=AP+BQ,

435

.*.8--^=x+6--x,解得X=Q;

JJJ

2。當(dāng)。Q和OP內(nèi)切時(shí)，此時(shí)。P的半徑大于OQ的半徑則PQ=AP-BQ,

4335

.-.8--x=x-(6--x)，解得工二3,

55o

535

.??當(dāng)0Q和。P相切時(shí)，(DP的半徑為彳或三；

36

(3)當(dāng)&PMC是等腰三角形，存在以下幾種情況：

33，Q=?，

1。當(dāng)MP=1\/^=%時(shí)，?「QC=6-(6-不幻=,工，「.A:

若M在線段PQ上時(shí)，F(xiàn)M+MQ=PQ:

4。4?40

:.x+-x=S——x,解得“一;

5513

若M在線段PQ的延長線上時(shí)，PM-MQ=PQ:

44

..x--x=S--x,解得”8;

2。當(dāng)CP=CM時(shí)，

?.CP=CM,CQ±PM,/.PQ=QM=|PM=gx,

8-9=,解得x筆

J/(ID

3。當(dāng)PM=PC=x時(shí)，

?.AP=x,,-.PA=PC,

X/PHXAC,/.AH=CH,

APAH

?.PH//BE~BP~~CH

x

??.77—=1,解得”5

10-x

綜上所述:當(dāng)WMC是等腰三角形時(shí)，AP的長為書或售或5或8。

總結(jié)：本題是二?？荚囋}，涉及知識(shí)點(diǎn)比較多，綜合難度比較大，具有較好的區(qū)分度。第

一問關(guān)于幾何圖形中的函數(shù)關(guān)系式問題，具有一定的難度，考察了銳角三角比、垂徑定理，

相似三角形等知識(shí)點(diǎn)笫二問考察了圓與圓的相切問題，顯然相刃問題需要分成內(nèi)切和外切，

相切問題的關(guān)鍵是分別表示出兩圓的半徑以及兩圓圓心的距離長度，這對部分學(xué)生來說具有

一定的難度；第三問考察等腰三角形存在性問題，難點(diǎn)在于分類討論，不僅涉及三邊長的討

論，還涉及點(diǎn)的位置關(guān)系討論。對于等腰三角形三邊長的分析，有一種方法就是分別表示出

三角形的三條邊長，然后進(jìn)行分別討論即可，另一種方法就是通過角度轉(zhuǎn)化，利用銳角三角

比、勾股定理以及相似三角形等知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這對絕大多數(shù)學(xué)生來說比較困難，此時(shí)就需

要老師進(jìn)行引導(dǎo)。

【難度系數(shù)】5

s%次電位

適用范圍各版本，初三年級(jí)

知識(shí)點(diǎn)概述：圓的相關(guān)內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下學(xué)期重要知識(shí)點(diǎn)之一，也是歷年模擬考、

中考的難點(diǎn)之一。學(xué)習(xí)該部分內(nèi)容，不僅需要理解圓心角、弧、弦、弦心距等等的概念以及

它們之間的關(guān)系，還要掌握與圓有關(guān)的位置關(guān)系，熟練掌握垂徑定理及其推論的應(yīng)用。

適用對象：中等成績及偏上

注意事項(xiàng)：本章的重點(diǎn)是直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系判斷以及垂徑定理及其推論的應(yīng)用，

難點(diǎn)則是直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系表示以及圓的綜合應(yīng)用其中常見問題包括函數(shù)關(guān)系

式問題、特殊三角形與四邊形存在性問題、與圓有關(guān)的位置關(guān)系討論等等，涉及的知識(shí)點(diǎn)不

僅僅包括圓的基本性質(zhì)，還包括銳角三角比、相似三角形、四邊形基本性質(zhì)與判定等等，因

而難度較大，對于中等基礎(chǔ)學(xué)生建議從基本概念入手掌握幾類常規(guī)題型的處理分析方法，

對于成績尚可的學(xué)生，建議多從綜合題的訓(xùn)練中歸納總結(jié)，掌握一套屬于自己的解題思路。

重點(diǎn)選講：

(-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

;①與圓相關(guān)的概念辨析；

?

!②垂徑定理的應(yīng)用；

;③與圓有關(guān)的位置問題；

■

④圓與正多邊形；

⑤圓的綜合應(yīng)用

期如衣帽鋰

?◎也識(shí)樓整I:凰的相關(guān)地今

定義：平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)所組成的圖形稱為圓；

半徑:聯(lián)結(jié)圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓的半徑;

直徑：經(jīng)過圓心，并與圓兩端相交的線段叫做圓的直徑；

圓心角：以圓心為頂點(diǎn)并且兩邊都和圓相交的角叫做圓心角；

圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角；

孤:圓上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧，簡稱弧；

半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)將圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；

劣弧：小于半圓的弧叫做劣??；

等弧：能夠重合的兩條弧稱為等??；

等圓：半徑相等的兩個(gè)圓一定能夠重合，我們把半徑相等的兩個(gè)圓稱為等圓;

弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，過圓心的弦就是直徑；

弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距。

?◎如出境拽2：與劇有關(guān)的信置關(guān)國

1、假設(shè)一個(gè)圓的半徑長為R，點(diǎn)P到圓心的距離為d

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：

(1)點(diǎn)P在圓外nd>R;

(2)點(diǎn)P在圓上=d=R;

⑶點(diǎn)P在圓內(nèi)nO4d<R

說明：

①由OC過A、B兩點(diǎn),得C4=C3,可知圓心C在線段AB的垂直平分線

I

②不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓

2、假設(shè)一個(gè)圓的半徑長為r,圓心到直線的距離為d

直線與圓的位置關(guān)系：

(1)直線與圓相離=d>r=無交點(diǎn);

(2)直線與圓相切=d=r=>有一個(gè)交點(diǎn)：

(3)直線與圓相交ndvrn有兩個(gè)交點(diǎn)

3、假設(shè)兩個(gè)圓的半徑長分別是R,r(R>r),兩圓的圓心距離為d

圓與圓的位置關(guān)系：

(1)外離(圖1)二無交點(diǎn)nd>R+r;

(2)外切(圖2)=有一個(gè)交點(diǎn)=d=R+r;

(3)相交(圖3)=>有兩個(gè)交點(diǎn)=R-r<d<R+r;

(4)內(nèi)切(圖4)n有一個(gè)交點(diǎn)=>d=R-r;

(5)內(nèi)含(圖5)=無交點(diǎn)d<R-r

圖4圖5

。如出境拽？：與倒相關(guān)的定理、結(jié)論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。

推論1:

(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；

(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；

(3)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

I

以上共4個(gè)定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)1

即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：:

①A8是直徑②ABJLCO③CE=DE④弧8C=弧5。⑤；

I

I

弧人。=弧4。

推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在O。中，.ABIICD,:.AC=

c

BD

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。

定理：相切兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn)。

圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理及其推論：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的

弦心距相等。

。如出境拽d正多動(dòng)形與圓

正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形；有n條邊的正多邊形

（n是正整數(shù)，且〃之3）就稱作正n邊形；

正多邊形的中心角：正多邊形一邊所對的關(guān)于外接圓的圓心角叫做正多邊形的中

心角；

正多邊形邊心距：正多邊形內(nèi)切圓的半任長叫做正多邊形的邊心距或中心到正多

邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距；

正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓：任1可一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，

外接圓和內(nèi)切圓的圓心都是這個(gè)正多邊形的對稱軸的交點(diǎn)；

"csfc'+i也.金向她（北一2）X180

正多邊形內(nèi)角度數(shù)：-------------

n

360

正多邊形中心角度數(shù)：—

n

圓內(nèi)接正n邊形的性質(zhì)（nN3且n為自然數(shù)）：

①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，圓內(nèi)接正n邊形是軸對稱圖形，有n條對稱軸，但不是中心

對稱圖形；

②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，圓內(nèi)接正n邊形既是軸對稱又是中心對稱圖形，對稱中心就

是正多邊形的中心。

國功85幅第

型1：與圓相關(guān)的概念辨;

下列命題中真命題的是0

①相等的圓心角所對的弧也相等；

②在同圓中，如果兩條弦相等，那么所對的弧也相等；

③A、B是00上任意兩點(diǎn)，則A0+B0等于。。的直徑長；

④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；

⑤圓心角相等，則它們所對的弦必相等；

⑥經(jīng)過線段的兩個(gè)端點(diǎn)及線段所在直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)圓；

⑦直徑平分弦，則必垂直于弦；

⑧如果同圓中，兩條弦互相平分，那么這兩條弦都是直徑。

【答案】③⑥

【解析】

①需說明是在同圓或等圓中，故①錯(cuò)誤；

②一條弦對兩條弧，所以需要說明是優(yōu)弧還是劣弧，故②錯(cuò)誤；

③易知AO、B0均為圓的半徑，所以A0+B。等于直徑長，故③正確；

④三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故④錯(cuò)誤；

⑤需說明是在同圓或等圓中，故好昔誤；

⑥不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故⑥正確；

⑦直徑平分非直徑的弦，則必垂直于弦，故⑦錯(cuò)誤；

⑧如果同圓中，直徑垂直于弦，則必然平分弦，故⑧錯(cuò)誤。

總結(jié)：本題屬于圓相關(guān)的概念題，需要每位學(xué)生熟練理解。

【難度】3

1變式練習(xí)1：與圓相關(guān)的概念辨習(xí)

下列判斷中，正確的是（）

A.平分一條弦所對的弧的直線必垂直于這條弦

B.不與直徑垂直的弦不能被該直徑平分

C.互相平分的兩條弦必定是圓的兩條直徑

D.同圓中，相等的弦所對的弧也相等

【答案】C

【解析】

對于A選項(xiàng)：同時(shí)平分一條弦所對優(yōu)弧、劣弧的直線必垂直于這條弦，故A錯(cuò)誤；

對于B選項(xiàng)：任意兩條直徑互相平分，故B錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng)：同圓中，相等的弦所對的優(yōu)弧、劣弧分別相等，故D錯(cuò)誤。

總結(jié)：本題是關(guān)于圓中對弦的認(rèn)識(shí)和理解，實(shí)則是對垂徑定理的考察和理解，屬于比較基本

的概念題。

【難度】3

題型1變式練習(xí)2:與圓相關(guān)的概念辨析

下列語句中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①直角三角形的兩條直角邊長分別是6和8,則外接圓半徑為日；

②已知兩圓的直徑為10厘米，6厘米，圓心距為16厘米，則兩圓外切；

③過三點(diǎn)可以確定一個(gè)［I；

④兩圓的公共弦垂直平分連心線。

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】A

【解析】

①外接圓半徑為5,故謂吳；

②圓心距大于半徑之和，兩圓外離，故②錯(cuò)誤；

③過不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故③錯(cuò)誤；

④兩圓的連心線所在的直線垂直平分公共弦，故④錯(cuò)誤。

總結(jié)：概念理解題，熟悉相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵。

【難度】3

【題目】題型2:垂徑定理的應(yīng)用

已知，不過圓心的直線L交。。于C、D兩點(diǎn)，AB是OO的直徑，AEJ.L于E.BFJ_L于

F,求證:CE=DFO

ECKHF

問題一圖1

問題一圖2問題一圖3

【答案】

證明：如圖⑴所示，過0作OHJ_L于H,

由垂徑定理知CH=HD,

-.AE±L,BF±L,.-.AE//OH//BF,

AB為直徑，..AO=BO,

「.EH=FH,「.EC=EH-CH=FH-DH=DF,

即CE=DFe

同理可證明圖2、3中的結(jié)論也成立。

【解析】

證明：如圖(1)所示，過。作。H，L于H,

由垂徑定理知CH=HD,

?.AE±L,BF±L,.-.AE//OH//BF,

-.AB為直徑，「.AO=BO,

「.EH=FH,/.EC=EH-CH=FH-DH=DF,

即CE=DFO

同理可證明圖2、3中的結(jié)論也成立。

總結(jié)：本題考察垂徑定理以及平行線相關(guān)性質(zhì)，雖然有三種不同的情況，但是證明過程基本

一致。注意在運(yùn)用垂徑定理解題的過程中，常見的輔助線作法是過圓心作弦的垂線，構(gòu)造出

垂徑定理的基本圖形。

【難度】3

【題目】題型2變式練習(xí)1:垂徑定理的應(yīng)用

已知O0的半徑r=4,AB、CD為。0的兩條弦，AB、CD的長分別是方程

x2-(4A/3+4).r+16>/3=0的兩根，其中AB>CD,且AB〃CD,求AB與CD間的距

離。

【答案】2百+2或2』-2

?.?r-（4V3+4）x+16V3=0,

解得：％=4石,x2=4,

,/AB>CD,.'.AB=4y/3,CD=4,

①當(dāng)AB、CD圓心同側(cè)時(shí)，作0E_LA8于E，并延長交CO于F,

/AB//CD,:.OFLCD,.OE=OB2-BE2=2,OF=J?！?。尸=26,

；.EF=OF-OE=2/-2,

②當(dāng)AB、CD圓心兩側(cè)時(shí)，同理可得E/=O/+OE=2"J+2,

■-AB與CD間的距離是2手）+2或誹-20

總結(jié)：本題考查了垂徑定理的運(yùn)用，一般作垂直并與勾股定理結(jié)合使用求出相應(yīng)邊長，本題

的關(guān)鍵是要分情況討論，這是很多學(xué)生容易忽略的地方，需要引起注意。

【難度】3

【題目】題型2變式練習(xí)2:垂徑定理的應(yīng)用

已知：如圖，AM是。0的直徑，過OO上一點(diǎn)B作BN±AM,垂足為N,其延長線交

OO于點(diǎn)C,弦CD交AM于點(diǎn)E。

(1)如果CD±AB,求證:EN=NM;

(2)如果弦CD交AB于點(diǎn)F,且CD=AB,求證CE2=EFED;

【答案】

(1)證明：如圖1,連接BM,

--AM是O0的直徑,.-.zABM=90°,

\CD±AB,/.BMllDCr/.zNBM=zNCE,

?.BN=NC(ON是弦心距),

.“NEC乎NMB(ASA),/.EN=NM0

(2)證明：如圖2,連接AC,BE,BD,

?CD=AB?C=C?c二C?/ACD=zRDC

?LU-AO，…ADBDBC,…A。8C，"八,

/.zACD=zABE,/.zBDC=zABE,zBEF=zBEF,

??.△FEBs&BED..-.EF?DE=BE2=CE2

【解析】

(1)證明：如圖1,連接BM,

1/AM是。O的直徑,/.zABM=90o,

vCD±AB,/.BMllDC,/.zNBM=zNCE,

?.BN;NC(ON是弦心距)，

.1.ANEC^NMB(ASA),..EN=NM

(2)證明：如圖2,連接AC,BE,BD

.?.CD=AB,「N/膜，「￡=公，.2ACD=NBDC.

.'.zACD=zABE,/.zBDC=zABE,zBEF=zBEF,

.“FEBs^BED./.EF-DE=BE2=CE2

總結(jié)：本題考察了垂徑定理以及同圓中等弧與圓周角的運(yùn)用，利用角度轉(zhuǎn)化，找出仝等或者

相似，從而證明線段的比例關(guān)系。

【難度】4

【題目】題型3:與圓有關(guān)的位置問題

如圖，兩個(gè)圓相外切，并且都內(nèi)切于同一個(gè)大圓，已知連接三個(gè)圓的圓心所組成的三角形周

長等于36cm,則大圓半徑為()。

A.36cmB.24cmC.18cmD.9cm

【答案】c

【解析】

設(shè)大圓C半徑是R,小圓A、B的半徑分別是n和r2,

若大圓C和小圓A的圓心距是di,則di=R-n,

若大圓C和小圓B的圓心距是d2,則d2=R-r?,

而兩小圓的圓心距是ch，則d3=n+「2,

又周長:di+d2+d3=36,

即R-n+R-r2+ri+r2=36,.-.R=18,

所以大圓半徑是18厘米

總結(jié)：本題的關(guān)鍵是表示出圓與圓相切時(shí)的數(shù)量關(guān)系，再代入LABC的周長中即可。

【難度】3

【題目】題型3變式練習(xí)1:與圓有關(guān)的位置問題

如圖，在O0中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E,連接AC,將MCE沿AC翻折得到

△ACF,直線FC與直線AB相交于點(diǎn)G。、、

(1)證明：直線FC與。0相切；\_________A

>、----------------------

(2)若OB=BG,求證：四邊形OCBD是菱形。/---------

【答案】

證明：(1)連接0C,

,OA=OC,.'.zl=z2,

由翻折得,zl=z3,zF=zAEC=90°,入

/.z2=z3,/.OC//AF,.-.zOCG=zF=90°,〃

??點(diǎn)C在圓上一.直線FC與O0相切

(2)在RfOCG中，

-.OB=BG即0G=20C=0B+BG，則BC是RT^OCG中斜邊OG的中線/.BC=OB,

?.直徑AB垂直弦CD,「.CE=ED,.CBuBD,

?，OB=OC=OD,/.BC=OC=OD=BD,

「?四邊形OCBD是菱形。

【解析】

證明：(1)連接oc,

OA=OC,.,.zl=z2,

由翻折得，zl=z3,zF=zAEC=90°,

.-.z2=z3,/.OC//AF,.-zOCG=zF=90°,

??點(diǎn)C在圓上一.直線FC與OO相切

(2)在Rt^OCG中，

\OB=BG,&POG=2OC=OB+BG,/.BC=OB,

..直徑AB垂直弦CD,.，CE=ED,.CB=BD,

-,OB=OC=OD,.'.BC=OC=OD=BD，.二四邊形OCBD是菱形.

總結(jié)：本題第一問屬于圓的切線問題的證明，由于切點(diǎn)已知，此時(shí)需要連接圓心與切點(diǎn),

再證明垂直；第二問是關(guān)于菱形的判定以及垂徑定理的應(yīng)用，屬于比較基礎(chǔ)的證明題。

【難度】3

【題目】題型3變式練習(xí)2:與圓有關(guān)的位置問題

如圖1,已知RTAABC中，NCAB=30°,BC=5,過點(diǎn)A

作AE_LAB,且AE=15,連接BE交AC于點(diǎn)P。

(1)求PA的長；

(2)以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作。A,試判斷BE與。A是否相切，并說明理由；

(3)如圖2,過點(diǎn)C作CD_LAE,垂足為點(diǎn)D,以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作0A;以點(diǎn)C為

圓心，R為半徑作。C。若r和R的大小可變化，并且在變化過程中保持。A和OC相切，

且使D點(diǎn)在。A的內(nèi)部，B點(diǎn)在。A的外部，求r和R的變化范圍。

【答案】

(1)y；(2)相切；

(3謂OA和OC外切時(shí),10-55/3</?<5；當(dāng)OA和0c內(nèi)切時(shí),5<"54>.

15</e<10+5>/3

【解析】

(1).AEIAB,CB1AB,：.AEIIBC,

—=—,?.BC=5,ZCAB

AEAP''

把BC=5,AE=15代人得得

解得=/

(2)BE與OA相切，理由如下：

由(1)得PC-P=，

圖2

???NC=60。，BC=5,.?.NBPC=90。，..BE與。A相切；

(3)，口點(diǎn)在0人的內(nèi)部，B點(diǎn)在OA的外部，.7一小白.

當(dāng)。A和。C外切時(shí)，r+R=lO,

??.5<r<5>/3,10-5>/3</?<5；

當(dāng)OA和。C內(nèi)切時(shí)，/?-r=IO,

,-,5<r<5^/3,?.?15<扭<10+5石,

/.5<r<5>/3,15</?<10+5>/3,

綜上可知，當(dāng)OA和OC外切時(shí)，5<"5右,\0-5y/3<R<5；當(dāng)。A和0c內(nèi)切時(shí),

5<r<5>/3,15<寵<10+56。

總結(jié)：本題考查了圓的切線證明、圓與圓的位置關(guān)系及相似三角形的綜合應(yīng)用，具有一定的

綜合性，關(guān)于圓的切線問題，一種是連接圓心與切點(diǎn)證垂直，另一種就是作垂直證線段長度

相等半徑，本題第二問屬于第一種情況；對于第三問的點(diǎn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系問題，需

要牢記并理解各自判斷依據(jù)，注意圓的相切需要分為內(nèi)切和外切，因此要分類討論。

【難度】4

【題目】題型4:正多邊形與圓

下列命題中，假命題是（）

A.各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形

B.正多邊形的任意兩個(gè)角的平分線如果相交，則交點(diǎn)為正多邊形的中心

C.正多邊形的任意兩條邊的中垂線如果相交，則交點(diǎn)為正多邊形的中心

D.一個(gè)外角小于一個(gè)內(nèi)角的正多邊形一定是正五邊形

【答案】D

【解析】一個(gè)外角小于一個(gè)內(nèi)角的正多邊形一定是大于四邊的正多邊形，故D是假命題。

總結(jié)：本題考直正多邊形與匾相關(guān)概念辨析，屬于匕匕較基礎(chǔ)的題型，正確理解正多邊形性

質(zhì)是關(guān)鍵。

【難度】3

【題目】題型4變式練習(xí)1：正多邊形與圓

如圖，已知等邊3BC的邊長為a,求其內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形DEFG的面積。

【答案】R

B-C

【解析】

??等邊AABC的邊長為a,

「?內(nèi)切圓半徑這a，

3V4o

???圓內(nèi)接正四邊形的對角線長/=2,,=弓〃,

.??正方形DEFG的面積S=:廣=J/

2o

總結(jié)：本題考查了圓內(nèi)接正多邊形及外切正多邊形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算，其中三角形內(nèi)切圓是

各內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，而圓的內(nèi)接正方形的對角線長度等于該圓的直徑。

【難度】3

【題目】題型4變式練習(xí)2:正多邊形與圓

如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E,F,0分別是AB,CD,AD的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為

圓心，以0E為半徑畫弧訐，P是￡上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)0P,并延長0P交線段BC于點(diǎn)

K,過點(diǎn)P作。。的切線’分別交射線AB于點(diǎn)M'交直線BC于點(diǎn)G。若的=3,則

BK=。

【答案】:或《

JJ

【解析】

由于P為動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P接近F點(diǎn)時(shí)，本題另有一個(gè)解，因而需要分類討論：

①若0P的延長線與射線AB的延長線相交，設(shè)交點(diǎn)為H,如圖1,

??MG與。0相切，「.OKJLMG,

?/zBKH=zPKG,..NMGB二NBHK,

BG?

-----=3,.\tanzBHK=-,

BM-------------------------3

/.AH=3AO=3xl=3,BH=3BK,

\AB=2,/.BH=1,.-BK=1;

3

②若OP的延長線與射線DC的延長線相交，設(shè)交點(diǎn)為H,如圖2,

同理可求得BK=:，

綜上所述，本題應(yīng)填;或

總結(jié)：本題考察了正方形性質(zhì)、圓的切線性質(zhì)、解直角三角線等

知識(shí)點(diǎn)，難點(diǎn)在丁需要分類討論，因?yàn)镻是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，隨著P

點(diǎn)的移動(dòng)，0P將分別與射線AB、DC相交，理解到這一點(diǎn)的話，求解本題難度不大。

【難度】4

【題目】題型5:圓的綜合應(yīng)用

如圖，AB是O0的直徑，弦CDJ.AB于點(diǎn)E,且CD=24,點(diǎn)M在OO上，MD經(jīng)過圓

心。，聯(lián)結(jié)MB。

(1)若BE=8,求。。的半徑；

(2)gzDMB=zD,求緋殳0E的長。

【答案】(1)13；(2)46

【解析】

(1)設(shè)00的半徑為*,則。E=x-8,

CD=24,由垂徑定理得，DE=12,

在RfaODE中，由勾股定理得：0D2=DE2+0E2,

:.x2=(X-S)2+\22,解得：x=13;

(2)OM=0B,：./M=ZB,：.ZDOE=2ZM,

又ZA/=ZD,z.ZD=30°,

在RiAOED中,?！?12,/D=30'，：.0E=4百

總結(jié)：本題考查的是垂徑定理、勾股定理和圓周角定理的綜合運(yùn)用。第一問屬于比較常規(guī)的

關(guān)于求解圓的半徑的問題，通常是利用垂徑定理和勾股定理進(jìn)行分析；第二問關(guān)鍵是圓周角

的轉(zhuǎn)化，難度不大。

【難度】3

【題目】題型5變式練習(xí)1:圓的綜合應(yīng)用

已知：的半徑為5,點(diǎn)C在直徑AB上，過點(diǎn)C作。。的弦DE_LAB,過點(diǎn)D作直線

EB的垂線DF,垂足為點(diǎn)F,設(shè)AC=x,EF=y0

(1)如圖，當(dāng)AC=1時(shí),求線段EB的長；

(2)當(dāng)點(diǎn)F在線段EB上時(shí)，求y與x之間的函數(shù)解析式，

并寫出定義域；

(3)如果EF=3BF,求線段AC的長。

【答案】(1)BE=3面；(2)"八“。；-。(0<x<5);(3)號(hào)或號(hào)

【解析】

解：（1）連接AE,由題意知：AB=10,AC=1,/.BC=AB-AC=9,

/AB是。。直徑，..NAEB=90。，

1.DEXAB,/.zECB=90°,

BEBC

二一=——

?NCBE/ABE,."EBJA3E,ABBE

.*.BE2=BC*AB,/.BE=3V10:

(2)當(dāng)點(diǎn)F在線段EB上時(shí)，由題意知：AC=x,/.BC=10-x

?.DEJLAB,=檢，.?./AEC=NABE,

CEBC

...△ACE1ECB,——=——

ACCE

.-.CE2=AC*BC,/.CE=7X10-x),

由垂彳至定理可知：DE=2CE=2jx(10-x),

由(1)可知：BE2=BC?AB,BE=JlO(H)-x),

?.DF±EB,/.zDFE=zECB=90°,

ppDF

又.NDEBUNDEB,.“DEFSABEC,「K=—

CEEB

2jx(10-幻

…Jx(lO-x)^lO(K)-x)，

xjl()()-1Ox,△人、

-------------------(0<x<5);

5

(3)如圖1,①當(dāng)點(diǎn)F在線段BE上時(shí)，

?/EF=3BF,/.4EF=3BE，由(2)可知，4)，=3^/10(10-x),

15

:.x=一,-.AC=—

44

②當(dāng)點(diǎn)F在EB的延長線上時(shí)，連接OE,

AOC=X-5,BC=10-x，.」由勾股定理可知:OE2-OC2=BE2-BC2,/.BE=VlOO-lOx，

moc，

,/EF-3BF-----=—,/.BE=—y,y=—V100-lOx,

EF332

由垂徑定理可知：DE=2CE,

1.zDFE=zECB=90°,zDEB=zDEB,

BECE

.?.AEBJAEDF,

DEEF

2

-.-y2=2(-x2+lOx)，化簡得：4x2-70x+300=0,

.懈得：X=1U(不符合題意，舍去)或x=￥，「.AC=冷

綜上所述，當(dāng)訐=3BF,AC的長為券或果

總結(jié)：本題涉及了勾股定理、垂徑定理、函數(shù)關(guān)系式，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜

合程度較高，考杳學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。第一問中連接AE,結(jié)合垂徑定理與"母子三

角形"模型，易證^EBCiABE,所以BE2=BC*AB,把BC和AB的長度代入即可求出BE

的長度；第二問關(guān)于函數(shù)關(guān)系式問題，一般利用相似三角形、勾股定理、銳角三角比等知識(shí)

點(diǎn)，本題利用AEBC-AABE與"VZESAECB,可求出BE與CE的長度，然后再證明^DEFd

BEC,利用對應(yīng)邊的比相等即可得出y與x的函數(shù)解析式；第三問需要分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)

F在線段EB上;②當(dāng)點(diǎn)F在EB的延長線上，一般可利用第二問的結(jié)論進(jìn)行分析，考察學(xué)

生分類討論的綜合能力。

【難度】5

【題目】題型5變式練習(xí)2:圓的綜合應(yīng)用

4

如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=8,coszB=《，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)

點(diǎn)，以CP為半徑的圓C與邊AD交于點(diǎn)E、F(點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè))，射線CE與射線

BA交于點(diǎn)G。

(1)當(dāng)圓C經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求CP的長；

(2)聯(lián)結(jié)AP,當(dāng)AP〃CG時(shí)，求弦EF的長；

(3)當(dāng)&AGE是等腰三角形時(shí)，求圓C的半徑長。

圖1至2

7

【答案】(DCP=5；(2)EF=-;(3)ViO

【解析】

(1)如圖1,設(shè)。0的御空為口

當(dāng)點(diǎn)A在OC上時(shí)，點(diǎn)E和點(diǎn)A重合，過點(diǎn)A作AH_LBC于H,

/.BH=AB-coszB=4,/.AH=3,CH=4,

-AC=ylAH2+CH2=5，，此時(shí)CP=r=5;

(2)如圖2,若AP//CE,APCE為平行四邊形，

?.CE=CP,???四邊形APCE是差形，

連接AC、EP,則AC_LEP,..AM;CM二

由(1)知，AB=AC,貝!UACB=/B,

(3)如圖3:過點(diǎn)C作CN_LAD于點(diǎn)N,設(shè)AQ_LBC,

?.?/=cos/B,AB=5,，BQ=4,AN=QC=BC-BQ=4,

AB

4

1.coszB=—,/.zB<45°,

1/zBCG<90°,/.zBGC>450,

.-.zBGC>zB=zGAE,即NBGCH/GAE,

XzAEG=zBCG>zACB=zB=zGAE,

.?.當(dāng)NAEG=NGAE時(shí)，A、E、G重合，則MGE不存在，

即NAEGHNGAE,??只育旨NAGE二NAEG,

?.AD〃BC,.“GAESAGBC,

AEAGAEAE

?___=___gQn___=______

CBBG8AE+5

解得：AE=3,EN=AN-AE=1,

■CE=ylEN2+CN2=^32+l2=麗°

總結(jié)：本題考察了銳角三角比、菱形的性質(zhì)與判定、垂徑定理、勾股定理、相似三角形判定

等等內(nèi)容，涉及的知識(shí)點(diǎn)比較廣泛，具有一定的綜合性。第一問中當(dāng)點(diǎn)A在OC上時(shí)，點(diǎn)E

和點(diǎn)A重合，過點(diǎn)A作AH_LBC于H,直接利用勾股定理求出AC進(jìn)而得出答案；第二問

中首先需要判斷出四邊形APCE是菱形，進(jìn)而得出CM的長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得

出CP以及EF的長；第三問關(guān)于等腰三角形存在性問題，比較有難度，一般需要通過分析

題意排除部分可能性，從而減少計(jì)算量，由于/GAE工NBGC,只能NAGE二/AEG,利用

AD//BC,得出AGAE^GBC,進(jìn)而求出即可。

【難度】5

【題目】興趣篇1

已知AB、AC分別是同T圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形的邊那么/BAC的度數(shù)是.

【答案】15,或105°

【解析】

女口圖1,zBAC=zCAO-zBAO=600-45°=15°；

如圖2,zBAC=zBAE+zEAC=900+15°=105°.

總結(jié)：本題考查了正多邊形與圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)健是能夠正確的畫出圖形，注意兩

種情況的討論。

【難度】3

【題目】興趣篇2

如圖&ABC是等邊三角形，以BC為直徑的。O分別交AB、AC于點(diǎn)D、E:

(I)試說明&ODE的形狀;

(2)若NA=60。，ABHAC,則①的結(jié)論是否仍然成立，說明你的理由。

【答案】(1)4ODE是等邊三角形；(2)結(jié)論仍成立，即&ODE是等邊三角形

【解析】

(1),??△BAC是等邊三角形，.?./B=NC=60°,A

?.OD=OB=OE=OC,nOBD和&OEC都是等邊三角形，

/.zBOD=zCOE=60°,/.zDOE=60°,//

c

.“ODE是等邊三角形—0)

(2)結(jié)論(1)仍成立：

證明：連接CD,7BC是直徑,.-.zBDC=90°,/.zADC=90°,

?.zA=60°,.1.zACD=30°,.?.zDOE=2zACD=60°,

?.OD=OE,/.AODE是等訪三角形

總結(jié)：本題考察了圓周角定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系以及等邊三角形的判定等。第一問

中根據(jù)有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形進(jìn)行證明即可；第二問中需要從圓周角、

圓心角之間的關(guān)系進(jìn)行分析，從問一到問二，從特殊到一般，需要學(xué)生好好體會(huì)。

【難度】3

【題目】備選試題1

3

已知：如圖，在邊長為5的菱形ABCD中，cosNA=g,點(diǎn)P為邊AB上一點(diǎn)，以A為圓

心、AP為半徑的OA與邊AD交于點(diǎn)E,射線CE與。A另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)F。

(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，求EF的長；

(2)設(shè)AP=x,CE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；

(3)是否存在一點(diǎn)P,使得淳=2P%，若存在，求AP的

長，若不存在，請說明理由。

【答案】(1)EF=6;(2)y=Vx2-I6x+80(0<x<5);(3)AP=|

【解析】

解：(1)過