滬教版初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) (一)

第一章數(shù)的整除

1.1整數(shù)和整除的意義

1.在數(shù)物體的時(shí)候，用來表中物體個(gè)數(shù)的數(shù)12,3,4,5,，叫做整數(shù)

2.在正整數(shù)1,2,3,4,5,,的前面添上“一”號(hào)，獲得的數(shù)一1,—2,—3,—4,—5,，

叫做負(fù)整數(shù)

3.零和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)

4.正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為整數(shù)

5.整數(shù)a除以整數(shù)b,假設(shè)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或許說b

能整除a。

1.2因數(shù)和倍數(shù)

1.假設(shè)整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)

2.倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的

3.個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，此中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是它自己

4.一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無窮的，此中最小的倍數(shù)是它自己

1.3能被2,5整除的數(shù)

1.個(gè)位數(shù)字是0,2,4,6,8的數(shù)都能被2整除

2.整數(shù)能夠分紅奇數(shù)和偶數(shù)，能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不可以被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)

3.在正整數(shù)中（除1外），與奇數(shù)相鄰的兩個(gè)數(shù)是偶數(shù)

4.在正整數(shù)中，與偶數(shù)相鄰的兩個(gè)數(shù)是奇數(shù)

5.個(gè)位數(shù)字是0,5的數(shù)都能被5整除

6.0是偶數(shù)

1.4索數(shù)、合數(shù)與分解素因數(shù)

1.只含有因數(shù)1及自己的整數(shù)叫做素?cái)?shù)或質(zhì)數(shù)

2.除了1及自己還有其余因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)

3.1既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)

4.奇數(shù)和偶數(shù)統(tǒng)稱為正整數(shù)，素?cái)?shù)、合數(shù)和1統(tǒng)稱為正整數(shù)

5.每個(gè)合數(shù)都能夠?qū)懗蓭讉€(gè)素?cái)?shù)相乘的形式，這幾個(gè)素?cái)?shù)都叫做這個(gè)合數(shù)的素因數(shù)

6.把一個(gè)合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解素因數(shù)。

7.往常用什么方法分解素因數(shù)：樹枝分解法，短除法

1.5公因數(shù)與最大公因數(shù)

1.幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其最大的一人叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)

2.假設(shè)兩個(gè)整數(shù)只有公因數(shù)1,那么稱這兩個(gè)數(shù)互素?cái)?shù)

3.把兩個(gè)數(shù)公有的素因數(shù)連乘，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)

4.假設(shè)兩個(gè)數(shù)中，較小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)較小的數(shù)

5.假設(shè)兩個(gè)數(shù)是互素?cái)?shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1

1.6公倍數(shù)與最小公倍數(shù)

1.幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)

精心整理

2.幾個(gè)數(shù)中最小的公因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)

3.求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，只需把它們?nèi)康墓械乃匾驍?shù)和他們各自特有的素因數(shù)連乘，所

得的積就是他們的最小公倍數(shù)

4.假設(shè)兩個(gè)數(shù)中，較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是較大的那個(gè)數(shù)

5.假設(shè)兩個(gè)數(shù)是互素?cái)?shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是；兩人數(shù)的乘積

第二章分?jǐn)?shù)

2.1分?jǐn)?shù)與除法

被除數(shù)

1.一般地，兩個(gè)正整數(shù)相除的商可用分?jǐn)?shù)表示，即被除數(shù);除數(shù)=

除數(shù)

用字母表示為p+q=P(p、q為正整數(shù))

q

2.會(huì)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示分?jǐn)?shù)

2.2分?jǐn)?shù)的基天性質(zhì)

1.分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以一個(gè)不為零的整數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變

2.分子分母只有公因數(shù)1的分?jǐn)?shù)叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)

3.把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它相等，但分子、分母都比擬小的分?jǐn)?shù).叫做約分

2.3分?jǐn)?shù)的比擬大小

1.同分母分?jǐn)?shù)的大小只需要比擬分子的大小，分子大的比擬大，分子小的比擬小

2.通分的一般步驟是：

(1)求公分母一一求分母的最小公倍數(shù)：

(2)依據(jù)分?jǐn)?shù)的基天性質(zhì)，將每個(gè)分?jǐn)?shù)化成分母同樣的分?jǐn)?shù)。

3.異分母分?jǐn)?shù)比擬大小需要先通分紅同分母分?jǐn)?shù)再依照同分母分?jǐn)?shù)比擬大小

2.4分?jǐn)?shù)的加減法

1.同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，分子相加減

2.異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分紅司分母分?jǐn)?shù)，再依照同分母分?jǐn)?shù)相加減

3.分子比分母小的分?jǐn)?shù)，叫做真分?jǐn)?shù)

4.分子大于或許等于分母的分?jǐn)?shù)叫假分?jǐn)?shù)

5.整數(shù)與真分?jǐn)?shù)相加所成的分?jǐn)?shù)叫做帶分?jǐn)?shù)

6.假分?jǐn)?shù)化為帶分?jǐn)?shù)：分母不變，整數(shù)局部為原分子除以分母的商，分子則為原分子除以分母的余

數(shù)

7.列方程求未知數(shù)的一般書寫步驟：(1)設(shè)未知數(shù)為X：(2)依據(jù)題意列出方程：(3)依據(jù)加減

互為逆運(yùn)算，表示出x等于那些數(shù)相加減：(4)計(jì)算出x的值，并寫出上結(jié)論

2.5分?jǐn)?shù)的乘法

1.兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘，分子相乘作為分子，分母相乘作為分母

2.假設(shè)乘數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成假分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行運(yùn)算

2.6分?jǐn)?shù)的除法

1.一個(gè)數(shù)與其相乘的積為1的數(shù)為這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；0沒有倒數(shù)精

心整理

2.除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)

3.被除數(shù)或除數(shù)中有帶分?jǐn)?shù)的先化成假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行運(yùn)算

2.7分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化

1.一個(gè)分?jǐn)?shù)能不可以化為有限小數(shù)和分?jǐn)?shù)的分母相關(guān)

2.從小數(shù)點(diǎn)后某一位開始不停地重復(fù)出現(xiàn)前一個(gè)或一節(jié)數(shù)字的無窮小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)

3.被重復(fù)的一個(gè)或一節(jié)數(shù)碼稱為循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)

4.一個(gè)分?jǐn)?shù)總能夠化為有限小數(shù)或無線循環(huán)小數(shù)

2.8分?jǐn)?shù)、小數(shù)的四則混淆運(yùn)算

2.9分?jǐn)?shù)運(yùn)算的應(yīng)用

第三章比和比率

3.1比的意義

1.將a與b相除叫a與b的比，記作a：b,讀作a比b

2.求a與b的比，b不可以為零

3.a叫做比率前項(xiàng)，b叫做比率后項(xiàng)，前項(xiàng)a除此后項(xiàng)b的商叫做比值

4.求兩個(gè)同類量的比值時(shí)，假設(shè)單位不一樣，先一致單位再做比

5.比值能夠用整數(shù)、分?jǐn)?shù)或小數(shù)表示

3.2比的基天性質(zhì)

1.比的基天性質(zhì)是比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以同樣的數(shù)（0除外），比值不變

2.利用比的基天性質(zhì)，能夠把比華為最簡(jiǎn)整數(shù)比

3.兩個(gè)數(shù)的比，能夠用比號(hào)的形式表示，也能夠用分?jǐn)?shù)的形式表示

4.三項(xiàng)連比性質(zhì)是：假設(shè)a：b=m：n,b：c=n：k,那么a：b：c=m：n：k

假設(shè)kWO.那么a：b：c=ak：bk：ck=：:

kkk

5.將三個(gè)整數(shù)比化為最簡(jiǎn)整數(shù)比，就是給每項(xiàng)除以最大條約數(shù)；

將三個(gè)分?jǐn)?shù)化為最簡(jiǎn)整數(shù)比，先求分母的最小公倍數(shù)，再給各項(xiàng)乘以分母的最小公倍數(shù)；

將三個(gè)小數(shù)比化為最簡(jiǎn)整數(shù)比先給各項(xiàng)同乘以10,100,1000等，化為整數(shù)比，再化為最簡(jiǎn)整數(shù)比

6.求三項(xiàng)連比的一般步驟是：（1）。找尋關(guān)系量，求關(guān)系量對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)

（2）依據(jù)畢的基天性質(zhì)，把兩個(gè)土中關(guān)系量化成同樣的數(shù)

（3）對(duì)應(yīng)寫出三項(xiàng)連比

3.3比率

1.a（第一比率項(xiàng)）：b1第二比率項(xiàng)）=c（第三比率項(xiàng)）：d（第四比率項(xiàng)）；此中a、d叫做比率外

項(xiàng)，b、c叫做比率內(nèi)項(xiàng)

2.假設(shè)兩個(gè)比率內(nèi)項(xiàng)（外項(xiàng)）同樣，即a：b=b：c,那么b叫做a、c的比率中項(xiàng)

3.利用比率的基天性質(zhì)，能夠把二匕率方程轉(zhuǎn)變化為我們常有的形式ad=bc,簡(jiǎn)單的說，就是內(nèi)項(xiàng)之積

等于外項(xiàng)之積

4.列方程解應(yīng)用題的一般書寫步驟分四步：（1）設(shè)未知數(shù)（2）列方程（3）解方程（4）答

5.列比率方程時(shí)，必定要注意對(duì)應(yīng)關(guān)系，必定要注意同類量的單位要對(duì)應(yīng)一致

3.4百分比的意義

精心整理

5.1有理數(shù)的意義

1.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

2.有理數(shù)整數(shù)：正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)

52數(shù)軸

L數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫數(shù)軸。

2.數(shù)軸的三因素：原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度、正方向。

3.全部的數(shù)都能夠用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示。也能夠用數(shù)軸來比擬兩個(gè)數(shù)的大小

4.在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，正方向的數(shù)大于負(fù)方向的數(shù)

3.零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界。

4.只有符號(hào)不一樣的兩個(gè)數(shù)，我們稱此中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱為這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù),

零的相反數(shù)是零.

5.3絕對(duì)值

L二個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值

2.一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它自己。

3.一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。

4.零的絕對(duì)值是零。

5.兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的那個(gè)數(shù)反而小。

5.4~5.5有理數(shù)的加減

1.有理數(shù)加法法例：

(1)同號(hào)兩數(shù)相加，取本來的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。

(2)異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相等時(shí)和為零，絕對(duì)值不相等時(shí)，其和的絕對(duì)值為較大絕對(duì)值減去較

小的絕對(duì)值所得的差，其和的符號(hào)取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)。

(3)一個(gè)數(shù)同零相加，仍得這個(gè)數(shù)。

2.有理數(shù)加法的運(yùn)算律：

(1)互換律：a+b=b+a

(2)聯(lián)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

3.有理數(shù)的減法法例

(1)減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)

(2)a-b=a+(-b)

5.6~5.7有理數(shù)的乘除

1.兩數(shù)相乘的符號(hào)法例：

正正得正，正負(fù)得負(fù)，負(fù)正得負(fù)，負(fù)負(fù)得正。

2.有理數(shù)的乘法法例

(1)兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。

(2)任何數(shù)與零相乘，都得零。

3.注意連成的符號(hào)：

(1)幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定

(2)當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)

(3)當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正

(4)幾個(gè)數(shù)相乘，有因數(shù)為零，積就為零

精心整理

4.有理數(shù)除法法例：

m兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除八

(2)零除以任何一個(gè)不為零的數(shù)，都得零。

5.8有理數(shù)的乘方

1.求N個(gè)同樣因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方。乘法的結(jié)果叫做幕。在a。中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù),

讀作a的n次方，a?？醋鍪莂的n次方結(jié)果時(shí)，讀作a的n次第。

5.9有理數(shù)的混淆運(yùn)算

1.正數(shù)的任何次基都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇數(shù)次鼎是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次基是正數(shù)。

2.有理數(shù)混淆運(yùn)算的次序：先乘方，后乘除，再加減；統(tǒng)計(jì)運(yùn)算從左到右：假設(shè)有括號(hào)，先算小括

號(hào)，后算中括號(hào)，再算大括號(hào)。

5.10科學(xué)計(jì)數(shù)法

1.把一個(gè)數(shù)寫成ax10。(此中l(wèi)Wa〈10,n是正整數(shù))，這類形式的計(jì)數(shù)方法叫做科學(xué)計(jì)數(shù)法

2.近似數(shù)與正確數(shù)的靠近程度即近似程度。對(duì)近似程度的要求，叫做精準(zhǔn)度。

3.有效數(shù)字：從左側(cè)第一個(gè)不為零的數(shù)字起，到精準(zhǔn)的位數(shù)止，全部數(shù)字，都叫這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)

字

第六章一次方程(組)

及一次不等式［組)

6.1列方程

1.用字母x、y、等表示所要求的未知的數(shù)目，這些字母稱為未知數(shù)。含有未知數(shù)的等式叫做方程。

在方程中，所含的未知數(shù)又稱為元。

2.為了求得未知數(shù)，在木知數(shù)和數(shù)之間成立一種等量關(guān)系式，就足列方程。

6.2方程的解

1.假設(shè)未知數(shù)所取的某個(gè)值能使方程左右兩邊的值相等，那么這個(gè)未知數(shù)的值叫做方程的解

6.3一元一次方程及其解法

1.只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是一次的方程叫做一元一次方程

2.等式性質(zhì)：

(1)等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或一個(gè)含有字母的式子，說得結(jié)果還是等式。

(2)等式兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)數(shù)1或除以同一個(gè)不為零的數(shù))，所得結(jié)果還是等式。

3.去括號(hào)的法例是：

括號(hào)前帶”+〃號(hào)，去掉括號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都不變符號(hào)。括號(hào)前帶“一〃號(hào)，去掉括號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)各

項(xiàng)都改變符號(hào)。

4.解一元一次方程的一般步驟是：

(1)去分母；

(2)去括號(hào);

(3)移項(xiàng)；

(4)化成ax=b(a關(guān)0)的形式

(5)兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，獲得方程的解x=b/a

精心整理

6.4一元一次方程的應(yīng)用

1.列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：

(1)設(shè)未知數(shù)(元)；

⑵列方程：

(3)解方程；

(4)查驗(yàn)并作答。

6.4不等式及其性質(zhì)

用不等號(hào)"V””>〃”W〃”2〃表示的關(guān)系式，叫做“不等式〃。

不等式性質(zhì)：

1.不等式的兩邊同時(shí)加上［或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變，即：

假設(shè)a>b,那么a+m>b+m

假設(shè)a<b,那么a+m<b+m

2.不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，B|J：

假設(shè)a>b,且m>0,那么am>bm(或a/m>b/m)

假設(shè)avb,且m>0,那么amVbm(或a/mVb/m=

3.不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，即：

假設(shè)a>b,且m<0,那么amVbm(或a/m>b/m)

假設(shè)a〈b,且mVO,那么am>bm(或a/mVb/m)

6.6一元一次不等式的解法

1.在含有未知數(shù)的不等式中，能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

2.一般狀況下，一元一次方程的解只有一個(gè)，一元一次不等式的解能夠有無數(shù)個(gè)。不等式的解的全

體叫做不等式的解集。

3.只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式叫做一元一次不等式。

4.解一元一次不等式的一般步驟與解一元一次方程近似。

6.7一元一次不等式組

1.由幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一次不等式構(gòu)成的不等式組，叫做一元一次不等式組。

2.不等式組中全部不等式的解集的公共局部叫做這個(gè)不等式組的解集。

3.求不等式組的解集的過程叫做解不等式組。

4.假設(shè)各個(gè)不等式的解集沒有公共局部，那么這個(gè)不等式組無解。

5.解一元一次不等式組的一般步驟是：

(1)求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；

(2)在數(shù)軸上表示各個(gè)不等式的解集；

(3)確立各個(gè)不等式解集的公共局部，就獲得這個(gè)不等式組的解集。

6.8二元一次方程

1.含有兩個(gè)未知數(shù)的一次方程叫做二元一次方程。

2.使二元一-次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。

3.二元一次方程的解有無數(shù)個(gè)，二元一次的解的全體叫做這個(gè)二元一次方程的解集。

6.9二元一次方程組及其解法

1.由幾個(gè)方程構(gòu)成的一組方程叫做方程組。假設(shè)方程組中含有兩個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)

都是一次，那么這樣的方程組叫做二元一次方程組。

精心整理

2.在二元一次方程組中，使每個(gè)方程都適宜的解，叫做二元一次方程組的解。

3.經(jīng)過“代入”消去一個(gè)未知數(shù),將方程式轉(zhuǎn)變成一元一次方程，這類解法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱

代入法。

4.經(jīng)過將兩個(gè)方程相加（或相減）消去一個(gè)未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)變成一元一次方程，這類解法叫做

加減消無法。

6.10三元一次方程組及其解法

1.假設(shè)方程組中有三個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次，這樣的方程組叫做三元一次方

程組。

6.11一次方程組的應(yīng)用

1.列方程解應(yīng)用題時(shí)要靈巧選擇未知數(shù)的個(gè)數(shù)。

2.對(duì)于含有兩個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題一般采納列二元一次方程組求解；對(duì)于含有三個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題一般

采納列三元一次方程組求解。

第七章線段與角的畫法

7.1線段的大小比擬

1.聯(lián)絡(luò)兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)之間的距離。

7.2面線段的和、差、倍

1.兩條線段能夠相加（或相減），它們的和（或差）也是一條線段，其長(zhǎng)度等于這兩條線段的長(zhǎng)度

的和（或差）。

2.將一條線段分紅兩條相等線段的店叫做這條線段的中點(diǎn)。

7.3角觀點(diǎn)與比擬

1.角是擁有公共端點(diǎn)的兩條射線構(gòu)成的圖形。公共端點(diǎn)叫做角的極點(diǎn)，兩條射線叫做角的邊。

7.4角的大小比擬、畫相等的角

1.角是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)地點(diǎn)所成的圖形。處于初始地點(diǎn)的那條射線叫做角的始

邊，停止地點(diǎn)的那條射線叫做角的終邊。

7.5畫角的和、差、倍

1.兩個(gè)角能夠相加（或相減），它們的和（或差）也是一個(gè)角，它的度數(shù)等于這兩個(gè)角的角度的

和（或差）。

2.從一個(gè)角的極點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分紅兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的均分線。

7.6余角、補(bǔ)角

1.假設(shè)兩個(gè)角的度數(shù)的和是90°,那么這兩個(gè)角叫做互為余角，簡(jiǎn)稱互余。此中一個(gè)角成為另一

個(gè)角的余角。

2.假i殳兩個(gè)角的度數(shù)的和是180°,那么這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱互補(bǔ)。此中一個(gè)角稱為另一

個(gè)角的補(bǔ)角。

3.注意：

11）同角（或等角）的余角相等：

（2）同角（或等角）的補(bǔ)角相等；

4.發(fā)問：

精心整理

(1)一個(gè)角與它的余角相等，這個(gè)角是如何的角？是銳角

(2)一個(gè)角與它的補(bǔ)角相等，這個(gè)角是如何的角？是直角

(3)互補(bǔ)的兩個(gè)角可否都是銳角？不可以(4)互補(bǔ)的兩

個(gè)角可否都是直角？可能

(5)互補(bǔ)的兩個(gè)角可否都是鈍角？不可以

第八章長(zhǎng)方體的再認(rèn)識(shí)

1.長(zhǎng)方體有六個(gè)面，八個(gè)極點(diǎn)，十二條棱。

2.長(zhǎng)方體的每個(gè)面都是長(zhǎng)方形。

3.長(zhǎng)方體的十二條棱能夠分為三組，每組中的四條棱的長(zhǎng)度相等。

4.長(zhǎng)方體的六個(gè)面能夠分為三組，每組中的兩個(gè)面的形狀和大小都同樣。

5.長(zhǎng)方體中棱與棱地點(diǎn)關(guān)系的認(rèn)識(shí)：

一條棱與另一條棱所在的直線在同一個(gè)面內(nèi)，它們有唯一的公共點(diǎn)，我們稱這兩條棱訂交C

一條棱與另一條棱所在的直線在同一個(gè)面內(nèi)，但它們沒有公共點(diǎn)，我們稱這兩條棱平行。

一條棱與另一條棱所在的直線既不平行，也不訂交，我們稱這兩條棱異面。

6.一般地，假設(shè)直線AB與直線CD在同一平面內(nèi)，擁有唯一公共點(diǎn)，那么稱這兩條直線的地點(diǎn)關(guān)

系為訂交，讀作：直線AB與直線CD訂交。

7.假設(shè)直線AB與直線CD在同一平面內(nèi)，但沒有公共點(diǎn)，那么稱這兩條直線的地點(diǎn)關(guān)系為平行，記

作：AB〃CD,讀作：直線AB與直.線CD平行。

8.假設(shè)直線AB與直線CD既不平行，也不訂交，那么稱這兩條直線的地點(diǎn)關(guān)系為異面，讀作：直線

AB與直線CD異面。

9.直線PQ垂直于平面ABCD.記著：直線PQ_L平面ABCD,讀作：直線PQ垂直于平面ABCD。

10.如何查驗(yàn)直線與平面垂直呢？能夠用“鉛垂線〃查驗(yàn)。

假設(shè)細(xì)棒垂直于墻面，能夠用“三角尺”查驗(yàn)。

還能夠用“合頁型折紙〃查驗(yàn)直線能否垂直于平面。

11.直線PQ平行于平面ABCD,記作：直線PQ〃平面ABCD,讀作：直線PQ平行于平面ABCD.

12.如何查驗(yàn)直線與平面平行呢？能夠用“鉛垂線〃查驗(yàn)。

也能夠用“長(zhǎng)方形紙片"查驗(yàn)。

第九章整式

9.1字母表示數(shù)

9.2代數(shù)式

1.代數(shù)式：用括號(hào)和運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫代數(shù)式。單獨(dú)的數(shù)或字母也是代

和式

2.代裝式的書寫：

(1)代數(shù)式中出現(xiàn)乘號(hào)往常寫作“-〃或省略不寫，但數(shù)與數(shù)相乘不依照此原則。

(2)數(shù)字與字母相乘，數(shù)字寫在字母前面，而有理數(shù)要寫在無理數(shù)的前面。

(3)帶分?jǐn)?shù)應(yīng)寫成假分?jǐn)?shù)的形式，除法運(yùn)算寫成分?jǐn)?shù)形式。

(4)同樣字母相乘往常不把每個(gè)因式寫出來，而寫成幕的形式。

(5)代數(shù)式不可以含有“=、W、v、＞、2、￡符號(hào)。

9.3代數(shù)式的值

1.用數(shù)值取代代數(shù)式中的字母，依照代數(shù)式的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出的結(jié)果，叫代數(shù)式的值。

2.注意：

精心整理

(1)代數(shù)式中省略了乘號(hào)，帶入數(shù)值后應(yīng)增添義。

(2)假設(shè)帶入的值是負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)添上括號(hào).

(3)注意解題格式標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)寫“當(dāng)時(shí)，原式=〃.

(4)在實(shí)質(zhì)問題中代數(shù)式所取的值應(yīng)使實(shí)質(zhì)問題存心義。

94整式

L由數(shù)與字母的乘積構(gòu)成的代數(shù)式稱為單項(xiàng)式。單唯一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。

2.系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。

3.單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中全部字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。

4.多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。此中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常

數(shù)項(xiàng)。

5?多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)

6.整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

9.5歸并同類項(xiàng)

1.同類項(xiàng)：所含字母同樣，并且同樣字母的指數(shù)也同樣的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。

2.歸并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)歸并成一項(xiàng)叫做歸并同類項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式歸并后含有幾項(xiàng)，這個(gè)

多項(xiàng)式就叫做幾項(xiàng)式。

3.歸并同類項(xiàng)的法例是：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加的結(jié)果作為歸并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。

9.6整式的加減：

1.去括號(hào)法例：

(1)括號(hào)前面是"+H號(hào)，去掉"+”號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)的不變號(hào)；

(2)括號(hào)前面是“一“號(hào)，去掉“一”號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。

2.添括號(hào)法例

(1)所添括號(hào)前面是“+〃號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；

(2)所添括號(hào)前面是“一〃號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)。

9.7同底數(shù)幕的乘法

1.同底數(shù)鼎相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加：am?an=am+n(m、n都是正整數(shù))。

9.8第的乘方

mnmn

1.幫的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘：(a)=a(m、n都是正整數(shù))

9.9積的乘方

1.積的乘方等于各因式乘方的積：(ab)n=anbn(m、n都是正整數(shù))

2.任何一個(gè)不等零的數(shù)的-p(p是正整數(shù))指數(shù)幕，等于這個(gè)數(shù)的p指數(shù)幕的倒數(shù)：

-P1

a=aP(a^0,p是正整數(shù))

9.10整式的乘法

1.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同樣字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，

精心整理

則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是依據(jù)分派率用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即。

注意：?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式其實(shí)是用分派率向單項(xiàng)式相乘轉(zhuǎn)變。

3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的枳相加，即

(a-Fb)(m+n)=am+bm+an+bn。

9.11平方差公式

1.內(nèi)容：？22

2.意義;兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。

3特色.

m三側(cè)是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩項(xiàng)中有一項(xiàng)同樣，另一項(xiàng)互為相反數(shù)：

(2)右側(cè)是乘式中兩項(xiàng)的平方差；

(3)公式中的a和b能夠使有理數(shù)，也能夠是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

4.幾何意義：平方差公式的幾何意義也就是圖形變換過程中面積相等的表達(dá)式。

5.拓展:

(1)立方和公式：2233；

(2)立方差公式：2233

22-

9.12完整平方公式:

1.內(nèi)容：

222

222

2.意義：

.薪數(shù)就的平方，等于它們的平方和，加上它們積的2倍。

兩數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們積的2倍。

3.特色：

(1)左側(cè)是一個(gè)二項(xiàng)式的完整平方，右側(cè)是一個(gè)二次三項(xiàng)式，此中有兩項(xiàng)是公式左側(cè)二項(xiàng)式中每

一項(xiàng)的平方，另一項(xiàng)為哪一項(xiàng)左惻二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍，可簡(jiǎn)記為“首平方，尾平方，積的2

倍在中央。"

(2)公式中的a、b能夠是單項(xiàng)式，也能夠是多項(xiàng)式。

4.拈展：

(1)2222c

(2)33322

(3)33322

精心整理

9.13提取公因式法：

1.因式分解的意義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式積的形式，這類變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，

也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，即多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積。

2.注意：

6因獲辦解的要求：

(D結(jié)果必定是積的形式，分解的對(duì)象是多項(xiàng)式：

(2)每個(gè)因式一定是整式；

(3)各因式要分解到不可以分解為止。

②因式分解與整式乘法的關(guān)系：是兩種不一樣的變形過程，即互逆關(guān)系。

3.提公因式法分解因式：

ma+mb+mc=m(a+b+c),這個(gè)變形就是提公因式法分解因式。

這里的m能夠代表單項(xiàng)式，也能修代表多項(xiàng)式，m稱為公因式。

4.確立公因式方法：

系數(shù)：取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大條約數(shù)。

字母(或多項(xiàng)式因式)：取各項(xiàng)都含有的字母(或多項(xiàng)式因式)的最低次第。

9.14公式法

1.平方差公式：a2~b2=(a+b)?(a—b)o

2.完整平方公式：a2+b2+2ab=(a+b)2；

a2+b2-2ab=(a-b)2。

3.立方和與立方差公式：a3+b3=(a+b)(a2—ab+b2)；

a3—b3=(a—b)(a2+ab+b2)。

4.注意：

(1)公式中的字母a、b可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式。

(2)選擇使用公式的方法：主要從項(xiàng)數(shù)上看，假設(shè)多項(xiàng)式是二項(xiàng)式應(yīng)試慮平方差或立方和、立方

差公式；假設(shè)多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可考慮用完整平方公式。

9.15.十字相乘法

利用十字交錯(cuò)線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法。

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),

9.16分組分解法：

1.將多項(xiàng)式的項(xiàng)適宜的分組后，組與組之間能提公因式或運(yùn)用公式分解。

2.合用范圍：適宜四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式的分解。

分組的標(biāo)準(zhǔn)為：分組后能提公因式或分組后能運(yùn)用公式。

3.其余方法：

求根公式法：假設(shè)ax2+bx+c=0(aWO)的兩根是x1、x2,

精心整理

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)o

4.因式分解的一般步驟及注意問題：

(1)對(duì)多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式時(shí)，應(yīng)先供應(yīng)因式。

(2)多項(xiàng)式各項(xiàng)沒有公因式時(shí)，假設(shè)是二項(xiàng)式就考慮能否切合平方差公式；假設(shè)是三項(xiàng)式就考慮

能否切合完整平方公式或二次三項(xiàng)式的因式分解；假設(shè)是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，往常采納分組分

解法。分解因式，一定進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不可以再分解為止。

9.17同底數(shù)幫的除法

1.同底數(shù)嘉相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減：a4-a=a(awo,mn都是正整數(shù)，且m>n)

2.任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)曷都等于1：a°=1(aWO)

9.18單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：

1.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法例：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幫分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母,

則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

2.注意：

而個(gè)單項(xiàng)式相除，只需將系數(shù)及同底數(shù)幕分別相除即可。

(2)只在被除式里含有的字母不不要遺漏。

9.19多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除：

1?多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法例：一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單

項(xiàng)式，再把所得的商相加，即

(ma+mb+mc+dm)4-m=am-i-m+bm4-m+cm-i-m+dm4-m0

2.注意：這個(gè)法例的使用范圍一定是多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，反之，單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是不可以這樣計(jì)算

的。

3.整式的混淆運(yùn)算：重點(diǎn)是注意運(yùn)算次序,先乘方，在乘除，后加減,有括號(hào)時(shí)，先去小括號(hào)，再

去中括號(hào)，最后去大括號(hào),先做括號(hào)里的。

※內(nèi)容整理

mnm+n

a.a=a多項(xiàng)大的乘法

￥mnmn第十章分式

(a)=a單項(xiàng)式的乘法因提公因式法

分式的意攵

10.1式

1

(ab)n=anbn分

八O”?

單項(xiàng)式的除法解

分同式的分子，B叫做分式的分母。公式法

假設(shè)一個(gè)分式的分母為零，那么這個(gè)分式無心義。

底多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

10.2分式的基天性質(zhì)整式

整式和分式統(tǒng)稱為有理式：即有理式

1.分式

2.分式的分子和分母同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)不為0的整式，分

式的值不變。用式子表示為：A/B=A*C/B*CA/B=A4-C/B4-C

(ABC為整式,且B、CHO)

精心整理

3.約分：把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這類變形稱為分式的約分.

4分式的約分步驟：

(1)假設(shè)分式的分子和分母都是或許是幾個(gè)乘積的形式，將它們的公因式約去

(2)分式的分子和分母都是將分子和分母分別，再將公因式約去.

注：公因式的提取方法：取分子和分母系數(shù)的，字母取分子和分母共有的字母，指數(shù)取公共字母的

最小指數(shù)，即為它們的公因式.

5.一個(gè)分式的分子和分母沒有公因式時(shí)，這個(gè)分式稱為最簡(jiǎn)分式.約分時(shí)，一般將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分

式。

6.通分：把幾個(gè)異分母分式分別化為與原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。

7.分式的通分步驟：先求出全局部式分母的最簡(jiǎn)公分母，再將全局部式的分母變成最簡(jiǎn)公分母.同時(shí)各

分式依照分母所擴(kuò)大的倍數(shù)，相應(yīng)擴(kuò)大各自的分子.

8.注：

最簡(jiǎn)公分母確實(shí)定方法：系數(shù)取各因式系數(shù)的最小公倍數(shù)，同樣字母的及單獨(dú)字母的事的乘積。

9.注:(1)約分和通分的依照都是分式的基天性質(zhì)。

(2)分式的約分和通分都是互逆運(yùn)算過程。

10.3、分式的運(yùn)算

1.分式的乘法法例：兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.

用字母表示為：a/b*c/d=ac/bd

2.分式的除法法例：

(1)兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒地點(diǎn)后再與被除式相乘：a/b^c/d=ad/bc

(2)除以一個(gè)分式，等于乘以這個(gè)分式的倒數(shù):a/b^c/d=a/b*d/c異分母分式通分時(shí)，重點(diǎn)是確

定公分母，往常取各分母全部因式的最高次幕的積作為公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母。

10.4分式的加減

1.同分母分式加減法例：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.用字母表示為：a/c±b/c=a

±b/c

2.異分母分式加減法例：異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，而后再按同分母分式的加

減法法例進(jìn)行計(jì)算.用字母表示為：a/b±c/d=ad±cb/bd

10.5分式方程

1.分式方程的意義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

2.分式方程的解法：

(1)去分母(方程兩邊同時(shí)乘以最徇公分母，將分式方程化為整式方程)；

(2)按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值；

(3)驗(yàn)根(求出未知數(shù)的值后一定驗(yàn)根，由于在把分式方程化為整式方程的過程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的

取值范圍，可能產(chǎn)生增根).

10.6整數(shù)指數(shù)累及其運(yùn)算

※內(nèi)容整理約分

分式的性通分

第十一章圖形的運(yùn)動(dòng)

分

乘除法

11.1圖形的平移式分式運(yùn)算

1.平移的定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向挪動(dòng)必定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。平

移后各對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離向被圖形平移的距離。

精心整理

2.重點(diǎn)：(1)平移不改變圖形的形狀和大小(也不會(huì)改變圖形的方向，但改變圖形的地點(diǎn))。

(2)圖形平移三因素；原地點(diǎn)、平移方向、平移距離。

3.平移的規(guī)律(性質(zhì))：經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等、對(duì)應(yīng)角相

等。

4.瞽單的平移作圖：

平移作圖要注意：①方向：②距離。整個(gè)平移作圖，就是把整個(gè)圖案的每一個(gè)特色點(diǎn)按必定方向和

必定的距離平行挪動(dòng)。

11.2圖形的旋轉(zhuǎn)

1.旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形饒一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形

的旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心；轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角。

2.重點(diǎn)：(1)旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小(但會(huì)改變圖形的方向，也改變圖形的地點(diǎn))。

(2)圖形旋轉(zhuǎn)四因素：原地點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角。

3.旋轉(zhuǎn)的規(guī)律(性質(zhì))：經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿同樣方向轉(zhuǎn)動(dòng)了同樣的角度，

隨意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。(旋轉(zhuǎn)前后兩

個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等。)

4.簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)作圖：

旋轉(zhuǎn)作圖要注意：①旋轉(zhuǎn)方向；②旋轉(zhuǎn)角度。整個(gè)旋轉(zhuǎn)作圖，就是把整個(gè)圖案的每一個(gè)特色點(diǎn)繞旋

轉(zhuǎn)中心按必定的旋轉(zhuǎn)方向和必定的旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)挪動(dòng)。

11.3旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形

1.旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a后，與初始圖形重合，這類圖形叫做旋

轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角(旋轉(zhuǎn)角a知足C<a<360)

27」心對(duì)稱圖形：假設(shè)把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后，與初始圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做

中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心。

11.4中心對(duì)稱

1.把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后，與另一個(gè)圖形重合，那么叫做這兩個(gè)圖形對(duì)于這點(diǎn)對(duì)稱，

也叫做這兩個(gè)圖形成中興對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)于中心的對(duì)稱

點(diǎn)。

11.5靚折與軸對(duì)稱圖形

1.軸對(duì)稱圖形定義：假設(shè)一個(gè)圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的局部能夠相互重合，那么這個(gè)

圖形叫做軸對(duì)稱圖形。折痕所在的直線叫做對(duì)稱軸。

11.6軸對(duì)稱

1.兩個(gè)圖形對(duì)于這條直線成軸對(duì)稱：假設(shè)把一個(gè)圖形沿某一條直線翻，能與另一個(gè)圖形重合，那么

叫做這兩個(gè)圖形對(duì)于這條直線成軸對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)于這條直

線的對(duì)稱點(diǎn)。

2.注意：

(1)軸對(duì)稱是說兩個(gè)圖形的地點(diǎn)關(guān)系；而軸對(duì)稱圖形是說一人擁有特別形狀的圖形。

(2)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，必然是全等圖形。

3.軸對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直均分；對(duì)應(yīng)線段相等；對(duì)應(yīng)角相等。

圖形的平移

旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形

圖形的運(yùn)動(dòng)圖形的旋轉(zhuǎn)

精心整理

中心對(duì)稱

軸對(duì)稱圖形

圖形的翻折

軸對(duì)稱

軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形之間的差異與聯(lián)系

軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形

區(qū)①指兩個(gè)圖形而言；①對(duì)一個(gè)圖形而言：

別②指兩個(gè)圖形的一種形狀與地點(diǎn)關(guān)系。②指一個(gè)圖形的特別形狀。

聯(lián)①都有一條直線，都要沿這條直線折疊至合：

系②把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形當(dāng)作一個(gè)整體，就是一個(gè)軸刻稱圖形：反過來，把軸對(duì)稱圖形

沿對(duì)稱軸分紅兩局部，這兩局部對(duì)于這條直線成軸對(duì)稱。

軸對(duì)稱幾何圖形的對(duì)稱軸：

名稱是不是軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸有幾條對(duì)稱軸的地點(diǎn)

線段是2條垂直均分線或線段所在的直線

角是1條角均分線所在的直線

長(zhǎng)方形是2條對(duì)邊中線所在的有線

正方形是4條對(duì)邊中線所在的直線和對(duì)無線所在的直線

圓是無數(shù)條直徑所在的直淺

平行四邊形不是0條

第十二章實(shí)數(shù)

12.1實(shí)數(shù)的觀點(diǎn)

1.有理數(shù)和無力數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

2.實(shí)數(shù)按以下方式分類：

正有理數(shù)

有理數(shù)零有限小數(shù)或無窮循環(huán)小數(shù)

負(fù)有理數(shù)

實(shí)數(shù)

正無理數(shù)

無理數(shù)無窮不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)

1.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都能夠用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每

一個(gè)占去示一個(gè)立豹

2.正薪大于零，負(fù)數(shù)示于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

3.兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)反而小.

4.無理數(shù)：無窮不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

12.2平方根和開平方

1.假設(shè)一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也就做二次方根。

2.求一個(gè)數(shù)a的平方跟的運(yùn)算叫做開平方，a叫做被開方數(shù)。

3.一個(gè)正數(shù)a的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。

4.正數(shù)。的兩個(gè)平方根能夠用“土〃表示，此中表示。的正的平方根（又叫算術(shù)平方根），讀作“根號(hào)

a”；表示。的負(fù)平方根，讀作“負(fù)根號(hào)。

精心整理

零的平方根記作J⑴0，J°=Sa)2=a.

a)2=a,(

當(dāng)a>0時(shí)，(

(2)當(dāng)a2O時(shí)，a2=a;

當(dāng)aW0時(shí)，a?=—a

12.3立方根和開立方

1.假設(shè)一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根，用“〃表示，讀作“三次根號(hào)，o中的Q

叫做被開方數(shù)，“3〃叫做根指數(shù)。

2.求一個(gè)數(shù)。的立方根的運(yùn)算叫做開立方。

3.正數(shù)的立方是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方是一個(gè)負(fù)數(shù)，零的立方等于零，因此正數(shù)的立方根是一個(gè)正

數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，零的立方根是零。

4.隨意一個(gè)實(shí)數(shù)都有立方根,并且只有一個(gè)立方根。

12.4n次方根

1.假設(shè)一個(gè)數(shù)的n次方(n是大于1的整數(shù))等于Q,那么這個(gè)數(shù)叫做Q的n次方根，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，這

個(gè)數(shù)為a的奇次方根；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)為a的偶次方根

2.求一個(gè)數(shù)a的n次方跟的運(yùn)算叫做開n次方，a叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù)。

3.實(shí)數(shù)a的奇次方根有且只有一個(gè)，用“na〃表示，此中被開方數(shù)a是隨意一個(gè)實(shí)數(shù)，根指數(shù)n是大

于1的奇數(shù)。

4.正數(shù)a的偶次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，正n次方根用“na”表示，負(fù)n次方根用“一”

表示，此中被開方數(shù)a>0,根指數(shù)n是正偶數(shù)(當(dāng)n=2時(shí)，在土門a中省略n)

5.負(fù)數(shù)的偶次方根不存在。

6.零的n次方根等于零，表示為n0=0

7.“na〃讀作“n次根號(hào)7

12.5汨數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)

1.有理數(shù)范圍內(nèi)絕對(duì)值、相反數(shù)意義：一個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕

對(duì)值。實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值記作IQI.

2.絕對(duì)值相等，符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)記作互為相反數(shù)；

3.零的相反數(shù)是零。非零實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是一。。

4.實(shí)數(shù)大小的比擬：

(1)負(fù)數(shù)小于零；零小于正數(shù)。

(2)兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較小。

(3)從數(shù)軸上看，右側(cè)的點(diǎn)所表示的數(shù)總比左側(cè)的點(diǎn)所表示的數(shù)大。

5.兩點(diǎn)間的距離：

在數(shù)軸上，假設(shè)點(diǎn)A、點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b,那么A、B兩點(diǎn)的距離AB=Ia-bI.

12.6實(shí)數(shù)的運(yùn)算

精心整理

設(shè)a>0,b>0,可知］?)=()2?()2=abc

依據(jù)平方根的意義，得=??

同理：

12.7分?jǐn)?shù)指數(shù)累

1.=(a>0)

=(a>0)此中m、n為正整數(shù)，n>1.

2.有理數(shù)指數(shù)靠有以下性質(zhì)：

設(shè)a>0,b>0,P、q為有理數(shù)，那么

(1)?==

(2)=

(3)

木章小結(jié)

有理數(shù)

實(shí)數(shù)的分類

無理數(shù)

實(shí)數(shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)

運(yùn)算法例及運(yùn)算性質(zhì)

實(shí)數(shù)的運(yùn)算

近似數(shù)及近似計(jì)算

數(shù)的開方分?jǐn)?shù)指數(shù)累有理數(shù)指數(shù)靠運(yùn)算性質(zhì)

第十三章訂交線、平行線

13.1鄰補(bǔ)角,對(duì)頂角

1.訂交線的定義：在同一平面內(nèi)，假設(shè)兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩條直線叫做訂交線。

2.(1)對(duì)頂角的定義：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延伸線，這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。

(2：對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。

3.(1)鄰補(bǔ)角的定義：有公共極點(diǎn)和一條公共邊，并且互補(bǔ)的兩個(gè)角稱為鄰補(bǔ)角。

(2)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)。

13.2垂線

1.垂線的定義：垂直是訂交的一種特別情況，兩條直線相互垂直，此中的一條直線叫做另一條直線

的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。

2.垂線的性質(zhì)：

精心整理

性質(zhì)1:過一點(diǎn)有且只有一條直線與直線垂直。

性質(zhì)2：聯(lián)絡(luò)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)得全部線段中，垂線段最短.

3.點(diǎn)到直線的距離：

直線外?點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。

13.3同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（三線八角）

1.同位角：兩個(gè)角都在兩條被截線同側(cè)，并在截線的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同位角。

2.內(nèi)錯(cuò)角：兩個(gè)角都在兩條被截線之間，并且在截線的兩旁，這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。

3.同旁內(nèi)角：兩個(gè)角都在兩條被截線之間，并且在截線的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)甭。

平行線的觀點(diǎn)

13.4平行線的判斷

1.在同一平面內(nèi)，不訂交的兩條直線叫做平行線。

2.平行公義：經(jīng)過宜線外一點(diǎn)，有且只有一條宜線與宜線平行。

平行公義的推論：假設(shè)兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行，被稱為平行

的傳達(dá)性。

3.平行線的判斷：

（1）兩條直線被第三條直線所截，假設(shè)同位角相等，那么這兩條直線平行。

（同位角相等，兩直線平行）

（2）兩條直線被第三條直線所截，假設(shè)內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。

（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

（3）兩條直線被第三條直線所截，假設(shè)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。

（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

13.5平行線的性質(zhì)

1.兩條直線被第經(jīng)過直線外處一點(diǎn)，有且只有一條直線與直線平行。

2.兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。（兩直線平行，同位角相等）

3.兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

4.兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

5.兩條平行線中，隨意一條直線上的全部點(diǎn)到另一條直線的距離都

是一個(gè)定值，這個(gè)定值叫做這兩條平行線間的距離。

第十四章三角形

14.1三角形的相關(guān)觀點(diǎn)

1.三角形的相關(guān)線段：三角形的高，中線，角均分線

2.三角形的分類：

銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，不等邊三角形，等腰三角形，等邊三角形

14.2三角形的內(nèi)角和

1.三角形的內(nèi)角和等于180-,三角形的外角和等于360o

2.三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；

三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。

14.3全等三角形的觀點(diǎn)與性質(zhì)

精心整理

1.能夠重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。

2.兩個(gè)三角形是全等形，就說它們是全等三角形。兩個(gè)全等三角形，經(jīng)過運(yùn)動(dòng)后必定重合，相互重合

的極點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)極點(diǎn)；相互重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊；相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。

3.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。

14.4全等三角形的判斷

1.

2.

3.

4.

5.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊"和"HL"。

6.SSA、AAA不可以區(qū)分兩個(gè)三角形全等，區(qū)分兩個(gè)三角形全等時(shí)，一定有邊的參加，假設(shè)有兩

邊一角時(shí)應(yīng)相等時(shí).角一定是兩動(dòng)的夾角°二角形全等的證明思路

三角形全等的證明思路

找夾角一一SAS

I.兩邊找直角一一HL找另一

邊—SSS

找邊的對(duì)角一一AAS

II.一邊一角邊為角的鄰邊找夾角的另一邊一一SAS找夾邊的另

—■角ASA

邊為角的對(duì)邊---找隨意一角---AAS

111.詼角找夾邊一一ASA找隨意一邊

---AAS

14.5等腰三角形的性質(zhì)

1.等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊平等角〃）。

2.等腰三角形的頂角均分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡(jiǎn)稱為“等腰三角形的三線合

一〃）O

3.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是頂角均分線所在的直線。

14.6等腰三角形的判斷

1.假設(shè)一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等，這個(gè)三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱

為“等角平等邊〃）。

14.7等邊三角形

1.等邊三角形是特別的等腰三角形，它的三邊都相等。

2.等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角等于60。

3.判斷等邊三角形的方法：

（1）三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。

（2：有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形。

第十五章平面直角坐標(biāo)系

15.1平面直角坐標(biāo)系

精心整理

1.在平面內(nèi)取一點(diǎn)，過點(diǎn)畫兩條相互垂直的數(shù)軸，且使它們以點(diǎn)為公共原點(diǎn)。這樣，就在平

面內(nèi)戍立了一個(gè)直角坐標(biāo)系。往常，所畫的兩條數(shù)軸中，有一條是水平擱置的，它的正方向向右，

這條數(shù)軸叫做橫軸〔記作軸)：另一條是鉛直擱置的，它的正方向向上，這條軸叫做縱軸(記作

刎)。以下列圖，記作平面直角坐標(biāo)系；點(diǎn)叫做坐標(biāo)原點(diǎn)(簡(jiǎn)稱原點(diǎn))，軸和軸統(tǒng)稱為坐

方J、*由0

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)叫做點(diǎn)P的坐標(biāo)，記作P(a,b),此

中a叫做橫坐標(biāo)，b叫做縱坐標(biāo)。

3.象限的區(qū)分：

4.經(jīng)過點(diǎn)A(a,b)且垂直于x軸的直線能夠表示為直線X=Q,經(jīng)過點(diǎn)A(a,b)且垂直于y軸的直線能夠表

示為直線y=b.

15.2直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

1.點(diǎn)的坐標(biāo)

有了平面直角坐標(biāo)系，平面內(nèi)的點(diǎn)就能夠用一個(gè)有序數(shù)對(duì)來表示，a點(diǎn)對(duì)應(yīng)x軸的數(shù)值為橫坐標(biāo),

b點(diǎn)對(duì)應(yīng)v軸的數(shù)值為縱坐標(biāo)，有序數(shù)對(duì)就叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作(a,b)在直角坐標(biāo)平面內(nèi),

2.平行于x軸的直線上的兩點(diǎn)A(,y)、B(,y)的距離

AB=|一I；

平行于y軸的直線上的兩點(diǎn)C(x,)、D(x,)的距離

CD=I-I.

3.點(diǎn)的平移x+m,y）；

在平面直角坐標(biāo)系中，(m>0)x—m,y）；

x,y+m）；

將點(diǎn)(向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，能夠獲得對(duì)應(yīng)點(diǎn)

x,y)mx.y—m）。

(將點(diǎn)(x,y)向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，能夠獲得對(duì)應(yīng)點(diǎn)

(將點(diǎn)(x,y)向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，能夠獲得對(duì)應(yīng)點(diǎn)

—

將占

八(x,y)向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，能夠獲得對(duì)應(yīng)點(diǎn)

—

4.坐標(biāo)平面圖