2025年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)考點講與練第05講雙曲線方程及其性質(zhì)(學(xué)生版+解析)

第05講雙曲線方程及其性質(zhì)（6類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第12題,5分求雙曲線的離心率無2024年新Ⅱ卷，第19題,17分求直線與雙曲線的交點坐標(biāo)由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列向量夾角的坐標(biāo)表示2023年新I卷，第16題,5分利用定義解決雙曲線中集點三角形問題求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無2023年新Ⅱ卷，第21題,12分根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程直線的點斜式方程及辨析雙曲線中的定直線問題2022年新I卷，第21題,12分求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線中三角形(四邊形)的面積問題根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第21題,12分根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線中的弦長由中點弦坐標(biāo)或中點弦方程、斜率求參數(shù)根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)2021年新I卷，第21題,12分求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線中的軌跡方程雙曲線中的定值問題2021年新Ⅱ卷，第13題,5分根據(jù)a,b,c齊次式關(guān)系求漸近線方程由雙曲線的離心率求參數(shù)的取值范圍2020年新I卷，第9題,5分判斷方程是否表示雙曲線二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系判斷方程是否表示橢圓2020年新Ⅱ卷，第10題,5分判斷方程是否表示雙曲線二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系判斷方程是否表示橢圓2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.熟練掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，會基本量的求解2.熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并會相關(guān)計算3.能熟練計算雙曲線的離心率4.會求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會雙曲線方程簡單的實際應(yīng)用5.會求雙曲線中的相關(guān)最值【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，常?？疾闃?biāo)準(zhǔn)方程的求解、基本量的計算及離心率的求解，需重點強(qiáng)化訓(xùn)練知識講解雙曲線的定義數(shù)學(xué)表達(dá)式：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程為：標(biāo)準(zhǔn)方程為：雙曲線中，，的基本關(guān)系雙曲線的幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點坐標(biāo)，，，，實軸實軸長，實半軸長虛軸虛軸長，虛半軸長焦點，，焦距焦距，半焦距對稱性對稱軸為坐標(biāo)軸，對稱中心為漸近線方程離心率離心率對雙曲線的影響越大，雙曲線開口越闊越小，雙曲線開口越窄離心率與漸近線夾角的關(guān)系通徑：（同橢圓）通徑長：，半通徑長：雙曲線的焦點到漸近線的距離為考點一、雙曲線的定義及其應(yīng)用1．（2024·河北邢臺·二模）若點P是雙曲線C：上一點，，分別為C的左、右焦點，則“”是“”的（

）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．充分不必要條件2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過的直線交雙曲線左支于兩點，且，若雙曲線的實軸長為8，那么的周長是（

）A．5 B．16 C．21 D．263．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若動點Px,y滿足方程，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．1．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）設(shè)，是雙曲線的左，右焦點，過的直線與軸和的右支分別交于點，，若是正三角形，則（

）A．2 B．4 C．8 D．162．（23-24高三下·山東青島·階段練習(xí)）雙曲線的兩個焦點分別是與，焦距為是雙曲線上的一點，且，則．3．（23-24高二上·四川涼山·期末）已知點，，動點滿足條件，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．考點二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）雙曲線方程為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或2．（2023高三上·湖北孝感·專題練習(xí)）過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程為（

）A． B． C． D．3．（22-23高二下·甘肅武威·開學(xué)考試）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，經(jīng)過點；(2)焦點軸上，且過點，.1．（23-24高三上·河北張家口·開學(xué)考試）“”是“表示雙曲線”的（

）．A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·遼寧·二模）已知雙曲線C：的焦點為，則C的方程為（

）A． B． C． D．3．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知某雙曲線的對稱軸為坐標(biāo)軸,且經(jīng)過點,求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．考點三、雙曲線的幾何性質(zhì)1．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）以為漸近線的雙曲線可以是（

）A． B．C． D．2．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為（

）．A． B．4 C． D．3．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）雙曲線的實軸長為4，則.4．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．95．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）已知雙曲線與共焦點，則的漸近線方程為（

）.A． B． C． D．6．（2024·貴州·模擬預(yù)測）我們把離心率為的雙曲線稱為“黃金雙曲線”．已知“黃金雙曲線”，則的虛軸長為．1．（24-25高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）過點的等軸雙曲線的方程為.2．（2024·安徽合肥·一模）雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．3．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦距為.4．（24-25高三上·山東泰安·開學(xué)考試）若雙曲線的一個焦點，一條漸近線方程為，則．5．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）（多選）已知，則雙曲線與有相同的（

）A．焦點 B．焦距 C．離心率 D．漸近線考點四、雙曲線的離心率1．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為．2．（2024·上?！じ呖颊骖}）三角形三邊長為，則以邊長為6的兩個頂點為焦點，過另外一個頂點的雙曲線的離心率為.3．（2024·全國·高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．4．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是．5．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．6．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為．1．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知雙曲線的焦距與其虛軸長之比為3：2，則的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）雙曲線的一條漸近線為，則其離心率為（

）．A． B． C． D．3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則此雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．4．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過的直線與的右支交于，兩點，且，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2024·福建泉州·一模）O為坐標(biāo)原點，雙曲線的左焦點為，點P在E上，直線與直線相交于點M，若，則E的離心率為．考點五、雙曲線中的最值問題1．（22-23高三上·湖北黃岡·階段練習(xí)）P為雙曲線左支上任意一點，為圓的任意一條直徑，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．92．（22-23高三下·江蘇淮安·期中）已知分別為雙曲線的左?右焦點，為雙曲線右支上任一點，則最小值為（

）A．19 B．23 C．25 D．853．（22-23高二上·浙江湖州·期末）雙曲線的離心率是2，左右焦點分別為為雙曲線左支上一點，則的最大值是（

）A． B．2 C．3 D．41．（22-23高三下·福建泉州·階段練習(xí)）雙曲線C：的左、右頂點分別為A，B，P為C上一點，直線PA，PB與分別交于M，N兩點，則的最小值為.2．（2022高三·全國·專題練習(xí)）長為11的線段AB的兩端點都在雙曲線的右支上，則AB中點M的橫坐標(biāo)的最小值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知分別是雙曲線的左、右頂點，是雙曲線上的一動點，直線，直線與分別交于兩點，記，的外接圓面積分別為，則的最小值為（

）A． B． C． D．考點六、雙曲線的簡單應(yīng)用1．（23-24高三上·江西·期末）阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進(jìn)一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過其另一個焦點.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，其離心率，從發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（

）A． B． C． D．2．（22-23高二上·山東德州·期末）3D打印是快速成型技術(shù)的一種，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體.如圖所示的筆筒為3D打印的雙曲線型筆筒，該筆筒是由離心率為3的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該筆筒的上底直徑為6cm，下底直徑為8cm，高為8cm（數(shù)據(jù)均以外壁即筆筒外側(cè)表面計算），則筆筒最細(xì)處的直徑為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江杭州·二模）費馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)．例如，點P為雙曲線（，為焦點）上一點，點P處的切線平分．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點，l是點處的切線，過左焦點作l的垂線，垂足為M，則．1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計中，人們利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點射出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上．如圖，已知雙曲線的離心率為2，則當(dāng)入射光線和反射光線互相垂直時（其中為入射點），的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林延邊·一模）祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r期偉大的科學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“冪勢既同，則積不容異”的體積計算原理，即“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”．某同學(xué)在暑期社會實踐中，了解到火電廠的冷卻塔常用的外形可以看作是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面（如圖）．現(xiàn)有某火電廠的冷卻塔設(shè)計圖紙，其外形的雙曲線方程為（），內(nèi)部虛線為該雙曲線的漸近線，則該同學(xué)利用“祖暅原理”算得此冷卻塔的體積為．

3．（2023·廣東茂名·三模）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：，是雙曲線的左?右焦點，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點，經(jīng)點反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．射線所在直線的斜率為，則B．當(dāng)時，C．當(dāng)過點時，光線由到再到所經(jīng)過的路程為13D．若點坐標(biāo)為，直線與相切，則一、單選題1．（23-24高三下·重慶·期中）已知雙曲線的焦距為8，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測）若點在雙曲線的一條漸近線上，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線的一個頂點坐標(biāo)為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．4．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別是是雙曲線上的一點，且，則雙曲線的離心率是（）A．7 B． C． D．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）若雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．26．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知，分別為雙曲線C的左、右焦點，過的直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，若，，則（

）A． B． C． D．7．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題8．（2024·湖南岳陽·三模）已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則的離心率為．9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點、，點的軌跡為，則的方程為.三、解答題10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過點和點的橢圓；(2)焦點在x軸上，離心率為，且過點的雙曲線．一、單選題1．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知，分別是雙曲線（，）的左、右焦點，過的直線交雙曲線左支于A，B兩點，，，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A坐標(biāo)為，若動點P位于y軸右側(cè)，且到兩定點，的距離之差為定值4，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知雙曲線：（，）的右焦點為，一條漸近線的方程為，直線與在第一象限內(nèi)的交點為.若，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2024·湖南長沙·二模）已知分別為雙曲線的左、右頂點，過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線于兩點(點異于)，則直線的斜率之比（

）A． B．?23 C． D．5．（2024·河北·三模）已知是坐標(biāo)原點，是雙曲線右支上任意一點，過點作雙曲線的切線，與其漸近線交于A，兩點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．26．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點.若，且，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．37．（2024·寧夏銀川·二模）已知雙曲線，點的坐標(biāo)為，若上存在點使得成立，則的離心率取值范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題8．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，為雙曲線漸近線上的點，且，若，則該雙曲線的離心率.9．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）設(shè)O為坐標(biāo)原點，為雙曲線的兩個焦點，點P在C上，，則10．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左?右焦點分別為，若雙曲線的左支上一點滿足，以為圓心的圓與的延長線相切于點1．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．4．（2023·天津·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．過向一條漸近線作垂線，垂足為．若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．5．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為．6．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.7．（2022·天津·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為，拋物線的準(zhǔn)線l經(jīng)過，且l與雙曲線的一條漸近線交于點A，若，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．8．（2022·北京·高考真題）已知雙曲線的漸近線方程為，則．9．（2022·全國·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．10．（2022·全國·高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值．11．（2021·全國·高考真題）雙曲線的右焦點到直線的距離為．12．（2021·全國·高考真題）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程.13．（2021·北京·高考真題）若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．14．（2021·全國·高考真題）已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為．15．（2021·全國·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點、，點的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.第05講雙曲線方程及其性質(zhì)（6類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第12題,5分求雙曲線的離心率無2024年新Ⅱ卷，第19題,17分求直線與雙曲線的交點坐標(biāo)由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列向量夾角的坐標(biāo)表示2023年新I卷，第16題,5分利用定義解決雙曲線中集點三角形問題求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無2023年新Ⅱ卷，第21題,12分根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程直線的點斜式方程及辨析雙曲線中的定直線問題2022年新I卷，第21題,12分求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線中三角形(四邊形)的面積問題根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第21題,12分根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線中的弦長由中點弦坐標(biāo)或中點弦方程、斜率求參數(shù)根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)2021年新I卷，第21題,12分求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線中的軌跡方程雙曲線中的定值問題2021年新Ⅱ卷，第13題,5分根據(jù)a,b,c齊次式關(guān)系求漸近線方程由雙曲線的離心率求參數(shù)的取值范圍2020年新I卷，第9題,5分判斷方程是否表示雙曲線二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系判斷方程是否表示橢圓2020年新Ⅱ卷，第10題,5分判斷方程是否表示雙曲線二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系判斷方程是否表示橢圓2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.熟練掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，會基本量的求解2.熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并會相關(guān)計算3.能熟練計算雙曲線的離心率4.會求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會雙曲線方程簡單的實際應(yīng)用5.會求雙曲線中的相關(guān)最值【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，常?？疾闃?biāo)準(zhǔn)方程的求解、基本量的計算及離心率的求解，需重點強(qiáng)化訓(xùn)練知識講解雙曲線的定義數(shù)學(xué)表達(dá)式：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程為：標(biāo)準(zhǔn)方程為：雙曲線中，，的基本關(guān)系雙曲線的幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點坐標(biāo)，，，，實軸實軸長，實半軸長虛軸虛軸長，虛半軸長焦點，，焦距焦距，半焦距對稱性對稱軸為坐標(biāo)軸，對稱中心為漸近線方程離心率離心率對雙曲線的影響越大，雙曲線開口越闊越小，雙曲線開口越窄離心率與漸近線夾角的關(guān)系通徑：（同橢圓）通徑長：，半通徑長：雙曲線的焦點到漸近線的距離為考點一、雙曲線的定義及其應(yīng)用1．（2024·河北邢臺·二模）若點P是雙曲線C：上一點，，分別為C的左、右焦點，則“”是“”的（

）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．充分不必要條件【答案】D【分析】首先求得焦半徑的最小值，然后結(jié)合雙曲線定義以及充要條件的定義即可得解.【詳解】，當(dāng)點在左支時，的最小值為，當(dāng)點在右支時，的最小值為，因為，則點在雙曲線的左支上，由雙曲線的定義，解得；當(dāng)，點在左支時，；在右支時，；推不出；故為充分不必要條件，故選：D.2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過的直線交雙曲線左支于兩點，且，若雙曲線的實軸長為8，那么的周長是（

）A．5 B．16 C．21 D．26【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義分析求解.【詳解】由題意可知：，即，所以的周長.故選：D.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若動點Px,y滿足方程，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線定義得到點P的軌跡方程是以A?2,0與為焦點的雙曲線，得到答案.【詳解】由題意得點Px,y到點A?2,0與點的距離之差的絕對值為3，且，故動點P的軌跡方程是以A?2,0與為焦點的雙曲線，故，所以，所以雙曲線的方程為.故選：A.1．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）設(shè)，是雙曲線的左，右焦點，過的直線與軸和的右支分別交于點，，若是正三角形，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義及等邊三角形的性質(zhì)計算可得.【詳解】對于雙曲線，則，根據(jù)雙曲線定義有，又，，故．故選：B

2．（23-24高三下·山東青島·階段練習(xí)）雙曲線的兩個焦點分別是與，焦距為是雙曲線上的一點，且，則．【答案】9【分析】根據(jù)焦距及雙曲線的關(guān)系，結(jié)合雙曲線定義，即可求得答案.【詳解】由題意得：焦距，在雙曲線中有，因為，解得，由雙曲線的定義：，解得或，由圖可知，可知被舍去，所以.故答案為：.3．（23-24高二上·四川涼山·期末）已知點，，動點滿足條件，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義可判斷動點的軌跡形狀，利用待定系數(shù)法即可求得軌跡方程.【詳解】因為，，所以，動點滿足，由雙曲線的定義可知，動點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的左支，設(shè)雙曲線方程為，則有，，，所以動點的軌跡方程為.故選：D.考點二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）雙曲線方程為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，列出不等式，結(jié)合不等式的解法，分類討論，即可求解.【詳解】由方程表示雙曲線，可得，當(dāng)時，可得，解得或；當(dāng)時，可得，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.故選：D.2．（2023高三上·湖北孝感·專題練習(xí)）過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出橢圓的焦點可得雙曲線的焦點，結(jié)合雙曲線經(jīng)過點，可求得雙曲線方程.【詳解】由，得，所以焦點在y軸上，且．設(shè)雙曲線的方程為，所以解得，，所以雙曲線的方程為．故選：D．3．（22-23高二下·甘肅武威·開學(xué)考試）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，經(jīng)過點；(2)焦點軸上，且過點，.【答案】(1)；(2)．【分析】(1)根據(jù)雙曲線焦點在x軸和y軸上進(jìn)行討論即可求解；(2)可設(shè)雙曲線方程為，代入兩個點的坐標(biāo)即可求解．【詳解】（1）當(dāng)雙曲線焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線方程為，將代入，得．又點在雙曲線上，有，由此得，不合題意，舍去．當(dāng)雙曲線焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線方程為0)，∵a=4，故，把點坐標(biāo)代入，得，解得．故所求雙曲線方程為．（2）設(shè)雙曲線方程為，將已知點坐標(biāo)代入，得，解得．∴所求方程為．1．（23-24高三上·河北張家口·開學(xué)考試）“”是“表示雙曲線”的（

）．A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)方程表示雙曲線以及充分、必要條件等知識確定正確答案.【詳解】當(dāng)，即或時，表示雙曲線，所以“”是“表示雙曲線”的充分不必要條件．故選：B2．（2024·遼寧·二模）已知雙曲線C：的焦點為，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程計算即可.【詳解】因為雙曲線C的焦點為在縱軸上，所以，且雙曲線C方程滿足，故，則C的方程為．故選：D．3．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知某雙曲線的對稱軸為坐標(biāo)軸,且經(jīng)過點,求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】【分析】不知道焦點的位置,可設(shè)雙曲線的一般式方程,這樣可避開討論,使問題輕松獲解．【詳解】設(shè)所求雙曲線的方程為由所求雙曲線經(jīng)過點,得解得故所求雙曲線的為考點三、雙曲線的幾何性質(zhì)1．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）以為漸近線的雙曲線可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用漸近線的求法，直接求出各個選項的漸近線方程，即可求解.【詳解】對于選項A，由得漸近線方程為，所以選項A錯誤，對于選項B，由得漸近線方程為，所以選項B正確，對于選項C，由得漸近線方程為，所以選項C錯誤，對于選項D，由得漸近線方程為，所以選項D錯誤，故選：B.2．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為（

）．A． B．4 C． D．【答案】C【分析】求出頂點坐標(biāo)和漸近線方程，然后利用點到直線的距離公式求解．【詳解】由雙曲線的方程知兩頂點，，漸近線方程為，由對稱性，不妨求到直線的距離，．故選：C．3．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）雙曲線的實軸長為4，則.【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，確定雙曲線的焦點位置，再列式計算即得.【詳解】顯然恒成立，則雙曲線的焦點在x軸上，于是，所以.故答案為：14．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】首先得到橢圓的焦點坐標(biāo)，依題意可得，利用乘“1”法及基本不等式計算可得.【詳解】橢圓的焦點為，依題意可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故的最小值為.故選：D5．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）已知雙曲線與共焦點，則的漸近線方程為（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用雙曲線的性質(zhì)計算即可.【詳解】易知，其焦點坐標(biāo)為，對于雙曲線，可得，其焦點坐標(biāo)為，故，此時，則其漸近線方程為.故選：D6．（2024·貴州·模擬預(yù)測）我們把離心率為的雙曲線稱為“黃金雙曲線”．已知“黃金雙曲線”，則的虛軸長為．【答案】【分析】根據(jù)條件及離心率的定義，得到，即可求解.【詳解】因為，即，解得，所以的虛軸長為，故答案為：.1．（24-25高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）過點的等軸雙曲線的方程為.【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)出雙曲線方程，代入點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可.【詳解】因為雙曲線為等軸雙曲線，所以設(shè)雙曲線方程為，，將點代入得，解得，所以雙曲線方程為，故答案為：2．（2024·安徽合肥·一模）雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線方程以及焦距可得，可得漸近線方程.【詳解】由焦距為4可得，即，又，所以，可得，即；則的漸近線方程為.故選：B3．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦距為.【答案】【分析】求出漸近線方程，對照得到方程，求出，從而求出焦距.【詳解】由題意得的漸近線方程為，故，解得，故，焦距為.故答案為：4．（24-25高三上·山東泰安·開學(xué)考試）若雙曲線的一個焦點，一條漸近線方程為，則．【答案】【分析】由條件列出關(guān)于的方程，解方程可得的值，由此可得結(jié)論.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，又為雙曲線的一條漸近線，所以，設(shè)雙曲線的半焦距為，因為為其一個焦點，所以，又，所以，所以.故答案為：.5．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）（多選）已知，則雙曲線與有相同的（

）A．焦點 B．焦距 C．離心率 D．漸近線【答案】CD【分析】由雙曲線的幾何性質(zhì)逐一判斷即可；【詳解】對于選項A、B：設(shè)，易知的左、右焦點坐標(biāo)分別為和，而的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故其左、右焦點坐標(biāo)分別為和，顯然和的焦點和焦距均不相同，故A，B錯誤；對于選項C、D：和的離心率均為，漸近線方程均為，故C，D正確．故選：CD.考點四、雙曲線的離心率1．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的實半軸、虛半軸長，再寫出的方程作答.【詳解】令雙曲線的實半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為.故答案為：2．（2024·上?！じ呖颊骖}）三角形三邊長為，則以邊長為6的兩個頂點為焦點，過另外一個頂點的雙曲線的離心率為.【答案】3【分析】利用雙曲線的定義求解即可.【詳解】由雙曲線的定義，則.故答案為：33．（2024·全國·高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】由焦點坐標(biāo)可得焦距，結(jié)合雙曲線定義計算可得，即可得離心率.【詳解】由題意，設(shè)、、，則，，，則，則.故選：C.4．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是．【答案】【分析】聯(lián)立直線和漸近線方程，可求出點，再根據(jù)可求得點，最后根據(jù)點在雙曲線上，即可解出離心率．【詳解】過且斜率為的直線，漸近線，聯(lián)立，得，由，得而點在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率.故答案為：．5．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為B，所以，因為，所以在雙曲線的左支，，，，設(shè)，由即，則，選A情況二若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，所以，，，設(shè)，由，即，則，所以，即，所以雙曲線的離心率選C[方法二]：答案回代法特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點都在左支,，，則，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點在左右兩支，在右支，，，則，[方法三]：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，若分別在左右支，因為，且，所以在雙曲線的右支，又，，，設(shè)，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故選：AC.6．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為．【答案】【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出，結(jié)合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.【詳解】由題可知三點橫坐標(biāo)相等，設(shè)在第一象限，將代入得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案為：1．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知雙曲線的焦距與其虛軸長之比為3：2，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由已知可得，進(jìn)而可求離心率.【詳解】由題意可知，，則，設(shè)，則，所以，故的離心率為.故選：C.2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）雙曲線的一條漸近線為，則其離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)漸近線方程解得，再由離心率公式求解即可.【詳解】解：因為雙曲線的一條漸近線為()，即,所以漸近線的斜率為，即，解得，所以雙曲線的離心率.故選：A.3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則此雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】先由一條漸近線的傾斜角求出其斜率，從而可得的值，再結(jié)合可求出離心率的值.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，所以一條漸近線的斜率為，所以，所以，得，所以，得，得，所以離心率，故選：C4．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過的直線與的右支交于，兩點，且，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，根據(jù)雙曲線的定義，可得和，再在直角三角形中，利用勾股定理可得關(guān)于，的關(guān)系，可得雙曲線的離心率.【詳解】如圖：設(shè)，則，根據(jù)雙曲線的定義，可得，，因為，所以，所以由，代入可得.故選：B【點睛】方法點睛：選擇填空題中，出現(xiàn)圓錐曲線的問題，首先要考慮圓錐曲線定義的應(yīng)用，不能用定義，再考慮其他方法.5．（2024·福建泉州·一模）O為坐標(biāo)原點，雙曲線的左焦點為，點P在E上，直線與直線相交于點M，若，則E的離心率為．【答案】【分析】作出輔助線，得到，根據(jù)雙曲線定義得到，，設(shè)，列出方程，解得，這里取，則，由列出方程，求出，得到離心率.【詳解】由題意得為雙曲線的一條漸近線，設(shè)雙曲線的右焦點為，連接，因為，所以，故，，由雙曲線定義得，即，故，設(shè)，則，解得，這里取，則，，則，又，故，化簡得，故.故答案為：考點五、雙曲線中的最值問題1．（22-23高三上·湖北黃岡·階段練習(xí)）P為雙曲線左支上任意一點，為圓的任意一條直徑，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】C【分析】畫出圖形，將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而化簡，結(jié)合圖形得到答案.【詳解】如圖，圓C的圓心C為（2,0），半徑r=2，，則當(dāng)點P位于雙曲線左支的頂點時，最小，即最小.此時的最小值為：.故選：C.2．（22-23高三下·江蘇淮安·期中）已知分別為雙曲線的左?右焦點，為雙曲線右支上任一點，則最小值為（

）A．19 B．23 C．25 D．85【答案】B【分析】設(shè)且，應(yīng)用兩點距離公式及P在雙曲線上，結(jié)合基本不等式求的范圍，注意等號成立條件，進(jìn)而可求目標(biāo)式的最小值.【詳解】令且，則，而，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，即最小值為23.故選：B3．（22-23高二上·浙江湖州·期末）雙曲線的離心率是2，左右焦點分別為為雙曲線左支上一點，則的最大值是（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】結(jié)合焦半徑公式討論分式函數(shù)的最大值.【詳解】由焦半徑公式得，，則當(dāng)時，.故選：C.1．（22-23高三下·福建泉州·階段練習(xí)）雙曲線C：的左、右頂點分別為A，B，P為C上一點，直線PA，PB與分別交于M，N兩點，則的最小值為.【答案】【分析】設(shè)，，，，寫出直線方程求得點縱坐標(biāo)后，求出，然后利用導(dǎo)數(shù)求得最小值．【詳解】由題意，，設(shè)，，，，直線方程為，令，得，直線方程為，令，得，，設(shè)，則，得，時，，時，，∴在上遞減，在上遞增，時，，所以．故答案為：．2．（2022高三·全國·專題練習(xí)）長為11的線段AB的兩端點都在雙曲線的右支上，則AB中點M的橫坐標(biāo)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用A、B兩點的坐標(biāo)表示出和，(F為雙曲線右焦點）解出A、B兩點的坐標(biāo)，利用，求得m的最小值.【詳解】由雙曲線可知，a＝3，b＝4，c＝5，設(shè)AB中點M的橫坐標(biāo)為m，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)F、A、B共線且不垂直軸時，m取得最小值，此時．檢驗:如圖，當(dāng)F、A、B共線且軸時，為雙曲線的通徑，則根據(jù)通徑公式得,所以軸不滿足題意.綜上，當(dāng)F、A、B共線且不垂直軸時，m取得最小值，此時．故選：B．3．（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知分別是雙曲線的左、右頂點，是雙曲線上的一動點，直線，直線與分別交于兩點，記，的外接圓面積分別為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，結(jié)合斜率公式得到，設(shè)出直線和的方程，求出兩點的坐標(biāo)，得到MN的表達(dá)式，設(shè)，的外接圓的半徑分別為，結(jié)合正弦定理以及基本不等式再進(jìn)行求解即可．【詳解】易知，由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)Px,y在第一象限，此時，，所以，不妨設(shè)直線的方程為，，令，解得，不妨設(shè)直線的方程為，令，解得，所以，，不妨設(shè)，的外接圓的半徑分別為，由正弦定理得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，所以．故選：D．考點六、雙曲線的簡單應(yīng)用1．（23-24高三上·江西·期末）阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進(jìn)一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過其另一個焦點.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，其離心率，從發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，利用雙曲線的定義、勾股定理可得方程，解得，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】設(shè)，，，由題意知，，，所以，，，所以，又，所以，解得，所以.故選：B.2．（22-23高二上·山東德州·期末）3D打印是快速成型技術(shù)的一種，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體.如圖所示的筆筒為3D打印的雙曲線型筆筒，該筆筒是由離心率為3的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該筆筒的上底直徑為6cm，下底直徑為8cm，高為8cm（數(shù)據(jù)均以外壁即筆筒外側(cè)表面計算），則筆筒最細(xì)處的直徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出筆筒的軸截面，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出雙曲線的方程，根據(jù)題意寫出點的坐標(biāo)，把點的坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求解.【詳解】該塔筒的軸截面如圖所示，以為筆筒對應(yīng)雙曲線的實軸端點，以所在直線為軸，過點且與垂直的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)與分別為上，下底面對應(yīng)點.由題意可知，設(shè)，則，設(shè)雙曲線的方程為，因為雙曲線的離心率為，所以，所以方程可化簡為，將和的坐標(biāo)代入式可得，解得，則筆筒最細(xì)處的直徑為.故選：C.3．（2023·浙江杭州·二模）費馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)．例如，點P為雙曲線（，為焦點）上一點，點P處的切線平分．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點，l是點處的切線，過左焦點作l的垂線，垂足為M，則．【答案】2【分析】延長交延長線于點，結(jié)合題意得點為的中點，，從而得到，再結(jié)合雙曲線的定義即可求解．【詳解】如圖，延長交延長線于點，因為點是的角平分線上的一點，且，所以點為的中點，所以，又點為的中點，且，所以．故答案為：2．1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計中，人們利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點射出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上．如圖，已知雙曲線的離心率為2，則當(dāng)入射光線和反射光線互相垂直時（其中為入射點），的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，，不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，結(jié)合雙曲線的定義和勾股定理求出m，即可求解.【詳解】因為，所以，得，不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，則．所以，解得或（舍去）．所以．故選：D．2．（2024·吉林延邊·一模）祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r期偉大的科學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“冪勢既同，則積不容異”的體積計算原理，即“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”．某同學(xué)在暑期社會實踐中，了解到火電廠的冷卻塔常用的外形可以看作是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面（如圖）．現(xiàn)有某火電廠的冷卻塔設(shè)計圖紙，其外形的雙曲線方程為（），內(nèi)部虛線為該雙曲線的漸近線，則該同學(xué)利用“祖暅原理”算得此冷卻塔的體積為．

【答案】【分析】由直線，其中，分別聯(lián)立方程組和，求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓環(huán)的面積，再結(jié)合題意得到該幾何體的體積與底面面積為，高為3的圓柱的體積相同，利用圓柱的體積公式，即可求解【詳解】如圖所示，雙曲線，其中一條漸近線方程為，由直線，其中，

聯(lián)立方程組，解得，聯(lián)立方程組，解得，所以截面圓環(huán)的面積為，即旋轉(zhuǎn)面的面積為，根據(jù)“冪勢既同，則積不容異”，可得該幾何體的體積與底面面積為，高為3的圓柱的體積相同，所以該幾何體的體積為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題意分析可知旋轉(zhuǎn)面的面積為，可得該幾何體的體積與底面面積為，高為3的圓柱的體積相同,3．（2023·廣東茂名·三模）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：，是雙曲線的左?右焦點，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點，經(jīng)點反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．射線所在直線的斜率為，則B．當(dāng)時，C．當(dāng)過點時，光線由到再到所經(jīng)過的路程為13D．若點坐標(biāo)為，直線與相切，則【答案】ABD【分析】A選項，根據(jù)直線與雙曲線的交點位置可判斷.B選項，利用雙曲線定義和勾股定理化簡可得.C選項，由雙曲線定義可判斷.D選項，利用角平分線性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義可得.【詳解】解：因為雙曲線的方程為，所以，漸近線方程為，選項A，因為直線與雙曲線有兩個交點，所以，即A正確；選項B，由雙曲線的定義知，，若，則，因為，所以，解得，即B正確；選項C：，即C錯誤；選項D，因為平分，由角分線定理知，，所以，又，所以，解得，即D正確.故選：ABD.一、單選題1．（23-24高三下·重慶·期中）已知雙曲線的焦距為8，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合焦距定義與漸近線方程定義計算即可得.【詳解】由題意可得，解得（負(fù)值舍去），則該雙曲線的漸近線方程為.故選：C.2．（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測）若點在雙曲線的一條漸近線上，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的漸近線方程，進(jìn)而求出即可求出離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由點在雙曲線的一條漸近線上，得，解得，所以的離心率.故選：C3．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線的一個頂點坐標(biāo)為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意求出的值，即可求得答案.【詳解】雙曲線中，半焦距為，即，又雙曲線一個頂點坐標(biāo)為，即，解得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：D．4．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別是是雙曲線上的一點，且，則雙曲線的離心率是（）A．7 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由余弦定理可得，再由雙曲線的離心率公式，即可得到結(jié)果．【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為.由題意，點在雙曲線的右支上，.由余弦定理得，解得，即，得，根據(jù)雙曲線定義得，解得，故雙曲線的離心率.故選：B.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）若雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】求出雙曲線的漸近線，根據(jù)右焦點到漸近線的距離，結(jié)合雙曲線的關(guān)系即可求出雙曲線的離心率.【詳解】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知，右焦點，其到漸近線的距離為，因為，所以.故選：D．6．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知，分別為雙曲線C的左、右焦點，過的直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義得到，即可表示出，，再在中利用余弦定理計算可得.【詳解】如圖，由于，，且，，設(shè)，則，故，所以，即，則，，，，在中由余弦定理.故選：B7．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的性質(zhì)得到離心率的表達(dá)式，再根據(jù)得到的范圍，代入中即可求解.【詳解】由題意可得．因為，所以，所以，所以，所以的取值范圍是.故選：B．二、填空題8．（2024·湖南岳陽·三模）已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則的離心率為．【答案】/【分析】分焦點在軸或軸上兩種情況，設(shè)出雙曲線方程，依題意，得到方程組，解之即得離心率.【詳解】當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，其方程為，依題有，方程組無解；當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，其方程為，依題有，解得，則.故答案為：.9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點、，點的軌跡為，則的方程為.【答案】【分析】先由雙曲線定義得的軌跡和的值，再求出即可求出的方程.【詳解】因為，所以軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，，可得，，所以軌跡的方程為.故答案為：.三、解答題10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過點和點的橢圓；(2)焦點在x軸上，離心率為，且過點的雙曲線．【答案】(1)；(2).【分析】（1）設(shè)出橢圓方程，利用待定系數(shù)法求解即得.（2）根據(jù)給定條件，結(jié)合離心率設(shè)出雙曲線方程，求出待定系數(shù)即得.【詳解】（1）依題意，設(shè)橢圓方程為，則，解得，所以所求橢圓的方程為.（2）令雙曲線實半軸長、虛半軸長、半焦距分別為，依題意，，即，而，則，設(shè)雙曲線方程為，于是，解得，所以所求雙曲線方程為.一、單選題1．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知，分別是雙曲線（，）的左、右焦點，過的直線交雙曲線左支于A，B兩點，，，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，，可設(shè)，，，由雙曲線的定義得到的等量關(guān)系求解即可.【詳解】因為，，所以可設(shè)，，．因為，所以．在中，，，，所以，則，又，所以，故雙曲線C的漸近線方程為．故選：D.2．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A坐標(biāo)為，若動點P位于y軸右側(cè)，且到兩定點，的距離之差為定值4，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)雙曲線的定義，判斷點軌跡為雙曲線的右支，并求出方程；再根據(jù)和把的周長轉(zhuǎn)化為的范圍問題，利用三角形兩邊之和大于第三邊求解.【詳解】由動點P到兩定點，的距離之差為定值4，結(jié)合雙曲線定義可知，動點P的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支，易得，，由得，則動點P的軌跡方程為，如圖：又，則，且故的周長為:，當(dāng)且僅當(dāng)P，A，三點共線且點位于、之間時等號成立，故周長的最小值為．故選：D3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知雙曲線：（，）的右焦點為，一條漸近線的方程為，直線與在第一象限內(nèi)的交點為.若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件，先求出右焦點為的坐標(biāo)，將點代入直線方程，即可求出的值.【詳解】由題意知，雙曲線的兩條漸近線方程分別為，.設(shè)點坐標(biāo)為，右焦點.由得，解得：，因為是雙曲線得一條漸近性，所以，則，將代入雙曲線方程，得.因為，點在第一象限內(nèi)，所以，點在直線上，所以，解得：.故選：C4．（2024·湖南長沙·二模）已知分別為雙曲線的左、右頂點，過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線于兩點(點異于)，則直線的斜率之比（

）A． B．?23 C． D．【答案】C【分析】將所求的斜率之比用坐標(biāo)表示，再設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，由題意得，所以

，所以

，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，所以聯(lián)立雙曲線方程得:，消元得

，所以①，因為，所以將①代入得，因為過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線于兩點，所以

比值為負(fù)數(shù)，所以，當(dāng)直線斜率不存在時，容易驗證故選：C.5．（2024·河北·三模）已知是坐標(biāo)原點，是雙曲線右支上任意一點，過點作雙曲線的切線，與其漸近線交于A，兩點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】C【詳解】不妨設(shè)是雙曲線在第一象限的一點，不妨設(shè)，得，得，所以，則在的切線斜率，所以在點處的切線方程為，又由，可得切線方程為，所以與x軸交點坐標(biāo)為不妨設(shè)是切線與漸近線在第一象限的交點，是切線與漸近線在第四象限的交點，雙曲線的漸近線方程是，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，所以，解得，所以，所以,故選：C.6．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點.若，且，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線定義，結(jié)合余弦定理列式計算即得.【詳解】設(shè)，則，，由雙曲線定義得，在中，由余弦定理得，解得，因此，令雙曲線的半焦距為c，在中，由余弦定理得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：A7．（2024·寧夏銀川·二模）已知雙曲線，點的坐標(biāo)為，若上存在點使得成立，則的離心率取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)和點P在雙曲線上，消去x得，由判別式大于0求解可得.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線方程可得，則，化簡整理得關(guān)于的一元二次不等式：有解，所以，即，所以，解得（舍去）或.故選：D二、填空題8．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，為雙曲線漸近線上的點，且，若，則該雙曲線的離心率.【答案】/【分析】根據(jù)，得到，利用直角三角形斜邊中線性質(zhì)以及，表示出和的各邊，再依據(jù)，在兩個三角形中分別用余弦定理，進(jìn)而列出等量關(guān)系式并求解.【詳解】不妨取M為漸近線上一點，因為，所以，又為的中點，所以，因為，設(shè)，則，因為，所以，在和中分別用余弦定理，則，，所以，所以，，則為銳角，，即，則，，，.故答案為：.9．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）設(shè)O為坐標(biāo)原點，為雙曲線的兩個焦點，點P在C上，，則【答案】【分析】利用雙曲線的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；【詳解】因為①，則由余弦定理得，即②，聯(lián)立①②，解得：，而，所以，即．故答案為：．10．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左?右焦點分別為，若雙曲線的左支上一點滿足，以為圓心的圓與的延長線相切于點【答案】/【分析】先由結(jié)合正弦定理和雙曲線定義求出PF1和，接著由求出和，再結(jié)合勾股定理、和離心率公式即可計算得解.【詳解】因為，所以由正弦定理得即，又，所以即，故，由得，，由題可得且，所以，所以即.故答案為：1．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可利用三邊斜率問題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)，由面積公式求出，由勾股定理得出，結(jié)合第一定義再求出.【詳解】如下圖：由題可知，點必落在第四象限，，設(shè)，，由，求得，因為，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，則由得，由得，則，由雙曲線第一定義可得：，，所以雙曲線的方程為.故選：C2．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的漸近線為，當(dāng)漸近線為時，圓心到該漸近線的距離，不合題意；當(dāng)漸近線為時，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D3．（2023·全國·高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；對于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設(shè)，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.4．（2023·天津·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．過向一條漸近線作垂線，垂足為．若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由點到直線的距離公式求出，設(shè)，由得到，.再由三角形的面積公式得到，從而得到，則可得到，解出，代入雙曲線的方程即可得到答案.【詳解】如圖，

因為，不妨設(shè)漸近線方程為，即，所以，所以.設(shè),則，所以，所以.因為,所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為故選：D5．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的實半軸、虛半軸長，再寫出的方程作答.【詳解】令雙曲線的實半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為.故答案為：6．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，離心率為．(