2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)(新高考專用)專題2.4指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【六大題型】特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題2.4指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1指數(shù)冪的運(yùn)算】 2【題型2指數(shù)方程與指數(shù)不等式】 2【題型3指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)】 2【題型4利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小】 3【題型5利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式】 3【題型6指數(shù)函數(shù)的綜合問題】 41、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解根式的概念及性質(zhì)，了解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(2)熟練掌握指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)2022年全國甲卷（文數(shù)）：第12題，5分2023年新課標(biāo)I卷：第4題，5分2024年天津卷：第2題，5分、第5題，5分指數(shù)函數(shù)是常見的重要函數(shù)，指數(shù)與指數(shù)函數(shù)是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考形勢(shì)來看，指數(shù)函數(shù)的考查，主要以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合指、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)用冪函數(shù)與指、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決具體的問題，包括比較指對(duì)冪的大小、解不等式等題型.【知識(shí)點(diǎn)1指數(shù)運(yùn)算的解題策略】1．指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.②運(yùn)算的先后順序.(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).【知識(shí)點(diǎn)2指數(shù)函數(shù)的常見問題及解題思路】1．比較指數(shù)式的大小比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.2．指數(shù)方程(不等式)的求解思路指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.3．指數(shù)型函數(shù)的解題策略涉及指數(shù)型函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.【題型1指數(shù)冪的運(yùn)算】【例1】（23-24高一上·陜西咸陽·期末）化簡3(?5)232的結(jié)果為（

）A．5 B．5 C．?5 D．?【變式1-1】（23-24高一上·陜西漢中·期末）下列各式正確的是（

）A．12?34=C．3?8=?2 【變式1-2】（23-24高一下·遼寧撫順·開學(xué)考試）已知a+1a=2，則aA．2 B．4 C．±2 D．±4【變式1-3】（23-24高一上·湖南長沙·階段練習(xí)）計(jì)算(?64)13+A．?132 B．?112 C．【題型2指數(shù)方程與指數(shù)不等式】【例2】（23-24高一上·北京順義·期中）關(guān)于x的方程4x?2【變式2-1】（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）不等式123x?1≤2【變式2-2】（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）不等式2x>1【變式2-3】（23-24高三上·遼寧·階段練習(xí)）已知x1和x2是方程9x?【題型3指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)】【例3】（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)fx=2A．函數(shù)fx單調(diào)遞增 B．函數(shù)fxC．函數(shù)fx的圖象關(guān)于0,1對(duì)稱 D．函數(shù)fx的圖象關(guān)于【變式3-1】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=3A．?∞,0 B．?1,0 C．0,1 【變式3-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=1ex+a的圖象關(guān)于點(diǎn)A．1 B．2 C．e D．e【變式3-3】（2024·遼寧·一模）若函數(shù)fx=3?2x2+axA．?∞,4 B．4,16 C．16,+∞【題型4利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小】【例4】（2024·云南·二模）若a=2π?2,b=A．b>a>c B．c>a>b C．a(chǎn)>b>c D．a(chǎn)>c>b【變式4-1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a=0.50.4，b=0.41.1，A．a(chǎn)<c<b B．c<a<b C．a(chǎn)<b<c D．b<a<c【變式4-2】（2023·上海閔行·一模）已知a，b∈R，a>b，則下列不等式中不一定成立的是（

A．a(chǎn)+2>b+2 B．2a>2b C．a(chǎn)2>b【變式4-3】（2024·全國·二模）設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿足1001a+1010b=2023a，1014A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)=b C．a(chǎn)<b D．無法比較【題型5利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式】【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=3x?2?32?xA．?∞,4 B．?∞,2 C．【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知fx=2x?a+1，且fx<6A．?∞,1 B．?1,+∞ C．?1,1【變式5-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=12x，則使得fA．13,+∞ B．0,13 【變式5-3】（2024·江蘇宿遷·一模）已知函數(shù)fx=2x?A．?1,3 B．?∞,?1∪3,+∞ 【題型6指數(shù)函數(shù)的綜合問題】【例6】（23-24高一上·廣東湛江·期末）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，fx=a?(1)求a的值，并求出fx(2)若mfx?4x?【變式6-1】（23-24高一上·廣東茂名·期末）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)x∈0,8時(shí)，不等式fx+1≥f(2)試求函數(shù)Gx=fx+1+af2x（a∈【變式6-2】（2024高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）設(shè)函數(shù)fx(1)判斷函數(shù)fx在區(qū)間0,+∞和(2)若函數(shù)fx在其定義域內(nèi)為奇函數(shù)，求a與b(3)在（2）的條件下，當(dāng)a=1時(shí)，不等式fx≥k?3?x在【變式6-3】（23-24高一上·廣東廣州·期末）定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，fx=x,?1<x<0?a?x,x≤?1，其中a>0,a≠1(1)求a的值；(2)當(dāng)x≥0時(shí)，求函數(shù)fx(3)若存在x2>x1≥0一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）3392+A．13 B．33 C．32．（2023·廣東珠?！つM預(yù)測(cè)）已知a>0且a≠1，下列等式正確的是（

）A．a(chǎn)?2?aC．a(chǎn)6+a3．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）若a?1?a1=4A．8 B．16 C．2 D．184．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx的部分圖象如圖所示，則fx的解析式可能為（

A．fx=eC．fx=e5．（2023·四川攀枝花·模擬預(yù)測(cè)）已知奇函數(shù)fx=ax+b?a?xA．13或3 B．12或2 C．36．（2023·吉林·一模）已知a=0.310.1，b=0.310.2，A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b7．（2023·湖北武漢·二模）閱讀下段文字：“已知2為無理數(shù)，若(2)2為有理數(shù)，則存在無理數(shù)a=b=2，使得ab為有理數(shù)；若(2)2為無理數(shù)，則取無理數(shù)A．(2)2是有理數(shù) C．存在無理數(shù)a，b，使得ab為有理數(shù) D．對(duì)任意無理數(shù)a，b，都有a8．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=2023ax2+bx+1(a≠0)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，且函數(shù)A．{x∣0<x≤4} B．{x∣x≥4或x<0}C．{x∣0≤x≤4} D．{x∣x≥4或x≤0}二、多選題9．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）下列各式中一定成立的有（

）A．nm7=C．4x3+10．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=2A．函數(shù)fxB．函數(shù)fx值域?yàn)镃．函數(shù)fx的圖象關(guān)于0,1D．函數(shù)fx的圖象關(guān)于1,111．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，gx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且fx+gx=2ex.函數(shù)A．fx=ex+eC．m=3 D．m=?3.3或13三、填空題12．（2024·上海寶山·二模）將a2a（其中a>0）化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為13．（2024·上?！と＃┰O(shè)t∈R，若在區(qū)間1,2上，關(guān)于x的不等式2x>14．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)fx是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，fx=ex四、解答題15．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：(1)(?π(2)516．（2024·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：94（2）已知a12+17．（2024·上海黃浦·二模）設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=(1)求a的值，使得y=f(x)為奇函數(shù)；(2)若f(2)=a，求滿足f(x)>a的實(shí)數(shù)x的取值范圍.18．（23-24高一上·天津和平·期末）已知函數(shù)f(x)=a?8x+2xa?(1)當(dāng)a=?1時(shí)，若對(duì)任意的x∈[1,2]，都有f(2x)≥mf(x)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，若關(guān)于x的方程f(2x)=mf(x)有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．19．（2024·河南平頂山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=1?a?1ax(1)利用單調(diào)性的定義證明：函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；(2)若關(guān)于x的不等式f(mx2?1)+f(2?mx)>0(3)若函數(shù)g(x)=kf(x)?3x有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)專題2.4指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1指數(shù)冪的運(yùn)算】 2【題型2指數(shù)方程與指數(shù)不等式】 3【題型3指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)】 4【題型4利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小】 6【題型5利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式】 7【題型6指數(shù)函數(shù)的綜合問題】 91、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解根式的概念及性質(zhì)，了解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(2)熟練掌握指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)2022年全國甲卷（文數(shù)）：第12題，5分2023年新課標(biāo)I卷：第4題，5分2024年天津卷：第2題，5分、第5題，5分指數(shù)函數(shù)是常見的重要函數(shù)，指數(shù)與指數(shù)函數(shù)是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考形勢(shì)來看，指數(shù)函數(shù)的考查，主要以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合指、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)用冪函數(shù)與指、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決具體的問題，包括比較指對(duì)冪的大小、解不等式等題型.【知識(shí)點(diǎn)1指數(shù)運(yùn)算的解題策略】1．指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.②運(yùn)算的先后順序.(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).【知識(shí)點(diǎn)2指數(shù)函數(shù)的常見問題及解題思路】1．比較指數(shù)式的大小比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.2．指數(shù)方程(不等式)的求解思路指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.3．指數(shù)型函數(shù)的解題策略涉及指數(shù)型函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.【題型1指數(shù)冪的運(yùn)算】【例1】（23-24高一上·陜西咸陽·期末）化簡3(?5)23A．5 B．5 C．?5 D．?【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答過程】3(?5)故選：A.【變式1-1】（23-24高一上·陜西漢中·期末）下列各式正確的是（

）A．12?34=C．3?8=?2 【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的計(jì)算公式及根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化計(jì)算即可.【解答過程】對(duì)于A，12?3對(duì)于B，3x+y對(duì)于C，3?8對(duì)于D，nm故選：C.【變式1-2】（23-24高一下·遼寧撫順·開學(xué)考試）已知a+1a=2，則aA．2 B．4 C．±2 D．±4【解題思路】給a1【解答過程】(a12故選：A.【變式1-3】（23-24高一上·湖南長沙·階段練習(xí)）計(jì)算(?64)13+A．?132 B．?112 C．【解題思路】利用指數(shù)運(yùn)算及根式運(yùn)算計(jì)算即得.【解答過程】(?64)1故選：C.【題型2指數(shù)方程與指數(shù)不等式】【例2】（23-24高一上·北京順義·期中）關(guān)于x的方程4x?2x=2【解題思路】由4x?2x=2可得出2【解答過程】由4x?2x=2因?yàn)?x>0，可得2x所以，方程關(guān)于x的方程4x?2故答案為：x=1.【變式2-1】（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）不等式123x?1≤2的解集為【解題思路】利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將原不等式化為3x?1≥?1求解即可.【解答過程】原不等式可化為1因?yàn)楹瘮?shù)y=1∴3x?1≥?1，解得x≥0．∴不等式123x?1≤2故答案為：x|x≥0.【變式2-2】（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）不等式2x>12x?【解題思路】利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將原不等式化為x>x【解答過程】由2x>1因?yàn)楹瘮?shù)y=2∴x>x2?x，即x∴不等式2x>1故答案為：0,2.【變式2-3】（23-24高三上·遼寧·階段練習(xí)）已知x1和x2是方程9x?3x【解題思路】由題知3x1+3x2=9【解答過程】解：方程可化為3x2?9?3x所以3x1+又9x所以9x故答案為：75.【題型3指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)】【例3】（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)fx=2A．函數(shù)fx單調(diào)遞增 B．函數(shù)fxC．函數(shù)fx的圖象關(guān)于0,1對(duì)稱 D．函數(shù)fx的圖象關(guān)于【解題思路】分離常數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B；根據(jù)對(duì)稱性的定義，f2?x與f【解答過程】fx函數(shù)y=2?2t，t=2又內(nèi)層函數(shù)t=2x?1+1在R上單調(diào)遞增，外層函數(shù)y=2?所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)fx因?yàn)?x?1+1>1，所以0<2所以函數(shù)fx的值域?yàn)?,2f2?x=2所以函數(shù)fx關(guān)于點(diǎn)1,1故選：C.【變式3-1】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=3A．?∞,0 B．?1,0 C．0,1 【解題思路】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【解答過程】令t=x2?2由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：fx的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)t=又函數(shù)t(?x)=(?x)即函數(shù)t(x)為偶函數(shù)，結(jié)合圖象，如圖所示，可知函數(shù)t=x2?2x的單調(diào)遞減區(qū)間為即fx的單調(diào)遞減區(qū)間為?∞,?1故選：C．【變式3-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=1ex+a的圖象關(guān)于點(diǎn)A．1 B．2 C．e D．e【解題思路】利用函數(shù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，代入化簡解方程即可求得a=e【解答過程】由對(duì)稱中心性質(zhì)可知函數(shù)fx滿足f即1e整理可得e3?x+e解得a=e故選：C.【變式3-3】（2024·遼寧·一模）若函數(shù)fx=3?2x2+axA．?∞,4 B．4,16 C．16,+∞【解題思路】利用“同增異減”判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求參數(shù)的取值范圍.【解答過程】設(shè)fu=3u，u=?2x因?yàn)閒x=3?2x2+ax結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得：a4≤1，解得故選：A.【題型4利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小】【例4】（2024·云南·二模）若a=2π?2,b=A．b>a>c B．c>a>b C．a(chǎn)>b>c D．a(chǎn)>c>b【解題思路】根據(jù)中間數(shù)2比較a與c，根據(jù)中間數(shù)1比較b與c.【解答過程】因?yàn)閍=2π?2>所以a>c，因?yàn)閎=6?1=所以c>b，所以a>c>b.故選：D.【變式4-1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a=0.50.4，b=0.41.1，A．a(chǎn)<c<b B．c<a<b C．a(chǎn)<b<c D．b<a<c【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合與特殊值1的比較，即可得到答案.【解答過程】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=0.5x是單調(diào)減函數(shù)，所以又由冪函數(shù)y=x1.1在0,+∞又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=1.1x是單調(diào)增函數(shù)，所以綜上可得：b<a<c，故選：D.【變式4-2】（2023·上海閔行·一模）已知a，b∈R，a>b，則下列不等式中不一定成立的是（

A．a(chǎn)+2>b+2 B．2a>2b C．a(chǎn)2>b【解題思路】根據(jù)不等式性質(zhì)可判斷A，B；舉反例可判斷C；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【解答過程】對(duì)于A，B，a，b∈R，a>b，則a+2>b+2,2a>2b對(duì)于C，取a=?1,b=?2，滿足a>b，則a2當(dāng)a>b>0時(shí)，a2對(duì)于D，由a>b，由于y=2x在R上單調(diào)遞增，則故選：C.【變式4-3】（2024·全國·二模）設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿足1001a+1010b=2023a，1014A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)=b C．a(chǎn)<b D．無法比較【解題思路】先假設(shè)a≥b，再推理導(dǎo)出矛盾結(jié)果或成立的結(jié)果即可得解.【解答過程】假設(shè)a≥b，則1010a≥1010由1001a+1010因函數(shù)f(x)=(10012023)x+(10102023由1014a+1016因函數(shù)g(x)=(10142024)x+(10162024即有a<1<b與假設(shè)a≥b矛盾，所以a<b，故選：C.【題型5利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式】【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=3x?2?32?xA．?∞,4 B．?∞,2 C．【解題思路】設(shè)gx=3x?3?x，即可判斷gx為奇函數(shù)，又fx=gx?2，可得f【解答過程】設(shè)gx=3x?3?x又fx則fx的圖象是由gx的圖象向右平移所以fx圖象的對(duì)稱中心為2,0，所以f因?yàn)閥=3x在R上單調(diào)遞增，y=3所以gx在R上單調(diào)遞增，則fx在因?yàn)閒x所以f8?3x>f4?x，所以8?3x>4?x故滿足fx+f8?3x>0的故選：B.【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知fx=2x?a+1，且fx<6A．?∞,1 B．?1,+∞ C．?1,1【解題思路】fx<6在區(qū)間1,2恒成立，只需要【解答過程】由解析式易知：fx當(dāng)x∈1,2時(shí)，fx<6恒成立，則f故選：B．【變式5-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=12x，則使得fA．13,+∞ B．0,13 【解題思路】根據(jù)奇偶性定義判斷出fx為偶函數(shù)，再根據(jù)x>0上的單調(diào)性得到參數(shù)a【解答過程】由題意可知fx的定義域?yàn)镽，且f?x=當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)=12x若f2a<fa?1成立，則2a>a?1又a>0，所以正實(shí)數(shù)a的取值范圍是13故選：A．【變式5-3】（2024·江蘇宿遷·一模）已知函數(shù)fx=2x?A．?1,3 B．?∞,?1∪3,+∞ 【解題思路】解法一：判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式即可.解法二：特值排除法.【解答過程】解法一：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，函數(shù)y=2x,y=因此函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，由fx2<f2x+3，得所以原不等式的解集是?1,3.故選：A.解法二：特值當(dāng)x=0時(shí)，f0<f3，排除B，D，當(dāng)x=1對(duì)A：當(dāng)x∈?1,3時(shí)，x2<2x+3，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R故選A．【題型6指數(shù)函數(shù)的綜合問題】【例6】（23-24高一上·廣東湛江·期末）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，fx=a?(1)求a的值，并求出fx(2)若mfx?4x?【解題思路】（1）由f?1=32，求得a=1，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性，求得x<0時(shí)，（2）由（1），把mfx?4x?【解答過程】（1）解：因?yàn)閒x是偶函數(shù)，所以f?1=f當(dāng)x<0時(shí)，可得?x>0，可得fx所以函數(shù)fx的解析式為f（2）解：由（1）知，當(dāng)x>0時(shí)，fx因?yàn)閙fx?4即m≤4又因?yàn)?x當(dāng)且僅當(dāng)2x?2所以m≤22，即m的取值范圍是?【變式6-1】（23-24高一上·廣東茂名·期末）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)x∈0,8時(shí)，不等式fx+1≥f(2)試求函數(shù)Gx=fx+1+af2x（a∈【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到?x∈0,8，g（2）換元后得到φt=at2+2t，t∈0,1，分a=0，?1【解答過程】（1）函數(shù)fx=2不等式fx+1依題意，?x∈0,8，g由于gx開口向上，故只需g所以a的取值集合是?．（2）函數(shù)Gx=2令t=2x∈0,1，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)φt在0,1上單調(diào)遞增，φ當(dāng)a≠0時(shí)，φt=at當(dāng)?1a<0，即a>0時(shí)，開口向上，函數(shù)φ所以φt當(dāng)0<?1a<1即a<?1當(dāng)?1a≥1即?1≤a<0時(shí)，開口向下，函數(shù)φφt綜上Ha【變式6-2】（2024高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）設(shè)函數(shù)fx(1)判斷函數(shù)fx在區(qū)間0,+∞和(2)若函數(shù)fx在其定義域內(nèi)為奇函數(shù)，求a與b(3)在（2）的條件下，當(dāng)a=1時(shí)，不等式fx≥k?3?x在【解題思路】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷出結(jié)論；（2）利用奇函數(shù)定義可求得b=2a，經(jīng)驗(yàn)證滿足題意；（3）將不等式轉(zhuǎn)化成k≤3x?1+23【解答過程】（1）由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知y=3對(duì)b分類討論如下：①當(dāng)b=0時(shí)，fx②當(dāng)b>0時(shí)，fx在區(qū)間?∞,0③當(dāng)b<0時(shí)，fx在區(qū)間?∞,0（2）易知函數(shù)fx的定義域?yàn)?∵fx是奇函數(shù)，∴f即a+b所以b=2a，經(jīng)驗(yàn)證b=2a時(shí)，滿足f?x所以a與b的關(guān)系式為b=2a.（3）由已知得fx整理可得：k≤3x+由基本不等式可得3x當(dāng)且僅當(dāng)3x?12所以k≤22【變式6-3】（23-24高一上·廣東廣州·期末）定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，fx=x,?1<x<0?a?x,x≤?1，其中a>0,a≠1(1)求a的值；(2)當(dāng)x≥0時(shí)，求函數(shù)fx(3)若存在x2>x1≥0【解題思路】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義f(?1)=?f(1)即可求得a的值；（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義求解析式；（3）由函數(shù)解析式，根據(jù)x的范圍分類討論，分別得出x1,x2的關(guān)系，把【解答過程】（1）∵f1=e∴f(?1)=?a=?e，則a=（2）當(dāng)0<x<1時(shí)，?1<?x<0，f?x=?x，又fx當(dāng)x≥1時(shí)，?x≤?1，f?x=?ex，又因?yàn)閒x是定義在R上的奇函數(shù)，則f故fx（3）若0≤x1<x2<1，則由fx若0≤x1<1≤x2，則由e若1≤x1<x2，則由fx2=e綜上：x1·fx一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）3392+A．13 B．33 C．3【解題思路】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡計(jì)算即可.【解答過程】33故選：A．2．（2023·廣東珠?！つM預(yù)測(cè)）已知a>0且a≠1，下列等式正確的是（

）A．a(chǎn)?2?aC．a(chǎn)6+a【解題思路】ABC選，利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則判斷，D選項(xiàng)，由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義得到D正確.【解答過程】A選項(xiàng)，a>0且a≠1，故a?2B選項(xiàng)，a>0且a≠1，故a6C選項(xiàng)，a6D選項(xiàng)，a>0且a≠1，故a?故選：D.3．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）若a?1?a1=4A．8 B．16 C．2 D．18【解題思路】利用完全平方公式結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【解答過程】解：因?yàn)閍?1所以a?2故選：D．4．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx的部分圖象如圖所示，則fx的解析式可能為（

A．fx=eC．fx=e【解題思路】利用fx在23,+∞上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用【解答過程】對(duì)于B，當(dāng)x>23時(shí)，fx=ex?對(duì)于C，fx=ex+e?x對(duì)于D,當(dāng)x>1時(shí)，fx=2xx?1=2+利用排除法可以得到，fx故選：A.5．（2023·四川攀枝花·模擬預(yù)測(cè)）已知奇函數(shù)fx=ax+b?a?xA．13或3 B．12或2 C．3【解題思路】根據(jù)奇偶性求得b，分類討論函數(shù)的單調(diào)性得出最大值，根據(jù)已知條件列方程求解即可．【解答過程】因?yàn)閒x是奇函數(shù)，所以f?x=?f即a?x+b?ax+經(jīng)檢驗(yàn)b=?1符合題意，所以fx當(dāng)a>1時(shí)，0<1則函數(shù)y=ax在?1,1上單調(diào)遞增，y=a所以fx=a所以，f(x)max=f(1)=a?解得a=3或a=?13(舍去)，所以當(dāng)0<a<1時(shí)，1a則函數(shù)y=ax在?1,1上單調(diào)遞減，y=a所以fx=a所以，f(x)max=f(?1)=解得a=13或a=?3(舍去)，所以綜上，a=1故選：A．6．（2023·吉林·一模）已知a=0.310.1，b=0.310.2，A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解題思路】根據(jù)指對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性以及中間值進(jìn)行比較即可.【解答過程】由y=0.31x單調(diào)遞減可知：0.310.1由y=x0.1單調(diào)遞增可知：0.32所以c>a>b.故選：D.7．（2023·湖北武漢·二模）閱讀下段文字：“已知2為無理數(shù)，若(2)2為有理數(shù)，則存在無理數(shù)a=b=2，使得ab為有理數(shù)；若(2)2為無理數(shù)，則取無理數(shù)A．(2)2是有理數(shù) C．存在無理數(shù)a，b，使得ab為有理數(shù) D．對(duì)任意無理數(shù)a，b，都有a【解題思路】根據(jù)給定的條件，提取文字信息即可判斷作答.【解答過程】這段文字中，沒有證明(2)2這段文字的兩句話中，都說明了結(jié)論“存在無理數(shù)a，b，使得ab這段文字中只提及存在無理數(shù)a，b，不涉及對(duì)任意無理數(shù)a，b，都成立的問題，D錯(cuò)誤.故選：C.8．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=2023ax2+bx+1(a≠0)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，且函數(shù)A．{x∣0<x≤4} B．{x∣x≥4或x<0}C．{x∣0≤x≤4} D．{x∣x≥4或x≤0}【解題思路】先通過f(2?x)=f(2+x)求出a,b的關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)f(x)的最小值為1可求出a,b，代入fx，直接解不等f(x)≥2023【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2023ax所以f(2?x)=f(2+x)，即2023a即a(2?x)2+即(4a+b)x=0恒成立，所以b+4a=0，即b=?4a，所以f(x)=2023又因?yàn)楹瘮?shù)fx所以a>0且f(2)=1，即20231?4a所以1?4a=0，即a=1所以f(x)=202314即202314(x?2)解得x≥4或x≤0，故選：D．二、多選題9．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）下列各式中一定成立的有（

）A．nm7=C．4x3+【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)逐項(xiàng)分析可得答案.【解答過程】對(duì)于A，nm對(duì)于B，12?3對(duì)于C，當(dāng)x=1,y=2時(shí)，413+所以4x對(duì)于D，39故選：BD.10．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=2A．函數(shù)fxB．函數(shù)fx值域?yàn)镃．函數(shù)fx的圖象關(guān)于0,1D．函數(shù)fx的圖象關(guān)于1,1【解題思路】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A，根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B，根據(jù)對(duì)稱性的定義，f2?x與f【解答過程】fx函數(shù)y=2?2t，t=2又內(nèi)層函數(shù)t=2x?1+1在R上單調(diào)遞增，外層函數(shù)y=2?所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)fx因?yàn)?x?1+1>1，所以0<22x?1+1<2f2?x=22?x21?x+1故選：ABD.11．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，gx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且fx+gx=2ex.函數(shù)A．fx=ex+eC．m=3 D．m=?3.3或13【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得出關(guān)于fx,gx的方程組，即可得fx,gx的解析式，從而得選項(xiàng)A；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)【解答過程】A，因?yàn)閒x為偶函數(shù)，所以f?x=fx，又因?yàn)閒x+gx=2e由①②得：fx=eB，因?yàn)楹瘮?shù)y=ex,y=?故gx=ex?C、D，因?yàn)閒2x所以Fx又fx=ex+e?x設(shè)?t=t當(dāng)m>2時(shí)，函數(shù)?t在2,m上為減函數(shù)，在m,+則?(t)min=?m=?當(dāng)m≤2時(shí)，?t在2,+∞上單調(diào)遞增，?(t)綜上m=3，所以選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題12．（2024·上海寶山·二模）將a2a（其中a>0）化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為a【解題思路】直接利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡求解即可【解答過程】a故答案為：a513．（2024·上海·三模）設(shè)t∈R，若在區(qū)間1,2上，關(guān)于x的不等式2x>1x+t【解題思路】根據(jù)x+t≠0在1,2上恒成立，故t=?x∈?∞,?2∪?1,+∞，分t∈?∞,?2時(shí)，滿足要求，當(dāng)t∈?1,+∞【解答過程】由題意得2x>1x+t在1,故t=?x∈?當(dāng)t∈?∞,?2時(shí)，x+t<0，而2當(dāng)t∈?1,+∞時(shí)，x+t>0，2x令gx=1其中g(shù)x=1故gx故t≥?1綜上，t的取值范圍是?∞故答案為：?∞14．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)fx是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，fx=ex，則不等式f【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在x<0時(shí)的解析式，即可得到fx=ex，則不等式fx【解答過程】因?yàn)閒x是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f設(shè)x<0，則?x>0，所以f?x=e?x，又f?x所以fx=e所以不等式fx≥f2x?1，即e即x2≥4x?1即不等式fx≥f故答案為：23四、解答題15．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：(1)(?π(2)5【解題思路】（1）利用根式與指數(shù)冪運(yùn)算法則計(jì)算即可得出結(jié)果；（2）由根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，計(jì)算化簡即可得出答